Bases da Matemática para Ciências: Introdução aos Cálculos Diferencial e Integral

08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 116 Introdução Autoria Thiago Fernando Mendes Revisão técnica Sheila Motta Steffen do Nascimento Bases da matemática para ciências UNIDADE 1 INTRODUÇÃO AOS CÁLCULOS DIFERENCIAL E INTEGRAL 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 216 Você sabe por que dizemos que a matemática é a base de todas as outras ciências Será mesmo que ela está presente em todas as nossas ações cotidianas Como aprender a respeito dela nos auxilia para atuarmos com mais presença na sociedade Entre os pesquisadores de ciências é unânime o entendimento de que a matemática está presente em todos os segmentos das nossas vidas Consequentemente diversas ações são permeadas por ela mesmo que essa presença não esteja necessariamente explícita nos atos Muitas vezes relacionamos a matemática a ações como comprar algo dar um troco e até mesmo calcular a quantidade de ingredientes para se fazer um bolo No entanto ela se faz presente em diferentes eventos cotidianos para além disso como atravessar a rua em que a pessoa observa a aceleração do carro e define pela distância se é ou não possível avançar sem sofrer um acidente Essa decisão é resultado de um cálculo mental em que se analisa a derivada segunda da função aceleração do carro Assim em síntese nossos objetivos de aprendizagem nesta unidade serão revisar tópicos de álgebra operação de radiciação bem como funções trigonométricas exponenciais e logarítmicas Também estudaremos quanto ao conceito de limite e definições técnicas de resolução de limites limites envolvendo infinito e funções contínuas Por fim associaremos funções e comportamentos conforme processos naturais fenomenológicos e teorização matemática Vamos começar a unidade abordando conceitos básicos relacionados às funções matemáticas que nos auxiliarão posteriormente a compreender muitas das propriedades e operações que efetuaremos em cálculo diferencial e integral Bons estudos 11 Visão geral do pré cálculo O preço da corrida de um táxi a velocidade de um chute para que a bola possa atingir o gol a idade de um fóssil com base na concentração cálcica o tempo necessário que a pipoca deve ficar no microondas para que todos os milhos estourem Todos são exemplos de situações que podem ser descritas matematicamente ou seja podem ser traduzidas da linguagem natural para uma linguagem matemática 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 316 Essa descrição ou tradução para a linguagem matemática é o que encontramos na literatura denominada como modelagem matemática Nesse sentido de acordo com Bassanezi 2015 p 16 tratase da arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvêlos interpretando suas soluções na linguagem do mundo real Dessa maneira normalmente tal transformação é feita com o uso de funções matemáticas em seus diferentes tipos de acordo com as especificidades e os comportamentos de cada situação As funções possuem características e propriedades específicas sendo que todas podem ser representadas e expressas de diferentes formas tabelas gráficos fórmulas descrição verbal entre outras Assim ao longo deste tópico iremos discutir as características propriedades e formas de representação de alguns tipos de funções Acompanhe o conteúdo 111 Revisão de álgebra A álgebra pode ser definida como um ramo da matemática que de modo geral tem como objetivo generalizar a aritmética Em outras palavras na álgebra são testadas a veracidade e eficácia de todos os conceitos e as operações advindas da aritmética como adição subtração multiplicação divisão potenciação e radiciação para os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos Isto é caminhamos em busca de uma generalização matemática utilizando letras no lugar de números DEMANA et al 2009 Com isso é importante destacar que essa generalização permitiu a instituição de propriedades algébricas essenciais para nossos estudos matemáticos posteriores associatividade comutatividade existência de elemento neutro na adição e multiplicação existência de elemento simétrico e distributividade Vamos revisar rapidamente do que se trata cada uma dessas propriedades Para conhecer um pouco mais sobre a modelagem matemática com foco em procedimentos matemáticos básicos indicamos a leitura do livro Modelagem Matemática na Educação Básica A obra escrita por Lourdes Werle de Almeida Karina Pessoa da Silva e Rodolfo Eduardo Vertuan apresenta uma série de problemáticas oriundas de situações cotidianas que podem ser solucionadas por meio da matemática Vale a leitura Você quer ler Propriedade associativa no conjunto dos números reais a ordem em que os fatores estão agrupados em uma adição ou multiplicação não altera o resultado Ex ou Propriedade comutativa a ordem dos fatores não altera o resultado Ex ou Existência de elemento simétrico elemento cuja utilização resulta no elemento neutro da operação Ex ou 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 416 Essas cinco propriedades serão úteis quando formos explorar as operações com determinados tipos de funções como as que serão discutidas no item a seguir Tente se lembrar e acompanhe o contexto com atenção 112 Revisão de funções trigonométricas exponenciais e logarítmicas Antes de começarmos a discutir especificamente os tipos de funções cabe recordarmos a definição do termo função Stewart 2017a p 10 o define como uma lei que associa a cada elemento em um conjunto D exatamente um elemento chamado em um conjunto E Assim temos que os conjuntos D e E são respectivamente o domínio e o contradomínio da função Observe a figura a seguir para entender melhor Sempre que estamos solucionando uma equação de primeiro grau e precisamos isolar a incógnita em um dos lados da equação estamos aplicando a propriedade da existência do elemento simétrico No entanto apesar de nos referirmos à ela como propriedade da existência do elemento simétrico nos lados da equação também é conhecida como passa para lá Neste caso o 1 está negativo mas passa para lá positivo resultando em Você sabia Existência de elemento neutro elemento cuja utilização não altera o resultado da operação 1 para multiplicação e 0 para adição Ex ou Propriedade distributiva o fator multiplicativo deve incidir nos termos da adição Ex Na educação básica é comum que os professores associem a propriedade distributiva à uma técnica denominada chuveirinho Isso porque ao fazer com que o fator multiplicativo incida nos termos da adição traçase uma linha do primeiro ao segundo termo depois do primeiro até o terceiro Com esse desenho parece que o fator multiplicativo está molhando os outros termos com um chuveirinho Você sabia 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 516 PraCegoVer na figura temos um diagrama de flechas com dois conjuntos D e E No conjunto D domínio da função encontramos os elementos e ligados aos elementos e do conjunto E contradomínio Como já mencionado cada tipo de função possui características e propriedades próprias e consequentemente definições específicas A função exponencial por exemplo é definida da seguinte maneira por Demana et al 2009 é chamada de função exponencial quando com e Neste ponto vale lembrar conceitos importantes sobre potenciação de acordo com as ideias de Iezzi e Murakami 1993 para a expressão denominamos de base o número real expoente o número natural maior do que 1 e potência o resultado da operação Um exemplo de função exponencial é Aqui temos como expoente e variável independente enquanto é variável dependente Graficamente o comportamento dessa função é ilustrado na figura a seguir PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 2 a 2 e eixo das ordenadas indo de 1 a 3 Neste plano há uma curva exponencial representando o comportamento gráfico da função Figura 1 Diagrama de flechas da função Fonte Elaborada pelo autor 2020 Figura 2 Comportamento gráfico da função exponencial Fonte Elaborada pelo autor 2020 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 616 Além disso a função exponencial a depender do valor da base pode ser crescente ou decrescente conforme podemos observar na próxima figura PraCegoVer na figura temos a comparação entre os comportamentos gráficos de duas funções exponenciais distintas Em o comportamento é crescente já que a base 3 é maior do que 1 Já em o comportamento é decrescente uma vez que a base está entre 0 e 1 033 aproximadamente Ainda sobre as funções representadas na figura anterior vale destacar que a intersecção da curva exponencial com o eixo é no eixo das coordenadas 0 1 ao passo que a curva exponencial não intercepta o eixo em nenhum ponto já que ela é definida acima desse eixo A função logarítmica por sua vez é definida por Demana et al 2009 da seguinte maneira a função dada por com e é denominada de função logarítmica Um exemplo é Graficamente seu comportamento se dá por PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 2 a 2 e eixo das ordenadas indo de 1 a 3 Neste plano há uma curva logarítmica representando o comportamento gráfico da função Além disso analogamente à função exponencial a depender do valor da base a função logarítmica também pode ser crescente ou decrescente Vejamos a figura a seguir para compreender PraCegoVer na figura temos a comparação entre os comportamentos gráficos de duas funções logarítmicas distintas Em o comportamento é crescente já que a base 10 é maior que 1 Já em o comportamento é decrescente uma vez que a base está entre 0 e 1 01 especificamente Ainda sobre as funções representadas na figura anterior a intersecção da curva logarítmica com o eixo é no eixo das coordenadas 0 1 enquanto a curva logarítmica não intercepta o eixo em nenhum ponto já que ela é definida à direita deste eixo Por fim temos as chamadas funções trigonométricas que em síntese dividemse em três principais funções seno cosseno e tangente cada uma com suas definições e seus comportamentos gráficos Figura 3 Comportamento gráfico das funções exponenciais crescente e decrescente Fonte Elaborada pelo autor 2020 Figura 4 Comportamento gráfico da função logarítmica Fonte Elaborada pelo autor 2020 Figura 5 Comportamento gráfico das funções logarítmicas crescente e decrescente Fonte Elaborada pelo autor 2020 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 716 Conforme Iezzi e Murakami 1993 a função seno pode ser definida como dada por que associa a cada número real um único número também real Seu comportamento gráfico é ilustrado a seguir PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 1 a 1 Neste plano há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função Já a função cosseno pode ser definida como dada por que associa a cada número real um único número também real DEMANA et al 2009 Vejamos a figura na sequência PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 1 a 1 Neste plano há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função Por fim mas não menos relevante a função tangente é definida como com dada por que associa a cada número real um único número também real DEMANA et al 2009 O comportamento gráfico da função é ilustrado a seguir PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 2 a 3 Neste plano há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função Com relação aos fenômenos naturais a aplicação das funções trigonométricas assim como outras está relacionada aos comportamentos que chamamos de periódicos ou repetitivos Vai além de uma limitação falsa de que tais funções estão restritas a aplicações de fórmulas prontas e acabadas Figura 6 Comportamento gráfico da função seno Fonte Elaborada pelo autor 2020 Figura 7 Comportamento gráfico da função cosseno Fonte Elaborada pelo autor 2020 Figura 8 Comportamento gráfico da função tangente Fonte Elaborada pelo autor 2020 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 816 Revisados os tipos de funções e seus principais comportamentos gráficos agora temos condições de seguir com nossos estudos de cálculos diferencial e integral explorando inicialmente os limites de uma função Contudo antes disso vale revisarmos uma propriedade matemática de grande valia para quando formos estudar as técnicas de resolução de limites Tratase da radiciação que será revisada na sequência Confira 113 Revisão de radiciação Segundo Faccin 2015 a radiciação pode ser entendida como a operação inversa à potenciação Isto é enquanto esta diz respeito à uma multiplicação em que todos os fatores são iguais na radiciação temse como intuito descobrir quais são esses fatores dando o resultado da multiplicação Por exemplo dizemos que a raiz sexta de 729 é igual a 3 matematicamente é o equivalente a sendo 6 o índice 729 o radicando e o símbolo o radical Por se tratar de raiz sexta estamos deixando claro que procuramos um número o qual multiplicado por ele mesmo seis vezes tem como resultado o produto 729 Ao todo são cinco as principais propriedades da radiciação as quais conheceremos com o recurso a seguir Clique em cada um deles Revisadas as propriedades no próximo tópico iniciaremos nossas discussões sobre limites de uma função Primeira propriedade Segunda propriedade Terceira propriedade Quarta propriedade Quinta propriedade 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 916 12 Limite de função A Teoria dos Limites descreve matematicamente o comportamento de uma função conforme seu argumento se aproxima de um determinado valor assim como o comportamento de uma sequência de números reais à medida que o índice da sequência vai crescendo FACCIN 2015 p 17 O conceito de limite tem fundamental importância no contexto dos cálculos diferencial e integral uma vez que está ligado à uma série de saberes composta por álgebra funções continuidade derivadas e integrais Os três últimos conceitos os quais fazem parte do programa desta disciplina só poderão ser entendidos se antes for compreendida a Teoria dos Limites intuito deste tópico Vamos lá 121 Introdução ao conceito de limite e definições Antes de discutirmos formalmente a conceituação de limite devemos explorar sua noção intuitiva Para tanto iremos analisar o comportamento da função para valores de próximos a 2 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 0 a 4 e eixo das ordenadas indo de 0 a 5 Neste plano há uma parábola crescente com concavidade virada para cima representando o comportamento gráfico da função Além disso constam duas flechas vermelhas apontadas para o ponto 2 no eixo das abscissas representando os limites pela direita e pela esquerda Fazendo a representação tabular dessa função aproximandose do ponto 2 pela esquerda encontramos os seguintes dados PraCegoVer na tabela composta por duas colunas e oito linhas temos os valores crescentes de 1 a 1999 sendo aplicados na função Entretanto ao fazermos a representação tabular da mesma função aproximandose do ponto 2 pela direita encontramos que Figura 9 Representação gráfica da função quadrática Fonte Elaborada pelo autor 2020 Tabela 1 Valores da função próximos ao ponto 2 pela esquerda Fonte Elaborada pelo autor 2020 Tabela 2 Valores da função próximos ao ponto 2 pela direita Fonte Elaborada pelo autor 2020 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1016 PraCegoVer na tabela composta por duas colunas e oito linhas temos os valores decrescentes de 3 a 2001 sendo aplicados na função Atentese que ao aproximar o valor de ao ponto 2 temos que o valor de tende a um valor específico neste caso 4 Isso ocorre porque o limite da função quando tende a 2 é igual a 4 Dessa forma suponha que seja definido quando está próximo ao número Isso significa que é definido em algum intervalo aberto que contenha exceto possivelmente no próprio Então escrevemos e mencionamos que o limite de quando tende a é igual a isso se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de tão próximos de quanto quisermos ao tomar suficientemente próximo de pelos lados de mas não necessariamente igual a Além disso com relação aos limites laterais escrevemos e dizemos que o limite à esquerda de quando tende a é igual a se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de para suficientemente próximo de e menor do que THOMAS 2008 Por outro lado escrevemos e dizemos que o limite à direita de quando tende a é igual a se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de para suficientemente próximo de e maior do que THOMAS 2008 Vale ressaltar ainda que o existe se e somente se os limites laterais forem iguais São nove as principais propriedades de limites conforme apresentadas por Fernandes 2014 e dispostas nos itens a seguir Considerando as definições e propriedades apresentadas até aqui passemos agora a discutir algumas técnicas de resolução de limites Acompanhe se em que é um inteiro positivo e em que é um inteiro positivo em que é um inteiro positivo se for par supomos que em que é um inteiro positivo se for par supomos que 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1116 122 Técnicas de resolução de limites São diversas as técnicas possíveis para resolução de limites Para analisarmos o valor do limite caso exista devemos substituir o valor de na função Esse procedimento nos permite verificar o comportamento da função em torno do ponto No entanto em alguns casos quando substituímos o valor de na função podemos encontrar resultados como os elencados por Thomas 2008 Por exemplo peguemos Tratase de uma indeterminação do tipo mais comum quando aplicamos o limite direto Como no exemplo temos uma divisão de polinômios a primeira alternativa para superar a indeterminação é fatorar o numerador e o denominador em função de suas raízes Para determinar as raízes do polinômio de segundo grau certos procedimentos podem ser utilizados como a ideia de soma e produto a Fórmula de Bhaskara ou o BriotRuffini Para o exemplo indicamos usar soma e produto no numerador e Bhaskara no denominador Assim temos Realizando as simplificações possíveis temos que Agora tendo em vista que a indeterminação foi superada basta aplicar o limite Outra técnica de resolução de limites envolve a racionalização do numerador da função ou seja multiplicálo pelo inverso do numerador Por exemplo peguemos Agora aplicando o limite direto temos Divisão por zero Significa que a medida que se aproxima de à função tende ao infinito ou a menos infinito 1 Indetermina ções do tipo e Utilizamos métodos específicos para resolver este tipo de indetermin ação 2 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1216 Além dos exemplos apresentados que tendem a valores específicos existem limites que envolvem infinitos e funções contínuas conforme veremos no próximo item mais detalhadamente Confira o conteúdo 123 Limites envolvendo infinito e funções contínuas Por vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas Tais comportamentos são descritos por ou Nesse contexto a reta é chamada de assíntota vertical da curva se ao menos uma das seguintes condições estiver satisfeita conforme nos ensina Fernandes 2014 ou Além disso uma função é contínua em um número se Conhecendo a definição de limite assim como as principais técnicas de resolução e limites envolvendo continuidade e infinito iremos relacionarmos tais conceitos a processos naturais e fenômenos cotidianos Antes no entanto vamos colocar a teoria em prática com um problema O filme O Homem Que Viu O Infinito dirigido por Matt Brown aborda de maneira interessante a questão do infinito na matemática Em síntese tratase de uma história de amizade que transformou a disciplina de forma bastante efetiva O longa se passa no ano de 1913 quando um homem autodidata e gênio da matemática chamado Ramanujan viaja da Índia para o Colégio Trinity na Universidade de Cambridge onde se aproxima do seu mentor o excêntrico professor GH Hardy Com isso luta para mostrar ao mundo sua mente brilhante apesar de todos os desafios e preconceitos Vale assistir Você quer ver está definida está no domínio de existe 13 Natureza e processos naturais 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1316 Como já discutido no início da unidade a presença da matemática em diversas situações do cotidiano é uma unanimidade entre os teóricos das áreas exatas e aplicadas Bassanezi 2015 p 16 por exemplo menciona que A modelagem matemática apesar de parecer algo complexo e que envolve uma matemática mais sofisticada não necessariamente pode ser feita apenas no ambiente universitário São inúmeras as pesquisas que desenvolvem projetos de modelagem matemática com crianças da Educação Infantil por exemplo É possível estudar princípios básicos da área como a contagem a partir de fenômenos simples e corriqueiros na vida dos pequenos Tortola 2016 é um dos pesquisadores que desenvolveram atividades de modelagem matemática com crianças nos anos iniciais do Ensino Fundamental Entre as situações exploradas na pesquisa podemos citar o crescimento da unha que tem um comportamento linear crescente função afim Assim vamos estudar algumas aplicabilidades dos conceitos e das propriedades expostas anteriormente em situações cotidianas e fenômenos naturais Neste primeiro momento veremos a aplicabilidade de funções trigonométricas na determinação de custos máximos e mínimos Suponha que você trabalhe na área de planejamento de uma indústria de peças mecânicas Após estudos descobriu o custo unitário de uma dessas peças em reais que pode ser descrita de acordo com a lei com medido em horas de trabalho Partindo do pressuposto de que todas as ciências são ao mesmo tempo empíricas e teóricas saberes em que a busca da verdade deve ser impulsionada por indicações empíricas aliadas à atividade criadora a procura de leis formulação de problemas e ensaios de hipóteses a serem testadas e avaliadas para as quais a utilização da lógica e das ferramentas matemáticas é fundamental é fácil percebermos o potencial da aplicação da modelagem nos campos científicos com métodos e finalidades comuns Rodney Carlos Bassanezi é um matemático brasileiro e professor titular da Universidade Estadual de Campinas UNICAMP É uma importante referência na área de modelagem matemática e um dos pioneiros no estudo desta no Brasil Ele concluiu seu doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas em 1977 e deste então já publicou mais de 40 artigos em periódicos especializados e mais de 30 trabalhos em anais de eventos todos relacionando fenômenos da natureza à matemática Atualmente possui cinco livros publicados Você o conhece 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1416 A partir dessa função você deve determinar quais são os custos máximos e mínimos da produção dessa peça Para o custo máximo encontramos Inicialmente é preciso se atentar ao fato de que estamos trabalhando com uma função seno logo o custo máximo será quando ou seja quando Disso temos que Assim Para o custo mínimo temos Ele se dará quando ou seja quando Disso temos que Assim encontramos Outra aplicabilidade desse tipo de função pode ser evidenciada no cálculo da duração do dia Por exemplo após a observação da duração do dia em determinada cidade brasileira definiu se uma função que descreve seu período considerando a duração como a diferença de tempo entre o pôr do sol e o seu nascer A função é dada por em que é a quantidade de dias e é dado em horas Com base nessas informações vamos determinar a duração do dia 2502 Inicialmente temos que nos atentar ao fato de que o dia 2502 corresponde ao dia 56 do ano logo horas Isto é o dia 2502 tem aproximadamente 10 horas e 45 minutos A equipe que gerencia a praia de Porto de Galinhas em Recife Pernambuco fez o uso de funções trigonométricas para otimizar os horários de visitação dos turistas às piscinas naturais há alguns anos atrás Ao observar o movimento das marés os trabalhadores do local perceberam que apenas em alguns momentos do dia ela estava baixa o suficiente para que os turistas pudessem enxergar os peixes Assim para determinar o melhor horário para visita visando à observação dos animais a equipe determinou a seguinte função trigonométrica para dado em horas ALMEIDA SILVA VERTUAN 2012 A quantidade de usuários de internet no Brasil é uma situação que pode ser analisada a partir de alguns dos conceitos que vimos neste tópico Ao observar o fenômeno do aumento exponencial do número de usuários durante os últimos 10 anos Mendes e Almeida 2020 Caso 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1516 encontraram o modelo que descreve a quantidade de usuários de internet em função do ano sendo o número de usuários no Brasil em milhões e o tempo em anos Dentro desse contexto como poderíamos determinar a quantidade máxima de pessoas que terão acesso à internet no Brasil ao longo dos anos Pensando matematicamente na questão estamos querendo saber qual é o limite da função quando tende ao infinito Assim temos que Logo o máximo de brasileiros que terão acesso à internet ao longo dos anos será 230 milhões de acordo com o modelo de Mendes e Almeida 2020 Assim uma das aplicabilidades da Teoria dos Limites está relacionada a estudos prescritivos ou seja que visam prever o comportamento de fenômenos ao longo do tempo Isso é muito útil para atividades que envolvem a modelagem matemática Chegamos ao fim da primeira unidade da disciplina de Bases da Matemática para Ciências Aqui foi possível discutirmos mesmo que de maneira breve algumas aplicabilidades da matemática em situações que muitas vezes em um primeiro momento não envolviam necessariamente conteúdos matemáticos Isso nos mostra o quão importante é a matemática para a nossa vida e consequentemente para o desenvolvimento das demais ciências Nesta unidade você teve a oportunidade de Conclusão revisar tópicos de álgebra e estudar sobre as funções trigonométricas exponenciais e logarítmicas compreender as principais propriedades da radiciação entender o conceito de limite a partir da sua noção intuitiva conhecer as definições da Teoria dos Limites e algumas das principais técnicas de resolução de limites compreender determinadas propriedades de limites envolvendo infinito e funções contínuas associar funções em especial as revisadas e comportamento conforme processos naturais fenomenológicos e teorização matemática 08032022 1519 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1616 ALMEIDA L W de SILVA K P da VERTUAN R E Modelagem matemática na educação básica São Paulo Contexto 2012 BASSANEZI R C Modelagem matemática teoria e prática São Paulo Contexto 2015 DEMANA F D et al Précálculo São Paulo Pearson 2009 FACCIN G M Elementos de cálculo diferencial e integral São Paulo InterSaberes 2015 FERNANDES D B org Cálculo diferencial São Paulo Pearson 2014 IEZZI G MURAKAMI C Fundamentos de matemática elementar 1 conjuntos e funções 7 ed São Paulo Atual 1993 MENDES T F ALMEIDA L M W de Signos interpretantes em atividades de modelagem matemática REVEDUC Revista Eletrônica de Educação v 14 p 124 jandez 2020 Disponível em httpwwwreveducufscarbrindexphpreveducarticleview3504990 httpwwwreveducufscarbrindexphpreveducarticleview3504990 Acesso em 12 nov 2020 O HOMEM que viu o infinito Direção Matt Brown Reino Unido Diamond Films 2016 1 DVD 109 min son color STEWART J Cálculo volume 8 ed São Paulo Cengage Learning 2017a v 1 STEWART J Cálculo volume 8 ed São Paulo Cengage Learning 2017b v 2 THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1 TORTOLA E Configurações de modelagem matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental 2016 Tese Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina Londrina 2016 Disponível em httpwwwbibliotecadigitaluelbrdocumentcodevtls000209937 httpwwwbibliotecadigitaluelbrdocumentcodevtls000209937 Acesso em 12 nov 2020 Referências