Cálculo Aplicado: Trigonometria e Noções de Limites

11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 145 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL TRIGONOMETRIA E NOÇÕES TRIGONOMETRIA E NOÇÕES DE LIMITES DE LIMITES Autor Me Ivana Barreto Matos Revisor Rosalvo Mário Nunes Miranda INICIAR 11122023 1725 Eadbr Introduce Nesta unidade estudaremos importantes conceitos da trigonometria com énfase nas propriedades do triangulo retangulo ciclo trigonométrico e fungdes trigonométricas A trigonometria a area da Matematica que trata dos problemas envolvendo dngulos e medidas que podem ser aplicados na resolugdo de problemas relacionados a varias areas de conhecimento A construgdo de graficos definidos por varias sentencas proporciona o entendimento das nogées intuitivas de limites e continuidade de uma fungao em um dado ponto Esses conceitos sdo importantes para entendermos os operadores derivada e integral de fungdes que estudaremos em outras disciplinas Portanto convidolhe a obter novos conhecimentos matematicos para que seja capaz de solucionar problemas diversos do dia a dia httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 245 11122023 1725 Eadbr gonometria no DL we angulo Retangulo Mriangu O Kee OUTC eee ee ee ee ee eee ee eee Desde os tempos remotos a humanidade observava a posigdo dos astros celestiais e a relagdo entre eles foi de suma importancia para o estudo de desenvolvimento da astronomia Nesse sentido outros estudos foram necessarios para 0 desenvolvimento do setor da agricultura agrimensura e transporte com as navegacoes Para tanto foi de suma importancia o estudo da trigonometria cujo termo vem do grego trigonon que significa tridngulo e metron que significa medida Segundo Costa 1997 ha registros de que Hiparco de Nicéia 180125 aC astr6nomo grego que viveu no século 2 aC é considerado o pai da trigonometria Existem infinitas aplicagées da trigonometria desde determinagdo de distancias resolugdo de fungdes e problemas matematicos até o calculo de velocidades aceleragées entre outras grandezas vetoriais Triangulo Retangulo Segundo Demana et al 2013 os tridngulos sdo classificados em relagdo aos seus lados como equilateros comprimentos dos trés lados iguais isosceles Comprimento de dois lados iguais e escalenos comprimento dos trés lados diferentes Observe na Figura 11 0 tridngulo equilatero com os trés lados iguais cujos angulos também sdo iguais a 60 o triangulo isdsceles com dois lados iguais e por fim o tridngulo escaleno com os trés lados diferentes Quanto aos angulos os tridngulos podem ser classificados como acutangulo trés angulos internos menores que 90 angulos agudos obtusdngulo um angulo interno maior do que 90 angulo obtuso ou retangulo um angulo interno igual a 90 A Figura 11 mostra os trés tipos de triangulos evidenciando seus lados e angulos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 345 11122023 1725 Eadbr Equildtero Isésceles Escaleno Figura 11 Classificagdo de Triangulos quanto aos lados Fonte Elaborada pela autora Vale ressaltar que a soma dos angulos internos de um tridngulo qualquer é igual a 180 Daremos énfase ao estudo do tridngulo retangulo que possui um dngulo reto 90 entre dois de seus lados Verifique que qualquer um dos tridangulos equilatero isosceles ou escaleno pode ser dividido em tridngulos retangulos Dessa forma podemos simplificar a resolucgdo de uma infinidade de problemas Por sua vez a Figura 12 mostra um triangulo retangulo em que os pontos A B e C representam os vértices o lado maior é chamado de hipotenusa e os demais de cateto oposto CO angulo e o cateto adjacente CA angulo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 445 11122023 1725 Eadbr A A vr ao H hipotenusa H hipotenusa CA a CO p P 90 g 90 3 B C Oa CA p Figura 12 Tridngulos Retdngulo Fonte Elaborada pela autora Pitagoras viveu entre 570 aC e 495 aC na Grécia Antiga Ele foi um fildsofo e matematico grego que influenciou as cincias contempordaneas Para ele o que interessava eram os numeros sua relagdo com formas geométricas e padrées celestes Além disso ele acreditava que o proprio cosmos teria uma relagdo mais intima com numeros Para conhecer um pouco mais a respeito desse personagem histdrico acesse o link abaixo e leio texto Pitagoras de Alexsandra Oliveira Andrade Fonte Andrade 2019 online httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 545 11122023 1725 Eadbr e é Teorema de Pitagoras O teorema proposto por Pitagoras 570 495 aC relaciona a medida dos diferentes lados de um tridngulo retangulo Esse teorema afirma que A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa Considere o tridngulo da Figura 13 em que temos 0 cateto oposto e o cateto adjacente ao angulo alfa Portanto pelo teorema de Pitagoras H CAa COa De forma geométrica possivel provar o teorema de Pitagoras como mostra a Figura 14 A medida do lado AC ao quadrado representa a area do quadrado definido pelo lado AC Seguindo 0 mesmo raciocinio para os outros lados verificase que a area do quadrado definido por AC é igual a soma das areas dos quadrados definidos por AC e BC Figura 13 Tridngulo Retangulo Fonte Elaborada pela autora httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 645 11122023 1725 Eadbr Ay Js Figura 14 Teorema de Pitdgoras Fonte Elaborada pela autora Na pratica o teorema de Pitagoras é utilizado para resolver problemas simples encontrados no nosso dia a dia Por exemplo um pedreiro utiliza o teorema de Pitagoras para fazer marcagao de paredes que fazem um angulo reto 90 entre elas Na linguagem dos pedreiros isso chamado de deixar no esquadro Verifique a marcacdo dos pilares numa construdo na Figura 15 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 745 11122023 1725 Eadbr Poa P 1 A Figura 15 Teorema Pitdgoras Fonte Elaborada pela autora Para a 30cm b 40 cm c 50cm temos por Pitagoras que 30 407 507 e 6 e eA aA Relacoes Trigonometricas no Triangulo Retangulo Outras relagées do triangulo retangulo que envolve medidas dos seus lados e angulos internos possibilita a resolugdo de uma infinidade de problemas aplicados em varias areas de conhecimento Considere a Figura 16 e verifique as relagdes no Quadro 11 definindo o seno cosseno tangente cotangente secante e cossecante do angulo alfa httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 845 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 945 Figura 16 Triângulo Retângulo Fonte Elaborada pela autora Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Seno e Cosseno Tangente e Cotangente Secante e Cossecante senα COα H tgα senα cosα COα CAα secα 1 cosα H CAα cosα CAα H cotgα 1 tgα CAα COα cossecα 1 senα H COα Quadro 11 Relações Trigonométricas Fonte Elaborado pela autora Além das relações trigonométricas apresentadas há a equação fundamental trigonométrica em que sen2x cos2x 1 Outras equações trigonométricas muito utilizadas na resolução de problemas são apresentadas no Quadro 12 11122023 1725 Eadbr senx cosx 1 2 2 2 2 secx 1 tgx cossecx 1 cotgx x x 2 1 cos2x 1 cosx 2 sen5 1 cosx 2cos5 sen x 2 1 cos 2x 2 Se 1 21g x cosx ry 6b ce 2 2x cos x 11gx sen 2x 11gx 1 1975 1g5 2g 5 cosx sen x senx 11g5 11g75 11g75 sen2x 2senx cosx cos2x cosx senxcosx 1 cosmx cosnx 5cosm nx cosm nx 1 senmx cosnx ssenm nx senm nx 1 senmx sennx 5cosm nx cosm nx Quadro 12 Equagdes Trigonométricas Fonte Elaborado pela autora é e Os Arcos Notaveis E possivel determinar facilmente as relacées trigonométricas do tridngulo retangulo para os angulos do primeiro quadrante 30 45 e 60 Com ajuda dos tridngulos apresentados a seguir verifique os dados obtidos na tabela com indicagdes dos valores de seno cosseno e tangente dos dngulos desses angulos notaveis httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1045 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1145 Figura 17 Triângulos Retângulos Fonte Elaborada pela autora A seguir apresentamos a tabela com as razões trigonométricas 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1245 Ângulo Seno Coseno Tangente Ângulo Seno Coseno Tangente 0 0000 1000 0000 46 0719 0695 1036 1 0017 1000 0017 47 0731 0682 1072 2 0035 0999 0035 48 0743 0669 1111 3 0052 0999 0052 49 0755 0656 1150 4 0070 0998 0070 50 0766 0643 1192 5 0087 0996 0087 51 0777 0629 1235 6 0105 0995 0105 52 0788 0616 1280 7 0122 0993 0123 53 0799 0602 1327 8 0139 0990 0141 54 0809 0588 1376 9 0156 0988 0158 55 0819 0574 1428 10 0174 0985 0176 56 0829 0559 1483 11 0191 0982 0194 57 0839 0545 1540 12 0208 0978 0213 58 0848 0530 1600 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1345 13 0225 0974 0231 59 0857 0515 1664 14 0242 0970 0249 60 0866 0500 1732 15 0259 0966 0268 61 0875 0485 1804 16 0276 0961 0287 62 0883 0469 1881 17 0292 0956 0306 63 0891 0454 1963 18 0309 0951 0325 64 0899 0438 2050 19 0326 0946 0344 65 0906 0423 2145 20 0342 0940 0364 66 0914 0407 2246 21 0358 0934 0384 67 0921 0391 2356 22 0375 0927 0404 68 0927 0375 2475 23 0391 0921 0424 69 0934 0358 2605 24 0407 0914 0445 70 0940 0342 2747 25 0423 0906 0466 71 0946 0326 2904 26 0438 0899 0488 72 0951 0309 3078 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1445 27 0454 0891 0510 73 0956 0292 3271 28 0469 0883 0532 74 0961 0276 3487 29 0485 0875 0554 75 0966 0259 3732 30 0500 0866 0577 76 0970 0242 4011 31 0515 0857 0601 77 0974 0225 4331 32 0530 0848 0625 78 0978 0208 4705 33 0545 0839 0649 79 0982 0191 5145 34 0559 0829 0675 80 0985 0174 5671 35 0574 0819 0700 81 0988 0156 6314 36 0588 0809 0727 82 0990 0139 7115 37 0602 0799 0754 83 0993 0122 8144 38 0616 0788 0781 84 0995 0105 9514 39 0629 0777 0810 85 0996 0087 11430 40 0643 0766 0839 86 0998 0070 14301 11122023 1725 Eadbr 41 0656 0755 0869 87 0999 0052 19081 42 0669 0743 0900 88 0999 0035 28636 43 0682 0731 0933 89 1000 0017 57290 44 0695 0719 0966 90 1000 0000 ndo existe 45 0707 0707 1000 Tabela 11 Tabela Trigonométrica Fonte Elaborada pela autora Utilizando os tridngulos verifique os dados obtidos na tabela com indicacées dos valores de seno cosseno e tangente dos dngulos desses angulos notaveis O observador da figura a seguir tem 150 m de altura e vé 0 topo da torre segundo um dngulo de 60 com a horizontal Ao se afastar da torre a distancia de 6V3 m a contar de onde ele estava e ao longo da semirreta horizontal definida na figura ele passa a ver 0 mesmo ponto por um angulo de 60 agora com a vertical SANTOS A J de A 1000 Testes de Matematica 5 ed Salvador Colégio Anchieta 2005 v 3 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1545 11122023 1725 Eadbr re 5 CI NaOH ANA i I i A e a aa Bt Fonte Elaborada pela autora Observando as informacées e a Figura 18 assinale a alternativa correta que corresponde a altura da torre Oa8m Ob6m Oc9m Od105m Oe12m Na figura a seguir a reta representa a trajetoria de um avido que voa a 600 kmh Um observador parado no ponto P da superficie da Terra num dado instante vé 0 avido no ponto T segundo um angulo de alfa igual a 30 graus Um minuto depois esse observador vé 0 mesmo avido no ponto 7 segundo outro angulo theta igual a 45 graus Considere httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1645 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1745 SANTOS A J de A 1000 Testes de Matemática 5 ed Salvador Colégio Anchieta 2005 v 3 Assinale a alternativa que corresponde corretamente à altura da trajetória do avião em relação a Terra a 53 3 km b 10 3 km c 5 3 3 km d 10 3 3 km e 10 3 3 km Fonte Elaborada pela autora 11122023 1725 Eadbr Ciclo e Funcoes 2 eS 0 Fs Jy Fonometricas irigonometricas eee ee ee ee ee eee ee eee Nesta segdo vocé vai conhecer uma importante ferramenta que o auxiliara para determinagao das razdes trigonoméetricas o ciclo trigonométrico Para aprender trigonometria necessario ter dominio do ciclo trigonométrico em que sera possivel estabelecer relacgdes entre arcos angulos distancias radianos e respectivas fungées trigonométricas seno cosseno e tangente que pode facilitar a resolver diversos problemas e situagdes que envolvam a trigonometria AcCompanhe o passo a passo O Ciclo Trigonométrico O ciclo trigonométrico consiste no tragado de um ciclo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano O eixo horizontal das abscissas fornece a medida do cosseno de um angulo formado a partir do ponto 1 0 no sentido antihorario Ja o eixo vertical das ordenadas fornece a medida do seno do mesmo dngulo indicado DEMANA et al 2013 A Figura 18 mostra um ciclo trigonométrico em que possivel verificar a leitura do cosseno de um angulo através da projegdo ortogonal do dangulo no eixo das abcissas e do seno de um angulo por meio da projegdo ortogonal no eixo das ordenadas Observe que no ciclo ha a representagdo dos angulos variando de 0 até 360 ou em radianos que varia de 0 até 2m O radiano 1 rad é definido como a medida do angulo central cujo arco correspondente representa o mesmo comprimento C do raio R da circunferéncia Figura 18 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1845 11122023 1725 Eadbr sina TU seno 2 ny 3 OL TT f JZ c m Lx ZL cosseno FD Figura 18 Ciclos Trigonométricos Fonte Elaborada pela autora Com a observagdo do ciclo trigonométrico possivel determinarmos o sinal do cosseno seno e tangente de dangulos localizados nos 4 quadrantes Confira vocé mesmo analisando a Figura 19 Verifique que a leitura da tangente é realizada ao prolongar o angulo até a reta vertical httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 1945 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2045 Para converter radianos para ângulos em graus podemos usar uma regra de três simples uma vez que 1 radiano equivale aproximadamente 5730 graus como a Figura 18 mostrou anteriormente Por exemplo para saber quantos radianos equivale o ângulo de 30 graus efetuar a regra de três 180 π 30 x x 30 π 180 π 6rad Por meio do ciclo trigonométrico é possível determinar as razões trigonométricas para os ângulos principais conforme a Tabela 12 Figura 19 Determinação de seno cosseno e tangente Fonte Elaborada pela autora 11122023 1725 Eadbr 0 90 180 270 360 Angulo a 0 3 2 1 21 2 Seno 0 1 0 1 0 Coseno 1 0 1 0 1 Tangente 0 0 0 Cotangente 1 0 0 Secante 1 1 1 Cosecante 1 1 Tabela 12 RazOes Trigonométricas de angulos principais Fonte Elaborada pela autora Observe que nao é possivel determinar as tangentes para os angulos de 90 e 270 Nesse caso a reta determinada por esses angulos fica paralela a reta para leitura da tangente e portanto ao efetuar o prolongamento as retas ndo se encontram Consequentemente para alguns dngulos também ndo possivel determinar a cotangente secante e cossecante Com base no ciclo trigonométrico da Figura 14 observe os sinais das razdes trigonométricas em alguns angulos conforme apresentados na Tabela 13 Basta localizar os dngulos nos quadrantes do ciclo trigonométricos e verificar o sinal correto na marcacgao em vermelho na tabela httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2145 11122023 1725 Eadbr Angulo Seno Cosseno Tangente Cossecante Secante Cotangente 120 7m rad 45 260 Tabela 13 Tabela Trigonométrica Fonte Elaborada pela autora Para a determinacgao dos valores das fungédes trigonométricas de um determinado angulo que se encontra no 2 3 e 4 quadrantes basta seguirmos os seguintes passos 1 Verificar o sinal da fungdo trigonométrica no quadrante em que se encontra o angulo seja essa fungdo oO seno cosseno tangente cotangente secante ou cossecante 2 Fazer a reducdo para o primeiro quadrante e considerar o valor absoluto da fungdo Vamos fazer a reducdo do 1 quadrante do angulo equivalente a 120 que se encontra no 2 quadrante Avaliando o sinal do seno e do cosseno neste quadrante percebemos que 0 Seno positivo enquanto 0 cosseno é negativo observe a Figura 110 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2245 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2345 Figura 110 Redução ao primeiro quadrante Fonte Elaborada pela autora Como π 2π 3 π 2 tomamos o intervalo superior para aplicar a redução logo π 2π 3 π 3 Portanto sen 2π 3 sen π 3 3 2 cos 2π 3 cos π 3 1 2 tg 2π 3 sen 2π 3 cos 2π 3 3 sec 2π 3 1 cos 2π 3 2 cotg 2π 3 1 tg 2π 3 1 3 cossec 2π 3 1 sen 2π 3 2 3 Quadro 13 Cálculo funções trigonométricas num ponto Fonte Elaborado pela autora A relação fundamental da trigonometria sen2x cos2x 1 resulta do teorema de Pitágoras Figura 111 11122023 1725 Eadbr COSSENO tangente 60 ra ise nN Wa 4 aN ZA ms Seno Cosseno Tangente Figura 111 Determinacdo seno cosseno e tangente Fonte Elaborada pela autora Dividindo a expressdo por senx obtemos 1 cotgx cossecx Dividindo a expressdo por cosx obtemos tgx 1 secx Analisando os tridngulos retangulos apresentados a seguir verificamos os resultados de cada valor trigonométrico que foi apresentado na Figura 111 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2445 11122023 1725 Eadbr Ss a 3 Y 4 Nf 2 G Angulo oa B a B Seno 2 2 te Cosseno a S 4 Tangente 4 4 25 s Cossecante 2 3 3 eve Secante i 4 ee 5 Cotangente 4 j iE ae Quadro 14 Relacdes Trigonométricas Fonte Elaborado pela autora e 6 e Funcoes Trigonometricas Até aqui ao estudarmos a trigonometria envolvemos algumas fungées trigonométricas e suas cCaracteristicas Neste tdpico abordaremos com detalhamento o estudo de tais funcgoes inclusive utilizando a andlise grafica A seguir verifique a construcdo grafica de varias funcgdes trigonométricas assim como algumas informagées importantes httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2545 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2645 Funções Trigonométricas Inversas Nesta seção estudaremos as funções trigonométricas inversas arco seno arco cosseno arco tangente arco cotangente arco secante e arco cossecante Segundo Demana et al 2013 essas funções trigonométricas não são injetoras portanto não admitem a existência de função inversa Entretanto é possível restringir o seu domínio de forma que sejam inversíveis A seguir apresentaremos cada uma dessas funções com seus domínios e imagem adequados convenientemente de forma a garantir a existência da função inversa Como exemplo em relação à função arco seno perguntase qual é o arco ângulo cujo seno é igual a 1 Resposta 90 graus Portanto para as funções inversas seu domínio passa a ser a imagem da função a ser invertida e sua imagem é o domínio da função original domínio valores que a abscissa x pode assumir tal que a imagem y seja um valor real 11122023 1725 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2745 Quadro 111 Função Arco Seno Fonte Elaborado pela autora Quadro 112 Função Arco Cosseno Fonte Elaborado pela autora 11122023 1725 Eadbr Quadro 113 Fundo Arco Tangente Fonte Elaborado pela autora Portanto para as fungdes inversas seu dominio passa a ser a imagem da funcdo a ser invertida e sua imagem é 0 dominio da fungao original A figura a seguir apresenta um gancho fixado na parede em que duas forcas estado atuando através de dois cabos Determine as projecdes das forcas representadas pelos dois vetores nas diregdes horizontais e verticais Os valores das forcgas e angulos estdo sinalizados na figura httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2845 11122023 1725 Eadbr 30 é f 200N 40 a 500N Fonte Adaptada de Hibbeler 2009 Em relacdo aos resultados obtidos assinale a alternativa correta O aA forga de 500N projetada na horizontal é igual a 470N e a forca de 200N projetada na vertical é igual a 150N O b A forcga de 200N projetada na vertical é igual a 100 Ne a forca de S500N projetada na vertical é igual a 171N O cA forga de 500N projetada na horizontal é igual a 470 Ne a forga de 200N projetada na horizontal é igual a 100 3 O dA forca de 200N projetada na horizontal é igual a 100 3Ne a forga de 500N projetada na vertical é igual a 470N O eA forga de 200N projetada na vertical é igual a 100 Ne a forca de 500N projetada na horizontal é igual a 250N No ciclo trigonométrico da figura a seguir identifique o angulo correspondente situado no primeiro quadrante Apds a redugdo ao primeiro quadrante determine 0 seno desse angulo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 2945 11122023 1726 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3045 Assinale a alternativa correspondente ao seno desse ângulo a 1 2 b 1 2 c 3 2 d 3 2 e 2 2 Fonte Elaborada pela autora 11122023 1726 Eadbr Funcoes Definidas em Varias Sentencas e Nocao Intuitiva de Limites ee eee eee ee ee ee ee eee Nesta secdo mostraremos como construir graficos definidos por varias sentengas Dessa forma obtemos excelente ferramenta para trabalharmos o conceito de limites através de uma noao intuitiva A partir disso teremos condig6es de estudar a continuidade de uma fungdo Funcoes Definidas em Varias Sentencas Uma fungdo fx é definida em varias sentengas como o exemplo a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3145 11122023 1726 Eadbr A fungao fx é definida pelas seguintes y sentencas 2 e se x 2 Ld 43 2A 1 2 3 4 5 x1 se 2x2 1 rt x se 1x2 ay 3 x2 se x2 Vl Figura 112 Grdfico fundo definida em varias sentencas Fonte Elaborada pela autora Verifique que o grafico da Figura 112 é representado por partes de varios graficos de funcgdes elementares Nesse sentido é importante a marcacao dos pontos ao final dos intervalos que quando fechado é representado por o ciclo cheio e quando o intervalo é aberto o ciclo fica vazado Nesse exemplo em especial temos uma funcdo exponencial na primeira sentenga depois uma parabola com concavidade para baixo uma reta representada pela primeira bissetriz e por fim a fungdo de uma raiz quadrada Para realizar a construcdo grafica necessario que vocé revise a construcao grafica de cada um dos graficos elementares e sua movimentacdo grafica Para determinar o dominio de tais fungdes ou mesmo se um dado grafico representa uma fungdo é necessario observar relacdes entre as variaveis x e y Verifique nos exemplos a seguir alguns comentarios para elucidar o conceito de dominio e imagem de funcgées definidas por varias sentengas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3245 11122023 1726 Eadbr a a b ay VV TY LIN teas Tras NY oe 4 E grafico de funao Néo é grafico de funao pois o elemento 15 DominioR 0 possui duas imagens qd 4 37 a 7 4 4 3 2 7 1 z 3 4 Nao é grafico de funcao pois o E grafico de funcao elemento 3 possui duas imagens Dominio 3 1 U 0 3 Figura 113 Dominio fungdo em varias sentencas Fonte Elaborada pela autora e e e e Nocoes Intuitivas de Limite Analise a figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3345 11122023 1726 Eadbr AT I l l I l I I I l I l l I Figura 114 Nogdées de Limites Fonte Elaborada pela autora x4 x2 x2 ce Dada a funcao racional fx 5 x 2 verificase que o grafico da Figura 114 dessa fungdo é uma reta porém o dominio da fungdo é R 2 Apos analisar 0 grafico o que acontece com o valor da fungdo fx quando x se aproxima de 2 Reflita httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3445 11122023 1726 Eadbr O grafico ao se aproximar de 2 pela esquerda x 2 lemos x tende a 2 pela esquerda e ao se aproximar de 2 pela direita x 2 lemos x tende a 2 pela direita em ambos os casos verificase que o valor da fungdo se aproxima de 4 Portanto definimos que os limites laterais da fungdo quando x tende a 2 pela esquerda e pela direita sdo iguais a 4 portanto podemos afirmar que o limite da fx quando x tende a 2 existe e é igual a 4 Em notagdo matematica temos lim fx lim 5 4 lim flv 4 e e e e Limite e Continuidade Definigao considere uma fungdo fD c R R definida em um intervalo aberto D e x pertencente a D Consideramos que ela continua em x se satisfaz as seguintes condicoes i lim fe L existe Ou seja lim A lim Ax L ii lim fl flxo Agora leia as duas observacodes a seguir e analise cada grafico apresentado na Figura 115 sobre a existéncia de limites num dado ponto 1 Para que o limite de uma fungdo exista num ponto basta que os limites laterais existam quando for possivel determinalos e sejam iguais Nao necessario que a fungdo seja definida nesse ponto 2 Uma fungdao pode ter limite num ponto e nado ser continua Isso acontece quando os limites laterais sao iguais mas o valor da funcdo no ponto é diferente do valor do limite httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3545 11122023 1726 Eadbr aay 3 3 o 2 oq 2 1 1 2 1 2 2 1 lim f00 3 lim f00 2 lim f0 2 lim fo 1 Existe limite da funcdo nesse ponto Nao Existe limite da funcao nesse ponto Nao Por qué Limites laterais diferentes Por qué Limites laterais diferentes 3 e 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 a limflx 2 lim fox 2 limfo2 lim fo 2 Existe limite da funcdo nesse ponto Sim Existe limite da funcdo nesse ponto Sim Por qué Limites laterais iguais Por qué Limites laterais iguais Figura 115 Nogdo intuitiva de limite Fonte Elaborada pela autora Por meio da analise dos graficos da Figura 116 vocé pode verificar que o limite pode existir e o seu valor ser diferente do valor da fungdo no ponto Nesse caso dizemos que a funcgdo nado é continua nesse ponto httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3645 11122023 1726 Eadbr A fungao fx é definida através das seguintes sentencas 5 x1sex2 at 2 sex 2 x9 sex A fungao é continua em x 2 Nao lim fx5 lim fox 5 Por qué O valor do limite da funcdo Xo x2 nesse ponto difere do valor da fungao Ou seja Existe limite da fungao nesse ponto Sim lim foo 5 f2 2 Por qué Limites laterais iguais x2 Considere a funcgao fx x D f R ver grafico ao lado Nesse caso nada podemos afirmar sobre 0 limite lateral a esquerda pois os valores de x a esquerda do zero nao pertencem ao dominio da fungao Portanto lim vx limyx 0 x0 x0 Figura 116 Limite e Continuidade Fonte Elaborada pela autora Fisicamente podemos mostrar que as descontinuidades estao associadas a muitos processos e fendmenos que ocorrem na pratica Elas indicam a ocorréncia de importantes fendmenos fisicos Nesse sentido observe a figura a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3745 11122023 1726 Eadbr V Voltagem 1 1 t Corte na linha Figura 117 Aplicagdo Continuidade Fonte Anton 2014 p 111 Observe que houve queda de voltagem para zero de maneira repentina Nesse caso por exemplo podemos ter uma conexdo mal feita induzindo a uma descontinuidade na transmissdo de um sinal elétrico E de suma importancia dominar a existéncia de limites através da andlise dos limites laterais relativo a um ponto é possivel determinar se uma funcdo é continua nesse ponto Nesse contexto considere uma fungao f D IR e x um ponto interior desse intervalo e avalie as afirmativas a seguir sinalizando V para as afirmativas verdadeiras ou F para as afirmativas falsas Para uma fungao ter limite num ponto x importante que ela esteja definida nesse ponto httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3845 11122023 1726 Eadbr Il Uma fungao pode ter limite num ponto x e ndo ser continua nesse ponto Ill Para uma fungdo ser continua em x necessario que Os limites laterais sejam iguais IV Quando os limites laterais sdo iguais no ponto x a fungdo é continua nesse ponto V Pode existir uma fungao continua em x que ndo tenha limites laterais iguais Assinale a alternativa que apresenta a sequéncia correta O aF V V F F O b F V V F V OcVVVV F O dF F F F V OeVFVF V 4 As coordenadas polares facilitam o calculo de integrais duplas quando é complicado escrever a regido na qual a fungdo esta definida em coordenadas retangulares Utilizando as coordenadas polares encontramos que 0 volume do solido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z1xy éiguala O a12Tt 16 O b x 3 O c 8Tt Od 232 Oe e 5h httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 3945 11122023 1726 Eadbr Por meio da analise grafica complete a tabela a seguir em relagdo ao limite nos pontos solicitados y 2 J I Xx 4 3 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 1 1 1 A fung é contin lim yfx lim fx lim oflx em Justifiq lim 1fx lim fx lim fx A fung é contin em httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4045 11122023 1726 Eadbr Justifiq A fung é contin lim fx lim fx lim ofx em Justifiq K 2 SU f2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4145 11122023 1726 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4245 indicações Material Complementar LIVRO O Livro dos Números uma história ilustrada da Matemática Editora Zahar Ano 1972 Autor Peter Bentley ISBN 9788537801345 Comentário esse livro reporta um resumo de muitas descobertas matemáticas aplicadas a várias áreas de conhecimento através de uma história ilustrada Você entenderá como surgiram os números e base do logaritmo neperiano π pi o número áureo φ além de outras curiosidades como a sequência de Fibonacci 11122023 1726 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4345 FILME Donald no país da Matemágica Ano 1959 EUA Comentário esse vídeo mostra de forma lúdica como a matemática está presente na nossa vida Referese ao retângulo de ouro à sequência de Fibonacci aos ângulos e de como a geometria está presente na arquitetura na arte nos jogos e em várias áreas de conhecimento TRAILER 11122023 1726 Eadbr Nesta unidade vocé estudou importantes conceitos relacionados a trigonometria construdo grafica nocgdes de limites e continuidade de uma fungdo num ponto Dentre os conceitos da trigonometria inicialmente destacamos o estudo do tridngulo retangulo mostrando aplicagées na resolugdo de situagdes problemas relacionados a algumas areas de conhecimento Em seguida apresentamos 0 estudo do ciclo trigonométrico que facilita a leitura das relagdes trigonométricas como seno cosseno e tangente dentre outras Além disso estudamos as caracteristicas das fungdes trigonomeétricas como dominio imagem periodo paridade e construcdo grafica Finalmente por meio da construgdo grafica de fungdes definidas por varias sentengas foi possivel entender o conceito de limite e continuidade de uma fungdo num ponto dado eee ANDRADE A O Pitagoras Disponivel em httpwww2uesbbrcursosmatematicamatematicavcawpcontentuploadscc4pdf Acesso em 27 nov 2019 ANTON H Calculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 ISBN 9788582602263 COSTA N M L da A Historia da Trigonometria Disponivel em httpwwwufrgsbrespmatdisciplinasgeotrimodulo3mod3pdfhistoriatriogonopdf Acesso em 27 nov 2019 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4445 11122023 1726 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade1ebookindexhtml 4545 DEMANA F D et al PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 HIBBELER R C Resistência dos Materiais Local São Paulo Pearson 2009 SANTOS A J de A 1000 Testes de Matemática 5 ed Salvador Colégio Anchieta 2005 v 3