Técnicas do Cálculo Diferencial e Integral

1 BASES DA MATEMÁTICA PARA CIÊNCIAS UNIDADE 4 TÉCNICAS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Autoria Thiago Fernando Mendes Revisão técnica Sheila Motta Steffen do Nascimento 2 Introdução É comum que docentes e discentes de diferentes países tenham dificuldades relacionadas ao processo de ensino e aprendizagem de conceitos do cálculo integral em especial nos cursos universitários É por isso que pesquisas principalmente aquelas voltadas à educação matemática têm se dedicado a apresentar sugestões para solucionar ou minimizar o problema Nesse sentido a aplicação de técnicas de integração como integrais por partes e substituições diversas além do uso de fórmulas clássicas como as da recursividade são meios de facilitar ou potencializar o processo de aprendizagem de conteúdos relacionados ao cálculo Com a ajuda dessas ferramentas de ensino os estudantes podem por exemplo entender erros de interpretação construir conceitos de modo mais consistente e obter uma aprendizagem autônoma Contudo você conhece de fato as principais técnicas de integração Consegue imaginar como essas técnicas podem facilitar os cálculos Sabe quando devemos utilizar cada uma das técnicas São essas questões que buscaremos responder ao longo desta última unidade Em síntese nossos objetivos de aprendizagem serão resolver integrais envolvendo raiz logaritmos e funções exponenciais resolver integrais que envolvem funções trigonométricas assim como conhecer as integrais por partes as substituições diversas a fórmula de recursividade e a tábua de integrais Bons estudos 41 Integrais exponenciais e logarítmicas Com relação às seja uma função diferenciável de Temos que a regra de exponencial integrais exponenciais simples é dada por Análoga à ela conforme nos explica Thomas 2008 temos a regra exponencial geral Já estudamos anteriormente as regras de diferenciações mas neste momento cabe ressaltar que cada uma delas quando referentes às funções exponenciais trazem sua própria regra de integração correspondente Vejamos alguns exemplos com base nas ideias de Faccin 2015 Fernandes 2014 e Thomas 2008 Regra do múltiplo constante Regra da integração por partes Regra da soma Façamos juntos um exemplo calculando a seguinte integral indefinida Inicialmente consideraremos logo temos que Nesse caso o fator ausente 3 pode ser introduzido no integrado mediante a multiplicação e divisão por três 3 Já com relação às Thomas 2008 nos ensina que seja uma função integrais de funções logarítmicas diferenciável de Temos que a regra logarítmica simples é dada por Análoga à ela temos a regra logarítmica Assim como a integral exponencial cada uma das regras de diferenciação de funções logarítmicas também tem sua regra de integração correspondente Regra do múltiplo constante Regra da integração por partes Regra logarítmica geral Para exemplificar vamos calcular a seguinte integral indefinida Fazendo temos Aqui devemos introduzir o fator necessário 2 no integrando multiplicando e dividindo por dois Assim temos Você quer ver A obra produzida por Jos Leys Étienne Ghys e Chaos Uma Aventura Matemática Aurélien Alvarez é composta por nove capítulos de 13 minutos cada Ela aborda sistemas dinâmicos efeito borboleta e Teoria do Caos Cada assunto está diretamente relacionado aos conceitos de cálculo integral especialmente quanto às integrais exponenciais logarítmicas e trigonométricas Se você gosta dessas temáticas assista ao filme e preste atenção aos detalhes Clique no link a seguir e descubra cada capítulo Acesse 4 Ainda sobre as integrais logarítmicas conforme destacam Gonçalves e Flemming 2006 p 47 elas costumam ser dadas em forma disfarçada Por exemplo se uma função racional tem o numerador de grau não inferior ao do denominador devemos primeiro efetuar a divisão obtendo uma parte inteira e outra fracionária Entendido a respeito desse assunto estudaremos a respeito das integrais trigonométricas no próximo tópico Acompanhe o que preparamos 42 Integrais trigonométricas Antes de abordarmos especificamente as integrais trigonométricas é importante mesmo que rapidamente entendermos as principais propriedades trigonométricas Inicialmente vale destacar que as funções trigonométricas em síntese possuem comportamento periódico ou seja cíclico Precisamos lembrar que a pode ser definida como dada por que função seno associa a cada número real um único número também real IEZZI MURAKAMI 1993 O comportamento gráfico dessa função é ilustrado a seguir Figura 1 Comportamento gráfico da função trigonométrica Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas Você quer ler Nesta unidade nosso foco está nas técnicas de integração mas caso você tenha interesse em conhecer como surgiram essas técnicas e de que modo foram desenvolvidas indicamos a leitura do livro Demonstrações de Integrais Indefinidas em que o autor Paulo Márcio Farias Coelho fazendo uso de uma linguagem bastante simples cria um ambiente para estudantes que realmente gostariam de aprender e dominar as técnicas utilizadas para cálculo de integrais Vale ler 5 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 1 a 1 Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função A por sua vez é definida como dada por que de forma análoga à função função cosseno seno associa a cada número real um único número também real DEMANA 2008 O et al comportamento gráfico pode ser observado na sequência Figura 2 Comportamento gráfico da função trigonométrica Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 1 a 1 Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função Por fim a é definida como com com dada por que associa a função tangente cada número real um único número também real DEMANA 2008 Vejamos o comportamento et al gráfico a seguir Figura 3 Comportamento gráfico da função trigonométrica Fonte Elaborada pelo autor 2020 6 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas indo de 2 a 3 Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função Nesse sentido Fernandes 2014 elenca algumas propriedades a serem consideradas Vamos conhecer cada uma delas Partindo dessas propriedades ou identidades temos as seguintes integrais trigonométricas Vejamos na sequência um caso para compreender mais detalhadamente a respeito da temática Assim você poderá aprofundar seus conhecimentos Confira Caso Há na matemática alguns modelos clássicos como os mesoscópicos De acordo com Bassanezi 2002 se examinarmos mais atentamente o crescimento de certas populações ou até mesmo de um indivíduo verificamos que podem existir comportamentos diferentes em relação ao tamanho limite préestimado Ao analisar o crescimento populacional das abelhas em certa região brasileira uma equipe de pesquisadores determinou que tal crescimento se dava à uma velocidade que pode ser descrita pela função Com a função os pesquisadores determinaram a quantidade de abelhas existentes na região a partir da primitiva de Para tanto bastou calcular 7 Existem outras propriedades que envolvem as relações trigonométricas e funções exponenciais mas nós a conheceremos quando formos tratar das fórmulas de recorrências que será muito em breve No momento passaremos ao estudo das técnicas de integração conforme conteúdo disposto a seguir 43 Técnicas de integração Como já tratamos em tópicos anteriores as técnicas matemáticas nos permitem realizar os cálculos de forma rápida e prática de modo que os erros sejam minimizados No caso das integrais também temos uma série de técnicas que facilitam a determinação das funções primitivas As principais técnicas utilizadas são a integral por partes as substituições diversas as próprias fórmulas de recursividade e a tábua de integrais Esta reúne uma série de integrais que podem ser aplicadas na resolução de problemas Conheceremos cada uma dessas metodologias a partir de agora Acompanhe 431 Integral por partes Na aprenderemos a lidar com integrais de produtos de funções do tipo Essa integração por partes regra conforme explicitam Fróes Fábrega e Geraldini 2016 traz que dadas duas funções deriváveis e então Por exemplo vamos calcular a integral da função No caso inicialmente devemos escolher e entre as funções da integral Assim temos que e Após isso determinamos em que Analogamente determinamos em que e Substituindo as funções na regra da integração por partes temos Compreendida essa parte vamos passar à técnica de substituições diversas Continue seus estudos com o próximo item Você sabia Na tentativa de solucionar alguns problemas relacionados à navegação os gregos se interessaram em determinar o raio da Terra e a distância desta à Lua O último problema implicou no surgimento das primeiras noções que conhecemos até hoje em trigonometria No entanto os cálculos nunca davam certo Tais respostas foram obtidas apenas décadas depois quando conhecimentos relacionados às integrais trigonométricos foram desenvolvidos e puderam ser aplicados em tais contextos BOYER MERZBACH 2019 8 432 Substituições diversas Sobre a mudança de variáveis ou Demana 2008 afirma que determinadas integrais substituições et al permitem que se realize uma transformação na variável Isso reduz uma integral mais complicada em uma simples e imediata Para isso definimos uma nova variável relacionada à variável por meio da expressão Usaremos o seguinte Logo temos que Por exemplo a mudança de variáveis facilita o cálculo da integral da função Assim temos Realizando a substituição teremos Além destas as substituições trigonométricas também podem ser utilizadas no desenvolvimento de integrais conforme regras explicitadas na tabela a seguir Tabela 1 Regras de substituição trigonométrica Fonte Elaborada pelo autor baseada em FRÓES FÁBREGA GERALDINI 2016 PraCegoVer na tabela temos três colunas e quatro linhas Na primeira coluna encontramos a expressão no integrando envolvendo e Já na segunda coluna temos as substituições com e Na última coluna há as restrições sobre Neste momento antes de seguirmos com o conteúdo vamos realizar uma atividade para fixar nossos conhecimentos adquiridos Leia atentamente à questão proposta na sequência e responda da melhor maneira Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 9 Além das técnicas as fórmulas clássicas também são mecanismos utilizados nas aulas de cálculo a fim de facilitar a determinação das funções primitivas 433 Fórmula de recursividade Assim como as técnicas de integração o uso de fórmulas também facilita os cálculos e permite que uma série de primitivas sejam determinadas sem que haja a necessidade de deduzir inúmeras relações As principais são as seguintes fórmulas de recursividade ou recorrência Ademais em uma sequência do cálculo diferencial e integral há fórmulas de recursividade que têm grande aplicabilidade em outras ciências como a física a exemplo da transformada de Fourier e da transformada de Laplace No entanto ambas fazem uso de conceitos relacionados a equações diferenciais e ordinárias que não dizem respeito à esta disciplina Já que o assunto ficou claro vamos realizar mais uma atividade Colocaremos em prática nossos conhecimentos sobre um cálculo de integral envolver a substituição trigonométrica Leia atentamente e tente resolver o problema Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Há também mais um mecanismo utilizado nas aulas de cálculo integral que reúne as principais propriedades e técnicas a tábua de integrais Falaremos a respeito dessa ferramenta na sequência Acompanhe Você o conhece PierreSimon 17491827 também conhecido como Marquês de Laplace foi um matemático astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática resumindo e ampliando o trabalho de importantes estudiosos como Isaac Newton A importância de Laplace para a matemática foi tão ampla que até hoje seu nome é lembrado nas disciplinas de cálculo por conta de seus estudos relacionados principalmente à Teoria da Probabilidade 10 434 Tábua de integrais De acordo com Stewart 2016 p 132 uma ou tabela de integrais é uma lista que tábua de integrais relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas Associada às propriedades de integração tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais Assim considerando que a integral de uma função é também a sua antiderivada em uma tábua de integrais é comum termos uma lista das principais derivadas Figura 4 Relação das principais propriedades derivativas de uma função Fonte Elaborada pelo autor baseada em THOMAS 2008 PraCegoVer na figura temos 20 propriedades para cálculo da derivada de uma função Vão desde as mais simples como a derivada de uma função potência até as mais complexas como a derivada da função arco cosseno De forma geral uma tábua de integrais também apresenta de forma suscinta as principais propriedades de 11 De forma geral uma tábua de integrais também apresenta de forma suscinta as principais propriedades de integrais indefinidas integrais definidas funções simples funções racionais logaritmos funções exponenciais funções irracionais funções trigonométricas e funções hiperbólicas integrais impróprias e funções exponenciais função gama função erro logaritmos integrais integral elíptica seno integral e cosseno integral Figura 5 Relação das principais propriedades integrativas de uma função Fonte Elaborada pelo autor baseada em THOMAS 2008 12 PraCegoVer na figura temos 21 propriedades para cálculo da integral de uma função Vão desde as mais simples como a integral até as mais complexas como as funções envolvendo substituições trigonométricas Por muitos anos o ensino de matemática no Brasil foi completamente processado nos moldes tradicionais ou seja sem a abordagem e discussão de propostas metodológicas voltadas à inovação Em um primeiro momento o uso de tábuas de integrais pode nos remeter a esse molde de ensino focado na memorização e reprodução de técnicas No entanto no desenvolvimento desta unidade observamos que tudo depende dos intuitos pelos quais tais usos são realizados No caso da tábua de integrais especificamente podemos considerála como algo que facilita a vida do estudante sem que este precise deduzir cada uma das propriedades Conclusão Chegamos ao fim da quarta e última unidade da disciplina de Bases da Matemática para Ciências Após discutirmos conceitos e propriedades importantes anteriormente aqui nosso foco foi as técnicas que de várias maneiras podem facilitar o trabalho com integrais Nesta unidade você teve a oportunidade de conhecer conceitos e técnicas relativas às integrais de funções de uma variável e suas aplicações determinar funções primitivas envolvendo raízes logaritmos e funções exponenciais resolver integrais envolvendo funções trigonométricas trabalhar com técnicas como integrais por partes e substituições diversas aprender sobre a fórmula de recursividade e a tábua de integrais Referências BASSANEZI R C Ensinoaprendizagem com modelagem São Paulo Contexto 2002 matemática BOYER C B MERZBACH U C São Paulo História da matemática Blucher 2019 CHAOS uma aventura matemática Disponível CHAOS s l s d em httpswwwchaosmathorgptbrhtml Acesso em 18 dez 2020 COELHO P M F Rio de Demonstrações de integrais indefinidas Janeiro Ciência Moderna 2012 DEMANA F D et al Précálculo São Paulo Pearson Education do Brasil 2008 FACCIN G M São Paulo InterSaberes 2015 Elementos de cálculo diferencial e integral FERNANDES D B org São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 Cálculo diferencial 13 FRÓES A L D FÁBREGA F M GERALDINI D Londrina Editora e Cálculo diferencial e integral II Distribuidora Educacional SA 2016 GONÇALVES M B FLEMMING D M funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Cálculo A Universidades 2006 IEZZI G MURAKAMI C conjuntos funções 7 ed São Paulo Atual Fundamentos de matemática elementar 1993 STEWART J 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 Cálculo THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1