Cálculo Aplicado: Integrais Indefinidas e suas Aplicações

11122023 1733 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 133 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO INTEGRAL CÁLCULO INTEGRAL Autor Me Ivana Barreto Matos Revisor Rosalvo Miranda INICIAR 11122023 1733 Eadbr INtroducao Assim como o calculo diferencial pode ser aplicado na resolugdo de problemas relacionados as taxas de variacées otimizagdo dentre outros o calculo integral também contribui para resolucdo de uma infinidade de problemas aplicados as varias areas do conhecimento Dentre essas aplicagées estudaremos os problemas que envolvem a cinematica velocidade e aceleragdo e a analise grafica dos movimentos No entanto existem muitas outras aplicagdes de integrais como calculo de area de regides planas calculo de volume e momento Para tanto 6 necessario aprender a integrar funcdes através dos métodos Dentre esses métodos estudaremos 0 método por substituicdo de variaveis e o método de integrado por partes httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 233 11122023 1733 Eadbr Po ce 4 7 AlAKraAapre em B Aceleracao e Calculo de Integrals FeO 0 F Definidas eee ee ee ee ee ee eee Para comecarmos iniciaremos pelas integrais indefinidas e apresentaremos suas propriedades Dessa forma vocé sera capaz de calcular integrais de fungdes elementares Passara a compreender que a solucdo de uma integral indefinida 6 uma familia de curvas que contém uma constante arbitraria Isso ocorre devido ao fato da integral ser vista como uma antiderivada ou seja ao derivarmos o resultado de uma integral indefinida obtemos a fungdo integranda Ainda neste tdpico mostraremos aplicagdes de integrais na cinematica envolvendo as fungdes velocidade e aceleracao Integrais Indefinidas Antes de definir a integral indefinida vamos entender o conceito de primitiva de uma fungdo Iniciaremos com a seguinte pergunta Conhecendose a derivada f de uma fungdo f é possivel descobrir a lei da fungdo f Sim é possivel Veja as seguintes perguntas 1Se f x 1 qual éa funcdo f x 2 Seg x 2x qual é a funcao gx 3 Se h x e qual 6a funcao h x 1 5 5 4 Sel x qual a funcao 1 a Verifique que a funcdo do item 1 é iguala fx a C em que C é uma constante arbitraria pois fx 1 Similarmente para os outros itens gx 2C hxe7C e Ix In a C cujas derivadas coincidem com as fungées derivadas indicadas Em relagdo as perguntas propostas anteriormente reflita e busque suas respostas através do conhecimento obtido nos seus estudos de derivadas de fungdes elementares Fonte Elaborado pela autora httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 333 11122023 1733 Eadbr Definicao da Primitiva de uma Funcao Segundo Flemming e Goncalves 2006 p 240 uma fungdo Fa é chamada uma primitiva da funcao f 2 em um intervalo I se para todo z I temos F x f a Consequentemente se G x F x C em que C é uma constante real e F x uma primitiva de fz entéo Gx também uma primitiva de fz pois G x Fx C F x fz Exemplos 1 Fx x éuma primitiva de f x 22 pois F x 2z 2 Fx senx éumaprimitiva de f x cos x pois F x cos x 3F x a é uma primitiva de f 2 x pois F x Se 2 4 F x sen 22 é uma primitiva de fx cos2zx pois F x cos 2x 2 cos 22 Definicao de Integral Indefinida Segundo Flemming e Goncalves 2006 p 241 se Fx é uma primitiva de f x a expressdo Fx C échamada integral indefinida da fungdo f a e é denotada por toa Fx C em que sinal de integraao f x fundao integranda dx diferencial em x indica a varidvel de integradao C constante de integradao Nesse sentido foi elaborada a Tabela 41 das integrais imediatas Verifique cada integral da tabela ao mesmo tempo em que vocé pode fazer uma revisdo de derivadas das fungdes usando 0 conceito da primitiva da fungdo ou seja ao derivar o resultado das integrais obtémse a funcgao integranda httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 433 11122023 1733 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 533 1 13 2 14 3 15 4 16 5 17 dx x C dx arcsen x C 1 1x2 dx C n R n 1 xn xn1 n1 dx arcsec x C 1 x x21 dx ln x C 1 x tg x dx ln cos x C ln sec x dx C ex ex cotg x dx ln sen x C ln cossec dx C a 0 a 1 ax 1 ln a ax sec x dx ln sec x tg x C 11122023 1733 Eadbr 6 f senx dx cosxC 18 cossecx dx In cossec x cotg x 7 cos a dx senxC 19 ho dx arctgCa0 1 8 f sec x de tgxC 20 Ta dz arcsen 2 CaF 1 1 9 f cossec x dx cotgxC 21 f aVeta dx arcsec CaF 10 secax tg x dx secx C 22 a5 dx In a Vx a C 1 1 1 1 xra 23 dx 3InC J cossecx cotgx dx cossecx C 23 Jae 2a a 12 f ce dx arctgxC Observacdo C é uma constante real Quadro 41 Integrais Imediatas Fonte Elaborada pela autora Verifique que algumas dessas integrais apresentadas na Tabela 41 ndo sdo tao imediatas mas o fato de derivar o resultado das integrais e obter a funcdo integranda vale sempre para qualquer fungdo integravel Alguns desses resultados serdo compreensiveis a partir do momento em que vocé conhecer os métodos de integracdo Por enquanto podemos assumir esses resultados Interpretacao Geométrica Qual é 0 significado geométrico da fungdo Fx C em que Fax é uma primitiva da fungdo f 2 e C uma constante arbitrdria Verifique que por conta da constante arbitraria C F x C representa uma familia de curvas No caso de uma solucdo particular dada uma condicao inicial P xo Yo verificase que existe uma Unica curva que passa pelo ponto P httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 633 11122023 1733 Eadbr Figura 41 Interpretacdo Geométrica de Integral Indefinida Fonte Elaborada pela autora Exemplo 1 A inclinacdo da reta tangente a uma curva y f x em qualquer ponto a y da curva é 2x 3Seo ponto A 13 pertence a essa curva determine a sua equacao Solugdo Sabendose que a inclinacdo da reta tangente a curva y f x em qualquer ponto é dada pela fungdo derivada aplicada a esse ponto temos que ou 2x 3 dy 2z 3 dz Integrandose ambos os lados temos x2 fav 22 3 de y2 go t38etCsy 2 3rC Aplicandose o ponto A 1 3 temos 3 131C 5 C7 Portanto a solugdo particular é y 2 3247 Verifique que y x 32 C uma familia de curvas no entanto pelo ponto A 13 sé passa a curva y x 32 7 sinalizada em vermelho no grafico da Figura 42 Veja que no ponto A passa a reta tangente y3 f 1 1 y3 21 38 4 1 y52r48 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 733 11122023 1733 Eadbr a10 10 L f HA A 45 40 35 30 25 20 15 10 5 fy H 5 j l i 0 H Ly15 ri hfg Figura 42 Interpretacdo Geométrica de Integral Indefinida Fonte Elaborada pela autora Agora para aprender a calcular as integrais 6 necessario vocé conhecer as propriedades operatérias de integracgdo No prdéximo tdpico vocé conhecera as propriedades na pratica através dos exemplos propostos Propriedades das Integrais Indefinidas Flemming e Goncalves 2006 p 242 por proposido relacionam apenas duas propriedades para a integral indefinida Considere f g I Re C uma constante arbitraria Entao i ct de c 0 de i F 9ae f fe de f g2 ae Verifique que pelo fato de existirem poucas propriedades a complexidade para calcular integrais é um fato Para tanto sdo utilizados métodos de integragdo que foram desenvolvidos para cada grupo de integrais sob certas condic6es Exemplo 1 Calcule as seguintes integrais usando as propriedades e os resultados da Tabela 41 de integrais imediatas adequados a cada situado a f 3a e 5 dx Solugao Usando o item 2 da Tabela 41 integral da poténcia temos eee ves 5 dx c ac vedo ba0 3 2 ac 2de 5 ide 3 1 1 32 2 2 gk x 3 x 23 432 pd 1 4 3 3 Tea 5a C2 3 5aC2 3 5aC2 g Vr be tC httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 833 11122023 1733 Eadbr b Scossec x 4tg a secx dx Solugao Usando os itens 9 e 10 da Tabela 41 integral de funcdes trigonométricas temos cossec x 4tg x secx dx 5 eossec x dx4 9 x secx dx 5 teossec x dx 4 9 x secx dx 5cotg x 4sec x C c f zV 6sec x 22 da Solugdo Usando os itens 1 2 e 8 da Tabela 41 integral de fungdo trigonométrica e poténcia temos 2x 2 321 2 2 az 6sec x de f ode6 sec x de 5 fede t L lev 2 2de 3 gai 9 35 52 2 2 2 x x 52 x tg4 sa tg x ae tigeZ 5a e 4 2 d fsen 3x 3e a ae Solugdo Usando os itens 4 6 e 12 da Tabela 41 integral do seno exponencial e arco tangente temos 2 2 cos 32 e2 sen 3x 3e de sen 3x de 3c de f de PO 4 8 3 1 2 32 14 2 3 2 Verifique que a integral de f sen 3x dx pode ser calculada intuitivamente A pergunta é Qual é a funcdo que derivando resulta em sen 32 f cos3x cos3z i 1 m4 3 3 3 De fato é pois 3 cos 34 3sen 32 3 sen 32 Agora que vocé aprendeu a calcular integrais de algumas fungdes mostraremos algumas aplicagées envolvendo as integrais indefinidas principalmente em problemas que envolvem a cinematica Aplicagoes das Integrais Indefinidas Assim como utilizamos a fungdo derivada para resolver problemas na cinematica que envolve velocidade e aceleracdo de particulas podemos também usar convenientemente a integracdo Mostraremos alguns exemplos Exemplo 1 Uma particula movese ao longo de um eixo s Use a informacdo dada para encontrar a fungdoposido da particula Solugao aut 22 1e801 Para encontrar a funcdo posigdo basta integrarmos a fungdo velocidade desde quando vt as t 22 1 ds t 2t 1 dt Integrado ambos os lados temos httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 933 11122023 1733 Eadbr fds se 202 1 dt s 2e tC Para encontrar o valor da constante C basta aplicar a condido inicial do problema s 0 1 Assim 1 2 40403C1 s gti 28 4t41 b at 4 cos 2t v 0 1s 0 3 Nesse caso precisamos integrar duas vezes Ao integrar a funcgdo aceleragdo obtemos a fungdo velocidade e ao integrar a funcdo velocidade obtemos a funcdo posido Sabemos que at du 4cos2t dv4cos2t dt integrando temos J du 4cos2t dt v4 sent C 2sen2tC Para encontrar a constante C basta aplicar a condido inicial do problema v 0 1 12sen20 C C 1 portanto v 2 sen 2t 1 Agora integrandose a funcdo velocidade vamos obter a fundo espagotempo d vt 4 2 sen2t1 ds 2 sen 2t 1 dt s J2 sen2t1dt st aplicando as condigées iniciais s 0 3 temos cos 20 p 2800 04CC1 st cos 2tt1 Exemplo 2 Um tanque tem o seu volume V de agua dado em fungao da altura da 4gua no mesmo Sabendo que a taxa de variacdo do volume V em relacao a altura h da agua é dada por 7 3h 2 e sabendo que quando a altura é 1 m existem no tanque de agua 37 m determine o volume de agua no tanque quando a altura for de 3m Solugao av 7 3h 2 dV 1 3h 2 dh V f23h2 dh f 3th dh 2n dh V 3x 2th C Aplicando a condicdo V 32 m3 e h Im temos 3m 3nd I2n14C4C4 3 V 3rt 2nh Para h3m volume do 2 tanque é dado por V 30 2n 3 a 11mm Agora é com vocé As integrais indefinidas podem envolver apenas fungdes elementares Assim basta simplificar a fungdo adequadamente e aplicar as propriedades e resultados da tabela de integracdo Nesse contexto encontre o resultado da integral indefinida f an dz e assinale a alternativa correta x Oa Salt 18216 6273 C Ob Sal43 1826 237 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1033 11122023 1733 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1133 c d e 18 6 C 3 14 x143 x16 x23 10 6 C x143 x16 x32 11 C 3 4 x143 x16 6323 11122023 1733 Eadbr e pe e j ZF ye ry rea pS Py5 Ne B Integrals Definidas e Analise r F Gre pry FY FX AAS Grafica dos Movimentos eee ee ee ee ee ee eee As integrais definidas permitem a resolugdo de problemas que resultam em solugdes numéricas como o deslocamento As sofrido pela particula entre os instantes t e f2 e o calculo de area de figuras planas Como motivagdo veremos o método da exaustdo que é atribuido a Eudoxo 406355 AC como afirma Carvalho 2011 na seguinte citagdo Eudoxo 408355 aC supée a infinita divisibilidade da reta e cria o Método de Exaustdo para calcular a drea do circulo Ele usa a mesma ideia de Antifonte sé que ao supor que o segmento de reta pode ser dividido infinitamente afirma que os poligonos se aproximam do circulo mas nunca coincidem com ele Isto implica que ndo se pode calcular a drea do circulo com um numero finito de cdlculos CARVALHO 2011 p 11 A figura a seguir ilustra esse procedimento no caso especial do circulo com poligonos regulares inscritos em que se aumentando o numero de lados desse poligono sua area aproximase cada vez mais da area do circulo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1233 11122023 1734 Eadbr OOS Oo J C Cm YE ST 07 NZ SY Figura 43 Método da Exaustdo Fonte Elaborada pela autora Seja A a area do poligono inscrito com n lados A medida que aumentamos 7 fica evidente que A ficara cada vez mais préxima da area do circulo Dizemos entdo que a area do circulo é 0 limite da area do poligono inscrito quando n oo e escrevemos A lim A emque A nsen 822 cos 22 r n00 n n Logo Acineulo lim nsen 78 lim cos 8 r irculo n300 n n300 n Calculado por partes temos 1 lim nsen 2 00 0 Indeterminaao noo ven 8 5 i i Nesse caso devemos preparar a fundo para usar a regra de LHospital lim T 9 Agora podemos utilizar a regra de LHospital Portanto sen 2822 cos 782 802 lim sen lim cos Se lim cos 2 180 7 n00 a n00 a n00 n 2 lim cos 22 r r noo Dessa forma concluimos que o valor da area do circulo 6 A lim Ayn rr noo Integrais Definidas Agora vocé vai entender como encontrarmos a area de uma regido plana qualquer através do conceito da integral definida Considere o grafico da funcdo f x definida num intervalo ab Como encontrar a area da regido limitada pela curva e o eixo x Considerando o método da exaustdo podemos aproximar a area da regido de retangulos como mostra a Figura 45 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1333 11122023 1734 Eadbr Figura 44 Regido Plana Fonte Elaborada pela autora Figura 45 Método da Exaustdo Fonte Elaborada pela autora No entanto verifique que na Figura 45 cometemos um erro grosseiro para a aproximagdo da area da regido proposta Uma alternativa para minimizar 0 erro é aumentar a quantidade de retangulos no intervalo em que a funcdo f a esta definida a b como mostra a Figura 46 Portanto para codificar matematicamente a estimativa do calculo da area solicitada vamos tomar um ponto x f como mostra o retangulo R em vermelho na Figura 46 Verifique que o retangulo possui base igual a Ax 1 241 altura f x Consequentemente a area do retangulo R é dada por Sr f x Awx Assim podemos dizer que a area S da regido limitada httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1433 11122023 1734 Eadbr pela curva y f x 0 eixo x ea reta e b pode ser expressa como 0 somatério das areas dos varios retangulos por n n S S Sr Ss f zi Ax f x1 Axi f x2 Ano f x3 Ag3 f x4 Agg i1 il fxi a Xi b Figura 46 Integral definida Fonte Elaborada pela autora Para diminuir o erro fazemos n oo ou maxrAzx 0 e ao passar o limite teremos o calculo exato da area da regido solicitada S lim S f ai Aaj noo Nesse sentido Flemming e Gongalves 2006 formalizam as seguintes definicdes teorema e propriedades Fique bem atento a essas informag6es que sdo as ferramentas necessarias para o calculo e aplicagdo da integral definida Definicao Integral Definida Seja f uma funcdo definida no intervalo a b e seja P uma particdo qualquer de a A integral definida definida de f de a até b denotada por f f x dz é dada por f fz dz lim SO f xi Aa a n00 Desde quando o limite exista Teorema A relacdo entre integral e fungdo continua decorre do teorema que afirma que Se f é continua sobre a b entdo f é integravel em a bj Ou seja garantese a existéncia da integral quando a funcdo integranda é continua Observe que por conta da palavra entdo do teorema a controvérsia ndo é verdadeira Nesse caso pode acontecer da fungao f ser integravel e a fungdo ndo ser continua httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1533 11122023 1734 Eadbr A seguir verifique as propriedades operatorias da integral definida Propriedades Integral Definida Sejam f eg continuas portanto integrdaveis ek KR PSea b entado f fz da f f z dz a integral existe Py Sea be f a existe entdo f f x dx 0 P3Sea be f a existe entao fx dx 0 Py fk fx dvekf fx da b b b Ps f fz ga de f fx det f ga de Py Seac bentdo f fz dx f fx de I f2 dz P Se f x 0 para todo x em a bj entao f fx dx 0 P3 Se f é continua em a 6 entao s f a da f f x dz Agora que vocé ja ficou ciente das propriedades operatorias para calcular a integral definida e encontrar um valor real representativo é necessario aplicar o importante Teorema Fundamental do Calculo enunciado a seguir Teorema Fundamental do Calculo Esse 0 teorema mais importante do calculo que possibilita o calculo da integral definida Para tanto basta conhecer a primitiva da fungdo e aplicar os limites de integragdo Flemming e Gongalves 2006 p 267 definem da seguinte forma Se f continua em ab e se F uma primitiva de f nesse intervalo entdo b J f dt Fb Fa Exemplo 1 Calcule a integral definida J dz Solugao i 3 2 0 2 de p 2 f OV 8 3 Se 3 3 3 0 Exemplo 2 Calcule a integral definida an sen x dz Solugao a2 sen x dx cos zx on cos 12 cos 72 000 n2 Através dos exemplos vocé pode verificar perfeitamente a aplicagdo do Teorema Fundamental do Calculo apds o calculo da integral na obtengdo da fungdo primitiva httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1633 11122023 1734 Eadbr O Teorema Fundamental do Calculo é uns dos mais importantes teoremas do calculo pois através dele é possivel resolver uma infinidade de problemas aplicados em varias areas de conhecimento Através da histdria é possivel vocé saber compreender como é possivel aplicar as integrais definidas através do Teorema Fundamental do Calculo O trabalho intitulado Investigagcdo do Teorema Fundamental do Calculo com Calculadoras Graficas mostra como aplicar esse importante resultado na resolugdo de problemas que envolvem o calculo integral Agora vamos aplicar 0 Teorema Fundamental do Calculo em aplicagdes relacionadas ao calculo de area de regides planas o 4s on Calculo de Area de Regioes Planas Para o calculo de area 6 necessadrio termos alguns cuidados relativos ao sinal da funcdo Nos exemplos anteriores simplesmente aplicamos o teorema Fundamental do Calculo pois foi solicitada a resolucdo da integral definida Veremos como realizar o calculo de area de regides planas para tanto Flemming e Goncalves 2006 p 272 mostram como se calcular varios tipos de areas de regides planas Definicgao Seja f x uma funcdo continua integravel no intervalo a b Dizemos que a 4rea da regido limitada pelo grafico de f e 0 eixo x é dada por b Flaz FO FO a Em que lf 2 f z se fx 2 Of ou f x se fx 0 Exemplo 1 Calcular a drea da regido limitada pelo grafico Ver Quadro 41 da fungdo f x x 2 pelo eixo Ox e pelas retasz lex 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1733 11122023 1734 Eadbr Calculo 2 A f x2 dx 1 30 2x F 2F G1 3 2 2 2 7 13 2 1 3 3 1 2 84129ua 3 3 Quadro 42 Cdlculo da Grea Fonte Elaborado pela autora Exemplo 2 Calcular a area da regido limitada pelo grafico Ver Quadro 43 da funcdo f x x pela reta x 3 e pelo eixo Ox Calculo 3 A Xd J X GX x4 3 34 5 3 4 4 0 81 ua 4 Quadro 43 Cdlculo da Grea Fonte Elaborado pela autora Exemplo 3 Calcular a area da regido limitada pelo grafico Ver Quadro 44 da fungdo f x a 4x e o eixo Ox httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1833 11122023 1734 Eadbr Calculo 2 x3 x2 4 A x2 4x ax4 4 J o40 3 4 3 2 F 2 F 0 4 4 AF 0 64 32 32 ua 3 3 3 3 Ponto de intersegao com ox x 4x 0x x 4 0x 00ux4 Quadro 44 Cdlculo da Grea Fonte Elaborado pela autora Agora veremos um exemplo em que a funcdo é parte positiva e parte negativa Nesse caso teremos que utilizar a definigdo de mddulo Exemplo 4 Calcular a area da regido limitada pelo grafico Ver Quadro 45 da fungdo f 2 sen a e 0 eixo Ox entre 772 a 172 Cadlculo wW2 A sen x dx 12 0 sen x dx 12 1 mW2 wf J sen x dx 2 0 0 wW2 cosx cosx w2 0 cos 0 cos T12 cosm2 cos0 1007 2ua Quadro 45 Cdlculo da Grea Fonte Elaborado pela autora Agora vamos ver 0 caso em que a regido esta limitada entre duas curvas Nesse caso prevalece sempre a integral que limita superiormente menos a funcdo que limita inferiormente Nesse caso ndo precisa se preocupar com 0 sinal da funcdo Veja o exemplo 5 Exemplo 5 Calcular a drea da regido limitada pelo grafico Ver Quadro 46 da fungdo fx x 4 2xre f x 22 3 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 1933 11122023 1734 Eadbr Calculo 3 3 J x24 2x 2x 3 dx J x2 4x 3 dx 3 2X2 4x 3X 33 23 3 3 3 2 2 77 21P 31 3 1 3 91789172313140ua 3 3 3 Intersecgao x2x2x3 x 4x3 0x1 ou x 3 Quadro 46 Cdlculo da Grea Fonte Elaborado pela autora Observe que em todos os exemplos anteriores usamos o grafico como suporte para resolver a questdo No entanto se a funcdo for ndo elementar a construgdo grafica fica mais dificil Assim temos como resolver a questdo através do estudo do sinal Veja o exemplo 6 Exemplo 6 Calcular a area da regido limitada pelas curvas y x 3a e yo 22 Nesse caso precisamos estudar o sinal da fungdo y yy x 2x 3a Se o sinal for positivo significa que a funcdo y limita a regido limitada superiormente caso contrario a fungdo y a que limita superiormente Fatorando temos y y 2 2a 32 2 x 1 x 3 Veja toda a analise no Quadro 47 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2033 11122023 1734 Eadbr Fatoragao Yi Yo 22 3a x0 o0ouxlour3 a x 22 3 0 Y Yo u a 1 x 3 zOouzr2r30 Estudo de Sinal Pelo estudo de sinal concluimos que a fungdo y limita superiormente em 1 0 eafuncdo Ys limita superiormente Y Y 2 a 1 x 3 em 0 3 Daf podemos montar a integral 1 0 3 0 3 yoo o A JU1 Yo dw fy Yo 41 de yaut1 AZ L 32 2x de f 2x 2 3z dz yr3 A Pe 22 3e dx f2 2x 3x dx U1 Yo FF at 3 219 4 3 23 A 2 350 5429435 Calculo Verifique que a parte limitada 1 13 1 3 3 3 esta entre 1 e 3 A 7 2g 385 GF sr2F aah 7 45 7135 142 71 Apt 7 p 7 H 83ua A 2 106 ua Quadro 47 Calculo da area Fonte Elaborado pela autora Analise Grafica dos Movimentos Vamos tomar como exemplo o Movimento Uniformemente Variado MUV Nesse caso a fungao aceleracdo a at é constante consequentemente a funcdo velocidade a at éumaretaea fungdo espacotempo s s t 6 uma parabola Assim mostram os graficos da Figura 47 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2133 11122023 1734 Eadbr Aceleragao Velocidade Espacotempo at1 vtt3 st 5t3t 1 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 17412345678 171273 4567 8 I 12345678 2 2 2 3 3 3 4 4 4 Figura 47 MUV Fonte Elaborada pela autora Ja vimos que se derivarmos a fungdo espacotempo obtemos a funcdo velocidade e ao derivarmos a fungdo velocidade obtemos a fungdo aceleragdo Por outro lado se integramos a fungdo aceleragdo encontramos a fungdo velocidade e se integrarmos a funcdo velocidade encontramos a funcdo espacotempo dada alguma condicao inicial Vejamos o significado do valor da area da regido limitada pela curva velocidade e o eixo x em um intervalo de tempos de ft ato O deslocamento é dado por As s tz st Por outro lado a area é limitada pela fungdo velocidade nesse caso é determinada através da integracdo portanto no caso da funcdo velocidade ser toda positiva o deslocamento coincide com a distancia percorrida e 6 igual a area A fP vt dt s tz s t As desde quando a funcado espacotempo st uma primitiva da fungdo velocidade ou seja derivandose a funcao s t obtemos a funcao v t Quando a fungdo nado é toda positiva ao intervalo em estudo como mostra o grafico da Figura 48 devemos levar em consideragao o sinal da fungdo Nesse caso a distancia percorrida d é dada pela area limitada pelo grafico da fungdo velocidade e o eixo x dada por d A J v t dt em modulo Ja no deslocamento ndo se leva em consideragdo o modulo assim As A fe ut dt httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2233 11122023 1734 Eadbr 6 5 4 3 2 i744 6b 1 345678 2 tz t 3 4 Figura 48 Deslocamento Fonte Elaborada pela autora Vamos fazer os calculos da distancia e do deslocamento considerando o exemplo da Figura 48 Assim em que tj 1s te 3s e t3 6s considerando as fungdes da Figura 47 em que st t 3t1mevt t3ms to 6 1 1 1 AsA vtyat e3 at Se 30 530 5 30 th 1 18 18 123 052 52m Para conferir vamos fazer a conta com a fungdo espacotempo 1 2 12 As st2 st1 6 s1 56 36 1 5131 1 132 Conferido Vamos analisar 0 que muda quando calculamos a distancia percorrida Verifique os cdlculos considerando o méddulo da funcdo velocidade Nesse caso foi necessario dividir em duas integrais Quando o tempo varia de 1s a 3s a funcdo velocidade é negativa Figura 48 e por propriedade de médulo colocamos o sinal negativo na primeira integral De 3s para 6s a fungdo é toda positiva e portanto o sinal fica positivo te 3 6 1 1 6 AsA vtat e3 at esae Ge 3 t Ge 3 ty 1 3 3 1 42 12 1 2 1 42 50 33 538 J 5 36 5 33 2 2 2 2 18 18 12 3 18 18 92 9 52 922m httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2333 11122023 1734 Eadbr Verifique que nesse caso do MUV é possivel realizar o calculo sem a utilizagdo da integragdo apenas utilizando as formulas aprendidas no ensino médio A utilizagdo da integral se faz necessaria quando a funcgdo espacotempo é diferente de uma fungdo polinomial de grau 2 Nesses casos para calcular 0 deslocamento devemos determinar o deslocamento através do calculo da area por integragdo Agora com vocé Através da atividade proposta a seguir teste os conhecimentos adquiridos A posicgdo de uma particula movendose ao longo de uma linha reta é dada por uma fungdo s stem que s medido em metros e 0 tempo t em segundos Por observagdo do fendmeno foi possivel modelar a funcdo velocidade dada por v t 6t 24 ms que é uma funcao quadratica Vv 60 40 20 1 8 6 4 Va 4t Figura Grdfico velocidade X tempo Fonte Elaborada pela autora Com base nessas informacées e a analise do grafico da figura avalie as seguintes alternativas O tempo necessario para a particula alcangar uma velocidade de 72 ms a partir de sua condicao inicial emt 0 éiguala4 s II A aceleracdo da particula quando a velocidade é igual a 30 ms é igual a 25 ms Ill O deslocamento resultante durante o intervalo det 1s atétg 4s éiguala54m IV A particula percorreu det 1 s até tz 4 5 uma distancia de 65 m Esta correto o que se afirma em O ale lll apenas O b Ile Ill apenas O clell apenas httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2433 11122023 1734 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2533 d I II e III apenas e I III e IV apenas 11122023 1734 Eadbr Meétodo de Integracao por eo a 2 7 x Z Substitulcao de Variavel eee ee ee ee ee ee eee Para integrarmos fungdes ndo elementares é necessario aplicar algum método de integragdo com o intuito de transformar uma integral complexa em integrais elementares e resolvélas de forma facil com aplicacgdo dos resultados tabelados das integrais elementares O método por substituigdo de variaveis é bastante intuitivo e consiste em substituir a varidvel da integral por outra variavel e sob certas condicdes é possivel simplificala Sejam as fungées continuas gx e f a ea funcdo Fx uma primitiva da funcgdo f a entdo fo9 dz F ga 6 Considerando u ga temos f f uduFuC Veremos alguns exemplos para praticar esse método Exemplo 1 Calcular 3 Fazendo u 3x 7 du3dz dz Be temos dz 1 du 1 du 1 1 Inul C Iln82 7C lea fe5 55 3 in ul 3 in Exemplo 2 Calcular x 1dz Fazendou 2 1 du 22 dz adr oe temos avr 1dx ya a1 V2dy 2 w oul 2 324 Qq1 a 1 2 2 2 3jg 7 234 3 V senx Exemplo 3 Calcular f tg da f To da Fazendo u cos x du senx dx sen ax dx du temos sen x du dr Inu C Incos x C Insec x C cos x u httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2633 11122023 1734 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2733 Vale ressaltar que esse resultado está tabelado Similarmente você pode resolver a integral para praticar Exemplo 4 Calcular Nesse caso utilizamos o artifício de multiplicar e dividir a função por Fazendo temos tabelado Similarmente você pode resolver a integral para praticar Exemplo 5 Calcular Fazendo temos Agora é com você praticar Vamos Praticar O método de substituição de variável permite calcular alguns tipos de integrais Nesse caso você deve substituir a variável de integração por outra de forma conveniente como mostrado nos exemplos anteriores Caso esse método não se adeque você pode aplicar possivelmente outros métodos que ainda serão mostrados em seus estudos de cálculo Nesse contexto calcule a integral utilizando o método por substituição de variáveis e assinale a alternativa correta a b c d e cotg x dx sec x dx secxtgx secxtgx sec x dx sec x dx dx secxtgx secxtgx se xsecxtgx c2 secxtgx u sec x tg x du sec x tg x se x dx c2 dx ln t C ln sec x tg x C se xsecxtgx c2 secxtgx dt t cossec x dx dx tg x x u du dx 2du dx x 1 2 x 1 x dx 2tg u du 2 tg u du 2ln sec u C 2ln sec C tg x x x dx lnx2 x l x C n3 C l x n2 2 C l x n2 2 C l x n3 3 l x C n 3 11122023 1734 Eadbr A e de AS y yaa ae Metodo de Integracao por Partes eee ee ee ee ee ee eee O método de integragdo por partes um método apropriado para integrar produtos de fungdes distintas como por exemplo fx e dz Verifique que nesse caso o método de integragdo por substituigdo de varidvel ndo se aplica Vejamos como foi definida a férmula utilizada para a integracgdo por partes Sejam as funcgdes f x e gx derivaveis e definidas em um intervalo IAo derivar o produto entre elas temos fx 9 f x gx fa 9 eq 1 Integrandose ambos os lados da equacao 1 temos d qa lf 9 f 9 2 Fz 9 af e 9 F 9 F e 9 w de ait5 ir x g2 fa 9 wdz fx g is aeide te9 eide IF 9 de f29e flgejdz Fazendo u f x du f dtevgx dv 4g x dz e substituindo obtemos a férmula da integragdo por partes udu foaw Veja que dividimos a integral em duas partes u e dv httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2833 11122023 1734 Eadbr Agora através de alguns exemplos vocé vai aprender como aplicar esse método de integragdo por partes Dessa forma recomendamos para a escolha dessas partes a seguinte ordem para nomear a variavel u ou seja devemos priorizar a escolha de acordo com a seguinte ordem L ogaritmica nversa A lgébrica T rigonométrica E xponencial Exemplo 1 Calcule xe dz Para aplicar a formula f udu uv f v du fazemos preferencialmente ux2dudzredvedz v e Substituindo na formula temos verae ze eae ge e C Verifique que nesse método ndo fazemos a substituicgdo de variaveis as variaveis u e Uv sdo utilizadas como suporte para podermos usar a formula Uma vez substituindo na férmula a integral fica totalmente em fungdo de z Observe também que a escolha recomendada é importante pois se almeja ao resolver a uma integracdo por partes que a integral da férmula fique mais facil de resolver Quando isso nao acontece devese fazer outra escolha para as variaveis u e dv Exemplo 2 Calcule f x In ax dz Fazemos preferencialmente 3 uInz du dredvadt v 7 Substituindo na formula temos 3 3 3 2 3 3 x xz ol x x x x 2 x Inx de In dxInx2 de Ina C 3 3 3 3 3 9 9 Exemplo 3 Calcule fe cos x dz Escolhemos u cos 4 du sena dx e duedz v e e através da formula Je cosx dx cos xe f e senx dz cos x e f e sen x dz Verifique que restou a integral f e sen x dz similar a integral que queremos resolver Portanto temos que aplicar o método por partes novamente Logo u senz ducos x dredvedz ve Portanto Je cos x dx cos x e Je sen x dx sen ax e Je cos x dz eg 2 Veja que interessante Retornamos para a mesma integral Esse tipo de integral denominada de ciclica Nesse caso resolveremos a equacdo 2 passando a integral do segundo termo para o primeiro termo para obter o seu valor da seguinte forma Je cos x de fe cos x dx cos x e sen x e safe cos x dx ev e cos x senx Je cos x dx a cos x senxC httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 2933 11122023 1734 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 3033 Agora é com você praticar Vamos Praticar O método de integração por partes divide a integral em duas partes e para resolver a integral utilizamos a fórmula Nesse contexto calcule as integrais e utilizando o método por partes e assinale a alternativa correta a b c d e udv uv vdu ln x dx arctg 3x dx ln x dx ln x x C e arctg x dx x arctg 3x ln 1 9 C 1 6 x2 ln x dx xln x x C e arctg x dx x arctg 3x ln 1 9 C 1 6 x2 ln x dx ln x 1 C e arctg x dx arctg 3 ln 1 C x2 ln x dx C e arctg x dx x arctg 3x C 1 x ln x dx ln x x C e arctg x dx x arctg 3x ln 1 9 C 1 6 x2 11122023 1734 Eadbr Calculo Editora Sdo Paulo Cengage Learning v1 Ano 2013 Autor STEWART James ISBN 9788522114610 Comentario Recomendo leitura dos capitulos 5 6 e 7 que abordam a definido da integral e algumas aplicagdes interessantes Além disso vocé pode praticar resolvendo os exercicios propostos por substituicgdo de variaveis calculo de area e 0 método por partes MULLER M J GONGALVES N da S MULLER T J Integral definida trabalhando conceito e aplicagdes através de objetos de aprendizagem Ano 2013 Comentario Esse artigo mostra como as aplicacées de derivadas e integrais podem ser trabalhadas através dos objetos de aprendizagem em sala de aula Esses elementos favorecem uma aprendizagem vinculando a teoria a pratica reforgando a necessidade das inovacées em sala de aula através das aulas praticas em laboratorio httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 3133 11122023 1734 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 3233 11122023 1734 Eadbr Nesta unidade iniciamos o conceito do cdalculo integral em que estudamos dois métodos de integragdo por substituigdo de varidvel e por partes Além disso trabalhamos com calculo de area de regides planas aplicados a andlise dos movimentos determinagdo do deslocamento e distancia percorrida por uma particula em movimento Essa é uma importante aplicagdo na area de fisica no entanto podemos aplicar esse conceito de integrais em varias areas de conhecimento como por exemplo na hidrdaulica na resolugdo de problemas que envolve esvaziamento de um tanque na biologia para definir dosagem de medicamentos e também na area da economia através da analise das fungdes econémicas custo receita e lucro ee ANTON H Calculo v 1 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 ISBN 9788582602263 CARVALHO S P A area e 0 perimetro de um circulo In COLOQUIO DA REGIAO SUDESTE 1 abr 2011 SI Anais S1 Sn abr 2011 Disponivel em httpswwwsbmorgbrdocscoloquiosSE102pdf Acesso em 30 dez 2019 FLEMMING D M GONCALVES M B Calculo A funcées limites derivagdo e integracdo 6 ed rev e ampl Sdo Paulo Pearson 2006 ISBN 9788576051152 MULLER M J GONCALVES N da S MULLER T J Integral definida trabalhando conceito e aplicagdes através de objetos de aprendizagem In COBENGE XLI 23 a 26 set 2013 Gramado Anais Gramado UFGRS 23 a 26 set 2013 Disponivel em httprepositoriopucrsbrdspacebitstream10923122242IntegralDefinidatrabalhandoconceito eaplicacoesatraves de objetos de aprendizagempdfAcesso em 22 jan 2020 SCUCUGLIA R A investigagao do teorema fundamental do calculo com calculadoras graficas Dissertagdo Mestrado em Educagdo Matematica Universidade Estadual Paulista Rio Claro 2006 STEWART J Calculo v 1 3 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2013 ISBN 9788522114610 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade4ebookindexhtml 3333