Cálculo Aplicado a Uma Variável: Derivadas e Limites

11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 136 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL CÁLCULO DE DERIVADAS CÁLCULO DE DERIVADAS Autora Me Ivana Barreto Matos Revisor Rosalvo Miranda INICIAR 11122023 1727 Eadbr Introduce Neste capitulo daremos continuidade ao estudo de limite evidenciando sua importancia principalmente para definir um operador matematico a derivada de uma fungdo Introduziremos este conceito por meio da taxa de variagdo instantanea como a velocidade em um determinado instante Alem disso mostraremos a interpretagdo geométrica da derivada como coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um dado ponto Por meio do calculo da derivada de uma fungdao podemos resolver uma infinidade de problemas relacionados a varias areas de conhecimento por exemplo os problemas de otimizagao custo minimo lucro maximo maximizagdo de volume e outros Podemos aplicar também em problemas que envolvem a taxa de variagdo como velocidade e aceleragao httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 236 11122023 1727 Eadbr Velocidade a J u Instantanea Limites 00 e Conceito de Derivadas eee ee eee eee ee ee Nesta unidade veremos como calcular limite como algumas indeterminagdes matematicas dando énfase ao tipo 00 Posteriormente definiremos a fungdo derivada como uma taxa de variagdo instantanea por meio da interpretacgao geométrica e e e é Propriedades de Limites e Calculo de e e Limites Para calcular limites é imprescindivel conhecer suas propriedades operatorias Verifique a seguir essas propriedades e exemplificagées Sek limxafx L e limxagx M entdo P1limxoak k P2 limx ak fx k limxaflx k L P3 limxaf gx limxafx gx LiM PA limxaf gx limxaflx gx L M httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 336 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 436 P5 limx a f gx limx a f x limx a gx L M M 0 P6 limx a fxn limx a fx n Ln P7 limx a nfx n limx a fx nL n ℵ Se n ˊe par entao L 0 P8 limx a cosfx coslimx a fx cosL vale para outras funoes trigonomˊetricas Agora veremos alguns exemplos de cálculo de limites utilizando as propriedades supracitadas Aplicação P1 o limite de uma constante é a própria constante Exemplos limx10 5 5 limx 1 11 11 limx4 ln5 ln5 Aplicação P2 o produto entre uma constante e uma função Exemplos limx1 2 x 1 2 limx1 x 1 limx 7 5 x2 2 limx 7 x2 Aplicação P3 o limite da soma é igual à soma dos limites Exemplos limx1x3 9x limx1 x3 limx1 9x limx 38x 5x2 limx 3 8x limx3 5x2 Aplicação P4 o limite do produto entre duas funções é o produto entre o limite de cada uma destas Exemplos limx3 2 1 3 x x5 limx3 1 3 x limx3 x5 limx 74x x limx 7 4x limx 7x Aplicação P5 o limite do quociente entre duas funções é o quociente entre o limite de cada uma delas Exemplos limx6 7x8 3x limx 6 7x8 limx 6 3x limx1 5x9 x limx 1 5x9 limx 1 x 11122023 1727 Eadbr e Aplicagao P6 o limite do quociente entre duas funcdes é o quociente entre o limite de cada uma destas E los i 7x8 limx 6 7x8 XEMPIOS Hmx 6 3x limx 63x 5x9 limx15x9 limx 1 Te x limx 1x e Aplicagao P7 o limite da funcao poténcia é igual a poténcia do limite da fungao Exemplos Jimx 1 8x mvsof 7 51 51 limx 2 33x 4 om 2 33x e Aplicagao P8 o limite da funcgao trigonométrica de uma fungao é igual ao valor da fungao trigonométrica aplicada ao valor do limite da fungao Exemplos limx0cos2x x of ti 2x of a limx 0 se ax7 seq limxQ 2x a Para finalizar os calculos temos um importante teorema definido a seguir que facilitara os calculos de limites Teorema Se px uma fungdo polinomial definida em um intervalo real com valores reais entdo limx a px pa Esse teorema decorre do fato de toda funcdo polinomial ser continua httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 536 11122023 1727 Eadbr Diante das propriedades e teorema supracitados para cada exemplo anterior reflita sobre o valor final de cada limite apresentado Para tanto basta substituir o valor da tendéncia da variavel x na funcao funcdo polinomial Veja a seguir alguns exemplos de calculo de limites e verifique que todos os seus resultados sdo numeros reais logy3x limx 4 log3x4 log 3 ax t 5 limx4 x 5 9 3 i x7 4x 3 i x7 4x 3 imx 1 cog c imx 1 cof cos0 1 2x1 Ox 1 3 0 limx 42V9 an fim 925 25 32 x Ay 7 x Ay 7 9127 4 2 imx ST imx 3 imx 3 r75 x 2x6 x7 2x6 966 9 3 No entanto nem sempre obtemos um valor real para o limite Pode acontecer de obtermos as seguintes indeterminacgées matematicas 0 00 w0 0x0 1 09 x 0 00 Nesse caso a indeterminacgdo nao significa que o limite nao exista Devemos utilizar recursos matematicos para trabalhar a funcdo e obter o valor do limite Neste tdpico entdao ow 9 estudaremos a indeterminacao O httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 636 11122023 1727 Eadbr x4 Inicialmente entendamos graficamente o que ocorre Seja a funcdo racional fx cujo dominio é 2 Veja a seguir o grafico desta fungdo i f 1 1 1 i i 1 1 1 1 i Figura 21 Indeterminacées 00 Fonte Elaborada pela autora E facil verificar pelo que vocé ja estudou sobre limites que o limite desta funcdo quando a variavel x aproximase de 2 é igual a 4 No entanto ao resolvermos 0 limite hi x74 0 imx 2 x2 0 Isso significa que o limite ndo existe Obviamente ndo pois vocé ja verificou que o valor do limite graficamente é igual a 4 Como podemos resolver esse limite sem a analise grafica Simplificando a fungdo Veja os calculos por fatoragdo a seguir x7 4 x 2x 2 limx 2 limx 2 limx 2 limx 2 x 2 4 x2 x2 Sendo assim quando a fungdao racional é a razdo entre duas fungdes polinomiais e o limite é igual a 00 precisamos fatorar os polindmios para simplificar a funcdao LEMBRETE fatorando polinémios de grau 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 736 11122023 1727 Eadbr x a x ax a ax bx a x quexex sao as raizes do polindmio do 2 grau Exemplo resolvendo o limite por fatoragao x1 11 0 oo limx 1 7 Indeterminagdao x73x42 17312 0 Fatorando temos x x 1x 1 x1 I1 limx 1 limx 1 limx 1 7 2 2 x7 3x42 x 1x 2 x2 12 No caso de termos polindmios de grau maior do que 2 devemos utilizar o teorema de DAlembert para a fatoracdo Teorema de DAlembert Se Px um polinédmio e a uma de suas raizes entdo Px é divisivel por xa Verifique na Figura 22 que ao dividir 0 polindmio Px por xa podemos reescrevélo como Px Ox x a rx eM que Ox O quociente e rx o resto da divisdo No entanto por meio do teorema de DAlembert 0 resto da divisdo sempre sera igual a zero PX x a rx Qx Figura 22 Divisdo de Polindmios Fonte Elaborada pela autora A seguir descreveremos uma regra pratica para efetuarmos a divisdo Regra de BriotRuffini Observe a Figura 23 para entender a regra de fatoracdo do polindmio Px x 6x 4 com finalidade de resolver o limite indicado httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 836 11122023 1727 Eadbr 1 0 6 A 2 1 2 2 0 NF X Xx Figura 23 Regra de BriotRuffini Fonte Elaborada pela autora Siga os seguintes passos 1 coloque no diagrama a raiz 2 que é sempre igual a tendéncia do limite 2na parte superior vocé deve colocar os coeficientes do polindmio lembrando de colocar zero quando os termos daquele grau que esta omitido 1 0 6 e 4 3 repetir o primeiro coeficiente na linha inferior veja a repetido do algoritmo 1 4em seguida iniciase a operagdo multiplicando a raiz 2 pelo primeiro algoritmo da segunda linha 1 e somando com o segundo algoritmo da primeira linha 0 colocando o resultado 2 5 repetese a operacdo sucessivamente como mostra as setas no diagrama até encontrar o resto zero 6 apos a Operacgao obtémse os coeficientes do quociente Qx na segunda linha do diagrama que possui sempre um grau menor do que o polindmio Px Nesse caso Ox x7 2x2e portanto Px x7 2x 2 x 2 7 resolver o limite hi x 6x4 i x 2x 2 x 2 i x22x2 274222 3 2 2 2 5 um x4 um x 2x 2 mum x 2 2 2 2 Veja outro exemplo de indeterminagdo 00 em que utilizamos como artificio matematico a multiplicagdo pelo conjugado httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 936 11122023 1727 Eadbr 347 x 37 x 3474x 3 7x limx 2 limx 2 x s x 4 HA 3 7 x x4 3 7 x 97 x x4 1 1 1 limx 2T lim 5 2 limx 2 343 6 x4 3 7 x x4 3 7 x 373 e wo Aw e Taxa de Variacao Instantanea e o Conceito de Derivada Suponha que vocé tenha feito uma viagem de 200 quil6metros em 2 horas Se perguntarem qual foi a velocidade média realizada nessa viagem é claro que vocé responderia 100 kmh sendo a fungdo espago tempo sst e a velocidade vvw Codificando matematicamente definimos a velocidade média da seguinte forma As st vt ym limtt 7 Se esse limite existir 0 Verifique na Figura 24 a interpretacdo grafica S Qss i AS 2 AS O Slt V o J 1 O Te tt Sty ncaa sagt a t ty t At Figura 24 Taxa Média de Variacdo Fonte Elaborada pela autora httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1036 11122023 1727 Eadbr Agora se a pergunta fosse qual foi a velocidade exatamente em 15 hora de viagem nesse caso vocé nado responderia pois seria necessario olhar no velocimetro do carro naquele momento Essa velocidade pontual denominada velocidade instantanea Definicao da Derivada ds Dizemos que a derivada de uma fungao em um ponto fy denotada por st ou 0 é st xt igual ao limite s limr1 Se esse limite existir 0 Verifique a interpretacdo grafica na Figura 25 S QZs I St St Pp lim i AS Ss t ne tt a p B Sty Oo I Se esse limite existir aan ty t 1 At Figura 25 Taxa Instantdnea de Variacdo Fonte Elaborada pela autora Analisando a Figura 25 verifique que a reta azul uma reta secante a curva s st uma vez que passa por dois pontos P e Q Observe que quando ttende a fy 0 ponto P tende ao ponto Q Portanto fazendo At 0 a reta secante tende a reta tangente a curva s st no ponto P Passando o limite temos o valor exato da taxa instantanea de variagao da razdo Ast A incremental sO que resulta na velocidade instantdnea Dessa forma ao derivarmos a fungdo espago tempo aplicada a um tempo especifico obtemos a funcgdo velocidade Similarmente ao derivarmos a fungdo velocidade encontramos a fungdo da aceleragdo Por outro lado geometricamente a derivada da httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1136 11122023 1727 Eadbr fungdo fx aplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente a curva neste ponto Isso significa que a derivada da funcdo aplicada ao ponto é igual a tangente do angulo formado por essa reta e 0 eixo das abscissas como mostra a Figura 26 Nn f x f X 7 tx Xo Xo t Figura 26 Reta tangente e reta normal a curva Fonte Elaborada pela autora Dessa forma por meio da fungdo derivada possivel determinar a equagdo da reta tangente no ponto P Xo v0 e consequentemente a equacao da reta normal a curva nesse ponto A Figura 27 mostra geometricamente essas retas que sdo definidas como e reta tangente v0 f0 x x9 1 e reta normal o x x0 fx Diante de tantas definigédes vermos alguns exemplos para ajudalo a internalizar esses novos conhecimentos Exemplos 1 encontre a derivada da funcao fx x 3 no ponto xq 1 usando a sua definicdo 2 4 2 fix fU x 1 x 1 x 1 fA limx 3 1 limx 1 lim 3 1 limx 1 lime 1 x 1 x1 x1 x1 x1 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1236 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1336 2 calcule a derivada da função fx x2 3x no ponto x0 2 e para um ponto x0 qualquer fx0 limx x0x2 3x x0 2 3x0 x x0 limx x0x2 x0 2 3x x0 x x0 limx x0x x0x x0 3x x0 x x0 2x0 3 f2 2 2 3 7 3 calcule a equação da reta tangente e da reta normal à parábola fx x2 no ponto x0 1 Figura 27 Cálculo reta tangente e reta normal à curva Fonte Elaborada pela autora Solução Para x0 1 obtemos que f1 12 1 Portanto o ponto P0 1 1 f1 limx 1 fx f1 x 1 limx 1 x2 1 x 1 limx 1 x 1x 1 x 1 limx 1 x 1 2 11122023 1727 Eadbr Equacao da reta tangente ODfMD21 a y2x41 Equagdo da reta normal 1 1 1 1 ee x x Sys raxtt OD Foe D OD FD syaaRty 4 a equacdo do movimento de uma particula é dada por sf 1 em que s esté em metros e t esta em segundos Encontre as funcdes de velocidade e aceleragdo em funcgdo det 2 2 t1t1 a 10 Vt limt t limt t 0 dt tt tto 22 Mwat Har limt t limt 2 0 t to 0 t to 0 dv OF lite oO bio n 2 2 alt mt th limtt limtt iC dt tto tto Acreditase que Isaac Newton estava observando o movimento curvilineo de corpos celestes Ele imaginou que em vez de estudar as curvas elipticas que apresentavam grau de dificuldade poderia estudar pequenos segmentos de retas ou seja as Curvas poderiam ser representadas por esses segmentos facilitando o estudo de inumeros processos fisicos Conhega mais sobre sua histdria e sobre o calculo diferencial e integral no link a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1436 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1536 Agora é com você Teste o seu conhecimento praticar Vamos Praticar Encontre a equação da reta tangente e normal à curva fx x no ponto x0 4 Fonte Elaborada pela autora As equações encontradas para a reta tangente rT e reta normal rN respectivamente são a rT 4x 18 e rN x 4 1 b rT 2x 9 e rN x 2 1 c rT x 11 e rN x 1 d rT 4x 18 e rN x 4 1 e rT 3x 16 e rN x 3 1 11122023 1727 Eadbr 0 0 cY y 5 cw Derivadas Imedaiatas e 2 ro a sone gum Regras de Derivacao a eee Agora vamos dar continuidade ao estudo da fungcdo derivada cujo calculo sera facilitado por conta da utilizagdo das regras de derivacdo e da tabela de derivadas de fungdes elementares e oo Tabela de Derivadas de Funcoes A seguir apresentaremos a tabela de derivadas das funcgdes elementares Vale ressaltar que a tabela foi construida a partir da definigdo da derivada por meio do limite como ja mostrado anteriormente Essas demonstragdes sao encontradas na maioria dos livros de calculo Aqui apresentaremos os resultados na Tabela 21 e utilizaremosna para derivar fungdes ndo elementares Veja um exemplo a derivada da funcdo constante é igual a zero De fato se fix cc entdo 1 A0 oe 0 fx limx xy limx x limx 1 limxx0 0 xXxXq XXo xXQ Similarmente sao calculadas as derivadas de outras funcgdes apresentadas na Tabela 21 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1636 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1736 Considere a c e n constantes 1 y c c ℜ y c 2 y x y 1 3 y 1 x y 1 x2 4 y xn n 0 y nxn1 5 y axa 0 a 1 y ax lna 6 y ex y exlne ex 7 y logax a 0 a 0 y 1 x lna 8 y lnx a 0 a 0 y 1 x lne 1 x 9 y senx y cosx 10 y cosx y senx 11 y tgx y sec2x 12 y cotgx y cossec2x 13 y secx y secx tgx 14 y cossecx y cossecx cotgx 15 y arcsenx y 1 1x2 16 y arccosx y 1 1x2 17 y arctgx y 1 1x2 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1836 18 y arccotgx y 1 1x2 19 y arcosecx x 1 y 1 xx21 x 1 20 y arccossecx x 1 y 1 xx21 x 1 Fonte Adaptada de Fleming 2007 p 158 Restanos tomar conhecimento das regras de derivação com as operações usuais que serão apresentas a seguir Regras de Derivação Sejam u e v funções deriváveis de x bem como c e n constantes para entender os exemplos a seguir consulte a Tabela 21 para derivar as funções elementares 1 A derivada da soma é a soma das derivadas fx ux vx fx ux vx Exemplo fx x4 x 6 fx x4 x 6 4x4 1 1x1 1 0 4x3 1 2 A derivada do produto entre duas funções fx ux vx fx ux vx ux vx Exemplo fx senx cosx fx senx cosx senx cosx cosx cosx senx senx cosx2 senx2 11122023 1727 Eadbr cosx senx 3 A derivada do produto entre uma constante e uma funcao fix c ux fx c ux c u x Oc u x Verifique que ao aplicar a regra anterior o primeiro termo sempre é anulado Resulta que fx c ux fx c ux ou Seja a derivada de uma constante por uma funcdo é igual ao produto entre a constante e a derivada da fungdo Exemplo fx 3 tex fx 3 tex 3 secx 104 922 Kx 3x 9a sen2z fx 3 rf x13 sen2x 2 fx 310x9 149 51023 fx 30x 6x 1 9 6 fx 30x ax 4 A derivada do produto quociente entre duas funcgdes ux u x vx uxv x fa Fay FR ma E lo deri 2x3 4x xemplo derive fx pea Solugdo 2x 4x 3x x Qe 4x 3 fe 3x5427 x8x 3x x 8 4x 15x42x 7 3x5x27 18x7 6x424x6 8x3 30x7 4x4 60x 8x3 J 3x5x27 12x736x2x4 7 9x19 6x7 4 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 1936 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2036 12x3 36x2 2 9x6 6x3 1 Agora vamos mostrar mais alguns exemplos para demonstrar como aplicar as regras de derivação e a seguir vamos propor uma atividade para você praticar Exemplo dada a função fx 3senx x tgx encontre o valor da fπ Solução fx 3senx x 3senx x x 2 sec2x 3 x cos x 3senx x2 1 cos2 x 3 x cos x 3senx x2 1 cos2 x fπ 3 π cos π 3senπ π2 1 cos2 π 3 π 1 30 π2 1 1 2 3 π π2 1 3 π 1 3 π π praticar Vamos Praticar Encontre a derivada da função fx 2 x2 3x21 usando as regras de derivação adequadas O valor encontrado é igual a a fx 14x 3x21 2 b fx 11x2 3x21 2 c fx 15x 3x21 2 d fx 24 3x21 2 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2136 e fx 1 3x21 2 11122023 1727 Eadbr r PI r P O0CSs TCOMDOStas C uncoes TCO WUSLdS a2 E egra da Cadela mY G So U So GS U w IG eee Vocé aprendeu a derivar muitas fungdes porém até aqui trabalhamos apenas com fungdes nao compostas em que a variavel xX aparece isolada cosx x3 tgx e Inx secx etc Agora vocé vai aprender a derivar as funcdes 2 3 5 x74 2 Nn compostas por exemplo cos x 1 5x t x 2x7 e Insenx seq x Nesses exemplos verifique que ha composigdes de funcgdes trigonométricas com funcgdes polinomiais fungdes exponenciais compostas com polinomiais fungses logaritmicas compostas com funcoes trigonométricas e até mesmo composigcdo de fungées polinomiais com funcées polinomiais A Figura 28 ilustra a composigdo entre a fungdo g com a f Nesse caso verifique no diagrama que a funcdo f leva um elemento a pertencente ao seu dominio da f a fa pertencente ao seu contradominio J Para que haja a composigdo 0 dominio da g deve coincidir com a imagem de f Assim g leva um elemento fa a gfa pertencente ao conjunto Q Portanto escrevemos gOf a gfa httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2236 11122023 1727 Eadbr g ofa gof Figura 28 Definido da Funcdo Composta Fonte Elaborada pela autora A Regra da Cadeia Para derivar uma fungdo composta utilizase a Regra da Cadeia definida a seguir Definicao da Regra da Cadeia Sejam f1 Re g1 R tal que fl c J Se fé derivavel em a e g é derivavel em fla entdo go fé derivavel ema egefa 2 fla fa Notacoes y fix g fx gXx fx gv g ofa g fx FO y glu u fix dy 7 dy du dx du dx httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2336 11122023 1727 Eadbr Para deixar claro sobre como usar a regra da cadeia para derivar fungdes compostas vamos mostrar alguns exemplos 37S 4 2 1 Derive a fungdao fx x 4x 3x 4x3 Solugdo verifique nos calculos que vocé deve usar a mesma regra vista anteriormente para derivar a funcao poténcia fu un u ux e multiplicar pela derivada da parte int 344 N eG Ff du f f a n1 interna u 3x x Nesse Caso 7 7 Ou x fu u nu u Portanto 2 t fix 3x4 4 Gx 4x 2 fs 3Gx4 48 2 4 21283 4 3 Ge 4x 2 Derive a func3o fix 83 5 Solugdo aqui vocé vai utilizar a derivada da fungdo exponencial y a a R u ux entdo y aInau Portanto fx 8 5 In 3x fx 8345 n8 6x 3 Derive a funcado fx if 5x 4x 9 Solugdo aqui vocé vai utilizar a derivada da fungdo exponencial y Jog a R u ux 1 entao vy Tinga Portanto 1 3 5 15x 8x 15x 8x fx x 4x 9 3 2 3 2 3 2 sx 4x 9 Ine sx 4x 9 1 5x dy 9 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2436 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2536 4 Derive a função fx 3 tg2x 1 x Solução a derivada da função trigonométrica y tgu a ℜ u ux é igual a y sec2u u Portanto fx 3 tg2x 1 x1 2 fx 3 sec22x 1 2x 1 1 2x 1 2 1 3 sec22x 1 2 1 2x 1 2 fx 6 sec22x 1 1 2x 5 Derive a função fx cossec2x3 cossex3 2 Solução a derivada da função trigonométrica y cossecu u ux é igual a y cossecu cotagu u Portanto fx cossex3 2 fx 2 cossecx3 cossecx3 fx 2 cossecx3 cossecx3 cotgx3 x3 fx 2 cossec2x3 cotgx3 3x2 fx 6x2 cossec2x3 cotgx3 Agora que você já entende a Regra da Cadeia vamos adaptar a Tabela 11 de derivadas de funções elementares porém generalizando para funções compostas com a regra da cadeia Tabela 22 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2636 Considere a c e n constantes e u ux e v vx funções reais na variável x 1 y c c ℜ y c 2 y x y 1 3 y 1 x y 1 x2 4 y uxn n 0 y n uxn1 ux 5 y auxa 0 a 1 y aux ux lna 6 y eux y eux ux lne eux ux 7 y logaux a 0 a 0 y 1 ux lna ux 8 y lnux a 0 a 0 y 1 ux lne ux 1 ux ux 9ysenleft uleft x right right ycosleft uleft x right rightcdot uleft x right 10 y cosux y senux ux 11 y tgux ysec2left x rightcdot uleft x right 12ycotgleft uleft x right right y cossec2x ux 13 y secux y secx tgx ux 14 y cossecux y cossecx cotgx ux 15 y arcsenux y 1 1x2 ux 16 y arccosux y 1 1x2 ux 11122023 1727 Eadbr 1 17 y arctgux 2 To x a 1 18 y arccotgux y TY x 1 19 y arcosecux x 1 y Ix 4fe1 ux p 21 1 20 y arccossecux x 1 Fyre Ix ape suxx 21 21 y ux vx y uxvQx 22 y ux Vx y ux Wx ux vx 23y c ux Qy cux ux 1 ux vx uxv x 24 y YV Tay YO 0 y Da Tabela 22 Tabela de derivadas de fungées elementares nado compostas Fonte Adaptada de Flemming 2007 p 158 Verifique que a Tabela 22 apresenta as fungdes compostas e suas derivadas Para tanto basta utilizar a mesma regra da Tabela 11 e multiplicar por wx Agora com vocé Consultando a tabela generalizada de derivadas vocé pode obter as derivadas de quaisquer funcdes Exemplo usando as regras de derivagdao determine a expressdo da derivada da funcgao y 2 Ix 15x 2x Solucao ye 2 i Bx 15x 2x 2 Ix sx 2x 2 Ix 15x 2x 3 2 3 2 2 y QnBx 15x 2x x asx 2x mG Ix 1 15x 2 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2736 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2836 praticar Vamos Praticar Usando as regras de derivação determine a expressão da derivada da função y 2 3 5x 3 5x 3 3 O valor encontrado é a y 40 5x3 2 5x3 3 b y 20 5x3 2 c y 40 5x3 2 d y 5x3 2 5x3 3 e y 20 5x3 2 5x3 3 11122023 1727 Eadbr Jy c D 1 om y on cc S Ja cc a Verivac aS BUCeSSVaS Ee PI Lf Derivacao Implicita Verivacao IMplicite 2 J meee eee ee eee ee ee ee ee ee ee ee Neste tdpico daremos continuagdao ao calculo de derivadas agora mostrando como obter as derivadas de ordens superiores ou seja para obter a derivada de ordem 2 devemos derivar novamente a primeira derivada da fungdo caso esta exista E assim sucessivamente para obter as derivadas de ordem acima de 2 Também veremos como derivar fungdes dadas em forma especial especificamente na forma implicita em que a variavel y ndo esta explicita yfx Derivadas Sucessivas Dada a funcdo y fx ey fx como sua primeira derivada dizemos que e asegunda derivada da funcdo y fix é dada por y f x 0 e aterceira derivada da funcdo y fx 6 dada por y fx e a quarta derivada da funcdo y fix é dada por y fx Assim sucessivamente para encontrar as demais No entanto vale ressaltar que nem todas as funcgdes admitem as derivadas sucessivas Existem fungdes continuas que nado admitem nem mesmo a primeira derivada e nesse caso dizemos que essa funcdo é de classe C No caso de a funcdo sé admitir até a primeira derivada sua classe é C e assim sucessivamente para as classes das demais funcgées C C C C etc Exemplo httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 2936 11122023 1727 Eadbr 1 seja a funcdo fx i 2 calcule f2 Verifique que nesse caso vamos utilizar a regra numero 7 e 25 da Tabela 22 ue u uyuv ya Inu oy Tey a yoy aT Solugdo 1 1 2x fx a x 1 2 3 2 2 2 2x 5 1x 1x 1x 1x 2 2 ani x ou x 2X1 2 even Y 2x f CO 1 x 1 32 1 22 22x7 4x7 2 2x TO DD 1 x 1 x f 222 2 2 i2P 9 e fe e Derivadas Implicita Agora vocé vai aprender a derivar fungdes dadas na forma implicita Mas antes vamos exemplificar esse tipo de fungdo Sado fungdes em que em sua escrita a variavel dependente y ndo aparece explicitamente como y fx Veja alguns exemplos a seguir Verifique que em alguns casos é possivel isolar a variavel y e representala explicitamente Porém nem sempre isso é possivel justificando assim a importancia de saber derivar fungdes dadas na forma implicita Exemplos de fungdes dadas na forma implicita 1yxty1lx 29 x71 3 x2 y Verifique nos exemplos que a variavel dependente y uma funcdo de x y fx No entanto nas equacgdes apresentadas esta é dada na forma implicita Dessa forma para derivar as equacées utilizaremos a regra da cadeia que deriva as fungdes compostas Veja os exemplos a seguir httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3036 11122023 1727 Eadbr Exemplos 1 encontre a derivada y em que y dada na forma implicita y xy 10 Verifique 0 passo a passo 1 Ambos os lados da equagdo devem ser derivados respeitandose todas as regras de derivacgdo ja vistas inclusive a regra da cadeia 6 9 0 Regra do Produto 2yy x y 0 2yy 2xy y 0 2 Colocar todos os termos que possui y do lado esquerdo e os demais do lado direito 2yy y 2x 3 Evidenciar y ry 2xy 4 Isolar y para explicitala ey ayi3 Exemplos 2 encontre a derivada y em que y dada na forma implicita cosx y tgx y 9 Verifique 0 passo a passo 1cosxytigxty 9 Regra da Cadeia senx ty y secx ty 0 senx y y secx y a y 0 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3136 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3236 2 Evidenciar y 1 y senx y 1 y sec2x y 0 3 Isolar y para explicitála 1 y 0 y 1 praticar Vamos Praticar Seja a função fx senx cos2x calcule fπ O valor encontrado é igual a a fπ π b fπ 1 c fπ 3 d fπ 2 e fπ 2π 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3336 indicações Material Complementar LIVRO Cálculo A funções limites derivação e integração Diva Marília Flemming e Mirian Buss Gonçalves Editora Pearson Prentice Hall ISBN 857605115X Comentário é um excelente livro de cálculo que aborda todo o conteúdo elucidando a aplicação das derivadas em várias áreas do conhecimento Recomendo a leitura do capítulo 4 que aborda praticamente todo o conteúdo desta unidade Recomendo a resolução de alguns exercícios das seções 410 função derivável 412 derivadas de funções não compostas 416 derivadas de funções compostas e 416 derivadas sucessivas e implícitas 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3436 FILME Cálculo I Aula 05 Derivada Ano 2016 Comentário esse vídeo mostra a aplicação de derivadas em problemas que envolvem a cinemática Você terá a oportunidade de ver várias aplicações para reforçar os seus conhecimentos por meio da aula 05 do excelentíssimo professor Cláudio Possani da Universidade Virtual do Estado de São Paulo Além disso recomendo também as aulas 07 e 08 que trabalham as regras de derivação TRAILER 11122023 1727 Eadbr Nesta unidade vocé caroa alunoa estudou os conceitos de derivadas entendeu a sua definigdo por meio do limite e além disso verificou sua aplicagdo como taxa de variagao instantanea importante ferramenta para a resolugdo de problemas que envolvem a cinematica velocidade e aceleragdo Aprendeu também a calcular derivadas por meio das regras operatorias e da tabela de derivadas Dessa forma o calculo fica simplificado evitando ter de utilizar a sua definigdo por limite para o calculo Além disso vocé aprendeu a derivar as fungéSes compostas sucessivamente ao encontrar derivadas de ordem superior e implicitamente fungdes dadas na forma implicita ee rere reer eee reer eee ANTON H Calculo v 1 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 COSTA N M L da A Historia da Trigonometria Universidade Federal do Rio Grande do Sul Disponivel em httpwwwufrgsbrespmatdisciplinasgeotrimodulo3mod3 pdfhistoria triogonopdf Acesso em 27 nov 2019 FLEMMING D M GONCALVES M B Calculo A funcées limites derivacdo e integracdao 6 ed Pearson Prentice Hall 2007 O NASCIMENTO do calculo Ecalculo Disponivel em httpecalculoifuspbrhistoriahistoriaderivadashtmAcesso em 9 dez 2019 httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3536 11122023 1727 Eadbr httpscodelyfmucontents3amazonawscomMoodleEADConteudoENGCALCUV20unidade2ebookindexhtml 3636 STEWART J Cálculo São Paulo Cenagage Learning 2013