Projeto e Cálculo de Vigas em Concreto Protendido

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO E AÇO PROJETO E CÁLCULO DE UMA VIGA EM CONCRETO PROTENDIDO DAVID RESENDE 2018 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ANÁLISE E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO E AÇO PROJETO E CÁLCULO DE VIGAS EM CONCRETO PROTENDIDO DAVID RESENDE Trabalho Final apresentado ao Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Especialista em Análise e Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado e Aço Comissão Examinadora Prof Sebastião Salvador DSc DEES UFMG Orientador Prof Ney Amorim DSc DEES UFMG Belo Horizonte 14 de março de 2018 3 AGRADECIMENTOS À minha mãe Zuleica minha irmã Júlia e a Sara pelo exemplo e pelo apoio incondicional Ao professor Sebastião Salvador pela confiança e apoio 4 RESUMO Este estudo discorre sobre o cálculo estrutural em concreto protendido no que diz respeito as considerações de cálculo e projeto de vigas protendidas Para tal pretendese analisar uma viga isostática por entender que ela apresenta de forma mais simples o tema do concreto protendido bem como lançar luzes sobre esse tema pouco tratado no mercado e nas universidades quando comparado ao concreto armado convencional Alem disso pretendese analisar detidamente as perdas imediatas e diferidas no concreto e no aço sob protensão e os tipos de protensão Palavraschave Concreto protendido Viga protendida Pontes 5 ABSTRACT This study discuss about the structural calculation in prestressed concrete as well as calculation and design of prestressed beams In order to do so we intend to analyze an isostatic beam since it presents a simpler way to study the subject of the prestressed concrete as well as to discuss on this untreated topic in the market and in the universities when compared to conventional reinforced concrete In addition we intend to carefully analyze the immediate and deferred losses in the prestressed concrete and the types of pretension Keywords Prestressed concrete prestressed beam Bridge 6 ÍNDICE AGRADECIMENTOS 3 RESUMO 3 LISTA DE FIGURAS 8 LISTA DE TABELAS 8 1 INTRODUÇÃO 9 2 OBJETIVOS 9 3 CONCEITOS GERAIS DE PROTENSÃO 10 31 CLASSIFICAÇÃO 11 32 FASES DE PROTENSÃO 12 321 Montagem das armaduras 12 322 Montagem das formas e concretagem 13 323 Protensão 13 324 Ancoragem 14 325 Aderência através de injeção de nata de cimento na bainha 15 33 VANTAGENS E DESVANTAGENS 15 4 MATERIAIS 17 41 CONCRETO 17 411 Retração 17 412 Fluência 18 413 Resistência à tração e compressão 19 42 AÇOS PARA PROTENSÃO 19 421 Fios encruados e fios por trefilação 19 422 Cordoalhas 20 423 Propriedades mecânicas 20 424 Relaxação do aço 21 5 CÁLCULO DE UMA VIGA ISOSTÁTICA PROTENDIDA 22 51 DADOS DA ESTRUTURA 22 52 CÁLCULO DA SEÇÃO NECESSÁRIA 22 53 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 23 54 DETERMINAÇÃO DA FORÇA DE PROTENSÃO 24 55 ESTUDO DA PEÇA À FLEXÃO 25 56 ESTUDO DAS PERDAS 25 561 Perdas por atrito 26 562 Perdas por cravação 29 563 Perdas por deformação imediata 31 564 Perdas por fluência do concreto 36 565 Perdas por retração 40 566 Perdas por relaxação do aço 41 7 57 QUADRO DE TENSÕES 41 58 DIMENSIONAMENTO DOS ESTRIBOS 46 59 RESULTADOS DA PLANILHA DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ISOSTÁTICAS 48 6 CONCLUSÃO 53 7 BIBLIOGRAFIA 54 8 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 TENSÕES NO ESTÁDIO I NUMA VIGA PROTENDIDA RODRIGUES 2008 10 FIGURA 2 CARGA EQUIVALENTE EXERCIDA POR UM CABO PARABÓLICO NUMA VIGA PROTENDIDA RODRIGUES 2008 11 FIGURA 3 MONTAGEM DAS ARMADURAS E FIXAÇÃO DAS BAINHAS RODRIGUES2008 12 FIGURA 4 MONTAGEM DAS FORMAS E CONCRETAGEM 13 FIGURA 5 MACACO HIDRÁULICO EXECUTANDO A PROTENSÃO E CONTROLE DE TENSÕES 13 FIGURA 6 ETAPAS DA OPERAÇÃO DE PROTENSÃO CATÁLOGO RUDLOFF 14 FIGURA 7 ANCORAGENS ATIVAS TIPO E B EL E AF 14 FIGURA 8 ANCORAGENS PASSIVAS TIPO U H E PC 14 FIGURA 9 ANCORAGENS DE EMENDA TIPO K E UK 15 FIGURA 10 ANCORAGENS INTERMEDIÁRIAS TIPO Z 15 FIGURA 11 REPRESENTAÇÃO DE UM ESQUEMA DE PROTENSÃO PARA INJEÇÃO DE NATA DE CIMENTO 15 FIGURA 12 VALORES CARACTERÍSTICOS SUPERIORES DA DEFORMAÇÃO ESPECIFICA DE RETRAÇÃO ΕCSTT0 E DO COEFICIENTE DE FLUÊNCIA ΦTT0 TABELA 82 DA NBR61182014 19 FIGURA 13 DETALHE DE UMA CORDOLHA DE 7 FIOS 20 FIGURA 14 CÁLCULO DAS ÁREAS NA PERDA POR CRAVAÇÃO 30 LISTA DE TABELAS TABELA 1 RESUMO DAS PERDAS POR ATRITO 29 TABELA 2 TENSÕES APÓS AS PERDAS POR ATRITO E CRAVAÇÃO 31 TABELA 3 TENSÕES APÓS AS PERDAS POR ATRITO E CRAVAÇÃO 36 TABELA 4 VALORES CARACTERÍSTICOS SUPERIORES DA DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA DE RETRAÇÃO 37 TABELA 5 TENSÕES APÓS AS PERDAS POR ATRITO E CRAVAÇÃO 40 TABELA 6 TENSÕES APÓS AS PERDAS POR RETRAÇÃO 40 TABELA 7 VALORES DE 𝜓1000 EM PORCENTAGEM 41 TABELA 8 TENSÕES APÓS TODAS AS PERDAS 41 TABELA 9 FORÇAS DE PROTENSÃO 42 TABELA 10 VALORES DAS TENSÕES EM CADA SEÇÃO 44 TABELA 11 QUADRO FINAL DE TENSÕES 45 TABELA 12 QUADRO FINAL DE TENSÕES APÓS A ALTERAÇÃO DO FCK 46 9 1 INTRODUÇÃO Segundo Evandro Porto Duarte No setor de projetos devem ter 10 mil calculistas de concreto armado desses talvez uns 200 saibam calcular concreto protendido Além de ser uma tecnologia com diversas utilidades o concreto protendido pode ser utilizado em diversas obras mas o seu emprego ainda não está próximo do seu potencial Parte dessa culpa está na pouca divulgação e na setorização de seu conhecimento Neste trabalho será calculado uma viga isostática protendida completa passo a passo e de forma didática seguindo as normas vigentes 2 OBJETIVOS O propósito maior deste trabalho é portanto aprender mais sobre o tema do concreto protendido e divulgar para os demais interessados mais sobre essa área que tem tanto potencial de crescimento e desenvolvimento científico 10 3 CONCEITOS GERAIS DE PROTENSÃO Concreto protendido pode ser definido como um concreto submetido a um estado permanente de tensões internas introduzidas por uma armadura previamente tracionada que se opõem até limites desejados às tensões provocadas por cargas externas RODRIGUES 2008 O grande incoveniente do concreto armado é que a sua armadura somente começa a trabalhar quando a peça é solicitada e com isso pelo efeito da aderência a deformação do concreto acompanha a do aço acarretando tensões de tração não só no aço como no concreto que acaba por fissurar e com isso perde sua capacidade de proteção da armadura e perde seção colaborante com a consequente diminuição de inércia DUARTE 2015 Em uma viga protendida com um cabo reto localizado a uma distância e excentricidade do eixo baricêntrico da seção transvesal Sendo P força de protensão M momento fletor causado pela carga q I momento de inércia da seção transversal de concreto A área da seção transversal de concreto as tensões resultantes que atuam a uma distância y do cg da seção serão dadas por 𝜎𝑦 𝑃 𝐴 𝑃𝑒𝑦 𝐼 𝑀𝑦 𝐼 Figura 1 Tensões no Estádio I numa viga protendida RODRIGUES 2008 11 Figura 2 Carga equivalente exercida por um cabo parabólico numa viga protendida RODRIGUES 2008 Duarte 2015 descreve que o traçado do cabo parabólico faz com que se visualize fisicamente duas grandes virtudes da protensão A inclinação do cabo na região do apoio fornece componentes que combatem ao mesmo tempo o esforço cortante e o momento fletor A curvatura do cabo através do seu tensionamento e a tendência a se retificar conduz a introdução de forças verticais de baixo para cima forças de desviação que combatem as cargas externas reduzindo no todo o carregamento atuante na peça 31 Classificação Segundo Machado 2007 o concreto protendido pode ser classificado em Concreto com armadura ativa prétracionada protensão com aderência inicial A ancoragem no concreto realizase só por aderência Concreto com armadura ativa póstracionada protensão com aderência posterior Após o estiramento dos cabos a aderência é criada de modo permanente através da injeção das bainhas Uma das grandes vantagens é que na eventualidade de ocorrer a ruptura de algum cabo a estrutura absorverá e diluirá as tensões decorrentes do rompimento Concreto com armadura ativa póstracionada protensão sem aderência Não ocorre aderência entre os aços protendidos e a massa de concreto envolvente Geralmente constituído de cordoalhas protendidas engraxadas em mangueiras de polietileno de alta densidade onde a movimentação dentro das bainhas é permitida pela camada lubrificante Por não haver aderência os esforços de protensão ficam concentrados nas ancoragens Essa concentração de forças exige que as ancoragens sejam produzidas com elevados padrões de qualidade e resistência Por outro lado por utilizar geralmente monocordoalhas os macacos de protensão são de pequeno 12 porte e peso e os cabos são leves e muito flexiveis permitindo curas verticais e horizontais 32 Fases de Protensão 321 Montagem das armaduras Consiste na montagem das armaduras passivas e fixação das bainhas seguindo o traçado definido pelo projeto As bainhas podem ser fixadas aos estribos com ou sem as cordoalhas no seu interior dependento do traçado e da extensão do cabo Figura 3 Montagem das armaduras e fixação das bainhas RODRIGUES2008 13 322 Montagem das formas e concretagem Figura 4 Montagem das formas e concretagem 323 Protensão Segundo o catálogo da Rudloff a operação de protensão é aplicada através de macacos hidráulicos e bombas de alta pressão Normalmente é composta pelas etapas de preparação colocação do equipamento protensão das cordoalhas cravação e acabamento Figura 5 Macaco hidráulico executando a protensão e controle de tensões Como apresentado na Figura 6 a operação de protensão segue as seguintes etapas 14 1 Colocação de blocos e cunhas 2 Posicionamento do macaco de protensão 3 Tracionamento das cordoalhas 4 Cravação das cunhas 5 Corte das pontas das cordoalhas e fechamento dos nichos Figura 6 Etapas da operação de protensão Catálogo Rudloff 324 Ancoragem Segundo o catálogo da Rudloff as ancoragens são dispositivos capazes de manter o cabo em estado de tensão transmitindo a força de protensão ao concreto ou ao elemento estrutural São basicamente de quatro tipos Ancoragens ativas tipo E B EL e AF são as ancoragens nas quais se promove o estado de tensão no cabo através do macaco de protensão Figura 7 Ancoragens ativas tipo E B EL e AF Ancoragens passivas tipo U H e PC são dispositivos embutidos no concreto destinados a fixar a extremidade do cabo oposta àquele da ancoragem ativa Somente recebem o esforço advindo da protensão executada na ancoragem ativa A transferência da força de protensão para o concreto se dá por aderência das cordoalhas e por tensões de compressão entre a ancoragem e o concreto Figura 8 Ancoragens passivas tipo U H e PC Ancoragens de emenda tipo K e UK são combinações de duas ancoragens uma passiva e uma ativa que permitem a continuação de cabos a partir de pontos intermediários 15 Figura 9 Ancoragens de emenda tipo K e UK Ancoragens intermediárias tipo Z são ancoragens posicionadas no meio dos cabos quando suas extremidades forem inacessíveis para a protensão Figura 10 Ancoragens intermediárias tipo Z As combinações de ancoragens mais comuns são duas ativas ou uma ativa e uma passiva as quais podem ser adotadas para protensão com ou sem aderência 325 Aderência através de injeção de nata de cimento na bainha A injeção de nata de cimento nas bainhas garante a aderência mecânica da armadura de protensão ao concreto em todo o comprimento do cabo além de assegurar a protensão das cordoalhas contra a corrosão Figura 11 Representação de um esquema de protensão para injeção de nata de cimento 33 Vantagens e Desvantagens Segundo Thomaz 2004 e Rodrigues 2008 a adoção da solução do concreto protendido apresenta as seguintes vantagens 16 Devido à utilização de materiais de resistência muito mais alta Aço e Concreto podese construir estruturas mais esbeltas e com vãos maiores com menor peso próprio do que quando se constrói com o concreto armado Enquanto para o Concreto protendido as vigas seguem a relação de Vão17 a Vão20 a altura das vigas em pontes rodoviárias para concreto armado variam entre Vão10 a Vão12 A protensão aumenta a vida útil das estruturas pois as fissuras são evitadas ou mesmo se existirem fissuras as aberturas são mínimas Isto aumenta a durabilidade As deformações permanecem muito pequenas porque as estruturas sob as cargas de serviço mesmo com protensão parcial praticamente permanecem no estádio I Estruturas de Concreto Protendido têm uma grande resistência à fadiga pois a variação de tensão nas armaduras protendidas é pequena mesmo no caso de protensão parcial Por isso as tensões ficam bem abaixo das tensões limites de resistência à fadiga Estruturas em Concreto Protendido podem suportar grandes sobrecargas sem sofrer danos permanentes As fissuras devidas às sobrecargas fecham novamente desde que os alongamentos das armaduras fiquem abaixo do limite de 01 01 mmm Eliminação da fissuração O grande inconveniente do concreto armado é que sua armadura somente começa a trabalhar quando a peça é solicitada e com isto pelo efeito da aderência a deformação do concreto acompanha a do aço acarretando tensões de tração não só no aço como no concreto levandoo à fissuração Com isto o concreto armado perde duas de suas capacidades vitais Proteção da armadura e seção colaborante para inércia acarretando maiores tensões e deformações A prévia compressão do concreto protendido combate futuras tensões de tração pois não permite ou pouco permite que a seção seja tracionada e sim descomprimida Redução das dimensões da seção transversal O emprego obrigatório de aços de alta resistência associado a concretos de maior resistência permite a redução das dimensões da seção transversal com redução substancial do peso próprio Diminuição da flecha A protensão praticamente elimina a presença de seções fissuradas 17 Temse assim redução da flecha por eliminar a queda da rigidez a flexão correspondente à seção fissurada Desenvolvimento de métodos construtivos A protensão permite criar sistemas construtivos diversos balanços sucessivos premoldados etc Entretanto os mesmos autores destacam as seguintes desvantagens Corrosão do aço de protensão Assim como os aços do concreto armado as armaduras de protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica Além disso apresentam outro tipo de corrosão denominada de corrosão sob tensão stress corrosion fragilizando a seção da armadura além de propiciar a ruptura frágil motivo pelo qual a armadura protendida deve ser muito bem protegida Perdas da força de protensão são todas as perdas verificadas nos esforços aplicados aos cabos de protensão Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas engraxadas Forças altas nas ancoragens Controle de execução mais rigoroso carecendo de mão de obra especializada 4 MATERIAIS 41 Concreto Todas as propriedades do concreto utilizadas nas estruturas de concreto armado são replicadas nas estruturas de concreto protendido Entretanto duas delas têm significado especial ao serem computadas as perdas devidas à protensão que serão detalhadas à diante Tratase de Retração e da Fluência do concreto descritas à seguir 411 Retração Segundo Amorim 2010 a retração no concreto é uma deformação independente do carregamento e portanto de direção sendo pois uma deformação volumétrica que ocorre devido à perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto quando esse seca em contato com o ar Segundo a NBR 61182014 depende da umidade relativa do ambiente da consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça 18 A água em excesso é necessária para dar trabalhabilidade ao concreto fresco Em contato com o ar o concreto perde parte da água não fixada quimicamente durante sua secagem ocorrendo assim uma diminuição do seu volume A retração é portanto a deformação independente de carregamento provocada pela perda da água livre quando o concreto se encontra em contato com o ar Parte da retração é irreversível Dentre os fatores que influenciam a retração os principais são Idade do concreto a retração aumenta com a idade Umidade do meio ambiente a retração aumenta com a diminuição da umidade Espessura da peça a retração aumenta com a diminuição da espessura da peça Composição do concreto a retração aumenta com o consumo de cimento e com o aumento do fator águacimento Temperatura do meio ambiente a retração aumenta com a temperatura 412 Fluência Segundo Amorim 2010 a fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada Devido a essa deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça provocando esse fato uma expulsão da água quimicamente inerte de camadas mais internas para regiões superficiais da peça onde a mesma já tenha se evaporado Isso desencadeia um processo ao longo do tempo análogo ao da retração verificandose dessa forma um crescimento da deformação inicial até um valor máximo no tempo infinito Tanto a retração como a fluência podem ser calculados a partir da tabela 82 da NBR61182014 19 Figura 12 Valores característicos superiores da deformação especifica de retração εcstt0 e do coeficiente de fluência φtt0 Tabela 82 da NBR61182014 413 Resistência à tração e compressão Segundo Duarte 2015 os estágios que limitarão as maiores tensões de compressão podem ser estimadas por Na fibra inferior na solicitação de ppprotensão o valor da máxima tensão de compressão deverá ser inferior devido às perdas de protensão a 23 de fck Na fibra superior na ocorrência de todos os carregamentos o valor máximo igual a fck2 42 Aços para protensão 421 Fios encruados e fios por trefilação Classificação NBR 7482 Conforme a resistência à tração classificamse nas categorias CP150 CP160 e CP170 Conforme o comportamento à relaxação classificamse em relaxação normal RN e relaxação baixa RB São fabricados com diâmetros de 4 5 6 7 e 8 mm A resistência dos aços utilizados em concreto protendido 160MPa 170MPa são muito superiores aos utilizados no concreto armado 50MPa 60MPa Essa diferença na resistência dos aços para armadura passiva e ativa ocorre pois por um lado os aços como o CA50 não resistiriam as forças de protensão praticadas no concreto protendido Concreto das classes 30 34 3 29 26 22 2 16 15 C20 a C45 60 29 27 25 23 19 18 14 14 Concreto das classes 30 2 18 17 16 14 13 11 11 C50 a C90 60 17 16 15 14 12 12 1 1 5 053 047 048 043 036 032 018 015 30 044 045 041 041 033 031 017 015 60 039 043 036 04 03 031 017 015 75 15 33 28 24 2 19 t0 dias 5 46 38 39 5 27 24 24 21 19 18 16 90 Espessura fictícia 2Acu cm 20 60 20 60 20 60 20 60 Umidade média ambiente 40 55 20 Por outro lado os aços como o CP160 são antieconomômicos caso fossem utilizados para o concreto armado A fissuração depende da tensão e do módulo de elasticidade mas como o último é praticamente o mesmo quanto maior a resistência característica do aço maior a fissuração 𝜎𝑠 𝜔𝑘 ou seja a área de aço necessária para os limites de fissuração seria a mesma tanto de aços das armaduras ativas mais caros como para os aços das armaduras passivas 422 Cordoalhas Cordoalha de sete fios Constituída de sete fios de mesmo diâmetro nominal encordoados numa forma helicoidal em torno de um fio central Figura 13 Detalhe de uma cordolha de 7 fios Cordoalha de dois e três fios Constituída de dois ou três fios de mesmo diâmetro nominal encordoados numa forma helicoidal Classificação NBR 7482 Cordoalha de sete fios CP175 RN ou RB CP190 RN ou RB Cordoalha de dois ou três fios CP180 RN 423 Propriedades mecânicas fpyk valor característico da resistência de escoamento 21 fpyd valor de cálculo da resistência de escoamento fptk valor característico da resistência à tração fptd valor de cálculo da resistência à tração fpyd fpyk s fptd fptk s s 115 fpyk é um valor convencional correspondente à deformação permanente de 02 que é também considerado como a tensão correspondente a um alongamento total de 1 Segundo o item 9612 da ABNT NBR 61182014 durante as operações de protensão a força de tração na armadura não pode superar os valores decorrentes da limitação das tensões no aço correspondentes a essa situação transitória a Armadura prétracionada por ocasião da aplicação da força 𝑃𝑖 a tensão 𝜎𝑝i da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve respeitar os limites 077 fptk e 090 fpyk para aços da classe de relaxação normal e 077 fptk e 085 fpyk para aços da classe de relaxação baixa b Armadura póstracionada por ocasião da aplicação da força Pi a tensão σpi da armadura de protensão na saída do aparelho de tração deve respeitar os limites 074 fptk e 087 fpyk para aços da classe de relaxação normal e 074 fptk e 082 fpyk para aços da classe de relaxação baixa para as cordoalhas engraxadas com aços da classe de relaxação baixa os valores limites da tensão σpi da armadura de protensão na saída do aparelho de tração podem ser elevados para 080 fptk e 088 fpyk nos aços CP85105 fornecidos em barras os limites passam a ser 072 fptk e 088 fpyk respectivamente Segundo o item 96123 da NBR 61182014 por ocasião da aplicação da força Pi se constatadas irregularidades na protensão decorrentes de falhas executivas nos elementos estruturais com armadura póstracionada a força de tração em qualquer cabo pode ser elevada limitando a tensão σpi aos valores estabelecidos em 96121b majorados em até 10 até o limite de 50 dos cabos desde que seja garantida a segurança da estrutura principalmente nas regiões das ancoragens 424 Relaxação do aço A perda de tensão do aço sob deformação constante define a relaxação desse aço A relaxação dos aços é determinada por meio de ensaios padronizados medindo a perda de tensão em 1000 horas numa temperatura ambiente de 20ºC relativa a uma carga igual a 22 80 da carga de ruptura do aço A NBR 71971989 prescreve a sistemática para a execução desses ensaios Os aços de relaxação baixa são obtidos por meio de um tratamento termomecânico e apresentam apenas 20 da relaxação dos aços RN As cordoalhas e fios não apresentam comportamento diferenciado quanto à relaxação pois a temperatura durante o processo de estabilização produz uma acomodação dos fios que compõem as cordoalhas Os aços de RB aços estabilizados por processo termomecânico possuem melhor desempenho para condições normais de aplicação o que também ocorre para condições excepcionais como no caso de temperaturas mais elevadas 5 CÁLCULO DE UMA VIGA ISOSTÁTICA PROTENDIDA 51 Dados da Estrutura A viga escolhida para esse exmplo se trata de uma viga biapoiada de 260m de vão livre submetida a um carregamento permanente g8kNm e a uma carga acidental q20kNm Para classe de agressividade II o concreto deve ter 𝑓𝑐𝑘 30𝑀𝑃𝑎 Etapas do projeto de uma viga podem ser separadas em Definir seção transversal Definr o número de cabos Defnir a armadura passiva Detalhamento A espessura da alma deve ser de no mínimo 15cm devido à intenção de se utilizar cabos com 7φ12 de modo a haver espaço suficiente para a concretagem 52 Cálculo da Seção Necessária Rodrigues 2007 e Duarte 2015 recomendam como critéro de prédimensionamento da seção necessária a seguinte expressão 𝑊𝑖 𝑛𝑒𝑐 𝑀𝑔𝑞 2 3 𝑓𝑐𝑘 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑔 𝑞𝐿2 8 2 3 𝑓𝑐𝑘 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 8 20262 8 2 3 30𝑀𝑃𝑎 2𝑀𝑃𝑎 1000 0131𝑚³ Valor estimado para as perdas lentas 2𝑀𝑃𝑎 Módulo resistente elástico necessário abaixo da linha neutra 𝑊𝑖 𝑛𝑒𝑐 0131𝑚³ 23 53 Características Geométricas n yn cm An cm² ynAncm³ 1 1150 2200 2530000 2 1033 2375 245417 3 675 1125 759375 4 350 4125 144375 5 150 2100 315000 S 6075 3994167 Área 𝐴 06075m² Momento de Inércia 𝐼 01224m4 Módulo resistente elástico inferior 𝑊𝑖 01863m³ logo 𝑊𝑖 𝑊𝑖𝑛𝑒𝑐 Módulo resistente elástico superior 𝑊𝑠 02065m³ Altura da linha neutra com a face inferior 𝑦𝑖 066𝑚 Altura da linha neutra com a face superior 𝑦𝑠 059𝑚 Área 06075m² Inércia 01224m4 yi 066m Wi 01863m³ ys 059m Ws 02065m³ Carregamento distribuído sobre a viga 𝑝𝑝 06075 25 1519𝑘𝑁𝑚 𝑔 80𝑘𝑁𝑚 𝑞 20𝑘𝑁𝑚 Determinação dos momentos fletores máximos na viga neste caso a seção mais solicitada se encontra no meio do vão 24 𝑀𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝐿2 8 1519 262 8 1283𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔 𝑔 𝐿2 8 8 262 8 676𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞 𝑞 𝐿2 8 20 262 8 1690𝑘𝑁𝑚 Determinação das tensões máximas na seção mais solicitada 𝜎𝑖 𝑀 𝑊𝑖 𝜎𝑠 𝑀 𝑊𝑠 𝜎𝑝𝑝 𝑖 𝑀𝑝𝑝 𝑊𝑖 1283 01861 690𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑔 𝑖 𝑀𝑔 𝑊𝑖 0676 01861 363𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑞 𝑖 𝑀𝑞 𝑊𝑖 1690 01861 908𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑝𝑝 𝑠 𝑀𝑝𝑝 𝑊𝑠 1283 02065 621𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑔 𝑠 𝑀𝑔 𝑊𝑠 0676 02065 327𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑞 𝑠 𝑀𝑞 𝑊𝑠 1690 02065 818𝑀𝑃𝑎 Σ𝜎𝑖 690 363 908 1961𝑀𝑃𝑎 Σ𝜎𝑠 621 327 818 1766𝑀𝑃𝑎 54 Determinação da Força de Protensão r 3 008 2 013 5 010m Centro de Gravidade do cabeamento na seção mais solicitada adotado 𝑟 10𝑐𝑚 𝑒 𝑦𝑖 𝑟 66 10 56𝑐𝑚 𝑃 Σ𝜎𝑖 1 Á𝑟𝑒𝑎 𝑒 𝑊𝑖 19607 1 06075 056 01863 4215𝑘𝑁 Será adotado cordoalhas de 7 fios CP 190 RB 1270 25 Carga máxima de ruptura à 1 de alongamento 149 kN NBR7483 e Catálogo Acelor Mittal 𝑁𝑐 082𝑓𝑝𝑦𝑘 082 14910 120𝑘𝑁𝑐𝑜𝑟𝑑𝑜𝑎𝑙ℎ𝑎 Serão adotadas 5 cordoalhas de 7 fios CP 190 RB 7 x 125 55 Estudo da Peça à Flexão Esforços do momento fletor para cada seção 56 Estudo das Perdas Vamos estudar as perdas de protensão de acordo com o item 963322 da ABNT NBR 61182014 Ao ser solicitada a peça de concreto protendido encurta imediatamente O aço de protensão irá acompanhar este encurtamento e perderá força ao longo do tempo As tensões nas seções devem ser verificados para o valor inicial e o menor valor da força A consideração das perdas pode ser decisiva para que os limites admissíveis das tensões de tração e compressão nas bordas das seções sejam respeitados As perdas são subdivididas em dois grupos As perdas imediatas e as perdas lentas Perdas de Protensão Imediatas Lentas Atrito Fluência Cravação Retração Deformação Imediata Relaxação As perdas ditas imediatadas podem ser mensuradas e mesmo controladas quando da sua manifestação Isso se faz através da medida dos alongamentos dos cabos de tal forma que as forças de protensão efetivamente implantadas nas estruturas de concreto podem ser aferidas com razoável precisão O mesmo não ocorre para as perdas lentas como se manifestam por um longo tempo são função da reologia do concreto e das condições ambientes de temperatura e umidade Sua avaliação somente é possível através de correlações empíricas traduzidas na forma de expressões numéricas MACHADO 2007 S1 S2 S3 S4 S5 S6 0 26 52 78 104 13 PP viga 0 462 821 1078 1232 1283 Envoltória 0 608 1082 1420 1622 1690 26 561 Perdas por atrito É causada pelo atrito entre o cabo e a bainha ao ser aplicada a força de protensão Este efeito é acentuado nas curvas devido à existência do desvio da trajetória dos cabos nas mesmas e à constituição corrugada da bainha A perda por atrito segundo o item 963322 da NBR 6118 é quantificada da seguinte forma Nos elementos estruturais com póstração a perda por atrito pode ser determinada pela expressão 𝑃𝑥 𝑃𝑖1 𝑒𝜇Σ𝛼𝑘𝑥 Onde 𝑃𝑖 é o valor definido em 96121 𝑥 é a abscissa do ponto onde se calcula P medida a partir da ancoragem expressa em metros m Σ𝛼é a soma dos ângulos de desvio entre a ancoragem e o ponto de abscissa x expressa em radianos rad 𝜇é o coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha Na falta de dados experimentais pode ser estimado como a seguir valores em 1radianos 𝜇050 entre cabo e concreto sem bainha 𝜇030 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica 𝜇020 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica 𝜇010 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada 𝜇005 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada k é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo Na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 001𝜇 1m Segundo Machado 2007 o coeficiente k na realidade não visa tão somente corrigir as imperfeições de alinhamento ondulação mas também problemas construitivos diversos tais como flechas entre pontos de suspensão e desvios parasitários tanto nos trechos retos como nos trechos curvos Segundo Duarte 2015 a equação também pode ser escrita como 𝜎𝑥 𝜎0𝑒𝜇Σ𝛼𝑘𝑙 Onde 𝜎𝑥Valor da tensão em cada seção após a atuação da perda por atrito 𝜎0Tensão máxima aplicada pelo macaco à armadura de protensão 27 𝑙 distância da seção de cálculo a seção inicial Para a quantificação das perdas de tensão é considerado um cabo único representativo dos demais o cabo resultante Este cabo único é traçado com a média das excentricidades dos cabos originais em cada seção Assim sendo a excentricidade do cabo equivalente em cada seção será S1 S2 S3 S4 S5 S6 Cabo C1 14 34 56 76 98 112 Cabo C2 34 52 70 87 106 112 Cabo C3 59 73 85 101 114 117 Cabo C4 84 92 102 110 117 117 Cabo C5 104 108 115 115 117 117 Cabo Equivalente 59 72 86 98 110 115 28 𝑆1 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 072 059 260 29 𝑆2 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 072 059 260 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 086 072 260 2 30 𝑆3 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 086 072 260 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 098 086 260 2 29 𝑆4 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 098 086 260 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 110 098 260 2 26 𝑆5 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 110 098 260 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 115 110 260 2 19 𝑆6 𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 115 110 260 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 110 115 260 2 00 A tensão inicial do cabo por norma deverá ser menor que σ0 11074 fptk 1547MPa Adotado σ0 1406MPa por não apresentar na prática problema na protensão dos cabos não solicitando em demasia os fios da cordoalha por estado múltiplo de tensões portanto σ0 074 fptk 1406MPa Para os demais valores foram adotados 𝜇020 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica 𝑘 001𝜇 001 020 0002 Para l1300m 𝛴𝛼 30 29 29 30 26 29 19 26 00 19 310 𝜇𝛴𝛼 𝑘𝑙 020 310 𝜋 180 0002 13 000368 𝑟𝑎𝑑 𝜎𝑥130𝑚 𝜎0𝑒𝜇Σ𝛼𝑘𝑙 1406𝑒000368 1355𝑀𝑃𝑎 29 Tabela 1 Resumo das perdas por atrito Seção l m Σα μΣαkl rad σ MPa 1 000 0 0000 1406 2 260 01 0006 1398 3 520 02 0011 1390 4 780 05 0017 1382 5 1040 12 0025 1371 6 1300 31 0037 1355 562 Perdas por cravação No momento da liberação dos cabos dos macacos e consequente transferência dos esforços de protensão para a peça de concreto ocorre uma acomodação das peças de ancoragem cunhas Os deslocamentos que ocorrem originam as chamadas perdas por cravação também chamadas de perdas por encunhamento ou por acomodação da ancoragem A cunha sempre penetra na ancoragem quando entra em carga As perdas por cravação devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos fabricantes de dispositivos de ancoragem Essa perda é máxima na região da ancoragem e vai diminuindo a partir da mesma para o centro da peça até um ponto determinado em que o atrito anula esse escorregamento Nos sistemas que utilizam cunha individual para cada fio ou cordoalha observamse os seguintes valores médios de retorno devido ao encunhamento para uma dada carga máxima Fio 𝜙 7𝑚𝑚 𝛿 5𝑚𝑚 Cordoalha 𝜙 125𝑚𝑚 𝛿 6𝑚𝑚 ou 𝛿 5𝑚𝑚 cunha cravada com macaco As perdas por cravação podem ser quantificadas igualandose a energia de retorno das cordoalhas até serem bloqueadas pelas cunhas EA 𝛿 com a energia de atrito atuante em sentido contrário no interior do cabo devido à acomodação 𝐴 𝐸𝐴𝛿 2 Onde 𝐸𝐴 é o módulo de elasticidade da cordoalha 2000000kgcm² 𝛿 é o retorno do cabo 30 Figura 14 Cálculo das áreas na perda por cravação Área a ser igualada 𝑈 𝐸𝐴𝛿 2 200000 0005 2 500𝑀𝑃𝑎 𝑚 Área triangular 𝑛 𝜎𝑛 𝜎𝑛1 2 𝑙 Áreas trapezoidais 𝑛 𝑛1 𝜎𝑛 𝜎𝑛1 2𝑛 1 2 𝑙 1º Trecho S1 a S2 Área triangular 1 𝜎1 𝜎2 2 𝑙 1406 1398 2 26 10𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑈 2º Trecho S1 a S3 Áreas trapezoidais 2 10 1398 1390 2 2 1 2 26 41𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑈 3º Trecho S1 a S4 Áreas trapezoidais 3 41 1390 1382 2 3 1 2 26 93𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑈 4º Trecho S1 a S5 Áreas trapezoidais 4 93 1382 1371 2 4 1 2 26 193𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑈 5º Trecho S1 a S6 Áreas trapezoidais 5 193 1371 1355 2 5 1 2 26 380𝑀𝑃𝑎 𝑚 𝑈 31 Como 5 𝑈 ainda terá uma queda abaixo da tensão no meio do vão igual a 𝑈 5 5𝑙 500 380 5 260𝑚 9𝑀𝑃𝑎 Então a linha de simetria do gráfico estará na tensão 1355 9 1346𝑀𝑃𝑎 Portanto a tensão na seção 6 por exemplo após a perda por cravação será igual a perda por atrito em S6 menos 2 18MPa 𝜎6 1355 18 1337𝑀𝑃𝑎 Tabela 2 Tensões após as perdas por atrito e cravação S1 S2 S3 S4 S5 S6 Perda por atrito 1406 1398 1390 1382 1371 1355 Perda por cravação 1286 1294 1302 1310 1321 1337 563 Perdas por deformação imediata Ao receber a força de protensão a viga de concreto sofre uma deformação elástica imediata encurtandose Concomitantemente ocorre um encurtamento na armadura de protensão anteriormente protendida A este encurtamento da armadura protendida corresponde um alívio de tensão nos cabos ocorrendo assim uma perda de protensão No caso em estudo está sendo considerado que a viga sofrerá protensão com aderência posterior e é constituída por vários cabos Sendo estes cabos tracionados um de cada vez conforme é usual a deformação do concreto provocado pela força no cabo que está sendo tracionado acarreta perda de tensão nos cabos já ancorados 32 Portanto igualase o encurtamento do concreto ao do aço em cada seção apenas levandose em conta que cada cabo protendido influencia apenas os que já estão protendidos logo 𝜎𝑎𝑛 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜎𝑎𝑛 𝜎𝑛 𝜎𝑎𝑛 Onde 𝜎𝑎𝑛 Perda de protensão na armadura de protensão devida a deformação imediata do concreto 𝜀𝑐 Encurtamento do concreto 𝐸𝑎 Módulo de elasticidade longitudinal da armadura de protensão 𝑛 Número de cabos O cálculo de 𝜀𝑐 será feito no centro de gravidade do cabo equivalente considerandose os carregamentos de peso próprio e protensão Para tanto será necessário calcular o valor da força de protensão em cada seção já consideradas as perdas anteriores 𝑁𝑛 𝜎𝑛𝑛𝐴𝑎 Onde 𝐴𝑎 é a área da seção transversal de cada cabo Para cada cabo com 5 cordoalhas de ½ temos a seguinte área 𝐴𝑎 08 7 𝜋1272 4 7𝑐𝑚2 o valor 08 referese à redução da área de cada cordoalha devido à sua forma irregular Admitindo que a protensão ocorrerá 7 dias após a concretagem e o cimento utilizado será CPVARI Calculase o fck do concreto na data de protensão segundo o item 1233 da ABNT NBR 61182014 𝛽1 𝑒𝑠128𝑡12 onde s 038 para concreto de cimento CPIII e IV s 025 para concreto de cimento CPI e II s 020 para concreto de cimento CPVARI t é a idade efetiva do concreto em dias Essa verificação deve ser feita aos t dias para as cargas aplicadas até essa data 33 Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 dias Nesse caso o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas aos t dias e aos 28 dias de forma a confirmar os valores de fckj e fck adotados no projeto Para t7 e s020 temos 𝛽1 𝑒02128712 082 𝑓𝑐𝑘𝑗 𝑓𝑐𝑘 𝛽1 𝑓𝑐𝑘𝑗 𝛽1 𝑓𝑐𝑘 082 30 246𝑀𝑃𝑎 O módulo de elasticidade do concreto obtido aos 28 dias conforme o item 828 da NBR 61182014 pode ser estimado pela fórmula 𝐸𝑐𝑖 𝛼𝐸 5600𝑓𝑐𝑘 Sendo 𝛼𝐸 12 para basalto e diabásio 𝛼𝐸 10 para granito e gnaisse 𝛼𝐸 09 para calcário 𝛼𝐸 07 para arenito 𝐸𝑐𝑖 10 560030 30672𝑀𝑃𝑎 O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a seguir 𝐸𝑐𝑖𝑡 𝑓𝑐𝑘𝑗 𝑓𝑐𝑘 𝐸𝑐𝑖 𝐸𝑐𝑖𝑡 082 30672𝑀𝑃𝑎 27775𝑀𝑃𝑎 Segundo o item 844 da NBR 61182014 na falta de dados específicos para o módulo de elasticidade do aço de armadura ativa podese considerar para fios e cordoalhas o valor de 𝐸𝑎 200𝐺𝑃𝑎 200000𝑀𝑃𝑎 A seguir temos a obtenção da perda de protensão devida à deformação imediata do concreto para cada seção Para facilitar a visualização foram recuperados valores já determinados anteriormente tais 34 como os momentos fletores seccionais devidos à carga de peso próprio as excentricidades médias seccionais do cabo equivalente e as propriedades geométricas da seção transversal observadas à seguir Seção S1 S2 S3 S4 S5 S6 MPP kNm 0 465 827 1086 1241 1293 emédio m 059 072 086 098 110 115 Área 061m² I 012m4 yi 066m Wi 018m³ ys 059m Ws 021m³ Seção 1 Força de tração 𝑁 𝜎1𝑛𝐴𝑎 128657𝑐𝑚2 10 4501𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒1 𝑒1 059 059 000𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 0 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto 𝜎𝑐 𝑁 𝐴 4501 0611000 738 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 738 27775 266 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 266 104 200000 5 1 2 5 21𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎1 1286 21 1265𝑀𝑃𝑎 Seção 2 Força de tração 𝑁 𝜎2𝑛𝐴𝑎 129457𝑐𝑚2 10 4529𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒2 𝑒1 072 059 013𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 465 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto 𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4529 0611000 4529013465013 0121000 756 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 756 27775 272 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 272 104 200000 5 1 2 5 22𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎2 1294 22 1272𝑀𝑃𝑎 Seção 3 35 Força de tração 𝑁 𝜎3𝑛𝐴𝑎 130257𝑐𝑚2 10 4557𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒3 𝑒1 086 059 027𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 827 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4557 0611000 4557027827027 0121000 838 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 838 27775 302 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 302 104 200000 4 10 24𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎3 1302 24 1278𝑀𝑃𝑎 Seção 4 Força de tração 𝑁 𝜎4𝑛𝐴𝑎 131057𝑐𝑚2 10 4585𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒4 𝑒1 098 059 039𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 1086 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4585 0611000 45850391086039 0121000 980 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 980 27775 353 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 353 104 200000 4 10 28𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎4 1310 28 1282𝑀𝑃𝑎 Seção 5 Força de tração 𝑁 𝜎5𝑛𝐴𝑎 132157𝑐𝑚2 10 4624𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒5 𝑒1 110 059 051𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 1241 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4624 0611000 46240511241051 0121000 1233 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 1233 27775 444 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 444 104 200000 4 10 36𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎5 1321 36 1285𝑀𝑃𝑎 36 Seção 6 Força de tração 𝑁 𝜎6𝑛𝐴𝑎 133757𝑐𝑚2 10 4680𝑘𝑁 Excentricidade 𝑒 𝑒6 𝑒1 115 059 056𝑚 Momento devido ao peso próprio 𝑀𝑝𝑝 1293 𝑘𝑁 𝑚 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4680 0611000 46800561293056 0121000 1387 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 1387 27775 499 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑎 𝜀𝑐𝐸𝑎 𝑛 1 2𝑛 499 104 200000 4 10 40𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑎6 1337 40 1297𝑀𝑃𝑎 Tabela 3 Tensões após as perdas por deformação imediata S1 S2 S3 S4 S5 S6 Perda por atrito 1406 1398 1390 1382 1371 1355 Perda por cravação 1286 1294 1302 1310 1321 1337 Perda por deformação imediata 1265 1272 1278 1282 1285 1297 564 Perdas por fluência do concreto Ao longo da vida útil da peça os cabos vão encurtando gradativamente à medida que o concreto se deforma devido à tensão de protensão Consequentemente a força de protensão que é uma das causas da fluência está diminuindo A tensão na armadura de protensão cai linearmente durante o período no qual a fluência ocorre Conforme item A223 no Anexo A da NBR 61182014 no instante t a deformação devida à fluência é dada por 𝜀𝑐𝑐𝑡 𝑡0 𝜀𝑐𝑐𝑎 𝜀𝑐𝑐𝑑 𝜀𝑐𝑐𝑓 𝜎𝑐 𝐸𝑐28 𝜑𝑡 𝑡0 Sendo 𝜀𝑐𝑐𝑎 a deformação rápida e irreversível que ocorre durante as primeiras 24 h após a aplicação da carga a 𝜀𝑐𝑐𝑑 deformação lenta irreversível e a 𝜀𝑐𝑐𝑓 deformação lenta reversível Deformações específicas devidas à fluência e à retração mais precisas podem ser calculadas segundo indicação do Anexo A da norma Mas para casos onde não é necessária grande precisão o item 8211 sobre fluência e retração da NBR 61182014 sugere que os valores 37 finais do coeficiente de fluência 𝜑𝑡 𝑡0 e da deformação específica de retração 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 do concreto e podem ser obtidos por interpolação linear a partir da Tabela 4 Tabela 4 Valores característicos superiores da deformação específica de retração 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 e do coeficiente de fluência 𝜑𝑡 𝑡0 Umidade média ambiente 40 55 75 90 Espessura fictícia 2Acu cm 20 60 20 60 20 60 20 60 𝜑𝑡 𝑡0 Concreto das classes C20 a C45 t0 dias 5 46 38 39 33 28 24 20 19 30 34 3 29 26 22 20 16 15 60 29 27 25 23 19 18 14 14 𝜑𝑡 𝑡0 Concreto das classes C50 a C90 5 27 24 24 21 19 18 16 15 30 20 18 17 16 14 13 11 11 60 17 16 15 14 12 12 10 10 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 0 5 053 047 048 043 036 032 018 015 30 044 045 041 041 033 031 017 015 60 039 043 036 040 030 031 017 015 A tabela fornece o valor do coeficiente de fluência 𝜑𝑡 𝑡0 e da deformação específica de retração 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 em função da umidade média ambiente e da espessura fictícia 2Ac u onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera Os valores desta Tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 C e 20 C podendose entretanto admitilos como válidos para temperaturas entre 0 C e 40 C Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum Entrando com os valores de Umidade ambiente como referência retirado da Tabela A1 da NBR 61182014 Em ambiente muito úmido imediatamente acima da água90 No ar livre em geral70 Em ambiente seco40 Adotado umidade ambiente 75 Espessura fictícia da viga 2𝐴 𝑢 2061 548 022𝑚 2262𝑐𝑚 Tempo 30 dias 38 Concreto C30 Encontramos os seguintes valores Coeficiente de fluência 𝜑𝑡 𝑡0 22 Deformação específica de retração 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 033 000033 O coeficiente de fluência do concreto depende das condições climáticas do grau de endurecimento do concreto da espessura fictícia da viga de concreto protendido da composição do concreto e varia com o tempo Rodrigues 2008 incentiva a utilização do programa Reolog para obtenção precisa das informações anteriormente descritas Seção 1 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎1𝑛𝐴𝑎 126557𝑐𝑚2 10 4428𝑘𝑁 Tensão no concreto 𝜎𝑐 𝑁 𝐴 4428 0611000 726 𝑀𝑃𝑎 Deformação devido a fluência 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 726 27775 22 575 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑓𝐸𝑎 575 104 200000 115𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏1 1265 115 1150𝑀𝑃𝑎 Seção 2 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎2𝑛𝐴𝑎 127257𝑐𝑚2 10 4452𝑘𝑁 Tensão no concreto 𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4452 0611000 4452013465013 0121000 742 𝑀𝑃𝑎 Deformação devido a fluência 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 742 27775 22 588 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑓𝐸𝑎 588 104 200000 118𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏2 1272 118 1154𝑀𝑃𝑎 Seção 3 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎3𝑛𝐴𝑎 127857𝑐𝑚2 10 4473𝑘𝑁 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4473 0611000 4473027827027 0121000 819 𝑀𝑃𝑎 Deformação devido a fluência 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 819 27775 22 649 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑐𝑐𝐸𝑎 649 104 200000 130𝑀𝑃𝑎 39 𝜎𝑏3 1278 130 1148𝑀𝑃𝑎 Seção 4 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎4𝑛𝐴𝑎 128257𝑐𝑚2 10 4487𝑘𝑁 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4585 0611000 45850391086039 0121000 980 𝑀𝑃𝑎 Encurtamento do concreto 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 980 27775 22 776 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑐𝑐𝐸𝑎 776 104 200000 155𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏4 1282 155 1127𝑀𝑃𝑎 Seção 5 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎5𝑛𝐴𝑎 128557𝑐𝑚2 10 4498𝑘𝑁 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4624 0611000 46240511241051 0121000 1233 𝑀𝑃𝑎 Deformação devido a fluência 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 1233 27775 22 977 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑐𝑐𝐸𝑎 977 104 200000 195𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏5 1285 195 1090𝑀𝑃𝑎 Seção 6 Força de tração 𝑁 𝜎𝑎6𝑛𝐴𝑎 129757𝑐𝑚2 10 4540𝑘𝑁 Tensão no concreto𝜎𝑐 𝑁 𝐴 𝑁𝑒𝑀𝑝𝑝𝑒 𝐼 4540 0611000 45400561293056 0121000 1327 𝑀𝑃𝑎 Deformação devido a fluência 𝜀𝑐𝑐 𝜎𝑐 𝐸𝑐 𝜑𝑡 𝑡0 1327 27775 22 1051 104 Perda de protensão na armadura de protensão 𝜎𝑏 𝜀𝑐𝑐𝐸𝑎 1051 104 200000 210𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑏6 1297 210 1087𝑀𝑃𝑎 40 Tabela 5 Tensões após as perdas por fluência do concreto S1 S2 S3 S4 S5 S6 Perda por atrito 1406 1398 1390 1382 1371 1355 Perda por cravação 1286 1294 1302 1310 1321 1337 Perda por deformação imediata 1265 1272 1278 1282 1285 1297 Perda por fluência do concreto 1150 1154 1148 1127 1090 1087 565 Perdas por retração Segundo Rodrigues 2008 a protensão só é aplicada à peça depois que o concreto já adquiriu resistência suficiente para suportar as tensões decorrentes da protensão e do peso próprio Nessa época uma parte da retração do concreto já ocorreu A protensão deve ser adiada tanto quanto possível com o objetivo de diminuir as perdas de protensão pois a retração é mais intensa nas primeiras idades do concreto O valor da retração do concreto depende da umidade relativa do ambiente consistência do concreto no lançamento e espessura fictícia da peça item A231 da NBR 61182014 Admitese também na póstensão de forma simplificada que a deformação do concreto é igual à do aço RODRIGUES 2008 Como encontrado anteriormente a deformação específica de retração pode ser considerada igual a 𝜀𝑐𝑠𝑡 𝑡0 033 000033 𝜀𝑐𝑠 𝜀𝑎 033 000033 𝜎𝑎 𝜀𝑎𝐸𝑎 000033 200000 66MPa Tabela 6 Tensões após as perdas por retração S1 S2 S3 S4 S5 S6 Perda por atrito 1406 1398 1390 1382 1371 1355 Perda por cravação 1286 1294 1302 1310 1321 1337 Perda por deformação imediata 1265 1272 1278 1282 1285 1297 Perda por fluência do concreto 1150 1154 1148 1127 1090 1087 Perda por retração 1084 1088 1082 1061 1024 1021 41 566 Perdas por relaxação do aço A armadura de protensão tracionada e mantida com o comprimento constante sofre alívio de tensão ao longo do tempo este fenômeno é chamado de relaxação do aço Os valores médios da relaxação medidos após 1000 horas à temperatura constante de 20ºC podem ser adotados a partir da Tabela 7 encontrada no item 848 da NBR 61182014 para tensões entre 50 a 80 da carga de ruptura A norma sugere considerar para o tempo infinito o valor de 25 vezes o valor da relaxação do ensaio logo 𝜓𝑡 𝑡0 25 𝜓1000 Tabela 7 Valores de 𝜓1000 em porcentagem σpo Cordoalhas Fios RN RB RN RB 05fptk 00 00 00 00 06fptk 35 13 25 10 07fptk 70 25 50 20 08fptk 120 35 85 30 Rodrigues 2008 e Duarte 1995 recomendam que de forma prática e conservadora admitase uma queda de tensão da ordem de 60MPa para os aços de baixa relaxação RB O mesmo foi utilizado neste exemplo 57 Quadro de tensões Tabela 8 Tensões após todas as perdas S1 S2 S3 S4 S5 S6 Perda por atrito MPa 1406 1398 1390 1382 1371 1355 Perda por cravação MPa 1286 1294 1302 1310 1321 1337 Perda por deformação imediata MPa 1265 1272 1278 1282 1285 1297 Perda por fluência do concreto MPa 1150 1154 1148 1127 1090 1087 Perda por retração MPa 1084 1088 1082 1061 1024 1021 Perda por relaxação do aço MPa 1024 1028 1022 1001 964 961 Perdas Lentas Total MPa 241 244 256 281 321 336 42 Obtido o total de perdas de tensão em cada seção podese obter os valores das forças de protensão reais necessário em cada seção Para tanto basta multiplicar a tensão em cada seção após as perdas imediatas pela área total da seção dos cabos Conforme visto anteriormente a área dos 5 cabos com 7 cordoalhas de ½ é igual a 35cm² É necessário verificar as tensões antes e depois das perdas imediatas portanto devemos encontrar as tensões após as perdas imediatas e a variação de tensão com as perdas lentas Tabela 9 Forças de protensão S1 S2 S3 S4 S5 S6 N kN Após perdas imediatas 4428 4452 4473 4487 4498 4540 N kN Perdas lentas 844 854 896 984 1124 1176 Tensão de protensão na face inferior e superior após a ocorrência das perdas imediatas 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 Perdas lentas na face inferior e superior Δηi ΔN A ΔNe Wi Δηs ΔN A ΔNe Ws Seção 1 𝜂𝑖 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 4428 061 10 726 Δ𝜂𝑖 Δ𝜂𝑠 Δ𝑁 𝐴 844 061 10 138 Seção 2 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 4452 061 10 4452 013 018 10 1051 43 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 4452 061 10 4452 013 021 10 454 Δηi ΔN A ΔNe Wi 854 061 10 854 013 018 10 202 Δηs ΔN A ΔNe Ws 854 061 10 854 013 021 10 87 Seção 3 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 4473 061 10 4473 027 018 10 1051 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 4473 061 10 4473 027 021 10 454 Δηi ΔN A ΔNe Wi 896 061 10 896 027 018 10 212 Δηs ΔN A ΔNe Ws 896 061 10 896 027 021 10 91 Seção 4 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 4487 061 10 4487 039 018 10 1060 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 4487 061 10 4487 039 021 10 458 Δηi ΔN A ΔNe Wi 984 061 10 984 039 018 10 232 Δηs ΔN A ΔNe Ws 984 061 10 984 039 021 10 100 Seção 5 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 4498 061 10 4498 051 018 10 1062 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 4498 061 10 4498 051 021 10 459 44 Δηi ΔN A ΔNe Wi 1124 061 10 1124 051 018 10 265 Δηs ΔN A ΔNe Ws 1124 061 10 1124 051 021 10 115 Seção 6 𝜂𝑖 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑖 4540 061 10 4540 056 018 10 1072 𝜂𝑠 𝑁 𝐴 𝑁𝑒 𝑊𝑠 4540 061 10 4540 056 021 10 463 Δηi ΔN A ΔNe Wi 1176 061 10 1176 056 018 10 278 Δηs ΔN A ΔNe Ws 1176 061 10 1176 056 021 10 120 Tabela 10 Valores das tensões em cada seção Tensões admissíveis máximas Bordo inferior da seção scmáx 20 MPa sTmáx 3 MPa Bordo superior da seção sCmín 15 MPa sTmín 3 MPa Seção S1 S2 S3 S4 S5 S6 hi MPa 73 105 139 169 199 213 hs MPa 73 46 15 11 37 49 Dhi MPa 14 20 28 37 49 55 Dhs MPa 14 09 03 02 09 13 45 Tabela 11 Quadro final de tensões Nas células em negrito observamos as tensões finais no bordo inferior e as tensões finais no bordo superior de cada seção Observase que a tensão de compressão no bordo superior superou o limite estabelecido Aumentandose o fck para 40MPa temos as seguintes tensões admissíveis e o seguinte quadro de tensões Bordo inferior da seção scmáx 27 MPa sTmáx 4 MPa Bordo superior da seção sCmín 20 MPa sTmín 4 MPa Seção pp prot i sp perdas sa p 00 73 00 14 00 S 73 73 59 59 p 00 73 00 14 00 S 73 73 59 59 p 25 105 13 20 33 S 80 67 47 14 p 22 46 12 09 29 S 68 80 71 100 p 44 139 23 28 58 S 95 72 44 14 p 40 15 21 03 52 S 55 76 73 125 p 58 169 31 37 76 S 111 80 44 33 p 52 11 28 02 69 S 41 69 71 140 p 66 199 35 49 87 S 132 97 49 38 p 60 37 31 09 79 S 22 54 63 141 p 69 213 36 55 91 S 144 107 52 39 p 62 49 33 13 82 S 13 46 59 141 S4 ss si ss si ss si S1 S2 S3 S5 S6 si ss si ss Tensão MPa si ss 46 Tabela 12 Quadro final de tensões após a alteração do fck 58 Dimensionamento dos estribos A máxima força cortante em uma viga biapoiada ocorre na região dos apoios e é equivalente a 𝑉𝑆𝑑 𝑞𝐿 2 Vsd t pp 197 g 104 q 260 Podemos obter graficamente os ângulos de saída dos cabos na seção do apoio onde ocorrem estes momentos máximos 𝛼𝑀𝑒𝑑 44 40 31 18 09 5 28 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑁𝑚é𝑑 𝑆1 3665𝑘𝑁 𝑉𝑃 3665𝑠𝑒𝑛𝛼 179𝑘𝑁 179𝑡 Seção pp prot i sp perdas sa p 00 73 00 13 00 S 73 73 60 60 p 00 73 00 13 00 S 73 73 60 60 p 25 105 13 19 33 S 80 67 48 16 p 22 46 12 08 29 S 68 80 72 101 p 44 140 23 26 58 S 96 72 46 12 p 40 15 21 03 52 S 55 76 73 126 p 58 169 31 34 76 S 111 81 47 29 p 52 11 28 02 69 S 41 69 71 140 p 66 199 35 45 87 S 133 98 53 34 p 60 37 31 08 79 S 22 54 62 141 p 69 213 36 51 91 S 145 108 57 33 p 62 49 33 12 82 S 13 46 58 139 S4 ss si ss si ss si S1 S2 S3 S5 S6 si ss si ss Tensão MPa si ss 47 O valor que a protensão faz na vertical está no sentido contrário a força de cisalhamento ou seja ela reduz a força cortante na seção 𝑉𝑆𝑑 14𝑉𝑔𝑞 09𝑉𝑃 𝑉𝑆𝑑 14197 104 260 09179 625𝑡 𝑏𝑤 𝑏 23 Σ𝜙 015 23 005 012𝑚 𝑑 115𝑚 𝜏𝑤𝑑 𝑉𝑆𝑑 𝑏𝑤𝑑 625 012 115 466 𝑡 𝑚2 466𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑤𝑑2 027 1 𝑓𝑐𝑘 250 𝑓𝑐𝑑 027 1 40 250 40 14 648𝑀𝑃𝑎 0648𝑘𝑁𝑐𝑚2 Como o valor da tensão convencional máxima de cisalhamento é maior que o valor de 𝜏𝑤𝑑 o concreto foi verificado ou seja a biela comprimida de concreto não romperá 𝜏𝑤𝑑2 027 1 𝑓𝑐𝑘 250 𝑓𝑐𝑑 027 1 40 250 40 14 648𝑀𝑃𝑎 0648𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝜏𝑐0 0009𝑓𝑐𝑘 2 3 0009 40 2 3 105𝑀𝑃𝑎 0105𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝜌𝑤 100 𝜏𝑤𝑑 𝜏𝑐0 3915 100 0466 0105 3915 0922𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝜌𝑤𝑚𝑖𝑛 0140𝑘𝑁𝑐𝑚2 𝐴𝑆𝑤 𝜌𝑤𝑏𝑤 0922 12 1107𝑐𝑚2𝑚 𝐴𝑆𝑤 2 1107 2 553𝑐𝑚2𝑚 𝑠 100 5530785 142𝑐𝑚 𝜙10𝑐14𝑐𝑚 Adotar 𝜙10𝑐14𝑐𝑚 48 59 Resultados da planilha de dimensionamento de vigas isostáticas 1Dados da estrutura Viga biapoiada Vão L 260 m fck 40 MPa 2Propriedades geométricas B1 110 cm B2 70 cm B3 15 cm D1 125 cm D2 20 cm D3 5 cm D4 15 cm D5 30 cm n yn cm An cm² ynAncm³ 1 1150 2200 2530000 2 1033 2375 245417 3 675 1125 759375 4 350 4125 144375 5 150 2100 315000 S 6075 3994167 SEM LAJE Área 06075 m² yi 066 m ys 059 m Inércia 01224 m4 Wi 01861 m³ Ws 02065 m³ Mgq 236600 Winec 00959 m³ 3Análise Estrutural PP viga Envoltória M 128334kNm 364934kNm si 689 MPa 1961 MPa ss 621 MPa 1767 MPa P 1481 kN 4212 kN 49 r CG cabos e 10cm 056m Nc 120 kN Nc 7 φ125 31 Esforços do Momento Fletor S1 S2 S3 S4 S5 S6 0 26 52 78 104 13 PP viga 0 462 821 1078 1232 1283 PP vigalaje 0 243 433 568 649 676 Envoltória 0 608 1082 1420 1622 1690 32 Tensões dos carregamentos nas seções si ss si ss si ss si ss si ss si ss PP viga 00 00 25 22 44 40 58 52 66 60 69 62 PP vigalaje 00 00 13 12 23 21 31 28 35 31 36 33 Envoltória 00 00 33 29 58 52 76 69 87 79 91 82 S6 S1 S2 S3 S4 S5 33 Excentricidades dos cabos em relação ao topo da viga e cabo equivalente S1 S2 S3 S4 S5 S6 Cabo C1 14 34 56 76 98 112 Cabo C2 34 52 70 87 106 112 Cabo C3 59 73 85 101 114 117 Cabo C4 84 92 102 110 117 117 Cabo C5 104 108 115 115 117 117 Cabo Equivalente 59 72 86 98 110 115 41 Ângulos médios S1 S2 S3 S4 S5 S6 α 29 30 29 26 19 00 42 Resumo das perdas por atrito fptk MPa σ0 MPa μ k 1900 1406 020 0002 S1 S2 S3 S4 S5 S6 l m 000 260 520 780 1040 1300 Σα 000 011 022 044 121 308 μΣαkl rad 0000 0006 0011 0017 0025 0037 σ MPa 1406 1398 1390 1382 1371 1355 4Perdas por atrito 50 d Ea U 0005 200000 500 Trecho S1S2 S1S3 S1S4 S1S5 S1S6 S6 D 1018 4054 9431 19314 38031 921 134605 S1 S2 S3 S4 S5 S6 PCrav MPa 1286 1294 1302 1310 1321 1337 5Perdas por cravação Tensão na linha de simetria s CP t dias bt fckj MPa Eci Ecit7 ÁreaCordoalhas nº Cabos 020 7 082 327 354175 320471 35 5 S1 S2 S3 S4 S5 S6 N kN 4530 4557 4585 4614 4652 4708 e cm 000 013 027 039 051 056 Mpp 0 462 821 1078 1232 1283 scMPa 746 764 847 989 1241 1395 e 233E04 238E04 264E04 309E04 387E04 435E04 DsaMPa 19 19 21 25 31 35 sa MPa 1267 1275 1281 1285 1290 1302 6Perdas por deformação imediata do concreto t0 dias Umidade Umidade u f 30 75 75 548 22 S1 S2 S3 S4 S5 S6 N kN 4464 4490 4510 4527 4543 4586 scMPa 735 752 830 964 1200 1343 e 504E04 516E04 570E04 662E04 824E04 922E04 DsaMPa 101 103 114 132 165 184 sa MPa 1167 1172 1167 1153 1125 1118 7Perdas por fluência do concreto Espessura fictícia 2216 eCS DsaMPa 033 66 S1 S2 S3 S4 S5 S6 saMPa 1101 1106 1101 1087 1059 1052 8Perda por retração do concreto 51 DsaMPa 60 S1 S2 S3 S4 S5 S6 saMPa 1041 1046 1041 1027 999 992 9Perda por relaxação do aço S1 S2 S3 S4 S5 S6 1406 1398 1390 1382 1371 1355 1286 1294 1302 1310 1321 1337 1267 1275 1281 1285 1290 1302 1167 1154 1148 1127 1090 1087 1101 1106 1101 1087 1059 1052 1041 1046 1041 1027 999 992 1267 1275 1281 1285 1290 1302 227 229 240 258 291 310 S1 S2 S3 S4 S5 S6 Seção S1 S2 S3 S4 S5 S6 hi MPa 73 105 140 169 199 213 hs MPa 73 46 15 11 37 49 Dhi MPa 13 19 26 34 45 51 Dhs MPa 13 08 03 02 08 12 4527 4543 4586 799 807 845 910 1024 1093 4510 Perda por cravação MPa Perda por deformação imediata MPa Perda por fluência do concreto MPa Perda por retração MPa Perda por relaxação do aço MPa ΔN kN Perdas lentas N kN Após perdas Tensão após perdas imediatasMPa Perdas Lentas Total MPa 10Tensões após todas as perdas Perda por atrito MPa 4464 4490 52 11Cálculo ao cisalhamento scmáx 27 MPa sCmín 20 MPa sTmáx 4 MPa sTmín 4 MPa Seção pp prot i sp perdas sa p 00 73 00 13 00 S 73 73 60 60 p 00 73 00 13 00 S 73 73 60 60 p 25 105 13 19 33 S 80 67 48 16 p 22 46 12 08 29 S 68 80 72 101 p 44 140 23 26 58 S 96 72 46 12 p 40 15 21 03 52 S 55 76 73 126 p 58 169 31 34 76 S 111 81 47 29 p 52 11 28 02 69 S 41 69 71 140 p 66 199 35 45 87 S 133 98 53 34 p 60 37 31 08 79 S 22 54 62 141 p 69 213 36 51 91 S 145 108 57 33 p 62 49 33 12 82 S 13 46 58 139 Bordo superior da seção S4 ss si ss si ss si S1 S2 S3 S5 S6 si ss si ss Tensão MPa si ss Bordo inferior da seção améd 28 NmédS1 3665 kN Vp 179 t Vppgq 561 t VPd 161 t VSd 625 t bw 012 m d 115 m τwd 466 MPa τwd2 648 MPa Compressão na biela verificada τc0 105 MPa ρw 921 MPa pwmin Asw 537 cm²m Diâmetro 10 Espaçamento 1482cm Adotar φ10c14 53 6 Conclusão Ao longo deste estudo realizouse os devidos cálculos e verificações para dimensionar uma viga isostática protendida bem como lançouse luzes sobre os conceitos de protensão perdas imediatas e diferidas e análise final da viga após as referidas perdas sem todavia almejar esgotar a temática Salientase tratar de estudo introdutório porém importante visto que significativa parte da doutrina acredita na subutilização do concreto protendido e alerta sobre seus benefícios Nesse sentido destacase a aexistência de vasta área de estudos relativos ao tema do concreto protendido sendo valido mencionar a análise de vigas isostáticas protendidas sob carregamento de trenstipo rodoviário e ferroviário protensão em reservatórios cálculo de vigas hiperestáticas comparação entre vigas de concreto armado e protendido e protensão em vigas caixão No presente trabalho apresentouse um passo a passo de cálculo realizado através de um estudo de caso em prol de elucidar parte do tema para que mais pessoas se interessem pelo mesmo e desenvolvam seus estudos na área Além disso elaborouse uma planilha de cálculo para facilitar futuros cálculos que abordem o tema 54 7 Bibliografia ABNT NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto 2014 ABNT NBR 71872003 Projeto de pontes de concreto armado e concreto protendido 2003 DUARTE Evandro Cálculo Completo de uma viga isostática protendida Apostila 1995 DUARTE Evandro Projeto e cálculo de uma viga isostática de concreto protendido Revista Concreto e Construções nº78 2015 THOMAZ Eduardo Levantamento de dimensões de pontes prémoldadas protendidas 1975 THOMAZ Eduardo Notas de aula de Concreto Protendido Pontes prémoldadas 2002 IME RJ RODRIGUES Glauco Concreto Protendido Apostila 2008