Propriedades do Valor Esperado e da Variancia - Anotações

PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO E DA VARIÂNCIA O valor esperado ou a esperança de uma variável aleatória 𝑋 com 𝑛 elementos é definido por 1 𝐸𝑋 𝑥𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 Chamamos 𝐸 de operador esperança Afirmamos em sala de aula que o operador esperança é linear Com isso podemos demonstrar a seguinte propriedade do valor esperado Para duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 com 𝑛 elementos e duas constantes 𝑎 e 𝑏 2 𝐸𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝑎𝐸𝑋 𝑏𝐸𝑌 Para tanto basta aplicar a definição em 1 sobre a variável aleatória 𝑍 𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝐸𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝐸𝑍 𝑧𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 𝑎𝑥𝑖 𝑏𝑦𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 𝑎 𝑥𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 𝑏 𝑦𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 𝑎𝐸𝑋 𝑏𝐸𝑌 Vamos nos deter rapidamente sobre a propriedade descrita em 2 Argumentamos em sala de aula que o retorno esperado de um portfólio formado por dois ativos é a média ponderada dos retornos esperados individuais Por exemplo se tenho R 100 e decido investir R 70 no ativo 𝑋1 e R 30 no ativo 𝑋2 qual será o retorno desse portfólio Fazendo 𝑃 07𝑋1 03𝑋2 o retorno esperado será 𝐸𝑃 07𝐸𝑋1 03𝐸𝑋2 Podemos generalizar a propriedade 2 para qualquer número de variáveis aleatórias façam isso como dever de casa Para qualquer 𝑛 ℕ 𝑍 𝑎1𝑋1 𝑎2𝑋2 𝑎𝑛𝑋𝑛 sendo 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 um conjunto de variáveis aleatórias e 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 constantes o valor esperado de 𝑍 será 3 𝐸𝑍 𝑎1𝐸𝑋1 𝑎2𝐸𝑋2 𝑎𝑛𝐸𝑋𝑛 Definimos em sala de aula a variância de uma variável aleatória 𝑋 com 𝑛 elementos como 4 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝐸𝑋 𝐸𝑋2 𝑥𝑖 𝐸𝑋2 𝑛 𝑖 𝑛 Nas aulas de estatística vocês foram apresentados à seguinte fórmula para a variância 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑥𝑖𝑥2 𝑛 𝑖 𝑛1 sendo 𝑥 a média amostral Essa é a variância amostral da variável aleatória 𝑋 enquanto em 4 temos a definição da variância populacional Para uma discussão mais aprofundada sobre o tema vocês podem acessar httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadedistribuicaoamostralvariancia html Essa distinção não altera a propriedade da variância vista em sala de aula Lembremse que afirmamos que não podemos tomar a variância de uma variável aleatória 𝑍 𝑎𝑋 𝑏𝑌 sendo 𝑋 𝑌 variáveis aleatórias e 𝑎 𝑏 constantes como a soma das variâncias individuais a não ser em casos específicos O que desejamos demonstrar é 5 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝑎2𝑉𝑎𝑟𝑥 𝑏2𝑉𝑎𝑟𝑌 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣𝑋 𝑌 Recordando que a covariância ou covariação entre duas variáveis aleatórias 𝑋 𝑌 é definida por 6 𝐶𝑜𝑣𝑋 𝑌 𝐸𝑋 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑌 𝑥𝑖 𝐸𝑋𝑦𝑖 𝐸𝑌 𝑛 𝑖 𝑛 Para demonstrar 5 vamos iniciar com a definição da variância 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝐸𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝐸𝑎𝑋 𝑏𝑌2 𝐸𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝑎𝐸𝑋 𝑏𝐸𝑌2 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 2 𝐸 𝑎𝑋 𝐸𝑋 𝑏𝑌 𝐸𝑌 2 𝐸𝑎2𝑋 𝐸𝑋2 2𝑎𝑏𝑋 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑌 𝑏2𝑌 𝐸𝑌2 𝑎 𝑏2 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 𝑎2𝐸𝑋 𝐸𝑋2 𝑏2𝐸𝑌 𝐸𝑌2 2𝑎𝑏𝐸𝑋 𝐸𝑋𝑌 𝐸𝑌 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛ç𝑎 𝑎2𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑏2𝑉𝑎𝑟𝑌 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣𝑋 𝑌 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 4 𝑒 𝑐𝑜𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 6 Retomando o exemplo anterior Qual a variância do portfólio 𝑃 07𝑋1 03𝑋2 Aplicando a propriedade 5 𝑉𝑎𝑟𝑃 072𝑉𝑎𝑟𝑋1 032𝑉𝑎𝑟𝑋2 2 07 03 𝐶𝑜𝑣𝑋1 𝑋2 072𝜎𝑋1 2 032𝜎𝑋2 2 2 07 03 𝜎𝑋1𝑋2 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑙𝑎 E o risco desse portfólio Sabemos que o desviopadrão nossa medida de risco é definido pela raiz da variância 7 𝑑𝑝𝑋 𝜎𝑥 𝑉𝑎𝑟𝑋 Aplicando 7 𝑑𝑝𝑃 𝜎𝑃 072𝜎𝑋1 2 032𝜎𝑋2 2 2 07 03 𝜎𝑋1𝑋2 Vamos ver alguns casos especiais Lembrando que a correlação entre duas variáveis aleatórias 𝑋 𝑌 é definida por 8 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑋 𝑌 𝜌 𝐶𝑜𝑣𝑋 𝑌 𝜎𝑋𝜎𝑌 Utilizando 8 em 5 e substituindo 𝐶𝑜𝑣𝑋 𝑌 temos 9 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝑎2𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑏2𝑉𝑎𝑟𝑌 2𝑎𝑏𝜌𝜎𝑋𝜎𝑌 Caso em que 𝝆 𝟎 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝒂𝟐𝑽𝒂𝒓𝒙 𝒃𝟐𝑽𝒂𝒓𝒀 𝒂𝟐𝝈𝑿 𝟐 𝒃𝟐𝝈𝒀 𝟐 Porém observem que o desviopadrão de 𝑍 não será a soma dos desviospadrão de 𝑋 e 𝑌 𝑑𝑝𝑍 𝜎𝑍 𝑎2𝜎𝑋 2 𝑏2𝜎𝑌 2 𝑎2𝜎𝑋 2 𝑏2𝜎𝑌 2 Caso em que 𝝆 𝟏 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝒂𝟐𝑽𝒂𝒓𝒙 𝒃𝟐𝑽𝒂𝒓𝒀 𝟐𝒂𝒃𝝈𝒙𝝈𝒚 𝒂𝟐𝝈𝑿 𝟐 𝒃𝟐𝝈𝒀 𝟐 𝟐𝒂𝒃𝝈𝑿𝝈𝒀 𝒂𝝈𝑿 𝒃𝝈𝒀𝟐 Nesse caso o desviopadrão de 𝑍 será igual a 𝑑𝑝𝑍 𝜎𝑍 𝑎𝜎𝑥 𝑏𝜎𝑌2 𝑎𝜎𝑋 𝑏𝜎𝑌 Caso em que 𝝆 𝟏 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎𝑋 𝑏𝑌 𝒂𝟐𝑽𝒂𝒓𝒙 𝒃𝟐𝑽𝒂𝒓𝒀 𝟐𝒂𝒃𝝈𝒙𝝈𝒚 𝒂𝟐𝝈𝑿 𝟐 𝒃𝟐𝝈𝒀 𝟐 𝟐𝒂𝒃𝝈𝑿𝝈𝒀 𝒂𝝈𝑿 𝒃𝝈𝒀𝟐 Nesse caso o desviopadrão de 𝑍 será igual a 𝑑𝑝𝑍 𝜎𝑍 𝑎𝜎𝑥 𝑏𝜎𝑌2 𝑎𝜎𝑋 𝑏𝜎𝑌 𝑠𝑒 𝑎𝜎𝑋 𝑏𝜎𝑌 𝑏𝜎𝑌 𝑎𝜎𝑋 𝑠𝑒 𝑏𝜎𝑌 𝑎𝜎𝑋 Nesse caso podemos ter 𝑑𝑝𝑍 0 mesmo que os desviospadrão de 𝑋 e 𝑌 sejam diferentes de zero Basta escolher 𝑎 𝑏 tal que 𝑎 𝑏 𝜎𝑌 𝜎𝑋 Ou seja para um portfólio formado por dois ativos arriscados 𝑋1 𝑋2 𝜎𝑋1 0 𝜎𝑋2 0 e 𝜌 1 podemos ter 𝑑𝑝𝑃 𝜎𝑃 0 Esse foi um dos exemplos que vimos em sala de aula Não é trivial generalizar a propriedade 5 Vamos considerar o caso em que temos três variáveis aleatórias 𝑋1 𝑋2 e 𝑋3 Qual seria a variância de 𝑍 𝑎1𝑋1 𝑎2𝑋2 𝑎3𝑋3 Voltando ao terceiro passo da demonstração de 5 podemos escrever 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑉𝑎𝑟𝑎1𝑋1 𝑎2𝑋2 𝑎3𝑋3 𝐸 𝑎1𝑋1 𝐸𝑋1 𝑎2𝑋2 𝐸𝑋2 𝑎3𝑋3 𝐸𝑋3 2 Observem que 𝑎 𝑏 𝑐2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 2𝑎𝑏 2𝑎𝑐 2𝑏𝑐 𝐸𝑎1 2𝑋1 𝐸𝑋12 𝑎2 2𝑋2 𝐸𝑋22 𝑎3 3𝑋3 𝐸𝑋32 2𝑎1𝑎2𝐸𝑋1 𝐸𝑋1𝑋2 𝐸𝑋2 2𝑎1𝑎3𝐸𝑋1 𝐸𝑋1𝑋3 𝐸𝑋3 2𝑎2𝑎3𝐸𝑋2 𝐸𝑋2𝑋3 𝐸𝑋3 𝑎1 2𝑉𝑎𝑟𝑋1 𝑎2 2𝑉𝑎𝑟𝑋2 𝑎3 2𝑉𝑎𝑟𝑋3 2𝑎1𝑎2𝐶𝑜𝑣𝑋1 𝑋2 2𝑎1𝑎3𝐶𝑜𝑣𝑋1 𝑋3 2𝑎2𝑎3𝐶𝑜𝑣𝑋2 𝑋3 𝒂𝟏 𝟐𝝈𝟏 𝟐 𝒂𝟐 𝟐𝝈𝟐 𝟐 𝒂𝟑 𝟐𝝈𝟑 𝟐 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟐𝝈𝟏𝟐 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟑𝝈𝟏𝟑 𝟐𝒂𝟐𝒂𝟑𝝈𝟐𝟑 Para 𝑛 variáveis aleatórias teremos 𝑛 termos de variância e 𝑛 2 termos de covariância Generalizando para 𝑍 𝑎1𝑋1 𝑎2𝑋2 𝑎𝑛𝑋𝑛 sendo 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 um conjunto de variáveis aleatórias e 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 constantes 10 𝑉𝑎𝑟𝑍 𝑎𝑖 2𝜎𝑖 2 𝑎𝑖𝑎𝑗𝜎𝑖𝑗 𝑛 𝑗𝑗𝑖 𝑛 𝑖 𝑛 𝑖 Em 10 𝜎𝑖 2 é a variância de 𝑋𝑖 e 𝜎𝑖𝑗 é a covariância entre 𝑋𝑖 e 𝑋𝑗 Em sala de aula utilizamos uma notação semelhante para a variância do portfólio apenas alterando 𝑎𝑖 para 𝑥𝑖 que representa a proporção do ativo 𝑖 no investimento total