Exercícios de Mecânica Resolvidos

Determinar o centro de massa da placa em azul definida pela curva y = x^3 como apresentada na figura. x̄ A = ∫ x_c dA x̄ = ∫ x_c dA / ∫ dA dA = y dx = x^3 dA = (1-x) da x_c = 1-x/2 x̄ = ∫ x dA / ∫ dA = ∫ x y dx / ∫ y dx = ∫ x x^3 dx / ∫ x^3 dx = [1/4 x^4] | 0^1 / [x^3/4] | 0^1 = 1/5 * 4/1 = 0,8 ȳ = ∫ y_c dA / ∫ dA = 1/2 ∫ y dx / ∫ x^3 dx = 1/2 (x^3)^2 dx / ∫ x^3 dx = 1/2 ∫ x^4 /4 | 0^1 = 1/2 * 1/4 * 4/1 = 0,2 m Determinar o centro de massa da placa em azul definida pela curva y = x^3 como apresentada na figura. dA = (1-x) dy y = x^3 x = y^1/3 x̄ = ∫ x_c dA / ∫ dA = 1/2 ∫ (1-x)(1+x) dy / ∫ (1-x) dy = 1/2 ∫ (1-y^2/3) dy / ∫ dy = 1/2 [y - 3/5 y^5/3 | 0^1] = 0,8 m ȳ = ∫ y_c dA / ∫ dA = ∫ y(1-y^1/3) dy / ∫ (1-y^1/3) dy = ∫ y dy - ∫ y^4/3 dy / ∫ dy - ∫ y^1/3 dy = [1/2 y^2 - 3/4 y^7/3 | 0^1] / [y-3/4 y^4/3] |0^1 = 0,286 m Encontrar x̄ e ȳ na área demarcada da = (1-x) dx x=x^1/3 x̄ = ∫ x_c dA / ∫ dA = 1/2 ∫ x dy / ∫ x dy = 1/2 ∫ y^1/3 dy / ∫ y^1/3 dy = 0,4 m ȳ = ∫ y_c dA / ∫ dA = ∫ y x dy / ∫ x dy = ∫ y y^1/3 dy / ∫ y^1/3 dy = [1/2 y^2 - 3/4 y^7/3 | 0^1] = 0,541 m Demonstrar que x̄ = 1/3b e ȳ = 1/3h x̄ = ∫ x dA / ∫ dA = ∫ xy dx / ∫ y dx x̄ = ∫ kx² dx / ∫ kx dx = [kx²/2] / [kx]₀ᵇ x̄ = b²/3b = 2/3b = 2/3b ȳ = ∫ y dA / ∫ dA = 1/2 ∫ y² dx / ∫ dx ȳ = 1/2 ∫ k²x² dx / ∫ kx dx = 1/2 k ∫ x² dx / ∫ kx dx ȳ = 1/2 k.[b³/3] * 1/b²b = 1/3(kb) * h = 1/3h y = kx y = ? x = b | y = h h = k . b x̄ = ∫ x dA / ∫ dA = (∫ xy dx - ∫ xy dx) / (∫ y dx - ∫ y dx) = m ∫ x² dx - k ∫ x² dx k = h/a ȳ = ∫ y dA / ∫ dA = 1/2 ∫ (mx²) dx - 1/2 ∫ (kx²) dx = [1/2 (∫ mx² dx - ∫ kx² dx)] / (∫ mx dx - ∫ kx dx) ȳ = kx².a³/3 - a²/4 = [4/12 (4m³ - 3k²a²)] / [6(3ma² - 2ka²)] x̄ = 2ma² - 3ka³/3 x̄ = 4ka² - 3ka² x̄ = 3ha²/2ka ȳ = kx².a³/3 - a² = 5/30 * ha² = 2ka²/5 * a² = 2/5b = z/5h = 2/5h V = ? A = ? A₁ = 2π.r̄.L L = 3cm r̄ = 1.5cm A₁ = 28.27cm² A₂ = 2π.r̄.L L = √3² + 4² L = 5cm r̄ = 1.5cm A₂ = 44.42cm² Aₜ = A₁ + A₂ = 72.69cm² V = 2π.r̄.A A = 324cm² V = 2π.1.6 V = 34.4cm³ 100 mm 20 mm 20 mm 400 mm 345 20 mm 3 mm 200 50 O diâmetro externo de uma polia é 0,8 m, e a seção transversal de seu contorno externo está mostrada acima. Sabendo que a polia é feita de aço e que a densidade do aço é p = 7,85 x 10^3 kg/m^3, determine a massa e o peso do contorno externo. 5000 345 14,15E6 14600 365 4,15E6 7,65E6 = Vt (mm3) T = (400 - 50) = 345 T = 400 - 20 - 35 -2 T = 365 V = 7,65E6 mm3 (1m/10^-3mm)^3 p= 7,85E3 kg V = 7,65E-3 m^3 V m = p.V m=7,85E3 7,65E -3 m= 60,05 kg P = m.g P = 588,1N 9-90. Determine the surface area and volume of the solid formed by revolving the shaded area 360° about the x axis. Ci = 2,5pi ln L1 = 14,1 in L2 = 14,1 in I=3,14im Ci = 2,6pi in A = 2.T. 75. 14.1.2 + 3,64. 2,14 A = 116 in^2 Ci = 2,64 in A1=1 in^2 CCi = 3.64 7 2 Ci2 = 2, 8, Am V = 5951 in^3 Ci2=3,42=Ae=3Ae= 1,5 ci=Ae= 2 x. 5951 Determinar a área superficial e o volume da peça formada pela superfície mostrada girada 360° ao redor do eixo z. 75 mm 75 mm 75 mm 75 mm 250 mm 300 mm