Exercicios de Pendulo Simples

www.fisicaexe.com.br Um corpo de massa m está preso a um fio inextensível, de peso desprezível e gira num plano horizontal constituindo um pêndulo cônico. Sendo L o comprimento do fio, θ o ângulo que o fio forma com a vertical e g a aceleração local da gravidade, determine: a) A tensão T no fio; b) A velocidade angular de rotação; c) O período das oscilações. Esquema do problema A massa m está sob a ação da força peso (P →) e da tração (T →) no fio. Como o corpo realiza um movimento circular ele está sob a ação da aceleração centrípeta (a → CP), apontada radialmente para centro da trajetória. O ângulo entre a tração no fio e a vertical passando pelo corpo será θ, mesmo ângulo que temos entre o fio L e a vertical, pois estes ângulos são alternos internos. Dados do problema massa do corpo: m; comprimento do fio: L; ângulo entre o fio e a vertical: θ; aceleração local da gravidade: g. Solução a) Desenhando as forças que agem no corpo num sistema de eixos coordenados, como se vê na figura 2 ao lado, temos que a componente y da tração (T y ) é equilibrada pela força peso (P →), já que não existe movimento ao longo deste eixo a aceleração nessa direção é nula, portanto aplicando a 2.ª Lei de Newton F → má em módulo temos T y P m a T y P m⋅0 T y P 0 T y P figura 2 www.fisicaexe.com.br Sendo o ângulo θ medido entre o vetor T → e o eixo y (ao contrário do que se faz usualmente, em que se mede um ângulo a partir do eixo x), temos que o módulo da componente da tração na direção de y será T y T cos (II) e o módulo da força peso será igual a P m g (III) substituindo (II) e (III) em (I) obtemos T cos m g T m g cos (IV) b) Pela figura 2 escrevemos a 2.ª Lei de Newton para um corpo em movimento circular (onde atua a aceleração centrípeta) F → CP má → CP temos que a componente do vetor T → ao longo do eixo x (T → x ) é a única força responsável pela força centrípeta F CP , ou seja em módulo T x m a CP (V) o módulo de T x será dado por T x T sen (VI) substituindo T pelo valor encontrado no item anterior temos T x m g sen cos (VII) A aceleração centrípeta será dada por a CP v 2 R substituindo (VI) e (VII) em (IV) m g m v 2 cos sen R (VIII) simplificando a massa de ambos os lados da igualdade g sen v 2 cos R A velocidade será dada pro 2 www.fisicaexe.com.br substituindo (IX) em (VIII) g sen R cos 2 g R 2 cos 2 R 2 g cos R g sen 2 R g cos O valor do raio (R) da trajetória não é fornecido pelo problema, é preciso encontrar esse valor em função dos dados do problema, pela figura 3 vemos que sen cateto oposto R hipotenusa L R L sen (IX) substituindo (XI) em (X) g sen 2 L sen cos 2 L g cos R 2 2 L g cos L cos c) O período pode ser calculado lembrando que 2 usando o valor da velocidade angular ω obtido no item anterior, escrevemos g 2 V L cos 2 ω g L cos 2 L cos g 3