Aritmética Digital - Adição e Representação de Números com Sinal

Sistemas Digitais AULA 4 Patrícia Salles Maturana de Souza Aritmética Digital Adição Decimal 3 7 6 4 6 1 8 3 7 Adição Binária 0 1 1 3 1 1 0 6 1 0 0 1 9 0 0 0 1 0 1 1 1 10 0 carry de 1 para a próxima posição 1 1 1 11 1 carry de 1 para a próxima posição Somar apenas 2 números binários por vez Se tiver mais de 2 números somase os 2 primeiros e o resultado com o 3 número 1 1 0 1 1 3375 1 0 1 1 0 2750 1 1 0 0 0 1 6125 2 Representação de Números com Sinal Sistema Sinal Magnitude 1 Bit de sinal e 6 bits de Magnitude 1 Bit Negativo 0 Bit Positivo 3 Representação de Números com Sinal Sistema Sinal Magnitude é uma representação direta porém não tão utilizada por computadores e calculadoras pois a implementação é mais complexa Sistema mais utilizado Sistema de Complemento de 2 Sistema de Complemento de 1 4 c 310 00011 2 00010 11101 complemento de 1 1 somase 1 2 11110 representação de 2 em complemento de 2 e 8 01000 10111 complementase cada bit 1 somase 1 8 11000 representação de 8 em complemento de 2 Representação de números com sinal usando complemento de 2 6 Exemplo 61 Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como um número binário com sinal no sistema de complemento de 2 Use um total de 5 bits incluindo o bit de sinal 7 Forma do complemento de 2 101101 número binário de 45 010010 complementase cada bit para obter o complemento de 1 1 adicionase 1 para obter o complemento de 2 010011 complemento de 2 do número binário original 101100 número binário original 010011 complemento de 1 1 somase 1 010100 complemento de 2 do número binário original Solução a 13 01101 bit de sinal 910 10012 0110 complemento de 1 1 somase 1 ao LSB 0111 complemento de 2 9 10111 bit de sinal 9 01001 10110 complemento de 1 de cada bit incluindo o bit de sinal 1 somase 1 ao LSB 9 10111 representação de 9 em complemento de 2 Extensão de Sinal O tamanho do registrador Número de FFs determina o número de dígitos binários que são armazenados para cada número Armazenado serão de 4 8 12 16 32 ou 64 bits Exe Um sistema de 8 bits 7 representam magnitude e 1 o sinal Se necessário armazenar 5 bits em registrador de 8 bits 10 Iniciar com 00001001 9 Fazer o complemento de 2 negação 11110111 9 Negar novamente 00001001 9 Exemplo 62 Cada um dos seguintes números é um número binário com sinal no sistema do complemento de 2 Determine o valor decimal em cada caso 12 Solução a 0 Sinal positivo 1100 12 b 11010 6 c10001 15 13 Caso especial na Representação de complemento de 2 1 no bit de sinal Todos os bits da magnitude 0 O número de bits de magnitude é 2𝑁 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑁 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 14 Binário com Sinal Usando Valor Decimal Complemento de 2 7 2³ 1 0111 6 0110 5 0101 4 0100 3 0011 2 0010 1 0001 0 0000 1 1111 2 1110 3 1101 4 1100 5 1011 6 1010 7 1001 8 2³ 1000 Exemplo 63 Qual é a faixa de valores de números decimais sem sinal que pode ser representada com um byte 16 Solução Sem sinal somente magnitude 1 byte 8 bits 8 bits somente de magnitude portanto Isso corresponde à 256 valores diferentes 17 Exemplo 64 Qual é a faixa de valores de números decimais com sinal que pode ser representada com um byte 18 Solução Representando com sinal MSB Bit de sinal e 7 bits de magnitude Maior valor negativo é Maior valor positivo Faixa de valores 128 a 127 256 valores diferentes 19 Exemplo 65 Um determinado computador tem armazenado em sua memória os seguintes números com sinal na forma de complemento de 2 Em seguida executa comandos para converter cada número em seu equivalente ou seja 31 para 31 e 12 para 12 Como ele faz isso 20 Solução O que ele faz é uma operação de negação em que um número com sinal pode ter a sua polaridade trocada simplesmente realizandose a operação do complemento de 2 no número completo incluindo o bit de sinal O circuito do computador lê o número na memória efetua a operação do complemento de 2 e coloca o resultado de volta na memória 21 Adição no Sistema de Complemento de 2 Adição e Subtração em máquinas digitais Utilização do complemento de 2 para números negativos Caso I Dois números positivos Adição é feita diretamente 9 com 4 22 Caso II Um número positivo e um outro menor e negativo 9 com 4 23 Caso III Um número positivo e um outro maior e negativo 9 com 4 24 Caso IV Dois números Negativos 9 com 4 25 Caso V Números iguais e de sinais opostos 9 com 9 26 Subtração no Sistema de complemento de 2 1 Faça a operação de negação do subtraendo Isso mudará o subtraendo para o seu valor equivalente com sinal oposto 2 Adicione esse número obtido ao minuendo O resultado dessa adição representa a diferença entre o subtraendo e o minuendo Caso I 4 é subtraído de 9 27 Caso II 9 sendo subtraído de 4 28 overflow aritmético Somandose 9 com 8 Ocorreu um overflow Transbordamento na posição do bit do sinal 29 Círculos de números e aritmética binária 30 Adição bcd OBS BCD Decimal codificado em binário BCD Requer 12 bits Cada decimal é codificado em binário Binário Puro Requer 8 bits 137 10001001 binário PURO 137 0001 0011 0111 BCD 31 Soma menor ou igual a 9 5 4 9 0101 0100 1001 4533 78 0100 0101 0011 0011 0111 1000 32 Soma maior do que 9 6 7 13 0110 0111 1101 código BCD inválido 47 35 82 0100 0111 0011 0101 0111 1100 inválido 33 59 38 97 275 641 916 59 0101 1001 BCD para 59 38 0011 1000 BCD para 38 97 1001 0001 realizase a soma 0110 somase 6 para corrigir 1001 0111 BCD para 97 275 0010 0111 0101 BCD para 275 641 0110 0100 0001 BCD para 641 916 1000 1011 0110 realizase a soma 0110 somase 6 para corrigir o segundo dígito 1001 0001 0110 BCD para 916 Aritmética hexadecimal Utilizados na programação em linguagem de máquina e na especificação de endereços de memória nos computadores A adição hexadecimal é parecida com a adição decimal mas em vez de 9 o maior dígito é F Passos 1 Some os dois dígitos hexa em decimal inserindo mentalmente o equivalente decimal para os dígitos maiores que 9 2 Se a soma for menor ou igual a 15 o resultado dela pode ser expresso como um dígito hexa 3 Se a soma for maior ou igual a 16 subtraia 16 e transporte o carry 1 para a posição do próximo dígito 35 Exemplo 66 Some os números hexa 58 e 24 Solução 8 4 12 C em hexa não ocorre o carry 36 Exemplo 67 Some os números hexa 58 e 4B Solução 8 B 11 19 16 obtenha 3 por subtração Escreva o dígito 3 e carregue o carry 1 para a próxima posição 5 4 1 10 37 Exemplo 68 Some 3AF com 23C 15 12 27 27 16 11 B 10 A 3 1 14 E 3 2 5 38 Subtração HEXA número hexa converta em binário efetue o complemento de 2 converta novamente em hexa subtraia cada dígito hexa de F some 1 equivalente hexa do complemento de 2 Exemplo 69 Subtraia 3A516 de 59216 40 Representação hexadecimal de números com sinal O armazenamento de dados na memória interna ou no disco rígido de um computador é armazenado em bytes E é armazenado em determinada posição de endereço Os dados são expressados em hexadecimal mais eficiente que o binário É necessário saber quando o dado hexa é positivo ou negativo Negativo MSD 8 Positivo MSD 7 41 Tabela de dados armazenados Os dados estão armazenados em um pequeno segmento de memória 42 Circuitos Aritméticos Uma unidade lógica e aritmética ULA recebe os dados armazenados na mémoria e executa operações aritméticas e lógicas com instruções provenientes da unidade de controle 43 Circuitos Aritméticos A unidade de controle é instruída a adicionar um número específico de um local da memória para um número armazenado no registrador acumulador 44 O número é transferido da memória para o registrador B 45 O número no registrador B e o número do registador acumulador são somados no circuito lógico e o resultado é enviado para o acumulador para ser armazenado 46 O novo número permanece no acumulador para outras operações ou pode ser transferido para a memória para ser armazenado 47 Somador Binário Paralelo 1ª parcela 10101 Armazenado no registrador acumulador 2ª parcela 00111 Armazenado no registrador B Soma 11100 Carry 00111 Deve ser adicionado à próxima posição Diagrama em bloco de um circuito somador paralelo usando somadores completos Somador paralelo Recebe esse nome porque todos os bits relativos às parcelas são colocados simultaneamente na entrada do somador ou seja a adição de cada bit é feita ao mesmo tempo sendo mais rápida que a adição comum 49 Projeto de um somador completo Bit de entrada da 1ª parcela Bit de entrada da 2ª parcela Bit de entrada do carry Bit de saída da soma Bit de saída do carry A B CIN S COUT 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 FA CIN A B S COUT S ABCIN ABCIN ABCIN ABCIN Simplificação da expressão da Soma XOR com as entradas B e Cin Se X Substituindo X 51 Somador Completo A B CIN S COUT FA Simplificação da Expressão Cout COUT ABCIN ABCIN ABCIN ABCIN COUT BCINA A ACINB B ABCIN CIN BCIN ACIN AB Simplificação com o mapa de Karnaugh 54 Meio Somador HA O meio Somador opera de maneira similar do somador completo mas somente com 2 bits de entrada utilizando somente A e B e S e Coutcarry como saída Um exemplo seria a soma de 2 bits em que não há carry de entrada A B S Cout 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 55 Somador Paralelo em Circuito Integrado 4 Bits 56 Somador Paralelo em Circuito Integrado 8 Bits Conexão de 2 de 4 Bits 57 Exemplo 610 Determine os níveis lógicos nas entradas e saídas do somador de oito bits mostrado na Figura abaixo em que 7210 é somado com 13710 Solução Converta o número em um binário de 8 bits Esses dois valores binários serão colocados nas entradas A e B ou seja as entradas A serão 10001001 da esquerda para a direita e as entradas B serão colocadas 01001000 da esquerda para a direita O somador gerará a soma binária dos dois números 58 Sistema de Complemento de 2 Representação de 3 na forma de complemento de 2 1ª parcela 1101 A partir do registrador A Somador paralelo de 4 bits 74LS283 C0 0 C4 1 6 2ª parcela 0110 A partir do registrador B Σ3 Σ2 Σ1 Σ0 0011 3 soma resultante Somador Paralelo para a subtração A B 60 Exercícios 61 Efetue as seguintes somas em binário Verifique os resultados fazendo a adição em decimal a 1010 1011 b 1111 0011 c 10111101 111 d 01011 01111 e 10011011 10011101 f 101001 10111 61 a 1010 1011 10101 b 1111 0011 10010 c 10111101 00111000 11110101 d 01011 01111 11010 e 10011011 10011101 100111000 f 101001 0010111 1101001 62 Represente cada um dos números decimais seguintes no sistema do complemento de 2 Use um total de 8 bits incluindo o bit de sinal 63 a 3210001000002 c 6310001111112 e 12710011111112 g 8910010110012 i 110111111112 k Cant be represented with eight bits l 010000000002 n 310000000112 p Cant be represented with eight bits b 1410111100102 d 10410100110002 f 12710100000012 h 5510110010012 j 12810100000002 m 8410001010102 o 310111111012 69 Realize as seguintes operações no sistema do complemento de 2 Use oito bits incluindo o bit de sinal para cada número Verifique os resultados convertendo o resultado binário de volta para decimal 65 a 900001001 600000110 0000111115 b 1400001110 1711101111 111111013 c 1900010011 2411101000 111110115 d 4811010000 8010110000 10000000128 e 17 00010001 16 11110000 00000001 1 f 13 11110011 21 11101011 11011110 34 g 47 00101111 47 11010001 00000000 0 h 15 11110001 36 00100100 00010101 21 i 17 00010001 17 11101111 00000000 0 j Same as i 613 Some os seguintes números decimais após converter cada um deles em código BCD 68 Solução a 0111 0100 0010 0011 1001 0111BCD b 0101 1000 0011 0111 0110 1001 0101 BCD c 0001 0100 0111 0011 0110 0101 0011 BCD d 0011 1000 0101 0001 0001 1000 0100 1001 1101 0110 0100 1010 0011 0110 0101 0000 0011 BCD e 1001 1001 1000 0000 0000 0011 1001 1001 1011 0110 1010 0000 0001 0110 0001 0000 0001 BCD f 0110 0010 0011 0101 1001 1001 1011 1011 1100 0110 0110 0110 614 Efetue a soma de cada um dos seguintes pares de números hexa 71 Solução a 3E91 2F93 6E24 b 91B 6F2 100D c ABC DEF 18AB d 2FFE 0002 3000 e FFF 0FF 10FE f D191 AAAB 17C3C 619 Construa a tabelaverdade para um meio somador com entradas A e B saídas soma e CARRY A partir da tabelaverdade projete um circuito lógico que funcione como um meio somador Referência Bibliográfica TOCCI Ronald J WIDMER Neal S Sistemas digitais principios e aplicacoes 10 ed Rio De Janeiro Ltc 2000 588p 75 Solução A B SUM CARRY 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 SUM AB AB A B CARRY AB