Exercícios Resolvidos de Derivada Direcional e Vetor Gradiente - Cálculo Diferencial e Integral II

EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Exercícios Resolvidos Derivada Direcional e Vetor Gradiente Exercícios Resolvidos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Em qual direção a derivada direcional de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 no ponto 1 1 é igual a zero Solução Considere o vetor unitário 𝑢 cos𝜃 sen𝜃𝑇 qualquer O gradiente de 𝑓𝑥 𝑦 pode ser escrito por 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦22𝑥 𝑥2 𝑦22 4𝑥𝑦2 𝑥2 𝑦22 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑦𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦22𝑦 𝑥2 𝑦22 4𝑥2𝑦 𝑥2 𝑦22 𝑓𝑥 𝑦 4𝑥𝑦2 𝑥2 𝑦22 4𝑥2𝑦 𝑥2 𝑦22 𝑇 𝑓1 1 1 1𝑇 Sabendose que que 𝐷𝑢𝑓1 1 𝑓1 1 𝑢 temse 𝐷𝑢𝑓1 1 1 1𝑇 cos𝜃 sen𝜃 Como queremos 𝐷𝑢𝑓1 1 0 chegase à cos𝜃 sen𝜃 0 cos𝜃 sen𝜃 𝜃 𝜋 4 𝑘𝜋 𝑘 𝜖 ℤ Ou seja escolhemos o vetor 𝑢 tal que o ângulo com o eixo x seja dado por 𝜋 4 𝑘𝜋 com 𝑘 𝜖 ℤ 2 A superfície de uma montanha é descrita pela equação ℎ𝑥 𝑦 4000 0001𝑥2 0004𝑦2 Suponha que um alpinista está no ponto 500 300 3390 Em que direção ele deve se mover para subir o mais rápido possível Solução Para que o alpinista suba o mais rápido possível ele deve andar na direção do vetor gradiente Então ℎ 𝑥 𝑥 𝑦 0002𝑥 e ℎ 𝑦 𝑥 𝑦 0008𝑦 Portanto temse ℎ𝑥 𝑦 0002𝑥 0008𝑦𝑇 ℎ500 300 1 24𝑇 ou 𝑖 24𝑗 Assim a direção para subir o mais rápido a partir de 500 300 é 𝑖 24𝑗 3 Escreva a equação dos pontos cuja normal à superfície 𝑦 𝑧2 𝑧 𝑥2 16 seja paralela ao plano 𝑦𝑧 Solução 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧2 𝑧 𝑥2 16 Exercícios Resolvidos EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 𝐹 𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑧 𝑥 1 2𝑥 𝑧 𝐹 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑦 𝑧 𝐹 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑦 𝑧 2𝑧 𝑥 2𝑦 𝑥 Portanto temse 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥𝑇 O vetor gradiente é normal à superfície de nível 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 16 mas deve ser paralelo ao plano 𝑦𝑧 ou seja paralelo a um vetor do tipo 0 𝑎 𝑏𝑇 Assim temse 𝐹 𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑥 𝑧 0 𝑥 𝑧 Se 𝑥 𝑧 𝑦 𝑧2 𝑧 𝑧2 16 𝑦 𝑧2 16 𝑦 𝑧 4 𝑦 4 𝑧 ou 𝑦 4 𝑧 Portanto a equação da reta é 𝑥 𝑧 𝑦 4 ou 𝑥 𝜆 𝑦 4 𝜆 𝑧 𝜆 𝜆 ℝ