Lista de Exercícios: Mudança de Variável na Integral Dupla

EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Lista de Exercícios Mudança de variável na integral dupla 1 Substitua as integrais cartesianas a seguir por uma integral equivalente e em seguida calcule a integral polar a 𝑑𝑦𝑑𝑥 1𝑥2 0 1 1 b 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 4𝑦2 0 2 0 c 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑦 0 6 0 d 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 1 3 1 2 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares a 𝑥2𝑦 𝑑𝐴 𝐷 onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 b sen𝑥2 𝑦2 𝑑𝐴 𝑅 onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centros na origem e raios 1 e 3 3 Nos itens abaixo calcule a integral dupla 𝑓𝑟 𝜃 𝑑𝐴 𝑅 a 3𝑟2 sen 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 6 0 2𝜋 0 b 9 𝑟2 3 2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜋 2 0 4 Use coordenadas polares para escrever e calcular as integrais duplas descritas abaixo a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑅 𝑥2 𝑦2 4 𝑥 0 𝑦 0 b 𝑓𝑥 𝑦 arctan 𝑦 𝑥 𝑅 𝑥2 𝑦2 1 𝑥2 𝑦2 4 0 𝑦 𝑥 5 Integre 𝑓𝑥 𝑦 ln𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 sobre a região 1 𝑥2 𝑦2 𝑒 6 Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações a 𝑧 𝑥𝑦 𝑥2 𝑦2 1 primeiro octante EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II b 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 0 e 𝑥2 𝑦2 25 c Dentro do hemisfério 𝑧 16 𝑥2 𝑦2 e dentro do cilindro 𝑥2 𝑦2 4𝑥 0 7 Encontre 𝑎 tal que o volume de dentro do hemisfério 𝑧 16 𝑥2 𝑦2 e fora do cilindro 𝑥2 𝑦2 𝑎2 seja a metade do volume do hemisfério Gabarito 1 a 𝜋 2 b 2𝜋 c 36 d 2 3 2 a 1250 3 b 𝜋 4 cos 1 cos 9 3 a 0 b 5𝜋5 6 c 9 8 3𝜋2 32 4 a 𝑟2cos 𝜃 sen 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 16 3 2 0 𝜋 2 0 b 𝑟𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 3𝜋2 64 2 1 𝜋 4 0 5 2𝜋2 𝑒 6 a 1 8 b 250𝜋 3 c 64𝜋 3 7 24 22 3