Exercícios Resolvidos: Plano Tangente e Reta Normal - Cálculo Diferencial e Integral II

EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Exercícios Resolvidos Plano tangente e reta normal Exercícios Resolvidos Plano tangente e reta normal EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Determine uma equação do plano tangente e da reta normal à superfície 𝑓𝑥 𝑦 𝑦ln𝑥 no ponto 140 Solução 𝑓14 4ln1 0 Portanto o ponto 140 pertence à superfície gerada por 𝑓𝑥 𝑦 𝑦ln𝑥 Calculando as derivadas parciais temse 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 e 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 ln 𝑥 No ponto dado 𝑓 𝑥 14 4 e 𝑓 𝑦 14 0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑡 e 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑡 A equação do plano tangente é dada por 𝑧 𝑧0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0𝑦 𝑦0 Como o ponto de tangência é 140 temse 𝑥0 1 𝑦0 4 e 𝑧0 0 A equação do plano tangente fica 𝑧 0 4𝑥 1 0𝑦 4 𝑧 4𝑥 4 O vetor normal é dado por 𝑓 𝑥 14 𝑓 𝑦 14 1 𝑇 Assim suas coordenadas serão 4 0 1𝑇 Por fim a equação paramétrica da reta normal ao plano no ponto 140 será 𝑥 1 4𝜆 𝑦 4 𝑧 𝜆 𝜆 ℝ 2 Determine uma equação do plano que seja paralelo ao plano 𝑧 2𝑥 3𝑦 e tangente ao gráfico de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑥𝑦 Solução A equação do plano tangente é dada por 𝑧 𝑧0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0𝑦 𝑦0 Mas o ponto de tangência 𝑃0 𝑥0 𝑦0 𝑧0 é desconhecido Calculando as derivadas parciais temse Exercícios Resolvidos Plano tangente e reta normal EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 e 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Em função de 𝑥0 e 𝑦0 temse 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 2𝑥0 𝑦0 e 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑥0 Assim a equação do plano pode ser reescrita como 𝑧 𝑧0 2𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0 𝑥0𝑦 𝑦0 𝑧 2𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0𝑦 𝑧0 2𝑥0 𝑦0𝑥0 𝑥0𝑦0 Esse plano deve ser paralelo ao plano 𝑧 2𝑥 3𝑦 e portanto temse 2𝑥0 𝑦0 2 𝑥0 3 𝑦0 4 𝑥0 3 Dessa forma 𝑧0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥0𝑦0 32 3 4 𝑧0 3 Por fim é possível escrever a equação do plano desejado 𝑧 23 4𝑥 3𝑦 3 23 4 3 3 4 𝑧 2𝑥 3𝑦 3 3 Mostre que as superfícies 𝑧 𝑥2 𝑦2 e 𝑧 1 10 𝑥2 𝑦2 5 2 se interceptam no ponto 345 e possuem um plano tangente comum nesse ponto Solução A superfície 𝑧 𝑥2 𝑦2 é um cone circular e 𝑧 1 10 𝑥2 𝑦2 5 2 é um paraboloide circular Calculando as derivadas parciais da primeira superfície temse 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 1 2𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑥 𝑥2 𝑦2 e 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 No ponto dado 𝑓 𝑥 34 3 32 42 3 5 e 𝑓 𝑦 34 4 32 42 4 5 Assim a equação do plano tangente em 345 é dada por 𝑧 5 𝑓 𝑥 34𝑥 3 𝑓 𝑦 34𝑦 4 𝑧 5 3 5 𝑥 3 4 5 𝑦 4 3𝑥 4𝑦 5𝑧 0 Agora calculando as derivadas parciais da segunda superfície temse 𝑔 𝑥 𝑥 𝑦 1 10 2𝑥 𝑥 5 e 𝑔 𝑦 𝑥 𝑦 1 10 2𝑦 𝑦 5 No ponto dado 𝑔 𝑥 34 3 5 e 𝑔 𝑦 34 4 5 Exercícios Resolvidos Plano tangente e reta normal EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Assim a equação do plano tangente em 345 é dada por 𝑧 5 𝑔 𝑥 34𝑥 3 𝑔 𝑦 34𝑦 4 𝑧 5 3 5 𝑥 3 4 5 𝑦 4 3𝑥 4𝑦 5𝑧 0 Que é o mesmo plano encontrado acima mostrando o que foi pedido no enunciado 4 Mostre que existe uma reta sobre o cone 𝑧2 2𝑥2 4𝑦2 onde o plano tangente é paralelo ao plano 12𝑥 14𝑦 11𝑧 25 Determine essa reta e o plano tangente Solução Vamos considerar a equação da superfície como 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥2 4𝑦2 Calculando as derivadas parciais temse 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 1 22𝑥2 4𝑦2 4𝑥 2𝑥 2𝑥2 4𝑦2 e 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 4𝑦 𝑥2 𝑦2 Sabese que a equação do plano tangente é dada por 𝑧 𝑧0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0𝑥 𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0𝑦 𝑦0 𝑧 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0𝑥 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0𝑦 𝑧0 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0𝑥0 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0𝑦0 E esse plano deve ser paralelo ao plano 12𝑥 14𝑦 11𝑧 25 𝑧 12 11 𝑥 14 11 𝑦 25 11 Dessa forma temse que 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 12 11 e 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 14 11 Para encontrar a equação da reta é possível escrever 2𝑥 2𝑥2 4𝑦2 12 11 e 4𝑦 𝑥2 𝑦2 14 11 2𝑥 12 4𝑦 14 𝑥 6 2𝑦 7 7𝑥 12𝑦 0 Ou seja qualquer ponto 𝑥0 𝑦0 sobre a reta 7𝑥 12𝑦 0 obedecerá ao fato de que o plano tangente ao cone em 𝑥0 𝑦0 é paralelo ao plano 12𝑥 14𝑦 11𝑧 25 Podemos escrever a equação do plano tangente em 𝑃0 12 7 𝑧0 que satisfaz a reta 7𝑥 12𝑦 0 Para encontrar 𝑧0 𝑧0 2 2𝑥0 2 4𝑦0 2 2 122 4 72 𝑧0 484 22 Assim a equação do plano será 𝑧 22 12 11 𝑥 12 14 11 𝑦 7 12𝑥 14𝑦 11𝑧 0