Parametrização de Curvas - Conceitos e Exemplos

PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 11 22001199 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS Eloiza Gomes Juliana Martins Philot Este texto de apoio trata inicialmente do conceito de curvas Embora bastante familiar e intuitivo em espaços geométricos 2 e 3 em que conhecemos circunferências retas elipses etc a conceituação de curvas pode ser generalizada para um espaço arbitrário n com n Do ponto de vista intuitivo uma curva é um conjunto de pontos descritos com o auxílio de um único parâmetro como por exemplo as retas no 3 Definição 01 Uma curva no n é uma função A imagem de ou seja todos os possíveis t é denominada traço ou trajetória da curva 61 Equações paramétricas de curvas Em geral determinar equações para curvas não é tarefa fácil Uma estratégia muito empregada é descrever as curvas empregando funções que expliquem o comportamento de cada coordenada 1 2 n x x x para cada t Este modo de lidar com as curvas têm grande aplicação nas disciplinas Cálculo II e Mecânica Geral da segunda série Definição 02 Sejam 1 2 n x x x funções de uma variável t I 1 1 x f t 2 2 x f t n n x f t para todo t I Quando t assume todos os valores em I então o ponto Pt n tal que 1 2 n P t f t f t f t descreve uma curva C em n As equações 1 1 x f t 2 2 x f t n n x f t são chamadas de equações paramétricas da curva Em geral denotase por 1 1 2 2 n n x f t x f t C t I x f t Exemplo 01 A função definida por t x t y t z t em que cos 7 x t t sen 7 y t t e z t t representa uma curva C com equações paramétricas dadas por PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 22 22001199 A curva C está representada na Figura 1 Notase que quando t assume todos os valores reais o vetor 7 7 T v t cos t sen t t representado a partir da origem tem extremidade percorrendo todos os pontos da curva como ilustrado na Figura 2 Observase que a projeção da curva C no plano Oxy é uma circunferência de raio 1 Para cada valor de t a extremidade do vetor 7 7 0 T u t cos t sen t percorre todos os pontos de como observase na Figura 3 Assim os valores da abscissa e ordenada de cada ponto da curva C são determinados pela primeira e segunda coordenadas dos pontos de Notase ainda que que a curva C está contida na superfície cilíndrica de equação 2 2 1 x y como visto na Figura 4 x y z x y z x y x y z Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 62 Parametrização de curvas no 2 Equações paramétricas de curvas já foram foco de estudo em nosso curso quando foi introduzido o conceito de retas no 3 Outras curvas apareceram como intersecções de superfícies Tais curvas não eram descritas por equações paramétricas por exemplo a equação de uma circunferência era escrita como a intersecção de um plano e uma superfície esférica Geralmente no 3 as projeções de seus pontos em um dos planos coordenados geram retas circunferências elipses parábolas e hipérboles Por este motivo iniciase o estudo da parametrização das curvas pela parametrização destas projeções em Oxy uma escolha arbitrária Assim é necessário estudar estas projeções no espaço 2 t PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 33 22001199 621 Parametrização da reta É fato conhecido que a equação de uma reta r no 2 pode ser escrita na forma y ax b No entanto de maior interesse para o momento é a abordagem vetorial descrita a seguir Sejam os pontos 0 A b e 0 B b a pertencentes à reta r como mostra a Figura 5 Temos Note que o vetor não nulo u denominado vetor diretor fornece a direção da reta r ou seja sua inclinação com relação ao sistema de coordenadas Oxy Assim a condição para que um ponto P do 2 pertença à reta y ax b resumese apenas à AP t u com t Devese observar que 0 1 T AP t u P A t u x y b a t Figura 5 Logo é possível escrever equações paramétricas para a reta x t r y b a t com t Exemplo 02 A reta r de equação cartesiana 3 2 1 0 y x tem uma parametrização dada por 1 2 3 3 x t r y t com t verifique 622 Parametrização da parábola Seja P a parábola de equação1 2 2 y px p 0 Uma possível parametrização é expressa por 2 1 2 x p t P y t com t e p 0 Caso a parábola P sofra uma translação com relação à origem a equação assume a forma 2 2 y b p x a p 0 e uma possível parametrização será 2 1 2 x a p t P y b t com t e p 0 1 De maneira análoga é possível parametrizar as outras equações cartesianas da parábola vistas anteriormente PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 44 22001199 Exemplo 03 A parábola P de equação cartesiana 4 2 2 0 y x tem uma parametrização dada por 2 2 4 x t P y t com t verifique 623 Parametrização da circunferência Seja a circunferência C de equação 2 2 2 x y r de centro 0 0 O e raio r 0 Uma possível parametrização da circunferência C é expressa por 2 2 2 0 x t C t r y r t Esta versão parametrizada da circunferência embora bastante intuitiva é de fato pouco usual uma vez que o domínio da função 2 2 y t r t é diferente do conjunto dos números reais Além desta restrição do domínio observase que para obter a circunferência é necessário considerar ambas funções 2 2 1y t r t e 2 2 2y t r t Dessa forma é aconselhável empregar funções trigonométricas na parametrização de circunferências como discutido a seguir Sejam a circunferência 2 2 2 C x y r r 0 e t a medida em radianos do ângulo ˆ 0 POP como ilustrado na Figura 6 Assim todo ponto P x y C tem cos x r t e sen y r t 0 2 t Assim uma parametrização2 de C é cos sen x r t y r t com t Figura 6 Observe que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sen cos sen x y r t r t r t t r Caso a equação da circunferência seja 2 2 2 0 0 C x x y y r uma possível parametrização será expressa por 2 Considerando 0 2 t ou t obtémse a mesma curva C A diferença é que se t implica em realizar infinitas voltas sobre a circunferência C t vide figura 7 PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 55 22001199 Exemplo 04 A circunferência de equação cartesiana 2 2 3 5 8 x y tem uma parametrização dada por 3 2 2 cos 5 2 2 sen x t y t com t verifique Figura 7 624 Parametrização da elipse Seja uma elipse de centro na origem e equação 2 2 2 2 1 x y a b com a b 0 Uma possível parametrização é cos sen x a t y b t com t De fato 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sen cos sen 1 a t b t t t a b Exemplo 05 Para parametrizar a elipse de equação cartesiana 2 2 9 4 36 8 4 0 x y x y inicialmente escrevese a equação reduzida da elipse 2 2 2 2 2 2 9 4 36 8 4 0 9 36 4 8 4 0 9 4 4 2 4 0 x y x y x x y y x x y y Completando quadrados temse 2 2 2 2 9 4 4 2 4 0 9 4 36 4 4 2 1 4 0 4 x x y y x x y y 2 2 2 2 2 1 9 2 4 1 36 0 1 4 9 x y x y Uma parametrização é dada por 2 2 cos t 1 3sen x y t com t 625 Parametrização da hipérbole Seja uma hipérbole de centro na origem e equação 2 2 2 2 1 x y a b com a b 0 Uma possível parametrização é sec tg x a t y b t com 3 0 2 2 2 t t PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 66 22001199 De fato 2 2 2 2 2 2 2 2 sec tg sec tg 1 a t b t t t a b Observação Faça as adaptações necessárias para o caso 2 2 2 2 1 y x a b com a b 0 Exemplo 06 A hiperbóle de equação cartesiana 2 2 1 16 2 y x tem uma parametrização dada por 2 tg 4 sec x t y t com 3 0 2 2 2 t t Notase que neste caso a hipérbole corta o eixo Oy o que acarreta 4 sec y t 63 Exercícios Identifique a curva no 2 representada pelas equações e escreva na forma paramétrica3 a 2 2 4 x y b 2 2 4 x y c 2 2 2 0 x y y d 3 2 0 y x e 2 4 4 0 x y f 2 1 6 y x g 2 2 1 4 5 x y h 2 2 7 x y i 2 2 1 9 8 x y j 2 2 9 4 54 16 61 0 x y x y 64 Parametrização de curvas no 3 Não é pretensão deste texto expor uma abordagem geral para o assunto Ao contrário o objetivo é familiarizar o estudante com a representação paramétrica de curvas que será bastante útil em seus estudos nas séries posteriores do curso de engenharia Assim as parametrizações das curvas geradas pela intersecção de superfícies será discutida aqui por meio de exemplos Exemplo 07 Sejam as superfícies 2 2 1 2 S x y e 2 2 2 1 S z x y Neste caso é simples verificar seja por inspeção dos gráficos das superfícies ou por manipulações algébricas de suas equações que 3 Um modo de verificar as respostas dos exercícios é usar um software gráfico exemplo Geogebra Winplot Mathcad PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 77 22001199 a curva de intersecção é uma circunferência C de raio 2 situada no plano z 3 como mostra a Figura 8 x y x y Para escrever a parametrização desta curva de instersecção lançase mão do fato de que todos os seus pontos satisfazem as relações 2 2 2 2 2 I 1 II x y C z x y Substituindo I em II temse z 3 Assim até o momento 3 x C y z Figura 8 Figura 9 Para finalizar a parametrização é preciso determinar as funções x t e y t Neste caso notase que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C são iguais àquelas dos pontos da circunferência C1 situada no plano Oxy e de equação 2 2 2 x y como ilustrado na Figura 9 Temse 1 2 cos 2 sen x t C y t com t Logo a parametrização da curva 2 2 2 2 2 1 x y C z x y é dada por 2 cos 2 sen 3 x t C y t z com t Exemplo 08 Sejam as superfícies 2 2 1 1 1 S x y e 2 4 0 S z y Observase que 1 S é uma superfície cilíndrica paralela ao eixo Oz e 2 S é um plano x y z Para determinar uma equação paramétrica da curva 2 2 1 1 I 4 0 II x y C z y observase que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C são iguais àquelas dos pontos da circunferência C1 situada no plano Oxy e de equação 2 2 1 1 x y vide Figura 10 Figura 10 PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 88 22001199 Temse 1 1 cos sen x t C y t com t Logo a parametrização de 2 2 1 1 4 0 x y C z y é dada por 1 cos sen x t C y t z com t Para determinar a função z t substuise na equação II a relação sen y t Assim 2 sen z t o que completa a parametrização de C 1 cos sen 2 sen x t C y t z t com t Exemplo 09 Seja a curva 2 2 1 I II x z C y z Para parametrizála substituise II em I obtendo 2 2 2 2 1 1 III x y x y Observandose a equação III concluise que as abscissas x e ordenadas y dos pontos da curva C estão sobre a circunferência C1 situada no plano Oxy vide Figura 11 A parametrização de III é dada por 1 x cos t C y sent com t x y z Até o momento uma possível parametrização para C é cos sen x t C y t z com t Para completar a parametrização basta substituir em II a relação sen y t e obter sen2 z t Figura 11 Logo escrevese 2 cos sen sen x t C y t z t com t Observação Podese também substituir em I cos x t e obter 2 1 cos z t A parametrização final seria a mesma uma vez que 2 2 1 cos sen z t t PPaarraammeettrriizzaaççããoo ddee CCuurrvvaass 99 22001199 65 Exercícios Determine as equações paramétricas da curva de intersecção das superfícies faça um esboço das superfícies e assinale a curva4 a 2 2 2 2 2 1 1 x y z x y b 2 2 3 z x y z x c 2 2 2 1 3 x y z z x d 2 2 1 x z y z e 2 2 1 1 x z x y f 2 2 2 4 2 2 x y z x g 2 2 4 2 x y z x y h 2 2 2 4 1 x y z y z Referências Bibliograficas Frensel K Delgado J Equações paramétricas das cônicas Disponível em httpwwwprofessoresuffbrkatiafrenselaulasga2ga2aula1pdf Santos R J Seções Cônicas Disponível em httpwwwmatufmgbrregigaaltconicaspdf Santos R J Superfícies e curvas no espaço Disponível em httpwwwmatufmgbrregigaaltquadricaspdf 4 Um modo de verificar as respostas dos exercícios é usar um software gráfico exemplo Geogebra Winplot Mathcad