Prova de Cálculo Diferencial e Integral II - Questões e Integrais

EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 1 de 7 Questões de prova Módulos 3 e 4 Q1 Assinale as alternativas que representa a integral 0 2 2 2 2 2 x x x x xdydx em coordenadas polares a 2 2 cos 2 0 2 cos drd r b 2 2 cos 2 0 cos drd r c 2 2 0 2 2 cos drd r d 2 3 2 cos 2 0 cos drd r e 2 3 2 cos 2 0 2 cos drd r Resposta 0 2 x x x y x x 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y x y x x x x y Q2 A base de um sólido é a região do plano xy delimitada pelo disco 4 2 2 x y e a parte superior é a superfície do paraboloide 2 2 2 y x z Determine o volume do sólido Resposta sen cos r y r x e J r 2 2 2 2 2 r y x z 4 2 4 16 2 1 4 2 1 2 1 2 2 0 2 0 2 0 2 0 4 2 0 2 0 3 2 0 2 0 2 d d r r drd rdrd r V 2 2 3 EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 2 de 7 Q3 Seja 𝐸 o sólido limitado pelo plano 𝑧 0 pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 2𝑥 e pelo cone 𝑧 𝑥2 𝑦2 Assinale a alternativa que indica a integral ou as integrais que representa o volume do sólido 𝐸 I 𝑉 2 𝑥2 𝑦2 𝑥22𝑥 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 0 II 𝑉 𝑟2 2sen𝜃 0 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜋 0 III 𝑉 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟 0 2cos𝜃 0 𝜋 2 𝜋 2 IV 𝑉 1 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2𝑦2 0 11𝑦2 11𝑦2 1 1 V 𝑉 2 𝑟2 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜋 0 a Somente a I está correta b Somente I II e III estão corretas c Somente I e IV estão corretas d Somente I III e IV estão corretas e Todas as alternativas estão corretas Solução A região de integração pedida é mostrada hachurada na figura abaixo EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 3 de 7 É importante notar que o sólido é simétrico em relação ao eixo Ox Dessa forma a integral dupla do volume do sólido E na forma cartesiana é dada por 2 𝑥2 𝑦2 2𝑥𝑥2 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 2 0 Efetuando uma mudança de variável a integral dupla do volume do sólido E em coordenadas polares é dada por 𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 0 𝑟 2 cos 𝜃 𝐽 𝑟 𝑟 2 cos 𝜃 0 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 Agora escrevendo a integral tripla do volume do sólido E na forma cartesiana temse 𝑉 1 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2𝑦2 0 11𝑦2 11𝑦2 1 1 É importante notar que a projeção do sólido no plano Oxy é uma circunferência de centro 𝐶 10 e raio igual 1 vista na figura acima de equação 𝑥 12 𝑦2 1 Assim 𝑥 1 1 𝑦2 Efetuando uma mudança de variável e escrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas tem se 𝑉 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟 0 2cos𝜃 0 𝜋 2 𝜋 2 Q4 Calcule 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑉 𝑆 sendo S o sólido limitado pelo plano 𝑧 0 pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 2𝑥 e pelo cone 𝑧 𝑥2 𝑦2 Solução O sólido S descrito é mostrado na figura abaixo 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y x x EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 4 de 7 Desenvolvendo a equação 𝑥2 𝑦2 2𝑥 encontrase 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 1 𝑥 12 𝑦2 1 Em coordenadas cilíndricas temse 𝑥 𝑟cos𝜃 𝑦 𝑟sen𝜃 𝑧 𝑧 𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑟2 2𝑟cos𝜃 𝑟 2cos𝜃 Assim 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 0 𝑟 2cos𝜃 0 𝑧 𝑟 Reescrevendo a integral dada encontrase 𝑟3 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟 0 2cos𝜃 0 𝜋2 𝜋2 𝑟3𝑧0 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 2cos𝜃 0 𝜋2 𝜋2 𝑟4 𝑑𝑟𝑑𝜃 2cos𝜃 0 𝜋2 𝜋2 𝑟5 5 0 2cos𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 25 cos5𝜃 5 0 2cos𝜃 𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 25 5 cos5𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 32 5 cos𝜃cos4𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 cos4𝜃 cos2𝜃2 1 sen2𝜃2 Substituindo temos 32 5 cos𝜃1 sen2𝜃2𝑑𝜃 𝜋 2 𝜋 2 𝑢 sen𝜃 𝑑𝑢 cos𝜃𝑑𝜃 1 𝑢 1 Dessa forma substituindo na integral temse 32 5 1 u22𝑑𝑢 1 1 32 5 1 u22𝑑𝑢 1 1 32 5 1 2𝑢2 𝑢4𝑑𝑢 1 1 32 5 𝑢 2 3 𝑢3 𝑢5 5 1 1 32 5 1 2 3 1 5 1 2 3 1 5 32 5 8 15 8 15 512 75 Q5 Considere U a região do espaço dada por 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 ℜ3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 9 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 Assinale as alternativas que representam o volume do sólido U a 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 3𝑟 0 3 0 2𝜋 0 b 1 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 9𝑥2𝑦2 0 9𝑥2 0 3 0 EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 5 de 7 c 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 3 0 𝜋2 0 𝜋2 0 d 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 3 0 𝜋 0 2𝜋 0 e 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 9𝑟2 0 3 0 𝜋2 0 Solução A região de integração pedida é mostrada na figura abaixo A integral do volume do sólido U na forma cartesiana é dada por 1 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 9𝑥2𝑦2 0 9𝑥2 0 3 0 Na forma cilíndrica temse 𝑥 𝑟cos𝜃 𝑦 𝑟sen𝜃 𝑧 𝑧 onde os parâmetros variam 0 𝜃 𝜋 2 0 𝑟 3 0 𝑧 9 𝑟2 Assim 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 9𝑟2 0 3 0 𝜋2 0 Por fim na forma esférica temse 𝑥 𝜌sen𝜙cos𝜃 𝑦 𝜌sen𝜙sen𝜃 𝑧 𝜌cos𝜙 onde os parâmetros variam 0 𝜙 𝜋 2 0 𝜃 𝜋 2 0 𝜌 3 Assim 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 3 0 𝜋2 0 𝜋2 0 18 da esfera 2 2 2 2 2 9 9 9 x y x y y x EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 6 de 7 Q6 Considere U a região do espaço dada por 𝑈 𝑥 𝑦 𝑧 ℜ3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4 𝑥 0 𝑧 0 Assinale a alternativa correta considerando as integrais abaixo a 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 4𝑥2𝑦2 0 2 2 2 0 b 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 4𝑥2𝑦2 0 4𝑥2 4𝑥2 2 0 c 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 4𝑥2𝑦2 0 4𝑦2 0 2 2 d 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 4𝑟2 0 2 0 𝜋2 𝜋2 e 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 2 0 𝜋2 0 𝜋2 𝜋2 a Somente a I está correta b Somente I II e III estão corretas c Somente II III e IV estão corretas d Somente II III IV e V estão corretas e Todas as integrais estão corretas Solução A região de integração pedida é mostrada na figura abaixo 14 da esfera EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Pág 7 de 7 A integral do volume do sólido U na forma cartesiana é dada por 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 4𝑥2𝑦2 0 4𝑥2 4𝑥2 2 0 ou 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 4𝑥2𝑦2 0 4𝑦2 0 2 2 Na forma cilíndrica temse 𝑥 𝑟cos𝜃 𝑦 𝑟sen𝜃 𝑧 𝑧 onde os parâmetros variam 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 0 𝑟 2 0 𝑧 4 𝑟2 Assim 𝑟 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 4𝑟2 0 2 0 𝜋2 𝜋2 Por fim na forma esférica temse 𝑥 𝜌sen𝜙cos𝜃 𝑦 𝜌sen𝜙sen𝜃 𝑧 𝜌cos𝜙 onde os parâmetros variam 0 𝜙 𝜋 2 𝜋 2 𝜃 𝜋 2 0 𝜌 2 Assim 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 2 0 𝜋2 0 𝜋2 𝜋2 2 2 2 2 4 4 4 y x x y y x ou