Parametrização da Hipérbole com Funções Trigonométricas

Parametrização de uma hipérbole Adaptado do texto de K Frensel e J Delgado IMUFF httpwwwprofessoresuffbrkatiafrenselwpcontentuploads sites115201708ga2aula1pdf Podemos obter outras equações paramétricas para a hipérbole H y2 b2 1 utilizando as funções trigonométricas IMUFF K Frensel J Delgado x2 a2 A seguir assumimos 0 b a faça as adaptações necessárias para o caso em que 0 a b Acompanhe o procedimento na Figura 7 a Fig 7 Hipérbole H x2 2 y2 b2 1 Sejam as retas s1 x b e s2 x a Consideremos um ponto P x y H no primeiro quadrante Seja P1 x1 y1 o ponto de interseção de s1 com a reta paralela ao eixo OX que passa por P Seja t a medida em radianos do ângulo do semieixo positivo OX para a semireta OP1 no sentido antihorário Da Trigonometria temos P1 x1 y1 b b tg t Note que as segundas coordenadas de P e P1 são iguais Daí concluímos que y y1 b tg t Ou seja P x y x y1 x b tg t Para obter a coordenada x do ponto P seja P2 o ponto de interseção da semireta OP1 com a reta s2 Então OP2 a sec t O círculo de centro na origem e raio OP2 intersecta o semieixo positivo OX no ponto P0 x0 0 onde x0 OP2 a sec t Como t é um arco do primeiro quadrante a sec t é um número positivo Logo x0 a sec t Afirmamos que x x0 isto é P x y x b tg t x0 b tg t a sec t b tg t Para verificar a afirmativa basta mostrar que o ponto de coordenadas a sec t b tg t satisfaz a equação cartesiana da hipérbole H a sec t2 a2 b tg t2 b2 sec2 t tg2 t 1 Finalmente observe que conforme t percorre todos os valores do intervalo 0 π 2 o ponto P percorre todos os pontos da hipérbole que estão no primeiro quadrante Veja a Figura 7 Fig 8 Ramo de H no quarto quadrante 2 Geometria Analítica II Aula 1 Geometria Analitica II Aula 1 3 Para obter os pontos do quarto quadrante fazemos a mesma construgao variando t no intervalo 40 Neste caso o ponto P xy da hipérbole tem a sua segunda coordenada negativa coincidindo com btgt que é também um numero negativo Veja a Figura 8 Para obter o ramo da hipérbole que intersecta 0 semieixo negativo OX repetimos a construao variando t no intervalo 5 3m sendo agora t o Angulo em radianos que o semieixo positivo 1s OX faz com o vetor OP no sentido horario onde P o ponto de intersecao da reta s x b com a reta paralela ao eixoOX que passa por P si OY o OX t Pf L P Fig 9 Ramo de 1 no semiplano x 0 Observe que mt 30 btgt 0 para ta asect 0 parate 7 e 9 para 3 22 bigt 0 parant Com essa analise chegamos as seguintes equagées paramétricas da hipérbole x we xasect 3 H te 95 U5 3 y bigt Quando t varia no intervalo 4 5 obtemos o ramo da hipérbole 7 que intersecta o semi eixo positivo OX e quando t varia no intervalo 4 3m obtemos o ramo de H que intersecta o semieixo negativo OX Podemos determinar equagdes paramétricas de cada ramo da hipérbole isoladamente fazendo variar t num mesmo intervalo De fato ja sabemos que as equacodes parameétricas xasect 7m 7 Me te 55 y bigt descrevem as coordenadas dos pontos do ramo 1 de que intersecta 0 semieixo positivo IMUFF K Frensel J Delgado 4 Geometria Analitica II Aula 1 OX Também como t 4 se e somente se t 7 5 asect7asect e bigt7bigt vemos que as coordenadas dos pontos do ramo H de H que intersecta 0 semieixo negativo OX sao dadas pelas equacodes parameétricas x asect 1 71 H te 5 y bigt 22 Portanto H é descrita completamente pelas equacgdes paramétricas xasect x asect Hy te 32 H ste 32 ybtgt 22 ybtgt 22 De modo geral podemos verificar que x a sect xo na 7 H y t 3 y ybtgtyo 2 2 sao equagoes parameétricas da hipérbole Oxo yvol de centro x9 yo e reta focal paralela ao eixoOX e 4 xbtgtxo te 33 y a sect o 22 2 2 sao equagoes parameétricas da hipérbole Yvol X0 de centro xo Yo e reta focal paralela ao eixoOY Exemplo 3 Parametrize a hipérbole H x 4y 2x 8y 7 de duas maneiras diferentes Solucao Completando os quadrados temos x2x4y8y7 x14y4174144 x 1 2 2 utlrt Logo H é uma hipérbole de centro 11 retafocal y 1 paralela ao eixoOX a 2e b1 Assim pelo visto acima K Frensel J Delgado IMUFF Geometria Analitica II Aula 1 5 x 2sect1 H te 5 ytgt1 22 é uma parametrizagao deH Exemplo 4 Parametrize a hipérbole H x 9y 18y 2x 1 0 de duas maneiras Solucao Completando o quadrado obtemos 9y 2y x7 2x 1 Ay41x1314919 1 2 yp 1e SE 2 Logo H é a hipérbole de centro 1 1 retafocal x 1 paralela ao eixoOY a1eb3 Entao x 3tgt1 H g te 3 ysect1 22 IMUFF K Frensel J Delgado