Teorema de Green: Definições, Propriedades e Exercícios

EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Módulo 06 Aula 20 Teorema de Green 01 1 Teorema de Green 2 O teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha de campo vetorial ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C O que é uma curva fechada simples Definição Uma curva fechada simples é aquela que é percorrida uma única vez isto é o único ponto múltiplo é sendo o ponto inicial e o ponto final Teorema de Green 3 Teorema Seja C uma curva plana fechada simples contínua por partes orientada positivamente e seja D a região delimitada por um número finito de curvas fechada simples e disjuntas do tipo C Se e tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D então Usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C referese ao sentido antihorário de C percorrido uma só vez Assim se C é dada pela função vetorial então a região D está sempre do lado esquerdo quando percorre C 𝐶 𝑃𝑑𝑥𝑄𝑑𝑦 𝐷 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 Teorema de Green Notação 4 𝐶 𝑃𝑑𝑥𝑄𝑑𝑦 𝐷 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 Notação ou 𝐷 𝑃𝑑𝑥𝑄𝑑𝑦 𝐷 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 𝐷 𝐹 𝑑 𝑟 𝐷 𝑟𝑜𝑡 𝐹 𝑘𝑑𝐴 ou Interpretação do Teorema de Green 5 Podemos calcular a área de uma região sem olhar para a região simplesmente olhando para o bordo fronteira Um planímetro é um instrumento mecânico usado para medir a área de uma região traçando a curva limite Em biologia para medir a área de folhas e asas Em medicina para medir o tamanho da secção transversal de órgãos ou tumores Em silvicultura para estimar o tamanho das regiões florestais a partir de fotografias Exercícios 6 Ex 02 Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva no sentido horário Ex 01 Calcule onde é a reunião da circunferência com o segmento que liga à percorridos no sentido antihorário Exercícios 7 Ex 03 Calcule onde é o arco da parábola ligando o ponto a Ex 04 Calcule sendo Exercícios 8 Ex 05 Calcule onde é a fronteira da região D contida no semiplano superior entre os círculos e 4 como mostra a figura abaixo C D