Notas de Aula: Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

NOTAS DE AULA Parte 1 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem EDO 2023 Autora Ing María Beatriz Bouciguez Colaboradoras Dra Juliana Martins Philot Dra Eloiza Gomes e Me Karina Bradaschia Rocha 1 EQUAÇÕES DIFERECIAIS E MODELOS MATEMÁTICOS Podemos iniciar nossos estudos pensando o que são modelos matemáticos Para Zill 2016 p 21 E frequentemente desejavel descrever o comportamento de algum sistema ou fenomeno da vida real em termos matematicos quer sejam eles fisicos sociologicos ou mesmo economicos A descricao matematica de um sistema ou fenomeno chamada de modelo matematico e construida levandose em consideracao determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populacoes de animais nesse sistema ou datar fosseis por meio da analise do decaimento radioativo de uma substancia que esteja no fossil ou no estrato no qual foi descoberto Na ciência e na engenharia traduzimos um fenômeno que acontece na realidade para a linguagem matemática por meio de um modelo matemático para entendêlo melhor Essa descrição pode ser feita através de uma função uma equação um sistema de equações etc e tem a finalidade de entender esse fenômeno e fazer previsões sobre seu comportamento futuro A álgebra é suficiente para resolver problemas estáticos mas a maioria dos fenômenos naturais mais interessantes envolve mudanças descritas por equações relacionando grandezas variáveis A derivada 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑓𝑡 da função 𝑓 é a razão pela qual a quantidade 𝑥 𝑓𝑡 está mudando em relação à variável independente 𝑡 É natural que equações envolvendo derivadas sejam comumente usadas para descrever o universo em mudança Uma equação que relaciona uma função desconhecida de uma ou mais variáveis de suas derivadas é chamada de equação diferencial As equações diferenciais ED são apresentadas como modelo matemático de muitos fenômenos em diferentes ramos do conhecimento em particular a Engenharia Já estudamos que dada uma função diferenciável é possível obter sua derivada 𝑦 𝑓𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 Nossa questão agora é estudar o processo inverso dada a função derivada como encontrar uma função cuja derivada é a função dada Para pensar 2 Analise os seguintes problemas e responda a perguntas Que semelhanças você encontra entre eles Como eles diferem Problema 1 Encontre a equação de uma curva que passa pelo ponto 24 e tal que em cada ponto 𝑥 𝑦 a inclinação da reta tangente à mesma seja igual a 2𝑥 Problema 2 Encontre uma curva que passe pelo ponto 01 e tal que em cada ponto 𝑥 𝑦 a inclinação da reta tangente à mesma seja igual a 𝑥 𝑦 Esses dois problemas são conceitualmente idênticos mas operacionalmente diferentes No Problema 1 assumindo que a curva 𝐶 buscada é o gráfico de uma função da variável 𝑥 então 𝐶 𝑦 𝑓𝑥 com 𝑓2 4 e com 𝑦 2𝑥 Basta integrar esta última expressão em relação a 𝑥 para obtêla 𝑦 2𝑥 Na notação de Leibniz 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑦 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑥2 𝐶 Como 𝑓2 4 22 𝐶 4 𝐶 0 logo 𝑦 𝑓𝑥 𝑥2 No Problema 2 assumindo que a curva 𝐶 buscada é o gráfico de uma função da variável 𝑥 então 𝐶 𝑦 𝑓𝑥 com 𝑓0 1 e com 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Como encontrar a função 𝑓 A seguir veremos como as soluções de uma ED são vistas que tipos de soluções existem as técnicas para a resolução e todo um arsenal de ferramentas para poder trabalhar com elas Para tanto definiremos uma equação diferencial a seguir 3 Definição Se uma equação contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes dizse que é uma equação diferencial Por exemplo a equação diferencial 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥2 𝑡2 envolve a função desconhecida 𝑥𝑡 e sua primeira derivada 𝑥𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 A equação diferencial 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 5𝑦 0 inclui a função desconhecida 𝑦 na variável independente 𝑥 e suas derivadas de primeira e segunda ordem 𝑦 e 𝑦 O estudo de fenômenos modelados por equações diferenciais tem três pontos principais 1 Descobrir a equação diferencial que descreve a situação específica 2 Encontrar exata ou aproximadamente a solução apropriada para essa equação 3 Interpretar a solução encontrada Em álgebra geralmente se procura números que satisfaçam uma equação como por exemplo 3 𝑥2 𝑥 2 0 Por outro lado em uma equação diferencial buscase encontrar uma função 𝑦 𝑦𝑥 para a qual a identidade 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 0 é verificada para algum intervalo de números reais Normalmente queremos encontrar se possível todas as soluções da equação diferencial CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Vamos classificar as ED por tipo ordem linearidade Classificação por TIPO 1 Ordinária EDO Se uma equação contiver apenas derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a UMA variável independente 2 Parcial EDP Equação envolvendo derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de DUAS ou MAIS variáveis independentes Exemplos de EDO 1 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦 𝑦2 0 4 3 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑘 𝑇 4 𝑥𝐼𝑉 3 𝑥 𝑥 0 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑦 𝑒𝑥 6 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2𝑦 0 7 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑈𝑚𝑎 𝐸𝐷𝑂 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑥 𝑦 Exemplos de EDP 8 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑥 𝑦 9 𝑘 2𝑢 𝑥2 𝑢 𝑡 10 2𝑢 𝑥2 2𝑣 𝑦2 2𝑢 𝑧2 0 Na equação diferencial 10 existem 3 variáveis independentes e 2 variáveis dependentes Isso significa que 𝑢 e 𝑣 devem ser funções de três variáveis independentes Comentário sobre a notação Temos a notação de Leibniz 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 derivada segunda de 𝑦 em relação a 𝑥 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 e notacao por linhas 𝑦 𝑦 𝑦 Usando a notação por linhas as equações 3 5 e 6 por exemplo podem ser escritas de forma mais compacta como 3 𝑣𝑡 𝑘 𝑇 5 𝑦 4𝑦 𝑒𝑥 6 𝑦 𝑦 2𝑦 0 Na verdade a notação por linhas é usada para denotar apenas as três primeiras derivadas a quarta derivada é denotada 𝑦𝐼𝑉 no lugar de 𝑦 Em geral a 𝑛 é𝑠𝑖𝑚𝑎 derivada de 𝑦 é escrita como 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 Embora menos conveniente para escrever a notação 5 de Leibniz tem uma vantagem sobre a notação por linhas mostrando claramente variáveis dependentes e independentes Por exemplo 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 9 𝑥 0 Você pode notar que o símbolo 𝑥 representa uma variável dependente enquanto a variável independente é 𝑡 Devese considerar também que em engenharia e ciências físicas a notação pontual de Newton às vezes é usada para denotar derivadas em relação ao tempo 𝑡 Assim a ED 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 5 se escreve 𝑠 5 Normalmente derivadas parciais são denotadas por uma notação subscrita indicando as variáveis independentes Por exemplo 𝑘 2𝑢 𝑥2 𝑢 𝑡 𝑘 𝑢𝑥𝑥 𝑢𝑡 2𝑢 𝑥2 2𝑢 𝑡2 4 𝑢 𝑡 𝑢𝑥𝑥 𝑢𝑡𝑡 4 𝑢𝑡 A partir deste momento trataremos das Equações Diferenciais Ordinárias EDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Classificação por ORDEM A ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada da equação 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 𝑦 𝑒𝑥 No exemplo acima é colocada uma equação diferencial ordinária de terceira ordem Às vezes as EDO de primeira ordem são escritas na forma diferencial 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 Por exemplo se assumirmos que 𝑦 denota a variável 6 dependente em 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 4 𝑥 𝑑𝑦 0 então 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Dessa forma ao dividir pelo diferencial 𝑑𝑥 temos a forma alternativa 4 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 Simbolicamente podemos expressar uma EDO de 𝑛ésima ordem com uma variável dependente na forma geral 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 0 onde 𝐹 é uma função de valor real de 𝑛 2 variáveis 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 Por razões práticas e teóricas a partir de agora assumiremos que é possível resolver uma EDO na forma da equação Podemos escrever da seguinte maneira 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛1 onde 𝑓 é uma função contínua com valores reais e é conhecida como a forma normal da equação Então para o nosso curso usaremos as formas normais quando apropriado Assim a forma normal de uma EDO de 1ª e 2ª ordem são respectivamente 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 e 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 Por exemplo a forma normal da equação de primeira ordem 4 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 é 𝑦 𝑥𝑦 4 𝑥 já a forma normal da equação de segunda ordem 𝑦 𝑦 4𝑦 0 é 𝑦 𝑦 4 𝑦 Classificação por GRAU É a potência a qual a derivada de maior ordem é elevada desde que a equação seja dada em forma polinomial Exemplos 𝑦 2 𝑥 𝑦 Equação diferencial ordinária de ordem 1 e grau 1 𝑥 𝑦 𝑦2 0 Equação diferencial ordinária de ordem 1 e grau 2 𝑦2 𝑦 𝑦 𝑥4 Equação diferencial ordinária de ordem 3 e grau 2 Classificação por LINEARIDADE Se diz que uma EDO de 𝑛ésima ordem 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 0 é linear se 𝐹 é linear em 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 7 A EDO 𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥 𝑑𝑛1𝑦 𝑑𝑥𝑛1 𝑎2𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑎1𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑎0𝑥 𝑦 𝑔𝑥 ou 𝑎𝑛𝑥 𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑥 𝑦𝑛1 𝑎2𝑥 𝑦 𝑎1𝑥 𝑦 𝑎0𝑥 𝑦 𝑔𝑥 0 é linear se duas coisas acontecerem Todos os coeficientes 𝑎𝑛 são funções apenas da variável independente 𝑥 Todos as derivadas são de grau um Uma EDO nãolinear é simplesmente aquela que 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 0 não é linear As funções não lineares da variável dependente ou suas derivadas tais como sen𝑦 ou 𝑒𝑦 não podem aparecer em uma equação linear Exemplos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 Linear 𝑥2 𝑦 𝑥 𝑦 2 𝑦 0 Linear 𝑦 𝑦2 3 𝑥 Não é linear porque 𝑦 tem grau 2 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 sen𝑥 Não é linear pois o coeficiente de 𝑦está multiplicado pela função y EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE PRIMEIRA ORDEM E GRAU 1 As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e de grau 1 podem ser expressas genericamente das seguintes maneiras Equações Exemplo 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 0 𝑦 2𝑥 𝑥2 1 𝑦 0 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 2𝑥 𝑥2 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 Notação de Leibniz para a derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥2 1 𝑦 𝑀𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 Forma diferencial 2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥2 1𝑑𝑦 0 8 Solução da EDO Para essas EDO uma função 𝑦 𝑓𝑥 é solução em um intervalo 𝐼 𝑎 𝑏 se existir a derivada de 𝑦 𝑓𝑥 para todos 𝑥 nesse intervalo e satisfazer a equação dada Exemplo Verifique se a função 𝑓𝑥 𝑥4 16 é uma solução da equação diferencial 𝑦 𝑥 𝑦 1 2 0 Resolução A função é 𝑓𝑥 𝑥4 16 e sua derivada é 𝑓𝑥 4 𝑥3 16 𝑥3 4 para todo 𝑥 Substituindo na equação 𝑦 𝑥 𝑦 1 2 0 temse 𝑥3 4 𝑥 𝑥4 16 1 2 0 𝑥3 4 𝑥3 4 0 0 0 Portanto a função 𝑓 é a solução da EDO dada Intervalo de definição Não podemos pensar na solução de uma EDO sem pensar simultaneamente num intervalo O intervalo 𝐼 também é conhecido por outros nomes como intervalo de definição intervalo de existência intervalo de validez ou domínio da solução e pode ser um intervalo aberto 𝑎 𝑏 um intervalo fechado 𝑎 𝑏 um intervalo infinito 𝑎 etc Exemplos a 𝑦 𝑥4 16 é solução da EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 1 2 no intervalo Uma maneira de verificar se a função dada é uma solução da EDO é observar uma vez substituída se cada lado da equação é o mesmo para todos 𝑥 no intervalo De fato 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 16 4 𝑥3 𝑥3 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 1 2 𝑥 𝑥4 16 12 𝑥3 4 Observe que como a função 𝑦 𝑥4 16 0 para qualquer 𝑥 a função 𝑦 1 2 está bem definida neste intervalo 9 b 𝑦 𝑥 𝑒𝑥 é solução da EDO 𝑦 2 𝑦 𝑦 0 no intervalo A derivada de primeira ordem 𝑦 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 A segunda derivada 𝑦 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 2 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 Substituindo na EDO 2 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 2 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 0 Operando algebricamente 2 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 2 𝑒𝑥 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑥 𝑒𝑥 0 A expressão é identificada 0 0 Observação Nos exemplos a e b observase que cada EDO tem a solução constante 𝑦 0 𝑥 A solução de uma EDO que é igual a zero em um intervalo 𝐼 é conhecida como uma solução trivial Curva de Solução O gráfico de uma função 𝑓 solução da EDO é chamado de Curva de Solução Se 𝑓 é uma função diferenciável é contínua em seu intervalo de definição Pode haver uma diferença entre o gráfico da função 𝑓 e o gráfico da solução 𝑓 Ou seja o domínio da função 𝑓 não precisa ser igual ao intervalo de definição 𝐼 o domínio da solução 𝑓 O exemplo a seguir mostra essa diferença Exemplo O domínio de 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑥 considerada simplesmente como uma função é o conjunto de todos os números reais 𝑥 exceto 0 Quando representamos graficamente 𝑦 1 𝑥 desenhamos os pontos no plano 𝑂𝑥𝑦 que correspondem a uma amostragem criteriosa dos números retirados do domínio A função racional 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑥 é descontínua em 0 e a função não é diferenciável em 𝑥 0 uma vez que o eixo 𝑂𝑦 𝑥 0 é uma assíntota vertical do gráfico Agora 𝑓𝑥 𝑦 1 𝑥 é também uma solução da EDO linear de primeira ordem 𝑥 𝑦 𝑦 0 De fato 𝑦 1 𝑥2 Substituindo na EDO 𝑥 1 𝑥2 1 𝑥 0 1 𝑥 1 𝑥 0 0 0 10 Mas quando dizemos que 𝑦 1 𝑥 é uma solução desta EDO significa que é uma função definida em um intervalo 𝐼 onde é diferenciável e satisfaz a equação Em outras palavras 𝑦 1 𝑥 é uma solução da EDO em qualquer intervalo que não contenha 0 tal como 4 1 1 3 12 0 ou 0 porque as curvas de solução definidas por 𝑦 1 𝑥 para 4 𝑥 1 e 1 3 𝑥 12 são simplesmente seções ou partes das curvas de solução definidas por 𝑦 1 𝑥 para 𝑥 0 e 0 𝑥 respectivamente Isso faz sentido se usarmos o intervalo 𝐼 o maior possível Assim se 𝐼 for por exemplo 0 ou 0 teremos as duas curvas que são visualizadas mais abaixo 𝑦 1 𝑥 0 𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑥 0 A representação gráfica da função 𝑦 1 𝑥 cujo domínio é Dom𝑓 ℝ 0 pode ser vista na figura abaixo 11 Dessa forma a função 𝑦 1 𝑥 não é o mesmo que a solução 𝑦 1 𝑥 Soluções Explícitas e Implícitas Você já conhece os termos funções explícitas e funções implícitas Uma solução em que a variável dependente é expressa apenas em termos da variável independente e das constantes é conhecida como uma solução explícita Para nossos propósitos consideramos uma solução explícita como 𝑦 𝑓𝑥 que podemos gerenciar avaliar e derivar usando as regras usuais A partir dos exemplos dados acima 𝑦 𝑥4 16 𝑦 𝑥 𝑒𝑥 e 𝑦 1 𝑥 são soluções explícitas de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 1 2 𝑦 2 𝑦 𝑦 0 e 𝑥 𝑦 𝑦 0 respectivamente Além disso a solução trivial 𝑦 0 é uma solução explícita de cada uma das três EDO Comentário Quando chegamos ao ponto de realmente resolver a EDO veremos que os métodos de solução nem sempre levam diretamente a uma solução explícita 𝑦 𝑓𝑥 Isso é particularmente verdadeiro quando tentamos resolver uma EDO de primeira ordem Muitas vezes temos que nos contentar em encontrar uma expressão 𝐺𝑥 𝑦 0 que define uma solução de 𝑓 implicitamente Definição de Solução Implícita de uma EDO Dizse que uma relação 𝐺𝑥 𝑦 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo 𝐼 supondo que haja pelo menos uma função 𝑓 que satisfaça a relação bem como a EDO em 𝐼 12 Esta além do escopo deste curso investigar as condições sob as quais a relação 𝐺𝑥 𝑦 0 define uma funcao diferenciavel 𝑓 Assim vamos supor que se a implementação formal de um método de solução levar a uma relação 𝐺𝑥 𝑦 0 havera pelo menos uma função 𝑓 que satisfaca tanto a relacao isto e 𝐺𝑥 𝑓𝑥 0 quanto a equacao diferencial em um intervalo 𝐼 Se a solucao implicita 𝐺𝑥 𝑦 0 for bem simples poderemos resolver 𝑦 em termos de 𝑥 e obter uma ou mais solucoes explicitas Resumindo Soluções explícitas explicitar a variável dependente 𝑦 𝑓𝑥 Soluções implícitas 𝐺𝑥 𝑓𝑥 0 Exemplo A expressão 𝑥2 𝑦2 25 é a solução implícita da equação diferencial 𝑦 𝑥 𝑦 no intervalo aberto 55 De fato derivando implicitamente em relação a 𝑥 2 𝑥 2 𝑦 𝑦 0 𝑦 2 𝑥 2 𝑦 𝑥 𝑦 Por outro lado resolvendo 𝑥2 𝑦2 25 para 𝑦 em termos de 𝑥 obtémse 𝑦 25 𝑥2 As duas funções 𝑦 𝑓1𝑥 25 𝑥2 e 𝑦 𝑓2𝑥 25 𝑥2 satisfazem a relação que é 𝑥2 𝑓1𝑥2 25 e 𝑥2 𝑓2𝑥2 25 e são as soluções explícitas definidas no intervalo 55 As curvas de solução dadas são ramos do gráfico da solução da equação As curvas de solução apresentadas nas figuras b e c são ramos do gráfico da solução implícita da figura a 13 Qualquer expressão do tipo 𝑥2 𝑦2 𝑐 0 satisfaz a equação 𝑦 𝑥 𝑦 para qualquer constante 𝑐 No entanto se 𝑐 25 não podemos afirmar que 𝑥2 𝑦2 25 0 é uma solução implícita da EDO Famílias de Soluções O estudo das EDO é semelhante ao do Cálculo Integral Em livros uma solução é às vezes chamada de integral 𝑓 da equação e seu gráfico curva integral ou curva de solução Quando obtemos uma antiderivada ou uma integral indefinida no Cálculo usamos uma única constante de integração Da mesma forma ao resolver uma equação diferencial de primeira ordem 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 0 geralmente obtemos uma solução com uma única constante ou parâmetro arbitrário Uma solução que contém uma constante arbitrária representa um conjunto 𝐺𝑥 𝑦 𝑐 0 de soluções 𝑦 se chamada família de soluções de parâmetro único Ao resolver uma EDO 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 0 se busca uma família de soluções 𝒏paramétricas 𝐺𝑥 𝑦 𝑐1 𝑐2 𝑐𝑛 0 Isso significa que uma única EDO pode ter um número infinito de soluções correspondentes a um número ilimitado de opções de parâmetros Uma solução de uma EDO que é livre de escolha de parâmetros é chamada de solução específica Exemplos 1 A família das funções 𝑦 𝑐 𝑥 𝑥 cos𝑥 são soluções explícitas da EDO linear de primeira ordem 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 sen𝑥 no intervalo Verificar A figura mostra os gráficos de algumas das soluções desta família para diferentes escolhas de 𝑐 A solução 𝑦 𝑥 cos𝑥 a curva azul na figura é uma solução particular para 𝑐 0 2 A família das funções 𝑦 𝑐1 𝑒𝑥 𝑐2 𝑥 𝑒𝑥 são soluções explícitas da EDO linear de segunda ordem 𝑦 2 𝑦 𝑦 0 vista anteriormente 14 A figura abaixo mostra sete das soluções da família As curvas de solução em rosa verde e azul são os gráficos das soluções particulares 𝑦 5 𝑥 𝑒𝑥 𝑐1 0 𝑐2 5 𝑦 3 𝑥 𝑒𝑥 𝑐1 3 𝑐2 0 e 𝑦 5 𝑒𝑥 2 𝑥 𝑒𝑥 𝑐1 5 𝑐2 2 respectivamente Às vezes uma EDO tem uma solução que não é membro de uma família de soluções ou seja uma solução que não pode ser obtida de um parâmetro 𝑐 específico da família de soluções Essa solução extra é chamada de solução singular Por exemplo vimos que 𝑦 𝑥4 16 e 𝑦 0 são soluções da EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 1 2 em Mais adiante mostraremos resolvendo de fato que a EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 1 2 tem uma família de soluções de parâmetro único 𝑦 1 4 𝑥2 𝑐 2 Quando 𝑐 0 a solução particular resultante é 𝑦 𝑥4 16 Porém note que a solução trivial 𝑦 0 é uma solução singular já que não é um membro da família 𝑦 1 4 𝑥2 𝑐 2 porque não há como atribuir um valor à constante 𝑐 para obter 𝑦 0 Nos exemplos dados usamos 𝑥 e 𝑦 para denotar as variáveis independente e dependente respectivamente Mas você deve se acostumar a ver e trabalhar com outros símbolos que denotam essas variáveis Por exemplo a variável independente pode ser denotada por 𝑡 e a variável dependente por 𝑥 PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI Muitas vezes nos interessamos por problemas nos quais buscamos uma solução 𝑦𝑥 de uma EDO em que 𝑦𝑥 satisfaz as condições prescritas ou seja as condições impostas Em algum intervalo 𝐼 contendo 𝑥0 o problema de resolver uma EDO de 𝑛ésima ordem sujeita a 𝑛 condições especificadas em 𝑥0 15 Resolver 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑦𝑛1 Para 𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦𝑥0 𝑦1 𝑦𝑛1𝑥0 𝑦𝑛1 onde 𝑦0 𝑦1 𝑦𝑛1 são constantes reais arbitrárias dadas que denominamos de problema com valores iniciais PVI de 𝒏ésima ordem Valores 𝑦𝑥 e suas primeiras 𝑛 1 derivadas em um único ponto 𝑥0 𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦𝑥0 𝑦1 𝑦𝑛1𝑥0 𝑦𝑛1 são chamadas de condições iniciais CI Resolver um problema de valor inicial de 𝑛 ésima ordem tal como 1 muitas vezes envolve encontrar primeiro uma família 𝑛paramétrica de soluções da EDO dada e em seguida usar as condições iniciais em 𝑥0 para determinar as 𝑛 constantes nesta família A solução particular resultante é definida em algum intervalo 𝐼 contendo 𝑥0 Interpretação geométrica dos PVI Os casos 𝑛 1 e 𝑛 2 em 1 Resolver 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 Sujeito a 𝑦𝑥0 𝑦0 2 e Resolver 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 Sujeito a 𝑦𝑥0 𝑦0 𝑦𝑥0 𝑦1 3 Solução do PVI de primeira ordem São problemas com valores iniciais de primeira e segunda ordem respectivamente Estes dois problemas são fáceis de interpretar em termos geométricos Para a equação 2 estamos procurando uma solução 𝑦𝑥 da EDO 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 em um intervalo 𝐼 contendo 𝑥0 de forma que a representação gráfica passe pelo ponto dado 𝑥0 𝑦0 A figura mostra uma curva de solução em 𝑥0 𝑦0 1 16 Solução do PVI de segunda ordem Para a equação 3 queremos determinar uma solução 𝑦𝑥 da EDO 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 num intervalo 𝐼 contendo 𝑥0 de tal maneira que seu gráfico não só passe pelo ponto dado 𝑥0 𝑦0 mas também que a inclinação da reta tangente à curva seja o número 𝑦1 Uma curva de solução é mostrada na figura As palavras condições iniciais surgem de sistemas físicos onde a variável independente é o tempo 𝑡 e onde 𝑦𝑡0 𝑦0 e 𝑦𝑡0 𝑦1 representam a posição e a velocidade respectivamente de um objeto no início ou no momento inicial 𝑡0 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL Ao considerar um PVI por exemplo ao resolver 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 sujeita à 𝑦𝑥0 𝑦0 colocamse duas questões importantes Existência Unicidade A EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 tem soluções Alguma das curvas de solução passa pelo ponto 𝑥0 𝑦0 Quando podemos ter certeza de que há precisamente uma curva de solução passando pelo ponto 𝑥0 𝑦0 A seguir será enunciado o seguinte teorema Existência e unicidade de uma única solução Seja uma função 𝑓𝑥 𝑦 contínua em uma região retangular 𝑅 do plano 𝑂𝑥𝑦 𝑎 𝑥 𝑏 𝑐 𝑦 𝑑 e que 𝑥0 𝑦0 é um ponto interior de 𝑅 então o PVI 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 𝑦𝑥0 𝑦0 tem pelo menos uma solução Além disso se 𝑓 𝑦 é contínua na região 𝑅 a solução é única no intervalo 𝑥 que contêm 𝑥0 unicidade O teorema não se refere a casos em que a hipótese não se sustenta então o problema pode ter uma nenhuma ou várias soluções 17 Exemplos 1 Dado o PVI 𝑦 𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦2 𝑦𝑥0 𝑦0 qualquer que seja 𝑥0 𝑦0 ℝ2 Resolução A função 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑒 𝑥𝑦2 e 𝑓 𝑦 𝑥 2 𝑒 𝑥𝑦 são funções contínuas para todo 𝑥0 𝑦0 ℝ2 Dado que as hipóteses do teorema são cumpridas podemos assegurar a existência de uma única solução para o PVI dado 2 Qual é o conjunto de pontos 𝑥0 𝑦0 para o qual pode se garantir considerando o teorema da existência e unicidade uma solução do PVI 𝑦 3 2 𝑦2 3 𝑦𝑥0 𝑦0 Resolução A função 𝑓𝑥 𝑦 3 2 𝑦 2 3 e 𝑓 𝑦 𝑦 1 3 1 𝑦 3 são funções contínuas no conjunto 𝑥0 𝑦0 ℝ2 𝑦0 0 O teorema garante a existência e unicidade da solução para qualquer ponto no plano que tenha ordenada diferente de zero Para os pontos 𝑥0 0 com 𝑥 ℝ o teorema pode ser aplicado para garantir a existência de uma solução porque 𝑓𝑥 𝑦 3 2 𝑦 2 3 é contínua para qualquer ponto do plano mas não garante a unicidade já que 𝑓 𝑦 1 𝑦 3 não é contínua nesses pontos 3 O teorema da existência e unicidade da solução dos PVI elencados a seguir se aplica Existe uma solução É única a 𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑦 𝑦0 0 b 𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑦 𝑦0 1 Resolução Em ambos os itens a EDO é a mesma 18 𝑓𝑥 𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑦 é uma função contínua para todo ponto 𝑥0 𝑦0 ℝ2 portanto o teorema garante que pelo menos uma solução será encontrada no plano Analisando a derivada 𝑓 𝑦 2 𝑦 𝑥2 é contínua para todos os pontos 𝑥0 𝑦0 ℝ2 portanto podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI dado em cada um dos problemas 4 Analisar em quais pontos o teorema pode ser aplicado para garantir a existência e unicidade da solução 𝑦 𝑦1 𝑥𝑦 𝑦𝑥0 𝑦0 Resolução A função 𝑓𝑥 𝑦 𝑦1 𝑥𝑦 é contínua no conjunto 𝑥0 𝑦0 ℝ2 𝑦0 𝑥0 Portanto o teorema garante que pelo menos uma solução será encontrada no plano exceto em pontos da reta 𝑦 𝑥 Analisando a derivada 𝑓 𝑦 𝑥𝑦𝑦1 1 𝑥𝑦2 𝑥𝑦𝑦1 𝑥𝑦2 𝑥1 𝑥𝑦2 também é contínua no conjunto 𝑥0 𝑦0 ℝ2 𝑦0 𝑥0 Portanto podemos garantir a existência de uma única solução para qualquer ponto do plano exceto os pontos da reta 𝑦 𝑥 Referências ZILL Dennis G Equações diferenciais com Aplicações em Modelagem Tradução da 10ª edição norteamericana Digite o Local da Editora Cengage Learning Brasil 2016 Ebook ISBN 9788522124022 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522124022 Acesso em 11 set 2023 Abaixo são sugeridos alguns vídeos acerca de EDO httpswwwyoutubecomwatchvfc54hjCK6KM httpswwwyoutubecomwatchv5dteSqfO9vU httpswwwyoutubecomwatchvHtYZW8rYzQ0 httpswwwyoutubecomwatchv5CXqIPqJCAA httpsyoutube1n8Rv2eEVR0 19 httpseskhanacademyorgmathdifferentialequationsfirstorderdifferential equationsdifferentialequationsintroewritedifferentialequationsmodal1 httpswwwyoutubecomwatchvXHyX5M6GO6wlistPLxI8Can9yAHeOiMYCBlky CALloROQ58OYindex62