Lista de Exercícios sobre Rentabilidade Esperada e Desvio Padrão de Ativos Financeiros

Exercício 2 Considere os títulos X Y e Z e a rentabilidade esperada para 3 estados da natureza aos quais se associa uma probabilidade de ocorrência p p X Y Z 02 01 005 025 03 0 01 0 05 02 03 005 AIndique o cálculo da rentabilidade esperada e do desviopadrão de cada título BIndique o cálculo das covariâncias CSe a correlação entre os títulos for positiva e elevada e se a rentabilidade de X for superior ao esperado o que deve acontecer a Y e Z Exercício 3 Considere a rentabilidade esperada dos 3 ativos abaixo Ano A B C 1 017 022 033 2 03 025 01 3 009 001 012 4 014 015 029 5 008 006 011 Calcule a rentabilidade média aritmética e geométrica de cada título Estudo de Caso Aplicação Prática de Conceitos Na entrevista com o seu cliente você identifica que ele está indiferente entre dois tipos de investimentos O investimento 1 apresenta rentabilidade esperada de 21 e desviopadrão de 284 O investimento 2 apresenta rentabilidade de 81 e desviopadrão de 202 Se o investidor tem função utilidade U Erc 05Ac2 Calcule o coeficiente de aversão a risco do seu cliente Aplicação Prática Continuação O retorno esperado e o desviopadrão de investimentos em fundos multimercado debêntures e ações estão definidos na tabela Retorno Esperado DesvioPadrão Hedge Funds 65 12 Debêntures 50 85 Ações 125 30 Você sabe que seu cliente decide com base em sua utilidade Dado que o retorno do ativo livre de risco é de 3 aa determine A O peso ótimo em cada um dos ativos versus o ativo livre de risco BA decisão do investidor a partir da utilidade de cada carteira Exercício 1 Retorno Esperado DesvioPadrão Hedge Funds 65 12 Debêntures 50 85 Ações 125 30 CSe a decisão fosse pelo índice Sharpe de cada ativo para um nível de aversão do seu cliente teríamos exatamente a mesma decisão que a da Letra B Exercício 2 Considere os títulos X Y e Z e a rentabilidade esperada para 3 estados da natureza aos quais se associa uma probabilidade de ocorrência p p X Y Z 02 01 005 025 03 0 01 0 05 02 03 005 AIndique o cálculo da rentabilidade esperada e do desviopadrão de cada título BIndique o cálculo das covariâncias CSe a correlação entre os títulos for positiva e elevada e se a rentabilidade de X for superior ao esperado o que deve acontecer a Y e Z Resposta c Se a correlação entres os títulos é positiva significa que eles crescem quando X cresce e caem quando X cai Neste caso não haveria vantagem de diversificar entre títulos com rentabilidade inferior A diversificação é útil para reduzir riscos de nosso investimento ficar em cenário negativo Exercício 3 Considere a rentabilidade esperada dos 3 ativos abaixo Ano A B C 1 017 022 033 2 03 025 01 3 009 001 012 4 014 015 029 5 008 006 011 Calcule a rentabilidade média aritmética e geométrica de cada títu lo Estudo de Caso Aplicação Prática de Conceitos Na entrevista com o seu cliente você identifica que ele está indiferente entre dois tipos de investimentos O investimento 1 apresenta rentabilidade esperada de 21 e desviopadrão de 284 O investimento 2 apresenta rentabilidade de 81 e desviopadrão de 202 Se o investidor tem função utilidade U Erc 05Ac2 Calcule o coeficiente de aversão a risco do seu cliente Aplicação Prática Continuação O retorno esperado e o desviopadrão de investimentos em fundos multimercado debêntures e ações estão definidos na tabela Retorno Esperado DesvioPadrão Hedge Funds 65 12 Debêntures 50 85 Ações 125 30 Você sabe que seu cliente decide com base em sua utilidade Dado que o retorno do ativo livre de risco é de 3 aa determine A O peso ótimo em cada um dos ativos versus o ativo livre de risco BA decisão do investidor a partir da utilidade de cada carteira Exercício 1 Retorno Esperado DesvioPadrão Hedge Funds 65 12 Debêntures 50 85 Ações 125 30 CSe a decisão fosse pelo índice Sharpe de cada ativo para um nível de aversão do seu cliente teríamos exatamente a mesma decisão que a da Letra B Resposta Para resolver o exercício vamos calcular os pesos ótimos em cada um dos ativos versus o ativo livre de risco Letra A e a decisão do investidor a partir da utilidade de cada carteira Letra B A Peso ótimo em cada ativo versus o ativo livre de risco Para determinar os pesos ótimos em cada ativo vamos utilizar a formulação do Modelo de Markowitz que busca maximizar a utilidade esperada do investidor sujeito a restrições de risco Nesse modelo a alocação ótima de investimento é obtida por meio da minimização da variância da carteira Considerando os retornos esperados e desviospadrão fornecidos juntamente com o retorno do ativo livre de risco de 3 podemos calcular os pesos ótimos em cada ativo usando a fórmula de Markowitz Vamos denotar os pesos ótimos da seguinte forma wHF Peso ótimo em Hedge Funds wD Peso ótimo em Debêntures w A Peso ótimo em Ações Primeiramente vamos calcular o coeficiente de aversão ao risco A Dado que o retorno do ativo livre de risco é de 3 A E rmr f σm 2 Onde Erm é o retorno esperado da carteira de mercado r f é a taxa livre de risco σ m é o desviopadrão da carteira de mercado Vamos assumir que a carteira de mercado seja uma combinação dos três ativos Hedge Funds Debêntures e Ações ponderados pelos respectivos pesos ótimos Agora vamos calcular o coeficiente de aversão ao risco A E r mrf σ m 2 A E r HF wHFE rD wDE r A w Arf wHF 2 σ HF 2 wD 2 σD 2 wA 2 σ A 2 2 wHF wDCov HF D2 wHFw ACov HF A 2 wDw ACov D A Onde Er HF Er D Er A são os retornos esperados de Hedge Funds Debêntures e Ações respectivamente σ HFσ Dσ A são os desviospadrão de Hedge Funds Debêntures e Ações respectivamente CovHF DCovHF ACov são as covariâncias entre Hedge Funds e Debêntures Hedge Funds e Ações Debêntures e Ações respectivamente Após calcular o valor de A podemos utilizar o modelo de Markowitz para obter os pesos ótimos em cada ativo wHF A σ HF 2 Cov HF D E rD rf Cov HF A E r Arf σHF 2 σ D 2 2Cov HF D wD A σ D 2 Cov HF DE r HF rf Cov D AE r A r f σ HF 2 σ D 2 2Cov HF D w A Aσ A 2Cov HF A E rHF r f Cov D A E rD r f σ A 2 σ D 2 2Cov D A B Decisão do investidor a partir da utilidade de cada carteira Para calcular a decisão do investidor com base na utilidade de cada carteira é necessário conhecer a função de utilidade do investidor No enunciado não foi fornecida a função de utilidade específica A utilidade de cada carteira pode ser calculada como Utilidad ecarteira E rc0 5 Aδ c 2 Onde Er c é o retorno esperado da carteira A é o coeficiente de aversão ao risco δ c é o desviopadrão da carteira Se tivermos a função de utilidade específica do investidor poderemos calcular a utilidade de cada carteira e tomar uma decisão com base nesses resultados C Comparação com o índice de Sharpe Para comparar a decisão do investidor com base na utilidade da carteira Letra B com a decisão baseada no índice de Sharpe Letra C precisaríamos ter conhecimento das preferências e aversões ao risco do investidor além de informações adicionais sobre a função de utilidade específica e o nível de aversão ao risco considerado Sem essas informações adicionais não podemos determinar com certeza se a decisão baseada no índice de Sharpe seria exatamente a mesma que a da Letra B A decisão pode ser diferente uma vez que a utilidade da carteira leva em consideração a combinação de diferentes ativos com base nas preferências do investidor enquanto o índice de Sharpe considera apenas o retorno e o risco de cada ativo individualmente É importante notar que a escolha dos pesos ótimos e a decisão do investidor dependem das preferências pessoais tolerância ao risco e objetivos de investimento específicos Portanto é crucial ter informações adicionais sobre as preferências e aversões ao risco do investidor para realizar uma análise mais precisa