Introdução ao Estudo de Arcos e Vigas Curvas

Introducao ao estudo de arcos 1 Generalidades Arco é uma estrutura plana com carregamento no proprio plano Em geral possui eixo curvo e sua caracteristica principal 6 de ser possivel escolher a forma de seu eixo de modo a apresentar pequenos esforcos de flexdo quando submetido ao carregamento permanente A figura 11 ilustra um resumo da nomenclatura usada para os arcos Cc Ae B impostas Z fflecha Linha AB linha de impostas A B Vizinhanga de A e B nascena do arco Vizinhancga de C fecho do arco Lvao Figura 11 Nomenclatura usual para arcos A figura 12 mostra os tipos usuais de arcos Nesta publicacdo apenas o arco Tri articulado isostatico sera estudado para o caso de carregamento perpendicular a linha de impostas triarticulado biarticulado isostatico 1 vez hiperestatico aN atirantado biengastado 1 vez hiperestatico 3 vezes hiperestatico Figura 12 Tipos de arcos 1 2 Viga curva Antes de iniciarmos propriamente o estudo dos arcos vamos analisar a distribuigdo dos esforcos solicitantes em uma viga curva cujos resultados servirdo para o estudo dos arcos Vamos nos preocupar somente com cargas perpendiculares ao movimento do carrinho Nestas condicdes o apoio fixo nado apresentara reacdo na direcdo paralela ao movimento do apoio movel carrinho o qual tomaremos como movimento horizontal P2 q 7 cooitin Seja y f x a equacao do eixo yfx da viga curva e p a projecdo da viga y curva e seu carregamento em uma ie viga horizontal para a qual x determinamos os diagramas de momento fletor e forca cortante Mp e Pi pa Vp respectivamente figura 21 q 1 ctr Como para o calculo de x fF momentos so interferem as distancias P horizontais 0 momento fletor na viga te I curva 0 mesmo que ocorre na viga projetada na secdo correspondente ou Mp seja se Mr Mp 21 Vamos determinar os diagramas de forcga cortante e forga normal na Vp viga curva figura 22 Rg Dada a equacao do eixo da viga Fi 5 1Vi curva y f x o Angulo a que mede a igura 1 Viga curva inclinacado da curva vale d a arc tgo 22 dx S Ke Seja Rv soma das forcas Xo verticais a esquerda do corte em uma a a segao genérica Como Rv é igual a x Vr forga cortante com sinal na viga projetada temos Rv RrVp 23 p Entdo em qualquer secdo da viga curva temos MrMp Rv Vr Vp cosa 24 NrVpsena Figura 22 Forgas cortante e normal 2 As expressoes de Mr Vr e Nr valem para qualquer secdo da viga curva Convém nao esquecer que tanto Vp como a possuem sinal Naturalmente nos trechos descendentes da viga curva 0 angulo o estara situado no 4 quadrante trigonométrico e oO seno e a tangente terdo valores negativos 3 Arcos triarticulados Os arcos triarticulados sao formados por duas chapas articuladas entre si Como se trata de uma estrutura isostatica ja foi objeto de estudo em Resisténcia dos Materiais A finalidade de retomar a analise de estruturas isostaticas em Teoria das Estruturas é desenvolver uma técnica para tornar expedita a solugdo dessas estruturas Seja o arco triarticulado da figura 31 Cc No Os valores de yc a e b referemse oe a articulacdo C As cargas que atuam no arco podem ser decompostas em duas y diregdes ortogonais paralela e perpen dicular a linha de impostas AB a A L Neste trabalho vamos estudar apenas as cargas perpendiculares a linha de impostas AB Figura 31 Arco triarticulado Em beneficio da simplicidade vamos estabelecer a nomenclatura simplificadora 4 alinha de impostas horizontal 1 alinha de impostas vertical Para resolver tecnicamente o arco triarticulado vamos aplicar o artificio de Henneberg ou troca de vinculos entre a articulagdo C e o apoio fixo B Retirandose a barra vincular horizontal do apoio fixo B ele se torna apoio mdodvel na horizontal Colocandose esta barra na articulacdo C ela se transforma em uma secgdo comum que mantém a continuidade da estrutura Detalhe da articulacdo C e do apoio B Cc Cc B A B Detalhe apos a troca apoio movel Figura 32 Troca de vinculos 3 Com esta troca de vinculos podemos fazer o raciocinio de superposicdo de efeitos prt solda Cc pe i Cc A r B Ag r t H tal que Mczero B solda c c H A 0 A 1 viga curva B B Figura 33 Superposicdo de efeitos Notacdao r problema real 0 problema zero apenas o carregamento esta aplicado sem H 1 problema um apenas H1 esta aplicada sem carregamento A correspondente equacdo de superposicdo é r 0 H1 cceeeeeecesceeeeeeeeeeeeessesaeeetsateaes 31 Ou seja qualquer grandeza esforco ou deslocamento no problema real r é igual a grandeza correspondente no problema 0 mais H vezes a mesma grandeza no problema 1 Aplicandose a equacdo de superposicdo 31 para os esforcos solicitantes temos em qualquer secdo Mr Mo HM1 Vir Vo HV1 iccececceeeeeteeteetesteateateaeesetsatssestsateates 32 Nr No HNi Os diagramas de M V e N no problema 0 Mo Vo Mo nado apresentam dificuldades para serem calculados O problema 0 é a viga curva ja resolvida e Mo Vo e No sao os valores fornecidos nas express6es 24 Como o carregamento do problema 1 é apenas uma carga horizontal unitaria é facil determinar os valores de Mi Vi e Ni Como se sabe os esforcos solicitantes em uma secdo genérica S sdo a soma dos efeitos de todos os esforcos a esquerda ou a direita de um corte efetuado na secdo S Assim os efeitos da carga unitaria reagdo em A na secao S sao os indicados na figura 34 a Na figura 34 b estado indicados as projecdes da carga horizontal unitaria nas diregdes correspondentes aNeV Devese estabelecer uma convencdo para os esforcos solicitantes no arco M O trac4o nas fibras do intradorso dentro V O percorre a secao no sentido hordario N O esforgo de traao 4 s if Vsen a antihordario 4 Ov Z 1 i SG TTT TTT 4 ns M y tracdo fora Ncosa compressdao s y a segao genérica S b decomposicgado em S 2 A Figura 34 Determinacgdo de M1 Vi e Ni Miy V1 SOM O veccecccccesceeeeeeeseeeseeeseesasetsssessstssetssees Se Ni cosa Os sinais negativos aparecem devido a convencao adotada Assim a unica incdgnita nas equacdes 32 que determinam os esforcos finais é H Este valor sera determinado com a condicdo de ser nulo o momento fletor do problema real na articulagdo C ou seja Mc real O A aplicagdo da equacgdo de superposicdo 31 para o ponto C fornece ZErO Moc H Ye ccecesceeceaeeaeeseeseeeeesetsseetseteateas O4 Como Moc Mec momento da viga projetada na secao correspondente a C temos Yc Isto 6 em um arco triarticulado com carregamento perpendicular a linha de impostas considerada horizontal a componente horizontal do empuxo é o resultado da divisdo do momento fletor da viga projetada na secdo correspondente a articulacdo C pelo valor da altura da articulagdo ou distancia da articulacdo a linha de impostas Com o valor de H determinado expressao 35 os esforcos solicitantes finais sdo obtidos pela aplicacdo de 24 e 33 em 32 Mr Mp Hy Vr Vpcos a Hsen a beet easeaeeetaesaesstatsateates 0 Nr Vpsen a Hcos a tragdo 5 31 Exemplo A figura 35 mostra um arco triarticulado de eixo parabolico submetido a um carregamento simétrico constituido de duas cargas concentradas Vamos determinar o diagrama de momento fletor A solucdo é apresentada na propria figura 2kN 2kN Mpc 16 05m H G7 40kN C Cc L Y 4m a B Diagrama de Mr Mp 4y 16kNm 16kNm mr 8m 8m 8m 7 A Sy EF zh SA lz nova linha de fecho 20 CO ou de referéncia viga projetada A Retificando ou usando uma linha horizontal como linha de referéncia temos 16kNm 16kNm I A a o 2 2 Pt 2kNm 2kNm 2kNm Figura 35 Exemplo 1 Arco triarticulado O diagrama de M final pode ser determinado graficamente a partir do diagrama de Mp Tragase neste diagrama uma nova linha de fecho fécho ou linha de referéncia que é a equacdo do arco a menos de um fator de escala igual a H Esta curva é construida em escala vertical conveniente H de forma que passe pelo ponto C correspondente a articulagdo pois nela temos a condicdo Mr O Os valores finais de Mr do arco tri articulado sao na escala considerada os valores das ordenadas que ligam essa nova linha de referéncia com o diagrama de Mp Convém notar que o diagrama de momentos fletores da viga curva ou da viga projetada Mp apresenta valores muito maiores que o diagrama de momentos fletores Mr do arco Neste exemplo 0 Mmax no arco é 8 vezes menor que O Mmax na viga curva Este fato mostra a vantagem fundamental do arco sobre a viga curva no caso de cargas verticais 0 pequeno momento fletor que o solicita 32 Definigao e determinacao da linha de pressées Caso y kMp teremos Mr Vr zero em qualquer secdo do arco triarticulado ou seja Se o digrama de momento fletor da viga projetada for proporcional a forma do arco serao nulos os momentos fletores e forcgas cortantes em qualquer secao do arco Esta forma particular que anula os momentos fletores e forcas cortantes é denominada linha de pressGes M M 1 Demonstracaéo como y kM H C Yo KM k 6 1 Dai M M Hy fica M roe zero ou seja M 0 dM Como V V zero dx yaa Caso a forma do arco seja a linha de 0 pressoes ele estarad sujeito apenas a a x ros H 4 esforgos normais Em uma secao genérica 4 conforme ilustra a figura 36 temos N Vp N Vo H oeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 37 V tga7 bee eaeesaeeeaeesasesasesssesss 38 Figura 36 Esforco normal 33 Observacoes 1 A linha de pressdes é a forma ideal para as estruturas triarticuladas pois corresponde a sua forma estrutural mais econdmica uma vez que o momento fletor é o esforco mais sedento de secao 2 Com o conhecimento do conceito de linha de press6es a estrutura mais econdmica para o carregamento do exemplo anterior seria a apresentada na figura 37 a O valor de f pode assumir qualquer valor ndo nulo devendo ser evitado valores muito pequenos pois 0 empuxo horizontal H é inversamente proporcional a f equacdo 35 e a normal sendo diretamente proporcional a H equacdo 37 cresce demasiado nos arcos muito abatidos quase vigas retas podendo apresentar problemas de flambagem 3 O mesmo principio explica a forma final que toma um cabo sem resisténcia a flexdo quando solicitado por cargas verticais As figuras 37 b c ilustram este comentario 4 A linha de press6es para carregamento uniformemente distribuido 6 uma parabola do 2 grau isto é o arco de eixo parabdlico submetido a carregamento uniformemente distribuido aproximadamente peso proprio ndo tem momentos fletores nem forcas cortantes motivo pelo qual é adotado para estruturas com grandes vdos livres 5 Na pratica além dos arcos triarticulados sao muito utilizados os arcos biarticulados e biengastados para os quais também constitui ponto de partida para o projeto a determinacao da linha de pressdes do carregamento permanente Para os arcos hiperestaticos também vale muito aproximadamente a regra se forma do arco for proporcional ao diagrama da viga projetada ele coincide com a linha de pressdes isto 6 M V zero 6 E oportuno observar a notavel intuico dos construtores da antigtiidade classica que sem conhecimento formal dos principios da estatica construiram abdbadas e arcos de alvenaria de pedra que nao resistem a tragdo e muitos deles permanecem integros até hoje Também as Catedrais da idade média com suas cupulas e leveza dos seus arcos e abobadas merecem mencao 7 2t 2t a Cc f0 A B 8m 8m 8m P 4 tragao funicular a compressao Py c d funiculum latim pequena corda 7 e 1 i Catenaria a 4 rernnt catena latim corrente peso proprio Figura 36 Linhas de pressao 34 Equacao do arco de eixo parabolico A deducao a seguir por ser geométrica vale para qualquer tipo de arco Seja o arco de eixo parabolico da figura 37 com sistema de eixos nas impostas y f ee xX A B L2 L2 Figura 37 Arco parabdlico A equacao genérica desta parabola é y axbxc Como passa pelos pontos 00 LO e L2ftemos 8 Parax0y0O0 c0 ParaxLy0O OalbL baL ParaxL2yf f aL4aL2 a 4fL Com a 4fL temse b 4fL Substituindose os valores calculados de a b e c0 em y ax bx c temse y 4fxL 4fxL ou colocandose 4fxL em evidéncia Af Y Xe LX ciseeceseeceseeesaeeeseeeeseseeeeseeeesees 39 2 4 Exercicios resolvidos 41 Exercicio determinacgao de M Ve N Seja o arco de eixo parabolico da figura 41 Determinar M V e N de metro em metro Dados Solucdo a viga projetada 4kN 1kNm 4kN 1kNm trtrtteit ps trtttritretis pe eo J Cc viga projetada 3m suit fa H sagegaeceaqgngananage eae BSVRANRRAANSVIs co SO 7 Mp kNm tam am om NUH EL 50 je Lae 8 8 8888838 Gp kN b Equacao do arco e sua derivada tga 4x L y 2x6 ye tga 2 8 y 73 Lx ly 6a 16x e y ox tga 35 8 Mp 24 5 e i 24 c Calculo de H Y 3 8kN d Calculo de Mr Mp Hy Vr Vp cosa Hsena 4kN 1kNm Nr Vp sena Hcosa através da tabela teeter ety Tabela H8 kNm KN KN aN x y Mp vp tg sen cos mr wr nr 4 0 0000 0000 5000 0750 0600000 f 0000 0800 200 im 0703 5000 5000 0656 0549 0826 025 o200 9492 gE SSSR gag eSCSEShs jam 113 10000 5000 0563 0490 872 os00 voaae aaza SF eSNSS FOSTER TIES sm 168 150005000 069 ot4 0908 soars aasz sae oy Ww coo 1873 9205 2250 20000 0375 0351 0936 2000 coo 173 7002 Hg oNMYT j 6m 2013 2000 ones 0020500 00002087 Gf 2 Se Sg o 7m 2953 23000 1000 9094 0093 0996 0625 0800 8058 S vr 8m 3000 24000 1000 0000 0000 1000 0000 1000 8000 Ss oR Set X Ss v 9m 2953 24500 0000 0094 0093 0996 0875 0800 7965 go 7 os F388 10m 2813 24000 1000 0188 0184 0983 1500 0800 8047 A ium 2578 22500 2000 0281 0271 0969 3075 800 0209 SRA SVRIRSSSLT TASS DAAADAOMN ADANADAANAA AV 13m 1828 1600 4000 0469024 0905 1475 o0o aaei 7 DT SEO a 14m 113 12000 5000 0563 0400 0872 1500 800 9 424 16m 0000 0000 0600 0800 0000 0800 10600 Figura 41 Exercicio Determinagdo de M Ve N 9 42 Exercicio linha de pressées a Langar um triarticulado que seja a linha de pressdes do carregamento indicado com altura maxima igual a 3 metros b determinar Nmax e Nmim indicando as sec6es onde ocorrem c Determinar também os valores de N para x igual a 4 8 e 12 metros 3kN 05kNm y Lt A 8 A x a 4m 4m 8m 4m Solucdo viga projetada e determinagdo de Mp e Vp 3kN 05kNm 4m 4m 8m 4m 4t 3t 160 200 120 Mp em kNm Mmax210 400 2m 2m nee PC ee oe Vp em kN 300 1 ykMp Yneg kMPyg me 3 21k e k H 7kN 2857 0571 2286 ae Arco procurado Mp y yy 1714 7 A metros J c Ymax 30 LA rx a 40 40 20 60 40 t t tt t N2 H7 Vp m Ning 72 4 8062kN em qualquer secéo com 0 x 4m s6 Vp varia Nmin 72 02 7000KN na secdo com x 10m Nesqg V724 8062KN para xX 4m e Ng V724 12 7071KN para x 8m m NV72412 7071kN para x 12m m N 77 1 7071kN Todas as normais so de compresso Figura 42 Exercicio linha de pressdes 10 5 Exercicios propostos 01 Para o arco de eixo parabolico determinar M V e N nas secoes A D E F Ge C 04kNm rete verernes Respostas MVzero ago pe oad asa 562 as ai6 508 300 5x210m 10m 02 Para o arco de eixo parabolico determinar M V e N nas secées A D C Ee B kNm KN KN 1kN Respostas ee i Ce A 1875 ee 5m 5m 5m 5m Bf 6 0195 0644 03 Para o arco de eixo parabolico determinar M V e N nas secdes A D Ee C kNm KN KN 4kN 3kN 2kN 3kN 4kN OS yp Pew R280 0888 5ee Tw Tv ci tite tip ete ee Yt esa sant re ee ag 5 fcesa 4000 49000 cair 1000 49000 4m 4m 4m 4m 4m 4m 04 Para 0 arco de eixo circular determinar as reagdes e M Ve N para a30 60 90 120 150 e 180 graus 1kNm 375 125 sane a graus kNm kN kN ay ob2s 125 A po tf wm Pv Nf yf pos 750 90 0857 0456 708 f a 7 ee eee j aso 2268 s0as5 aos ps0 0 4250 1250 5m 5m tse 125 Esforcgos nos D pilares AD e BE E KN e kNm 11 05 Langar um triarticulado que seja a linha de pressdes do carregamento indicado com altura maxima igual a 4 m Determinar Nmax e Nmin indicando onde ocorrem e os valores de N para x4m 2kN 05kKNm y Ptr peppery X 4m 4m 12m RESPOSTA 3629 1701 Parabola quadrada y 2571 Arco procurado A metros a y A Ymax 4m ZA go a h K x 4 4 28 92 Nmax7010kN na secdo x20m Nmin5290kN na secdo x108m Nesqx4m6288kN Ndirx4m5472kKN 06 Determinar um triarticulado com Nmax5kN que seja a linha de pressdes do carregamento indicado 4bol 1kN 1kNm 1kN RESPOSTA Paiadrada y Coa em m oo eT ES A B SA a a lo Ry ay AA oe F Ne 2m 2m 2m 2m 2m 2m 1 2 2 2 2 2 2 07 Desejase construir uma estrutura triarticulada para resistir ao carregamento da figura que so apresente N como esforco solicitante e cuja altura maxima seja 5m Determinar a a equacdo da linha de press6es b a equacao das inclinacdes da linha de pressdes c o valor de Nijgy Nmin a abscissa das secdes onde ocorrem T p3kNm Respostas a y3 3 400xx3200 y t b y3 43 4003x23200 A ey B a C Nin 2524 KN e ocorre no apoio B L20m Nmax 71540 KN e ocorre na secado x11547m 12 ANEXO 01 Gabaritos de provas Gabarito 01 Para o arco simétrico de eixo parabdlico da figura determinar M V e N nos pontos A Be C 2t 2t 2t 2t itm pore ee ee viga projetada c 3 3 3 3 3m B St sm jam jam am 150 195 150 H A H St fam am j am j am 3m 3m 3m 45 150 45 50 30 Cee yoLL Tabela 50 y4txLxy2 Ponto x y Mp vp sen cos ome ow on MrMpHy 10000 100000000 1500010707 10707 0000 1061 8 132 yex12x12 Pp A 0000 9000 9000 5000 0707 9707 9000 71061 8132 VrVpcosaHsen o Besa 5000 1565 8050 tga6x6 3000 2250 15000 0447 0894 0375 HMpy 65 NrVpsenaHcosa Bair 3000 0224 7155 Mpy6 or c 6000 3000 19500 0000 0000 1000 0000 0000 6500 Gabarito 02 Para o arco simétrico de trechos retos e parabdlicos determinar M V e N nos pontos R Se C 1tm 1tm Cee eee ee eee ee eee eee ee Ce ee eee eee eee eee eee eS viga j projetada Bs Ss Cc parabola 9 4 2m y im jim 2m 2m 4m 2m 6t a 7 x 55 160 180 fr 2m ve NS H x EH A 6t t im 2m 2m 4m 2m fet 2 we HMp y 18445t 4 2 a y 4fx LxL w y x 8x8 Tabela tousdyicx em tgantsxya Ponto x v MP ve sen cos me ww MrMH 1000 1000 5500 5000 0707 0707 1000 0353 6716 pry VrVpcosaHsena s 4000 3500 16000 2000 0447 0894 0250 0224 4919 NrVpsenaHcosa c 6000 4000 18000 0000 0000 1000 0000 0000 4500 Gabarito 02 O arco da figura 6 um semi octdégono regular inscrito em um circulo de R45m ttm Determinar M Ve N nos pontos R SeC tebe tipi ti ge eee t eis ZAC Cc a Ba Calculos no octégono m 2 I N Joy a B ZS B225 D Tos a 18045 675 2 f f a 4 fb SS b45 cos 453182m E 4 s s fR SS q 1 f07675 ys i y a4531821318m BA ro as rf 1 al iN B 67545125 7 al I I A Pais Eg a b X a20659m qa i Bn H ph Ya b21591m I 45m ast S2 ier ab22909m mr Te 9 4st HMp ys H1012545225t Ys ba23841m Oo 1591 1591 3182m 1318 7 MrMHy 11g 3182m VrVeosarHsenc NrsenaHcosa 2748 8859 10125 Tabela H225t tm t t om 7 Ponto P ve sen cos me w nr a OR 0659 1591 2748 3841 0924 0383 0832 0608 4411 45 2909 3841 8859 1591 0383 0924 0217 0608 2688 lo 45 0383 0924 0862 2079 o 9 4 500 10125 0000 0000 t 3841 1591 9 cair 0383 0924 0862 2079 13