Linhas de Influência dos Sistemas Planos Isostáticos

LINHAS DE INFLUENCIA DOS SISTEMAS PLANOS ISOSTATICOS 01 INTRODUGAO Diagramas de estado diagramas de extremo As estruturas em sua maioria sao formadas de barras as quais devem ser di mensionadas de acordo com os esforcos solicitantes produzidos pelo carregamento O dimensionamento deve ser tal que a estrutura permaneca em equilibrio estavel com se guranca A verificagdo desta seguranca contra ruptura ou deformacdes exageradas é feita com o auxilio dos diagramas dos esforcos solicitantes por exemplo esforsco normal N esforco cortante V e momento fletor M Quando o diagrama do esforco solicitante corresponde a uma certa posicgao dada do carregamento recebe 0 nome de diagrama de estado Caso em cada barra da estrutura o esforco solicitante 6 constante como ocorre com as forcas normais nas barras de uma treliga podese representar o diagrama de estado através de uma tabela dos valores assumidos pelo esforco solicitante Existem na pratica estruturas submetidas a um carregamento em uma determi nada posigdo que permanece sempre Este tipo de carregamento chamase carga per manente ou carga morta como por exemplo o peso proprio o empuxo da terra em um muro de arrimo etc Na maioria das estruturas porém além desta carga permanente temos uma carga acidental que pode agir em varias posigdes Como esta carga é acidental para o dimensionamento da peca ha necessidade de se determinar a combinacdo mais desfavo ravel do carregamento total Essa combinagdo nem sempre é simples Quando a carga acidental contribui para aumentar o esforco solicitante devido a carga permanente este incremento deve ser considerado Entretanto a carga acidental pode aliviar o esforco de vido a carga permanente em uma certa secdo ndo devendo nesse caso ser considerada no dimensionamento desta secdo Um caso bastante simples é o de trelicas usadas para telhado A carga perma nente o peso proprio e a Unica carga acidental é o vento Neste caso determinase a maior intensidade do vento estabelecido por experiéncia e fixado nas normas e aplicase segundo alguns coeficientes a maxima pressdo do vento nas direcdes transversal e lon gitudinal do edificio Assim é suficiente combinar alguns valores determinados separada mente cada carregamento atuando isoladamente na tabela das forcgas para a determi nacao da forga maxima e minima em cada barra No caso mais geral de barras solicitadas por M N e V tragase o diagrama de extremos que é a envoltoria dos diagramas de estado para toda combinacao possivel das cargas Este diagrama de extremos indica a solicitagdo maxima em qualquer secao Por exemplo a figura 11 mostra o diagrama de extremos do momento fletor M de uma viga com balanco carregada com carga permanente g gravidade e carga aci dental p ambas uniformemente distribuidas A carga g existe sempre e a carga p pode nao ocorrer ocorrer em toda exten sao da viga ou parcialmente no trecho entre os apoios ou no balanco Desta forma temos 4 combinacdes do carregamento e podemos determinar o diagrama de extremos Neste exemplo para o tracado da envoltoria intervieram apenas os carregamentos 2 e 3 caindo os outros na regido ja limitada pelos dois citados 1 g10 tm YL oer 0 Ooo Por Pore 2 Leer g10 tm gp15 tm 3 a gp15 tm 9 EE 4 10m 4 6m 4 3 18 My x a i Gell OF Wy 7 Quy 2 Figura 11 Diagrama de extremos No caso de haver cargas acidentais concentradas que inclusive podem ser mo veis como ocorrem por exemplo em pontes rodovidrias e ferroviarias ha necessidade de se estabelecer uma sistematica mais eficaz para a determinacdo dos valores extremos Estes fatores levaram ao estudo das linhas de influéncia 2 02 LINHAS DE INFLUENCIA Definigao Linha de influéncia é a curva de variagdo de uma reacao de apoio ou de um esforco solicitante em uma determinada segdo quando uma carga concentrada unitaria se desloca ao longo da estrutura A linha de influéncia LI 6 um diagrama tragado para um esforgo em uma de terminada secdo e a carga unitaria pode tomar qualquer posicdo na estrutura Por exemplo vamos determinar a LI da reagdo no apoio A Ra da viga sim plesmente apoiada mostrada na figura 21 Como pode ser observado enquanto nos diagramas de estado colocase o valor do esforco como ordenada na secdo considerada nos diagramas de influéncia as orde nadas sao colocadas no ponto de aplicagdao da carga unitaria P1 movel A B Mzg0 RaL1x0 x L Ra xX ee LI de R LEE A A Vv Xt L V valor da reacao no apoio A quando a viga estiver sob a acdo de uma carga unitdria na posicgdo de abscissa x Figura 21 LI de reagdo em viga simples 03 METODO CINEMATICO PARA A DETERMINAGAO DE L I As linhas de influncia podem ser determinadas com o auxilio do Principio dos Trabalhos Virtuais aplicado aos corpos rigidos Como ja foi visto o PTV é bastante efi ciente no caso de se procurar apenas um esforco em uma estrutura isostatica pois a sua aplicacao constitui caminho direto e seletivo estabelecendo apenas uma equacdo onde a Unica incdgnita é 0 esforcso procurado Vamos por exemplo calcular o valor da reacdo Ra da viga simples mostrada na figura 31 Para a aplicagado do PTV retirase o vinculo que transmite a incdgnita no caso correspondente ao esforco vertical em A substituindoo por sua acdo Ra sobre a estrutura de modo a nao se alterar o equilibrio do sistema Com a retirada de um e 3 apenas um vinculo a estrutura isostatica transformase em uma cadeia cinematica ou mecanismo com um grau de liberdade de movimento Imaginemos agora a viga executar um movimento virtual onde apenas a reacao Ra a carga aplicada P 1 trabalhem Para este movimento virtual escolhese sempre um deslocamento unitaério do ponto de aplicagdo do valor procurado Ra no exemplo e um sentido para o deslocamento de tal forma que o trabalho realizado pela incdgnita seja negativo ou seja aplicase um desocamento unitério contrério a incdgnita No caso em foco o movimento possivel da viga sem o apoio A 6 um giro em relacdo ao apoio B conforme indica a figura 31 Pelo PVT O trabalho total executado pelas forcas Ra e P 1 durante este des locamento deve ser nulo ou seja UTextenoO 1Ra 1Vv zero portanto P1 movel Oe Text0 1 Ratixv 0 Ra Vo ee 1 ae a1L ad Figura 31 LI determinada por processo cinematico Isto é a ordenada v do ponto de aplicacdo da forca unitaria 6 sempre igual ao esforso procurado Assim podese dizer que as ordenadas do diagrama contido entre a posicdo inicial e a posicdo deslocada do eixo da estrutura é igual aos valores das ordena das da linha de influéncia do esforco considerado ou seja a forma deslocada é igual ao diagrama de LI Obviamente para nao modificar a posicgdo relativa das cargas temos que nos limitar aos deslocamentos infinitesimais Entretanto para tornar acessivel o processo aos estudos graficos imaginemos o desenho concebido como um deslocamento unitario mi croscopico ampliado mas so na direcdo das ordenadas ficando as abscissas na escala do desenho Esta ampliacdao unilateral exige certo cuidado a respeito dos angulos Nos deslo camentos nao infinitesimais a tangente de um angulo com a horizontal aumenta na mesma relacdo que o aumento das ordenadas enquanto que o angulo e a tangente nado tem o mesmo valor porém no desenho microscdépico 4angulo e tangente tem o mesmo valor Para simplificar a expressdo falaremos simplesmente angulo mas sempre no sen 4 tido de tangente Por exemplo o angulo que forma a LI de Ra com a horizontal é 1L na figura 31 O fato de na pratica o carregamento movel que solicita uma estrutura ser sem pre vertical e dirigido para baixo gravidade e o deslocamento dado para a aplicagdo do P T V ser sempre contrdario a incdgnita leva a igualdade o trabalho realizado por estes dois esforcos Neste caso 0 trabalho realizado pela carga unitaria sera positivo se a for ma deslocada da estrutura for para baixo ou seja nos casos usuais as ordenadas da LI serdo positivas quando para baixo As dimensoes das Linhas de Influéncia tem que levar em consideracao a unidade da carga aplicada Assim para reacdes de apoio forcas normais e forcgas cortantes a LI é admensional e para momentos fletores a LI tem dimensdo de comprimento Para sistematizar a determinacdo de L I de estruturas isostaticas podemos se guir sempre o roteiro 1 passo retirase apenas o vinculo que transmite o esforco correspondente a LI que se quer determinar incognita substituindoo pelo esforgo considerado positivo nas convencoes adotadas 2 passo aplicase um deslocamento virtual unitario contrario ao sentido da incdgnita suposta positiva compativel com as ligagdes do sistema Neste deslocamento apenas a incdgnita e a carga movel P 1 trabalham 3 passo o diagrama contido entre a posicdo inicial e a posicgdo deslocada é o diagra ma de influncia procurado As ordenadas da LI sao positivas quando estdo no sentido da carga movel para baixo nos casos usuais Como ha necessidade de se substituir vinculos por esforcos positivos convém recordar as convencoes para os esforcos solicitantes e reacdao que atuam em uma viga horizontal e MO traciona as fichas inferiores e V0O percorre a secdo no sentido horario e NO de tracao e Reacgao 0 dirigida de baixo para cima no caso de vigas horizontais Esta sistematica para determinacdo de LI vale também para estruturas hiperes taticas Entretanto neste caso com a retirada de um vinculo a estrutura ou continua hi perestatica ou na melhor hipdtese se torna isostatica ndo se transformando em nenhu ma hipdtese em uma cadeia cinematica Assim quando se aplicar o deslocamento unita rio contrario a incdgnita a forma deformada nao sera formada de trechos retos poligo nal e sim por uma elastica cujas ordenadas podem apresentar razoavel dificuldade para serem determinadas Para as estruturas isostaticas a forma deslocada é em geral simples formando sempre uma poligonal Como temos que provocar um deslocamento de tal forma que a incdgnita tenha um deslocamento unitario ndo trabalhando os outros esforcgos internos a figura 32 ilustra os dispositivos construtivos imaginarios que permitem os desloca mentos relativos correspondentes a forca cortante forca normal e momento fletor além da continuidade da estrutura ou uma ligacdo rigida tipo engastamento perfeito que transmite M N e V e que pode ser imaginada como 3 barras Como exemplo vamos determinar as LI das reagdes em A e B Ra e Ra e do momento fletor e forca cortante na secao S Ms e Vs da viga da figura 33 Em todas as LI O procedimento é sempre retirar apenas o vinculo que transmi te a incdgnita dando um deslocamento unitario contrario a incdgnita considerada positi va Este valor unitario é o Unico dado numérico a partir do qual geralmente por consi deracdes de semelhanca é possivel determinar o valor de qualquer ordenada da LI 5 Eyes Continuidade da estrutura Was QQ ou V yz r e Retirar o vinculo que transmite a cortante 1 V 1 SSS N SEN Retirar o vinculo que oY KN transmite a normal INI hy a Sah N RS Mey M M SN y Retirar o vinculo que N QA3 oS transmite o momento QQ M ooM NOE 1 1 deslocamentos virtuais unitarios contrarios ao sentido do esforco Figura 32 Dispositivos e deslocamentos correspondentes No caso da LI de Ms temos que introduzir na secao S uma articulacgdo e o des locamento unitario correspondente é um giro da secdo contrario ao momento suposto positivo Neste caso o valor 1 do angulo na realidade tratase da tangente tem por conseqUéncia as ordenadas verticais a e b sobre os apoios A e B respectivamente pois as distancias do vértice do angulo unitario até os apoios devem ser iguais as respectivas or denadas No caso da LI de Vs o dispositivo imaginario esta desenhado ao lado da LI respectiva Para que apenas o esforco cortante V trabalhe nado pode haver giro entre as secdes para que 0 momento fletor nao realize trabalho nem deslocamento na dire cao do esforco normal N Assim mantémse o paralelismo entre os trechos AS e SB o deslocamento relativo contrario ao esforco cortante V dever ser unitario Este paralelismo faz com que o valor da ordenada sobre os apoios também seja unitario A partir deste valor todas as ordenadas podem ser determinadas Uma observacao interessante pois permite conferir os resultados é o fato de valer a relacgdo LI de Ra LI de Rs 1 em toda extensdo da viga Este fato é conse 6 quéncia do equilibrio das forgas verticais Ra Ra 1 independente da posicdo da carga unitaria A S B a a a b Cc pt 9 LI de Ra TTL TTT TTT ns wine a LIdeR A wT TTT Hl Lc Ms Ms a6 Li de Ms Tey ee a Jb b Lo ee N N 2 N N N aw N a b 4 Vv Ss 1 ot eet es 1 one Vs ro Figura 33 LI em viga simples 04 LEIS DE DESLOCAMENTO DAS CADEIAS CINEMATICAS Entendese por cadeia cinematica um sistema movel com um ou mais graus de liberdade Uma cadeia cinematica é formada de chapas ligadas entre si por articulacdes ou barras simples como por exemplo os sistemas moveis mostrados na figura 41 O sistema do 22 exemplo tem dois graus de liberdade pois pode ocorrer um mo vimento vertical na viga BCD independente do movimento de balancgo das colunas 7 A B B c D 9 9 t ps o77 o i f i i i i i f i i f t f i 1 grau de liberdade 2 graus de liberdade Figura 41 Sistemas moveis No caso das LI de estruturas isostaticas interessa apenas as cadeias cinemati cas com um grau de liberdade obtida pela retirada de apenas um vinculo da estrutura isostatica Em uma cadeia cinematica com um grau de liberdade o movimento de qualquer ponto é imposto pelas vinculagdes e conhecendose o seu valor a configuracgdo de toda a cadeia pode ser determinada Todo o nosso estudo sera restrito aos deslocamentos infini tesimais onde a modificagdo das posigdes é muito pequena Seja a cadeia cinematica abaixo composta pelas chapas 1 e 2 conforme ilustra a figura 42 o 1 II I Figura 42 Cadeia cinematica com duas chapas Toda articulagdo entre as chapas 1 e 2 6 POLO RELATIVO e indicado por I II O apoio fixo da chapa 1 6 POLO ABSOLUTO é indicado I porque o Unico movi mento possivel da chapa 1 6 em torno deste polo Para distinguir 0 deslocamento geral do deslocamento infinitesimal que segue leis mais simples falase de polo instantaneo do deslocamento Trataremos sempre de deslocamentos infinitesimais mas usaremos apenas a palavra polo subtendendo instan taneo 8 A sequéncia ldgica da nocdo dos pdlos absolutos e relativos pode ser resumido nas nove leis seguintes ilustradas na figura 43 1 lei o vetor v do deslocamento de um ponto P é normal ao raio vetor r tragado do po lo absoluto ao ponto P Em um giro de angulo 0 valor de v é or 2 lei conhecendo a diregao do vetor v de deslocamento de um ponto em uma chapa a normal de v pelo ponto é lugar geométrico LG do polo absoluto da chapa 3 lei o polo relativo de duas chapas e os seus polos absolutos estao situados em uma mesma reta 4 lei conhecendo a diregao dos deslocamentos de dois pontos de uma chapa a interse cao das normas é o polo absoluto da chapa Assim uma chapa apoiada por duas barras vinculares tem polo absoluto na intersecdo dessas barras 5 lei duas chapas ligadas por duas barras tem polo relativo na intersecao dessas bar ras 6 lei quando numa fila de chapas com todos os polos relativos contidos em uma reta um dos polos absolutos estiver nesta mesma reta todos os polos absolutos tam bém estado 7 lei a a componente vertical de um deslocamento vaq éiguala x ondeaéa distancia do ponto ao polo absoluto e x a projecdo vertical de a b analogamente a componente horizontal do deslocamento vale y onde yéa projecao vertical de a 8 lei se em um giro de uma chapa a distancia OA entre um ponto A da chapa e um ponto fixo O variar de AAO teremos AOA r onde r é a distancia ao polo ab soluto da reta OA 1 De um deslocamento unitario AOA 1 resulta r 9 lei quando a distancia entre dois pontos A e B de duas chapas 1 e 2 aumenta com 1 a unidade resulta um giro relativo das chapas sendo r a distancia do r 12 polo relativo III até a reta AB 9 12 lei ae 22 lei Ze Z v or 7 A Z a a a y a gy E fo 4 foZ fr Py fo Z A ee Os fo fe fo 4 ete fe f 27 i A WZ 3 lei 68m 43 lei D Se A a fa aa 4 L1 eo a7 Y a p pO E Za ZC a 7 Z oO a cA 4 A A Se Vv Oe em a oo a iV OL Z oN fa o v ne se a 52lei A LID 62 lei 6 PSK 7 LE Ase we fe 7s aay a a J i Z 11111 4 oo v f2 Ae A inf A b 1 J LED A Oo 72 lei a 72 lei b A amsenayo 3 ZF PF va Jamcosaxo roy Ze rr aa Ze LF Za y 7 A projecdo horizontal i kd As 4 8lei on 92 lei AOA LI Ww DAB se AOA1 fp NaN se ARB1 O27 ry N VA Bf A eo A O12 ss Ros Gy 9 oA AB AAB Figura 43 Leis de deslocamento das cadeias cinematicas 10 05 LI DE VIGAS GERBER Viga Gerber é uma viga sobre mais de dois apoios sendo um apoio fixo ou en gastamento e todos os outros moveis isostatica pela existéncia de articulag6es Como exemplo vamos determinar as LI das reagdes em A e B Ra e Ra forga cortante a esquerda e a direita do apoio B Vbesq Vbdir forga cortante em a Va mo mento fletor em B Ms momento fletor e forga cortante na secado S Ms e Vs da viga Gerber da figura 51 Para obtencao da linha de influéncia de Ra retirase o vinculo que transmite Ra substituindoo pela reacgdo considerada positiva para cima obtendose uma cadeia ci nematica A chapa ABa tem polo absoluto em B e a chapa of em 8 ficando a chapa res tante BCD fixa A articulacdo a é polo relativo entre as chapas ABa e af Pelo desloca mento unitario contrario a Ra obtémse a forma indicada da linha de influéncia Convém observar que os polos absolutos B e B obviamente se mantém fixos nos deslocamentos virtuais infinitesimais e 0 polo relativo a nado permite que as duas chapas separem ou seja polo relativo ponto comum entre as chapas ou seus prolon gamentos Sempre que uma chapa estiver vinculada a terra por 3 barras nao concorren tes como o caso da chapa BCD ela é fixa No caso da cortante a esquerda do apoio B o vinculo retirado na secdo a es querda de B relativo a cortante estabelece as chapas ABesq Ba af e BCD conforme ilus tra a figura 52 Vesa A ty a B C D Le lz oo a r B Figura 52 Cadeia cinematica para LI de Veesq Os polos absolutos sdo os pontos A B e f ficando a chapa BCD fixa O polo rela tivo entre as chapas ABesq e Ba esta no infinito 5 lei e entao o Unico movimento possi vel entre as chapas é tal que uma translada em relacdo a outra nado havendo giro relati vo entre elas inclusive porque o trabalho realizado pelo momento deve ser nulo isto 4 ha necessidade de se manter o paralelismo entre as chapas adjacentes sempre que se estiver determinando a LI de forga cortante ou normal em secdo continua de uma es trutura Como o ponto B nado pode se mover na vertical devido 0 apoio a secdo B a es querda se desloca contrario a sua cortante isto é sobe até o valor unitario do desloca mento relativo A chapa Ba tendo que se manter paralela a chapa ABesg provoca a forma indicada na linha de influéncia respectiva Convém seguir o raciocinio respectivo para o caso das L I de cortantes exceto na LI de Va Neste caso por se tratar de articulagdo ja possui normalmente apenas 2 vinculos Quando se retirar o vinculo que transmite a cortante sobrara apenas uma barra vincular nao precisando portanto manter o paralelismo entre as duas chapas adjacentes inclusive porque sendo nulo 0 momento em articulacdo nado ha risco de haver trabalho do momento qualquer que seja o giro relativo entre as chapas Como nas vizinhancas do apoio B a soma das forcas deve ser nula assim como em qualquer outro ponto podemos conferir as L I de Rg Vesq é Vair calculando o equi librio das forgas verticais conforme mostra a figura 53 11 A Ss B a B Cc D f3m fam fam am am mt A PS LI Te LI de Ra ites Ra er ae hla en y Yy y fz ce TV a ZA ANWZZZ ac er NST re Vpn fa r Vest P nk 10 SSE Ae LI dé Vadir LE Va oe OLD de V WHS oo E a A Mn M M ye Alem aem 2m vue B M M PQ Ss ae LI de Mc Sa Pr 1 L io A Za i AY los t WHS a LI de Ve 04 e 04 ye a Figura 51 Linhas de Influéncia em uma Viga Gerber 12 B Veesq Wenn Rg Veesq Voair LI de Rg LI de Vpegg LI de Veuir Ra SSE Figura 53 Equilibrio de forgas no apoio B No caso dos momentos fletores introduzse na secdo considerada uma articula cao O deslocamento unitario no caso é um giro relativo Como o deslocamento é contra rio a incdgnita a forma deslocada nesta segdo apresentara sempre um ponto anguloso apontado para baixo conforme notase nas LI de Mg e Ms figura 51 No caso de Mp o ponto B nado pode ser deslocado pois 0 apoio ndo permite o apoio so é retirado para determinar a LI de sua reagdo mantendo entdo fixa a chapa AB Neste caso apenas o movimento da chapa Ba completa o deslocamento unitario Convém notar que o Unico dado numérico é o valor 1 do deslocamento relativo contrario a incdégnita Entretanto por se tratar de cadeia cinematica com um grau de li berdade todas as ordenadas da LI podem ser determinadas a partir deste valor pela aplicacao das leis de deslocamento ou simples proporcionalidade 06 UTILIDADE DAS LI Uma obtida a LI para um certo esforco em determinada secdo podemos calcu lar o valor do esforco para qualquer carregamento na estrutura usandose o principio da superposicao de efeitos No caso de pontes rodoviarias e ferroviarias este procedimento é muito Util para a determinacdo dos esforcgos maximos e minimos em determinada secdo bastando fixar o carregamento movel na posicdo mais desfavoravel Por exemplo vamos calcular o valor da reagdo no apoio B da viga Gerber da figu ra 61 devido ao sistema de cargas concentradas P1 P2 Pn P P P A B a Cc l tT a LI de Rg yd L Vy V Figura 61 Sistema de cargas concentradas 13 O principio da superposicdo de efeitos aplicado ao sistema de cargas concentra das da figura 61 conduz a Re Pi vi P2 V2 Pn Vn Ou seja para se calcular o valor de um esforgo qualquer devido a cargas con centradas conhecendose sua LI basta determinar o resultado da somatoria dos produ tos das cargas pelas correspondentes ordenadas no diagrama de LI Caso o carregamento seja distribuido conforme ilustra a figura 62 teremos em um elemento ds a forca resultante pds e devido a esta forca temos dRpg pdxv N e dal Rg pvdx M dx ppx ati c a ZS ZS M NN oS pdx So w Eis der Figura 62 Cargas distribuidas Nos casos usuais com a carga p uniformemente distribuida portanto N constante p pode ser retirada da integral e notando que vax é igual a area x da M LI entre os pontos MeN por onde se estende a carga distribuida resulta Rp p Areaz Assim para se calcular o valor de um esforgo em determinada secao devido a um carregamento composto de cargas concentradas e cargas uniformemente distribui das basta efetuar a somatoria superposicdo de efeitos do produto das forcas concen tradas pelas ordenadas LI na posigdo da respectiva forga com o valor do produto da carga distribuida pela area do diagrama de LI subentendido sob essa carga distribuida Para se determinar os valores maximos e minimos procurase para as cargas moveis a posicdo mais desfavoravel que geralmente é obtida fazendo corresponder as maiores cargas sobre as maiores ordenadas da LI As cargas acidentais moveis recebem oO nome de tremtipo e sao prescritas em norma no caso de pontes rodoviarias e ferrovia rias Vamos agora analisar uma maneira para a determinacao da posigdo mais desfa voravel de um sistema movel de forgas concentradas que leve a valores maximos a in cognita Esta posicdo recebe 0 nome de posicao de maximo 14 Suponhamos que a linha de influncia correspondente a uma incdgnita X de uma estrutura qualquer seja triangular e que a estrutura esteja carregada com um sistema de cargas concentradas que se desloca ao longo da mesma mantendo invariavel a dis tancia entre as forgas conforme figura 63 Py Ps Py P P Pe Figura 63 Cargas concentradas méveis Ao variar a posicado das forcgas variam as correspondentes ordenadas da linha de influéncia e o valor de X Pivi também varia e entre todos os valores que podem to mar havera um que é maximo O Sistema de cargas moveis corresponde geralmente ao peso dos eixos de um comboio de cargas e consequentemente as cargas podem percorrer a estrutura em sen tido inverso ou seja invertendose o ordem de sucessao das forgas E evidente que para o valor de X resultar maximo é necessario que os produtos Pivi sejam o maior possivel Como a intensidade de cada forca é invariavel devese pro curar os maiores valores possiveis para vi Assim para que o valor da incdégnita X alcance um maximo 6 necessario 1 fazer entrar 0 comboio de cargas trem tipo do lado da linha de influéncia que tem menor inclinagdo pois deste lado a variagdo das ordenadas sera me nor 2 fazer incidir as forgas de maior intensidade com as maiores ordenadas da Li nha de Influéncia Além destes fatos um teorema e um procedimento grafico devido a WINKLER ajudam a determinacao da posicdo mais desfavoravel do trem tipo nos casos mais com plicados Teorema para que a posicdo de um sistema de forcas possa corresponder a um maximo valor da incégnita 6 necessario que uma das forcas incida sobre um vértice da linha de influéncia Vamos supor conforme figura 64 um sistema de cargas P1 Pe Para se de terminar a posigdo que leva ao maximo a incdgnita cuja linha de influéncia é a indicada logo abaixo do sistema de cargas figura 64 procedese da seguinte maneira em uma escala qualquer marcase as forcas Pi Pe na sequéncia obtendose o segmento AB paralelo a AB Pelas extremidades A e B tragase paralelas aos segmentos AC e BC da LI obtendose o triangulo A C B semelhante a forma ACB da LI A perpendicular por C encontra no segmento A B a forca que deve ser colocada na posigdo correspon dente ao vértice da LI 15 P Ps P P P Be Sistema de cargas concentradas A a wr B LI dex Cc Py P P3 Py Ps Bs A B Diagrama de a B WINKLER l c Figura 64 Diagrama de WINKLER Para ilustrar os procedimentos acima descritos a figura 65 resolve um exemplo da determinacao dos valores extremos do momento fletor em um engastamento de uma Viga Gerber O valor de Ma devido a carga permanente g 25 tm que atua em toda estrutu ra vale g x Area total da LI ou seja Ma permanente 25 18 24 108 1200 tm Devido a carga acidental devemos calcular os valores maximos positivo e nega tivo de Ma A posigdo mais desfavoravel para as cargas concentradas do trem tipo pode ser determinada por bom senso através de tentativas O procedimento usando o dia grama de WINKLER fornece a posicdo exata para parar o trem tipo Como o sistema de cargas concentradas deste exemplo é composto de varias cargas com valores variados é aconselhavel usar o diagrama de WINKLER Para o caso de Ma maximo negativo o comboio de cargas concentradas deve en trar no trecho AB que possui as maiores ordenadas negativas no sentido BA pois por ai a inclinagdo é menor Para o calculo de Ma maximo positivo o trem tipo deve entrar no trecho BC vindo da esquerda pois o trecho Bf da LI possui menor inclinacado Os respec tivos diagramas de WINKLER desenhados na parte final da figura 65 fornece a posicao da carga que deve ser colocada no vértice da LI1 A carga de 5t no caso de Ma maximo negativo nado deve ser considerada pois a ordenada da LI correspondente imposta pela posicgdo do trem tipo é positiva aliviando o momento negativo Como se trata de carga acidental os eventuais alivios nado devem ser considerados Analogamente a carga distribuida acidental 15 tm nao é aplicada nos trechos de sinal trocado Efetuandose os calculos para as respectivas posicdes do trem tipo obtémse Ma maximo acidental 10 48 24 4 16 32 15 240 12720 tm Ma minimo acidental 10 2 44 24 08 15 180 108 11600 tm Como a carga permanente esta sempre presente temos os resultados finais Ma maximo positive 1200 12720 1152 tm Ma maximo negativo 1200 11600 12800 tm 16 Exemplo determinar os valores extremos positivo e negativo do momento fletor no engastamento A da Viga Gerber da figura devido ao carregamento a carga permanente peso proprio g 25 tm b carga acidental conforme trem tipo abaixo 10t 10t st 4t 4t 15 tm boron tee te pe te fe fe Pt fp a tt ta 2m 2m 2m 2m A a B B Cc Y D 4m 5m 6m 4m 3m 3m 10t 10t 4t 4t st 15tm I 15tm tte t tes S00OOMOoeeOMWMSSSS SSS SSS Min I I I I 10t 10t I at at 15tm y Mma i 1 1 1 1 1 i i i Il Qa I Y I J pf fp fo I I I I J SO fo UL REC Ai of BN tem A 20 40 24 08 XQ 36 dp VY B 5 4 4 10 10 To 710 a a5 Diagramas de Winkler 180 m2 240 m 108 m Areas ma RO Ee Figura 65 Exemplo 17 07 LI PARA PORTICOS TRIARTICULADOS Estudaremos agora as linhas de influéncia do portico triarticulado mostrado na figura 71 A carga movel percorre o trecho DE Assim so interessam as componentes verticais dos deslocamentos no trecho DCE Em beneficio da simplicidade trabalharemos com valores numéricos ao invés de literais O processo a priori sera sempre o cinematico segundo o roteiro ja estabelecido Nas figuras 72 e continuacdes estao determinadas as LI das reacgdes horizontal e verti cal no apoio A Hae Va esforcos solicitantes M N e V nas secdes S e R e cortante e normal na articulacgdo C As chapas da cadeia cinematica serdo indicadas 1 2 etc seus polos abso lutos por I II e os relativos por III OS giros w1 w2 das chapas 1 2 estado indicados com o sentido respectivo Os giros relativos entre as chapas i e j quando necessarios serdo indicados por wij As distancias das retas suportes dos deslo camentos unitarios até os pdlos respectivos serdo chamados ri rz quando o desloca mento unitario for absoluto de um ponto da chapa e rj quando for relativo entre pontos das chapas i e j 2 2 D E Ss Cc im e R 2m 3m 2m B A t 15m t 25m 4m 4 3m 4 Figura 71 Portico triarticulado Os polos sao obtidos através das leis de deslocamento das cadeias cinematicas A intersegdo de duas retas lugar geométrico de um mesmo polo determina esse polo Toda chapa ligada a terra por trés barras vinculares nao concorrentes é fixa Barras para lelas serdo consideradas concorrentes no ponto improprio infinito Cada linha de influncia tem seu raciocinio respectivo entretanto vamos aqui detalhar apenas como foram obtidas as LI de Ha e Va que servira de orientacdo para os outros casos No caso da LI De Ha vide figura respectiva substituimos o apoio A por barras vinculares vertical e horizontal retirando o vinculo horizontal Resulta uma cadeia forma da pelas chapas 1 e 2 O polo absoluto II é 0 apoio fixo B e o polo relativo 1II é a articulagdo C Para a obtencdo do polo absoluto 1 temos um lugar geométrico que é a reta II I II pois os pdlos absolutos e o relativo de 2 chapas sao colineares 3 lei A projecdo dos polos absolutos I e II sobre a reta horizontal de referéncia para tracgado da L I fornece os pontos pelos quais passam as retas que representam a proje cao vertical do deslocamento das chapas 1 e 2 e que sao os proprios trechos da LI Obtémse a linha de influéncia aplicando um deslocamento unitario na diregdo mas 18 de sentido contrario a Ha Neste deslocamento as chapas 1 e 2 formarao um ponto anguloso na articulagao C ou polo relativo III pois polo relativo tem a propriedade de prescrever o deslocamento comum das chapas na sua posicdo A ordenada da LI No ponto III ou C é obtido pelo giro w calculado através de ri 11ri 8 lei Para a LI de Va retirase a barra vincular vertical no apoio A obtendo a cadeia formada pelas chapas 1 e 2 Os polos II e 1II sao evidentemente o apoio fixo B e a articulacdo C respectivamente Um lugar geométrico do polo 1 é o prolongamento do vinculo horizontal em A 2 lei e o outro é a reta II 1II pois os pdlos absolutos 1 II 0 relativo 111 devem estar alinhados 3 lei O deslocamento unitario contra rio a Va permite tracar toda a L I sempre respeitando as propriedades dos polos abso luto e relativo 1 O movimento de uma chapa é sempre em torno do seu polo absoluto ou seja polo absoluto é ponto fixo ou ainda toda chapa ou seu prolongamento passa pelo seu polo absoluto que é fixo 2 O polo relativo ponto comum entre as chapas isto é as chapas ou seus prolongamentos como ocorre na LI de Vc sao concorrentes no polo relati vo Os valores das ordenadas indicadas na LI resultam por simples proporcionali dade Certamente se os polos forem determinados geometricamente em uma escala conveniente procurandose eliminar os erros que sempre acompanham os processos graficos podese tracar toda a LI graficamente sem recorrer as determinac6es algébri cas dos segmentos envolvidos na solucdo As ordenadas da LI em qualquer ponto é ob tida diretamente no grafico pela leitura na escala considerada As LI resolvidas nas figuras 72 sdo acompanhadas de varias observacoes rele vantes que devem ser analisadas pelo leitor Por exemplo a solugdo geométrica da LI de Ns nao pode ser realizada somente com a projecao na horizontal conforme explicado na figura respectiva Algumas alternativas analiticas quando ja se determinou a forma da LI através dos pdlos também sdo explicitadas nas figuras e devem ser consideradas como alternativas para o tracado das LI Em muitos casos convém combinar 0 método cinematico com uma determinacao direta da linha de influéncia O método cinematico pode por exemplo fornecer pelos po los apenas a forma da LI e através do calculo direto usando a propria definicdo de LI achase o valor de algumas ordenadas Usouse o calculo direto para verificar as orde nadas das LI de Ha Va M N e V nas segdes S e Re Vc Nc situadas na posicdo cor respondente da articulagdo C do portico recém resolvido Basta para tanto colocar uma carga P 1 na articulacdo C e determinar os esforcgos respectivos Essa determinacado é bastante simples conforme figura 72 continuagao 5 apresentada no final das LI Os valores calculados de Ha Va M N e V nas secédes S e R Vc e Nc Sao Os valores das orde nadas nas respectivas linhas de influéncia situados na projecdo da articulagdo C No caso particular de Vc ha necessidade de se colocar a carga unitaria imediatamente a esquerda ou a direita de C para evitar a descontinuidade que ocorre na secdo onde existe uma carga concentrada 19 a LI de H o AY 267m obtido da semelhanca entre l Se os tridngulos CEB e CDI1 67m 1r 1567 m 8a lei 5 N LID 1 D 4m CoN 3m E ren N XS qa SS 2m N 3m N N By eo Has A C LI deH See 1 LU II NS III 40706 Obs LI de H LI de H equilibrio das forcas horizontais b LI de Va 111 D Cc E N 2 XN qa 2m XN XN ap XN im A 4 52 4 tv ee 185 m 4m 3m 15m 150m obtido da semelhanga entre os tridngulos CEB e IFB h 85m e 185 m D Cc I I HN ee ba bide vs 1 ee erin 450529 Obs LI de Vz 1 LI de V equilibrio das forgas verticais Figura 72 Linhas de Influncia em um portico triarticulado 20 c LI de Ms Por semelhanga de triangulos t 15 25t 3 II fi wy h 3 h 2 h Se dai tirase t0625m Ms Ms Naum D LM 2 CoN S 3m E jy SS 3 4 2m 3m t 25t N X ha 3 1 A le a 15m o 1875m 3m l fll Al il iin LI de Ms PU ae 1324m a 0441m 15m a a d LI de Vs Vs el II III E co III D Vs 2 NX 3 4 ne 2m N N SN dq N im I N oye Ae 15m 25m 3m 15m a 1 1 gsXt50176 D eae Cc III Cee ES LL de V5 f i E eu Sk VS eT TN eee e a eee jin gpX450529 gop X70824 Obs com a LI de Vs conhecida a LI de Ry vertical pode ser determinada por equilibrio das forcas verticais na chapa 1 carga unitaria entre De S LI de RaLI de Vs 1 carga unitaria entre Se E LI de Ra LI de Vs Figura 72 continuacado 1 LI em portico triarticulado 21 1II e LI de Ns hoo 1 cil y2 S és i SI 267m Ly W 15m N N ETT Ee DN TIl E eS Ss 2 SS 3 Bo a QO ie 3m 4 Se Hq Shap y 3 4 ae yo i SA 1 elie 0 wo 4 0706 iin or ch de ne I 11 Como na projecdo em uma horizontal os polos I e II coincidem em um ponto nao ha possibilidade de se estudar geometricamente nesta projegdo o movimento relativo das chapas 1 e 2 Neste caso o estudo é feito em uma projecao vertical das chapas 1 e 2 e De outra maneira com a forma da LI de Ns determinada através do estudo geométrico os valores de podem ser determinados analiticamente pelo movimento das secdes no ponto S cujo deslocamento horizontal relativo deve ser unitario sendo nulo o deslocamento vertical relativo entre as secdes da esquerda e direita do ponto S Deslocamento horizontal de Sesq 300 0 4 1 30 2670 1 Deslocamento horizontal de Sdir 267 Deslocamento vertical de Sesq 150 4 1 15 150 Deslocamento vertical de Sdir 150 Destas equacoes tirase 1567 mm Como aLI de Ha ja foi determinada um terceiro procedimento atra vés do equilibrio das forcas horizontais Ha e Ns na chapa 1 torna bastante simples o calculo da LI de Ns Ha Ns zero LI de Ns LI de Ha Figura 72 continuacdo 2 LI em portico triarticulado 22 f LI de Me we 22587 267m Se SN NN III D Cc E im Mp N R 6 LII M 1 tam 2m B Oy 1 od I ey 4141 MM Wt LI de Me 1 11 111 III Como no caso anterior o procedimento geométrico tem que recorrer a projecdo em uma vertical das chapas 1 e 2 A solucdo mista que ndo requer a projecdo em uma vertical também é possivel determinando geometricamente apenas a forma da LI procurada calculandose suas ordenadas analiticamente através do angulo 2 calculado pelo movimento relativo da segdo R que tem o mesmo deslocamento horizontal tanto se cogitando do movimento da chapa 1 como do movimento da chapa 2 A segunda equacao necessaria é obtida sabendose que 0 giro relativo entre as chapas 1 e 2 deve ser unitario Assim 21 367 2 e 01 M2 1 Dai 2 2567 LI de N cs g Lt de Nr R Do equilibrio das forgas verticais na chapa AR temse A Va Nr 0 ou seja ly LI de Nr LI de Va h LI de V ws LL de Vr R Ve Do equilibrio das forgas horizontais na chapa AR temse Ha Ha Va 0 ou seja LI de Va LI de Ha Figura 72 continuacdo 3 LI em portico triarticulado 23 i LI de Vc 4m 3m 14m AAHB ABEIII Ve Ht ss PS 0 2m Vc ea eo im A eo oteve oe wa tm 12 117 m 9a lei am am ow 0 alt oor aa Com funy Lam Lee 04 r 383 Lor LI de Vc 2117 o aa Com o conhecimento da posicdo dos polos I e II é possivel determinar a forma da LI Calculando algebricamente os valores de 1e z tornase elementar obter todas as ordenadas sem necessidade do polo III 1e 2 podem ser obtidos através do deslocamento relativo horizontal nulo e vertical unitario das segdes a esquerda e direita do ponto C Ou seja 301 202 O1 gem e r ee mt 401 3021 e Como ja foi determinada a LI de Ra outra alternativa bastante simples é através do equilibrio das forgas verticais na chapa 1 ADC LI de Vc LI de R 1 parao trecho entre DeC LI de Vc LI de Ry para o trecho entre Ce E Figura 72 continuacado 4 LI em portico triarticulado 24 j LI de Nc Cc Nc D Ne 2 E te em 3m B A II 4 ge o oh AC ey 2 24286m 1 124286 m2 Ora 1 a 3 121235 ame y LI de N Cc 0706 OO e Como no caso anterior apds o estabelecimento da forma da LI podese determi nar as ordenadas através dos angulos e 2 determinados analiticamente pelo movimento relativo vertical nulo e horizontal unitario das segdes em C e Mais facilmente pelo equilibrio das forcas horizontais na chapa 1 temse LI de Nc LI de Ha k Controle de calculo carga unitaria na articulagdo C D 4m Cc 3m E y xX 0 Ha He 2m YY0 Wat Ve1 3m Mp0 7VaHa30 y B Hp x Mp a Ha x XMc0 4Vq 3HA 0 Vp Resolvendo temse Ha 0706 e Va 0529 V A l Isolando a chapa ADC temos considerando Nc0706 a carga imediatamente a esquerda de C 15m 25m S Ms 0529x25 1323 1m t ve0471 x R Vs 0529 Ns 0706 2m Mr 0706x2 1412 Vr 0706 Ha 0706 Nr 0529 Va0529 os sinais resultam das convenc6es Figura 72 continuacgdo 5 LI em portico triarticulado 25 08 LI NO CASO DE CARREGAMENTO INDIRETO Em muitos sistemas estruturais 0 carregamento atua indiretamente sobre as vi gas ou estruturas principais por intermédio de um sistema estrutural secundario E o que ocorre por exemplo nas treligas de aco onde elementos construtivos secundarios transmitem as cargas aos nos evitando o carregamento direto nas barras da trelica A figura 81 ilustra esquema de estruturas secundarias no caso de uma treliga e de um ar co triarticulado usado em pontes e viadutos TT Ll VY L i Wl oo Ty Ty y A oN 2 PC I Wy on Q Eli Zz ys S kl Y NS NN 4 N KY WS fo tw Ga O Oo NE aI ENT TR ES iS WG ts Sp a Figura 81 Estruturas com carregamento indireto Nos casos em que o carregamento atua indiretamente este fato deve ser levado em consideracdo no tragado da LI da estrutura principal Para estudarmos o esquema de um carregamento indireto vamos supor o caso da viga simples representada na figu ra 82 a A figura 82 b mostra o deslocamento para obter a linha de influéncia do mo mento na secdo C Mc Os pontos 1 2 3 e 4 da construgdo auxiliar sdo obrigados pelos seus vinculos a seguir 0 movimento da viga principal ficando as barras a1 12 34 e 4 b paralelas a esta viga Apenas a barra 23 nao é paralela adaptandose a nova posicdo dos pontos 2 e 3 Entretanto a poligonal a1234b obtida pelo deslocamento é a linha de influéncia do sistema considerado Este fato conduz a LI Mostrada na figura 82 c Aplicandose a mesma regra foi obtida a LI de Vc da figura 82 d 26 Podemos entao tirar a seguinte conclusao geral a existéncia de uma construcado secundaria nao invalida as ordena das da linha de influéncia primitiva nos pontos de apoio da constru Gao secundaria A linha definitiva o poligono que une os pontos assim obtidos 4 a Xd COO C A poo XE a b b Af C Sas 1 Cc C ea LI de Mc carga ZS indireta a Xc s 4 carga direta L a a A L carga ea direta Deo 1 5 S carga indireta d Sa eT re oT LI de Qc 1 ae ae carga aT direta Figura 82 LI de carregamento indireto 27 09 LI DE TRELICAS ISOSTATICAS No caso de trelicgas sempre conveniente comecar o estudo com um raciocinio cinematico Retirase a barra correspondente ao esforco normal da LI procurada subs tituindoa pela forca de tracado aplicada nos nos de sua extremidade Com o esforco de tragdo nestes nos procura aproximalos o deslocamento contrario a incdgnita resulta num afastamento unitario desses nos A partir dos pdlos e do afastamento unitario dos nos extremos da barra incdgnita é que se estuda a forma deslocada das chapas da cadeia cinematica Quando a determinacao dos polos oferecer dificuldade pelo menos o estabele cimento das chapas indica os trechos retos da LI Neste caso convém combinar o méto do cinematico com uma determinacdo direta de algumas ordenadas que permita calcular toda a linha 91 Treliga de banzos paralelos Uma treliga de banzos paralelos como o da figura 91 funciona como uma viga simples pois a continuidade em uma secao da viga pode ser imaginada como um dispo sitivo formado por trés barras A repeticdo sucessiva deste dispositivo na viga a trans formada na treliga correspondente K K L Figura 91 Analogia entre treliga de banzos paralelos e viga Certamente o momento fletor e a forca cortante em uma secao da viga devem ter na treliga esforcos correspondentes resultantes das forgas normais nas barras da tre liga Este fato é ilustrado na figura 92 na qual se supds M e V positivos na viga e as for Gas normais positivas de tracdo nas barras da trelica foram denominadas Ns Ni e Na respectivamente para as barras do banzo superior banzo inferior e diagonais Igualando 0o momento no ponto K e componente vertical das forgas tanto na viga como na trelica temse Mk Nih Vk Nasena Caso o raciocinio seja feito para a secdo correspondente ao ponto L da trelica temos ML Nsh Vi Nasena 28 K Ns Ns Nd Ni Ni L K Mx ML VL Ye Figura 92 Esforcos correspondentes em treliga e viga Tomandose o devido cuidado com o sinal no caso das diagonais pois dependem da sua orientagdo descendente ou ascendente e em relacgdo a que ponto K ou L se faz o equilibrio de momento estes resultados podem ser uteis para controle de calculo Con vém notar que este procedimento nada mais é que a solucdo através da aplicagdo do corte de RITTER que é conveniente para solucdo de treligas horizontais de banzos pa ralelos submetida a carregamento vertical A menos do sinal no caso das diagonais e montantes a 90 esta analogia com a viga simples valera sempre para as LI de treligas de banzos paralelos e também para os tre chos com banzos paralelos de treligas menos simples sinalizando como se desenvolve a LI nestes trechos Para eventuais futuras referéncias repetese aqui as expressdes deduzidas LI de Mx LI de Nv ooo inferior Tt rtrtrerererrereresereneeerenenesnenenees 91 LI de M LI de N oo superior ptt eeeereteeeeeeatasereteeeeeeaeaees 92 LL deN Ul de Vy 93 JI de Ny ig receeeeceeceaceateetesetettsntentsstsststesesases QO diagonais sena Isto 6 as LI dos esforgos normais nas barras do banzo inferior e superior de uma treliga de banzos paralelo sao proporcionais a menos do sinal no caso do banzo superior as LI do momento fletor em uma viga simples determinadas na secao cor respondente ao polo relativo das duas chapas formadas pela treliga quando se retira a barra incdgnita reduzidas do fator h equacdes 91 e 92 As LI dos esforcos normais nas diagonais sdo em modulo proporcionais as do esforco cortante na viga simples ampliada do fator 1sen a onde a é o angulo que a diagonal forma com a horizontal equacdo 93 Para efeito de referéncia vamos repetir aqui através da figura 93 as LI deMe V em uma secdo qualquer de uma viga simples 29 A s B a b LI de Ms 1 ae ow 4 Deo 1 alt LI de Vs bL 1 Figura 93 LI de viga simples repetida 92 Exemplo numero 1 Inicialmente vamos analisar as LI das forgas normais em algumas barras da tre liga da figura 94 Comecaremos sempre com um raciocinio cinematico Para a LI da forca normal na barra 57 barra do banzo inferior retiramos esta barra estabelecendo as chapas 1 e 2 conforme figura 95 O polo absoluto da cha pa 1 460 apoio fixo 1 e 0 polo relativo III 6 o nod 6 O polo II é o encontro das re tas I 1II com a vertical pelo apoio mével 13 pois o Unico movimento permitido no ponto 13 é horizontal 37 e 2 lei Como o deslocamento unitario afastamento é entre os nos 5 e 7 pertencentes as chapas 1 e 2 respectivamente trabalharemos com o movimento relativo entre essas chapas 1 e 2 O valor do giro relativo wi2 6 1riz ou 14m segundo a 9 lei A partir deste valor toda a LI pode ser determinada lembran do que no caso da treliga 6 sempre suposto carregamento indireto isto é vigas secun darias apoiadas nos nos 2 4 6 8 10 12 14 AAAAAN 13 3 5 7 9 11 1 3m 3m 3m 3m 3m 3m Figura 94 Treliga de banzos paralelos exemplo 30 Comparando a LI de Ns7 com a LI do momento em uma viga simples onde a 6m b 12 mel 18 m podemos verificar a validade da expressdo deduzida na equacdo 91 Para todas as barras do banzo inferior 0 raciocinio 6 analogo A LI de Ni 3 nula pois neste caso o polo da chapa 2 se encontra no infinito e portanto esta chapa so translada na horizontal Esse resultado era de se esperar pois neste caso a zero na viga correspondente As barras do banzo superior nado apresentam nada especial conforme mostra a figura 95 onde foi determinada a LI de Nes comparar com a LI de M da viga simples equacdo 92 Na figura 95 continuagdo esta determinada a LI do esforgo normal na barra diagonal 67 obtida da linha de influéncia da cortante em uma viga simples ampliada com o fator 1sen a equacdo 93 Finalmente vamos analisar a LI do esforo normal na barra montante 56 As chapas se deslocam paralelamente porque as barras 46 e 57 que unem as chapas sao paralelas determinando o polo relativo III no infinito Um raciocinio estatico leva a igualdade o valor da normal de tracao nesta barra vertical com a cortante em uma viga simples com o sinal trocado assim a LI de Ns6 é igual a menos a LI da cortante na viga também porque neste caso a 90 esena 1 equacdo 93 A LI definitiva de Ns6 deve acompanhar o deslocamento dos nos do banzo infe rior ou superior conforme o banzo onde a carga mével é aplicada Para treligas deste ti po apenas para as LI dos montantes houve necessidade de se fixar 0 banzo em que atua o carregamento para obterse a linha definitiva pois nos outros casos ha coincidén cia das componentes verticais dos deslocamentos dos nés de uma mesma vertical inde pendente do banzo a que pertenca 31 1 LI de Ns7 ay ap TROT a a Se 2 LI de Nes mm 9 02 94225 iis iin Li de News 32 1 Wu ae i i Ui So Woy ayo pom 1sena125 Ne qy Lilo Cie a re ei LI de Nous Fea 95 continue Lem tree deters parlees 33 93 Exemplo numero 2 Vamos estudar a trelica simétrica da figura 96 para a qual determinaremos a LI das forgas normais nas barras 24 34 35 23 e 45 A carga movel percorre o trecho 12468 5 3 7 im 2m 1 8 2 4 6 t 4m t 4m 4m 4m 4 Figura 96 Treliga exemplo numero 2 As LI de N24 N34 e N35 nao apresentam nada especial Nas figuras 97 estao indicadas as chapas e seus respectivos polos Como o movimento unitario é sempre rela tivo entre pontos de duas chapas trabalhase com os raios e giros relativos A barra 23 tem linha de influncia apenas no trecho 124 porque achapa 1 se mantém fixa por estar ligada a terra por 3 barras nao concorrentes apoio movel 5 barra vertical barra 13 e barras horizontais 124 que em movimento infinitesimal nao permitem o deslocamento horizontal dos pontos 2 e 4 funcionado entao como uma ligagdo horizontal para a chapa 1 A forma desta LI N23 é de facil compreensao quando se faz um raciocinio estatico para cargas aplicadas nos nos 1 4 6 e 8 a normal na barra 23 é nula e quando a carga vertical unitaria estiver aplicada no no 2 a normal na barra 23 valera 1 positiva de tracgao Finalmente vamos analisar a determinacdo da LI de Nas Apenas as chapas 1 e 2 nao sao suficientes para a determinacao da LI pois o deslocamento unitario Unico dado nado é entre pontos destas chapas Ha necessidade de se definir a chapa 3 barra 35 e estudar o movimento relativo entre 1 e 3 O polo IIIééond3e0 polo IIIII esta na intercessdo dos prolongamentos das barras 34 e 57 que unem as chapas 2 e 3 5 lei O polo absoluto III é a intersecdo das retas 1IIII com 11IIIII 3 lei Com os polos I 1III e III determinados podemos estudar o movimento das chapas 1 e 3 através de ri3 4 me i3 14 m obtendo o des locamento vertical do no 3 A partir dai toda a linha é determinada Nos sistemas mais complicados convém controlar numericamente as ordenadas v das LI Para este exemplo colocando uma carga P 1 no ponto 4 e determinando as forgas normais nas barras por Cremona por exemplo teremos que essas forcas sao as ordenadas v no ponto 4 das respectivas linhas de influéncia Este calculo esta executado na figura 97 imediatamente apos a figura correspondente a LI de Na5 onde optou se pela determinacao dos esforgos normais por equilibrio de nd em beneficio da precisao 34 4 a Us 4 4 hh 3m 4 O12 13 mt am Oy 196 m Af VT a imler2 OZ 1221 A 35H a 1II54 111 ace oo aja 125 w y388t me LEO rms a 111 oh a ee Sa LI de N35 Fou a7 tide teigaeverpe2 35