Lista 1-princípio dos Trabalhos Virtuais com Gabarito-2021 2

MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II Princípio dos Trabalhos Virtuais UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Ex. 1.1: Para a ponte rodoviária em estrutura metálica da Figura 1, pedem-se: Figura 1 a) O deslocamento vertical do nó onde está aplicada a carga de 90 kN, considerando apenas o carregamento mecânico mostrado na figura; b) Considerando que a ponte foi executada sob temperatura ambiente constante de 25 ºC, e que as máximas e mínimas locais são respectivamente de 41 e -5 ºC, calcule os deslocamentos máximos e mínimos na horizontal do nó do item a) provocados apenas pela variação da temperatura, sendo =1,1x10-5/ºC para o aço. Ex. 1.2: Para a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L (Figura 2), utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço cortante, para calcular: a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A; b) O deslocamento vertical do ponto C (meio do vão). Figura 2 Ex. 1.3: Para a viga biapoiada com rigidez EI constante e comprimento L (Figura 3), utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando o efeito do esforço cortante, para calcular: a) A rotação da tangente à linha elástica no ponto B; b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 3 Figura 3 Ex. 1.4.: Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o valor do momento aplicado M2 para que a viga da Figura 4, com rigidez EI constante, tenha rotação da tangente à linha elástica nula no ponto B. Desconsiderar o efeito do esforço cortante sobre os deslocamentos. Figura 4 Ex. 1.5.: Calcule a flecha (deslocamento vertical) na extremidade livre da viga da Figura 5. Figura 5 Ex. 1.6: Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o deslocamento vertical na extremidade C da viga da Figura 6, cujo diagrama de momentos fletores para o carregamento original é fornecido. Considere EI = 2 x 105 kN.m2 para todas as barras e despreze o efeito do esforço cortante. Figura 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 4 Ex. 1.7: Obter o deslocamento vertical do nó B da treliça da Figura 7 aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Todas as barras têm rigidez EA = 104 kN. Figura 7 Ex. 1.8: Em um laboratório foi realizada uma prova de carga com uma viga de madeira com inércia I = 3 x 10-4 m4 e 5 m de comprimento, conforme modelo da Figura 8. Verificou-se que o deslocamento vertical do nó B da viga, devido ao carregamento indicado, foi = 1,075 x 10-2 m para baixo. Sabendo que a deformação devida ao esforço cortante pode ser desprezada, calcule o módulo de elasticidade E desta espécie de madeira, utilizando os resultados do teste realizado e o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Considere o módulo de elasticidade E constante em toda a viga. Figura 8 Ex. 1.9: Considere a estrutura metálica de sinalização rodoviária na cidade de Obertraun, Áustria (Figura 9)- onde as temperaturas variam de 26ºC até mínimas de -6ºC (negativos). A estrutura é modelada como um semiarco parabólico plano apoiado em duas barras de sustentação. O arco está engastado nas barras (ponto A) e tem extremidade livre (ponto B sobre o eixo da seção transversal do arco) com coordenadas (sistema com origem no ponto A) x=4,5 m e y= 0,65 m. O ponto B tem derivada nula. A estrutura foi executada sob uma temperatura constante de 13,5ºC. Considerando o arco com uma seção transversal constante de 5 cm x 30 cm (largura x altura) e o aço com módulo de elasticidade E=210 GPa e constante de dilatação térmica linear = 1,1x10-5/oC, pedem-se, considerando apenas a ação de uma variação uniforme de temperatura em todo o arco: a) Os valores máximo e mínimo para a coordenada x do ponto B (em mm) com dois algarismos após a vírgula; b) Os valores máximo e mínimo para a coordenada y do ponto B (em mm) com dois algarismos após a vírgula. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 5 Figura 9 Ex. 1.10: Seja o pórtico da Figura 10, cujas barras têm rigidez à flexão EI = 2 x 105 kN.m2. Aplicando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando os efeitos de esforços cortantes e de esforços normais, calcule: a) O deslocamento horizontal do ponto C; b) A rotação da tangente à linha elástica no ponto A. Figura 10 Ex. 1.11: Recalcule os itens (a) e (b) do exercício 1.10 (Figura 10), utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais considerando os efeitos dos esforços normais e dos momentos fletores (flexão). Despreze apenas o efeito dos esforços cortantes e considere que todas as barras têm rigidez axial EA = 2 x 105 kN. Ex. 1.12: Dois galpões idênticos (Figura 11), independentes e adjacentes tem um aumento de temperatura uniforme (interior e exterior) de 50º C. Dado que todas as barras têm altura de 35 cm e são feitas do mesmo material com  =10-5º/ C, pede-se: a) O menor valor da folga f (entre os apoios) para que o sistema continue isostático; b) Caso fosse considerado o peso da cobertura, o que aconteceria ao valor da folga mínima calculada no item (a)? UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 6 Figura 11 Ex. 1.13: Seja o pórtico da Figura 12, cujas barras têm E = 1 x 108 kN/m2 e I = 1 x 10-3 m4. Calcule a rotação da tangente à linha elástica no ponto A causado por um recalque vertical do apoio em D, para baixo, de 6 mm. Figura 12 Ex. 1.14: Calcule o deslocamento horizontal do ponto C, do pórtico do exercício 1.10 (Figura 10), causado por um recalque vertical do apoio A de 4 mm para baixo. Ex. 1.15: Recalcule o item (b) do exercício 1.10 (Figura 10) causado pela carga em B e por um recalque vertical do apoio D de 6 mm para cima. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e despreze os efeitos de esforços cortantes e de esforços normais. Ex. 1.16: Considere o pórtico isostático mostrado na Figura 13. A estrutura tem como solicitação um aumento uniforme de temperatura (T = 12 ºC) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /ºC. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia 1 x 10-3 m4. Calcule o deslocamento horizontal do apoio da direita. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 7 Figura 13 Ex. 1.17: A viga do pórtico da Figura 14 sofreu um aquecimento na face superior de 12 °C. Pede-se o deslocamento vertical da extremidade livre da estrutura. Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Figura 14 Ex. 1.18: Para a viga Gerber mostrada na Figura 15 pede-se a rotação relativa entre os dois vãos no apoio central. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais e despreze os efeitos de esforços cortantes. A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /ºC. A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: • Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão; • Aquecimento das fibras superiores da viga de Ts = 50 ºC ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 ºC); • Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio extremo direito. Figura 15 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 8 Ex. 1.19: Considere o pórtico da Figura 16 no qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: • Uma carga concentrada de 48 kN no centro da viga (barra horizontal); • Resfriamento das fibras superiores da viga de Ts = -24 ºC ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ti = 0 ºC); • Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm do apoio esquerdo. O material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /ºC. As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 e momento de inércia I = 10–3 m4. A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. Determine o deslocamento horizontal do apoio da direita. Figura 16 Ex. 1.20: Considere a grelha da Figura 17, na qual todas as barras possuem seção transversal circular com raio de 12 cm, E = 210 GPa e =0,25. Pedem-se: a) O ângulo de rotação de torção do ponto A; b) A flecha vertical do ponto B. Figura 17 Ex. 1.21: Para a estrutura com rigidez constante igual a 105 KN.m² mostrada na Figura 18, pedem-se: a) Rotação relativa das tangentes à elástica em C; b) Deslocamento horizontal de B; c) Deslocamento vertical de B; UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 9 d) A ocorrência de variação de temperatura uniforme em todas as barras influenciaria nos valores de deslocamentos calculados? Figura 18 Ex. 1.22: Determinar o deslocamento vertical da seção média do pórtico representado abaixo (Figura 19), no qual as barras têm E = 2,05X108 KN/m² e I = 0,001 m4. Figura 19 Ex. 1.23: A área da seção transversal de cada elemento da treliça de aço mostrada na Figura 20 é de 300 m². O módulo de elasticidade (E) do material é 210 GPa. Determine o deslocamento horizontal da articulação superior direita se uma força de 60 kN foi aplicada à treliça na articulação superior esquerda como mostrado na Figura 20. 4.70 10 KN/m 3.00 1.50 6.00 3.00 1.50 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 10 Figura 20 Ex. 1.24: Suponha que a estrutura mostrada na Figura 21 possa ser modelada pelo pórtico abaixo. Considerando que os elementos sejam se concreto armado com fck de 30 MPa, seção transversal constante de 20x30 cm e seção transversal na metade da altura, avalie os efeitos das solicitações apresentadas para as condições a seguir. Considere como coeficiente de dilatação térmica o recomendado pela ABNT NBR 6118/20141. Despreze o efeito dos esforços normais. a) Calcule o deslocamento vertical do ponto D do pórtico; b) Determine o deslocamento horizontal no ponto F da estrutura; c) Determine a rotação do apoio C; d) Avalie o efeito sobre a estrutura caso a variação de temperatura de 10ºC fosse uniforme, ou seja, acontecesse nas fibras superiores e inferiores. Figura 21 1 A ABNT NBR 6118/2014: Projeto de Estruturas de Concreto autoriza o uso do valor α=10-5/ºC para o coeficiente de dilatação térmica do concreto. Além disso, a norma prescreve que o módulo de elasticidade do concreto pode ser calculado pela Equação 𝐸 = 5600√𝑓𝑐𝑘. Recalque em solo mole de 0,012 m Vento em sobrepressão de 10 KN/m Motores causam variação de temperatura em 10 graus Celsius nas fibras inferiores 7,0 m A C D E F B UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Ex. 1.1: a) 2,3 mm  b) -2,64 mm ← e 4,95 mm → Ex. 1.2: a) EI qL A 24 3 =  b) EI qL C 384 5 4 = −  Ex. 1.3: a) EI L M B B = − 3  b) EI L M B A = 6  Ex. 1.4: 8 3 2 PL M = Ex. 1.5: ( ) ( )    2  2 3 8 3 2 4 2 3 4 12 R LR L R L EI F v − + − + + =     Ex. 1.6: C = - 5,625 x 10-5 m  Ex. 1.7: B = 77,2 mm  Ex. 1.8: E = 3,1 x 106 kN/m2 Ex. 1.9: a) xmin=4499,03 mm e xmáx=4500,62 mm b) ymin=649,86 mm e ymáx=650,09 mm Ex. 1.10: a) C = 6 mm → b) A = 2,375 x 10-3 rad  Ex. 1.11: a) C = 6,54 mm → b) A = 2,555 x 10-3 rad  Ex. 1.12: f=16 mm Ex. 1.13: A = 2,0 x 10-3 rad  UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ – CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC – 036: MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 12 Ex. 1.14: C = 2,40 mm  Ex. 1.15: A = 1,175 x 10-3 rad  Ex. 1.16:  = 72 x 10-5 m Ex. 1.17:  = -360 x 10-5 m Ex. 1.18:  = -180/EI rad Ex. 1.19:  = 1476 x 10-5 m Ex. 1.20: a) =0.0175 rad b) vB=-6,30 cm  Ex. 1.21: a) 12,6.10-3 rad b) Zero c) -3.31 cm Ex. 1.22: -8,439.10-1 mm Ex. 1.23: 4,524 mm → Ex. 1.24: a) -1,2.10¹ mm b) -5,873.10² mm c) 1,150.10-¹ rad MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II – PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Material elaborado com base na bibliografia da disciplina TC036 – Mecânica das Estruturas II da UFPR Revisão 2017: Lucas Ghion Zorzan (monitor)