Princípio de Arquimedes: Compreensão e Aplicações

PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES Princípio de Arquimedes 3 Objetivo de aprendizagem Compreender e aplicar o Princípio de Arquimedes e suas aplicações Tópicos de estudo Conceito de empuxo Estabilidade e fração submersa Experimento do Princípio de Arquimedes Iniciando os estudos Você já deve ter percebido que quando entra em uma piscina tem a sensação de estar mais leve Por que será que isso acontece Para responder a essa questão teremos que usar o conceito de empuxo que é uma força exercida pelo líquido de baixo para cima Assim no primeiro tópico você será apresentado a esse conceito a partir do exemplo de um objeto colocado em um recipiente com líquido e verá que também pode ser aplicado para objetos maiores como por exemplo navios e icebergs Também verá casos em que o objeto fica em repouso na superfície do líquido quando temos um equilíbrio de forças e podemos calcular a fração do corpo que fica dentro do líquido Por fim você usará esses conhecimentos para mostrar o conceito de peso aparente que pode ser usado para fins experimentais Assim aplicando a segunda lei de Newton temos F ma E P L ma Como o líquido está em repouso a aceleração é igual a zero Desta modo E P L 0 E P L 1 sendo que o peso do líquido é igual à massa do líquido m L multiplicado pela gravidade contudo pode ser escrito em função da densidade do líquido ρ L e também do volume da porção do líquido V L como s m L ρ L V L Substituindo essas relações na equação 1 E ρ L gV L 2 Fizemos essa demonstração com uma porção do líquido mas também podemos verificar o conceito quando um corpo sólido é colocado dentro do líquido Veja um exemplo 1 Um navio está içando um objeto feito de aço com o intuito de usar esse instrumento para estudos em uma universidade figura 3a Considerando que esse objeto tenha uma massa de 25kg calcule a tensão no cabo a quando o objeto estiver completamente submerso na água b quando o objeto estiver completamente fora da água Considere que nas duas situações o sistema está em equilíbrio Princípio de Arquimedes 4 CONCEITO DE EMPUXO Um dos maiores navios de carga do mundo para o transporte de grãos é o Lan Hua Hai feito na China que pode carregar até 90 mil toneladas Muito não é mesmo A pergunta é como esse navio pode flutuar nos oceanos A resposta está no conceito de empuxo que pode ser entendido como uma força vertical de baixo para cima aplicado pelo fluido No caso a água Para você entender esse conceito vamos considerar uma porção de líquido em repouso como na figura 1a e um objeto sólido dentro desse líquido Os vetores representam as forças aplicadas pelos fluidos vizinhos sobre a superfície de contorno Devemos lembrar que a pressão é igual à mesma profundidade devido ao teorema de Stevin Assim se fizermos a soma vetorial das forças verificaremos que as componentes horizontais se anulam aos pares ou seja com mesma direção mas sentidos opostos como apresenta a figura 1b Como a pressão na parte inferior do sólido é maior a resultante é uma força de baixo para cima como mostra a figura 1c Essa força é chamada de empuxo HALLIDAY 2016 que representaremos pela letra E Figura 1 a Porção do líquido em repouso b forças apenas verticais que atuam no líquido c força resultante do líquido Fonte elaborado pelo autor O primeiro a desenvolver o conceito de empuxo foi o cientista e filósofo grego Arquimedes 287 aC212 aC A história por trás dessa descoberta é bem interessante ele havia sido convocado Princípio de Arquimedes 5 pelo rei de Siracusa para verificar se a coroa encomendada pelo rei era de ouro maciço e não tinha ideia de como resolver esse problema Porém um dia quando foi se banhar verificou que ao entrar na banheira cheia o volume de água que saía era igual ao volume do seu corpo Arquimedes ficou tão feliz que saiu correndo na rua gritando Eureka Eureka que significa descobri Mas como esse fato pode ser usado para resolver o problema Lembrese de que a densidade de um material é dada por Assim Arquimedes pegou a coroa que tinha uma determinada massa e colocou em um balde cheio de água verificando o volume que transbordava Ele repetiu esse mesmo procedimento com objetos de ouro e prata com a mesma massa da coroa e confirmou que ela era composta por uma mistura desses dois metais Com essa pequena história voltaremos para a nossa expli cação sobre o empuxo e veremos como o volume deslocado entra no cálculo Veja mais detalhes no infográfico que ilustra essa descoberta Princípio de Arquimedes 6 O Princípio de Arquimedes consiste basicamente em um objeto colocado em um líquido o qual sofrerá uma força de baixo para cima chamada de empuxo APLICAÇÕES DO EMPUXO Força dirigida para cima devido às diferenças de pressão no interior do líquido EMPUXO Conheça algumas aplicações do empuxo Quando estamos na piscina e queremos relaxar ficamos flutuando na piscina em cima de uma boia Neste caso temos a atuação do empuxo devido à água que promove equilíbrio com o peso da pessoa mais a boia Flutuação na piscina O empuxo é a força para que o balão se desloque no ar Nesse caso o ar quente aplica uma força para cima a qual faz o balão subir balão A propulsão de um foguete também ocorre devido ao empuxo Nesse caso existe uma liberação de gases no momento do lançamento que faz com que o foguete ganhe impulso foguete ED Content Hub Facens 2022 Infográfico 1 Aplicações do empuxo Fonte elaborado pelo autor Princípio de Arquimedes 7 Neste vídeo você pode ver com mais detalhes como Arquimedes formulou sua teoria Título Arquimedes Ilustrando história Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvNRjafzwzwlg Acesso em 01062022 APROFUNDESE Como podemos calcular o empuxo Para responder a essa pergunta vamos considerar uma porção do líquido na figura 1a Assim esse pedaço do líquido tem um peso que exerce força para baixo que chamaremos de Como já visto teremos o empuxo apontado para cima A figura 2 mostra essa situação Figura 2 O empuxo tem sentido para cima enquanto a força peso tem sentido para baixo Fonte elaborado pelo autor Leve em consideração ρₗ 7800Kgm³ ρágua do mar 1030Kgm³ ρar 12Kgm³ Usando a segunda lei de Newton na figura 3b T P E 0 e isolando a T T P E Princípio de Arquimedes 11 ESTABILIDADE E FRAÇÃO SUBMERSA No exemplo do primeiro tópico consideramos uma situação na qual o objeto está totalmente inserido no líquido Neste tópico apresentaremos os casos em que apenas uma parte está inserida em um líquido Para começar vamos considerar um objeto dentro de um líquido como na figura 4a Figura 4 a Objeto dentro do líquido com o empuxo para cima e peso para baixo b objeto flutuando na superfície do líquido Fonte elaborado pelo autor Consideraremos primeiramente o caso no qual o objeto tem um peso maior do que o empuxo O que acontecerá nessa situação Para responder a essa pergunta vamos relembrar a segunda lei de Newton TIPLER 2009 Se o peso é maior que o empuxo o objeto vai se mover para baixo com aceleração constante Nesse caso matematicamente teremos P E lembrando que o peso do objeto pode ser escrito como Resolução Como o sistema está em equilíbrio temos E P Princípio de Arquimedes 12 e desse modo a relação pode ser escrita como Assim a densidade do objeto é maior do que a densidade do líquido Outro caso é quando o peso do objeto é menor do que o empuxo Matematicamente teremos Mas o que acontece fisicamente nessa situação Novamente pela segunda lei de Newton o corpo vai subir com uma aceleração constante flutuando na superfície do líquido como mostra a figura 4b Assim teremos uma parte submersa no líquido e o objeto subirá até que o empuxo fique igual ao peso do corpo P E isto é o corpo ficará em equilíbrio Dizemos que existe nessa situação a estabilidade na vertical e de rotação Além disso o volume do líquido deslocado é menor do que o volume do objeto V L V 0 Matematicamente teremos P E V g V g V V L L L L 0 0 0 0 sendo que a relação acima pode ser reescrita como onde fs é a fração submersa do líquido Por fim o corpo ficará em equilíbrio em qualquer ponto no interior do líquido Nesse caso a densidade do corpo é igual à densidade do líquido 0 L e o volume deslocado é igual ao volume do corpo Princípio de Arquimedes 13 Neste vídeo é apresentado o conceito de empuxo e vários exemplos de flutuação que podemos verificar na natureza Título O que é o empuxo Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8br0gpgXIg Acesso em 01062022 APROFUNDESE A seguir você verá alguns exemplos de fração submersa 1 O iceberg ilustrado pela figura 5 é uma massa de gelo gigante composta por água doce que flutua pelo oceano após se desprender de uma geleira Considerando que a densidade da água do mar é 1025 3 Kg m e que a densidade do gelo é de 917 8 3 Kg m calcule a fração submersa de um iceberg no oceano Figura 5 Iceberg Princípio de Arquimedes 14 Resolução Usando a equação 6 e substituindo os valores do problema teremos 917 8 1025 0 90 Assim 90 do iceberg está dentro do líquido Falamos em como um navio que pesa toneladas pode flutuar nos oceanos sem afundar Outro aparato tecnológico muito interessante é o submarino que pode se deslocar no fundo dos oceanos e também flutuar na superfície livre Como isso pode acontecer Como funciona o empuxo no caso desse tipo de transporte Para ajudar você a refletir a respeito recomendamos que assista ao vídeo httpswwwyoutubecomwatchvnWBnEQnSOz8 REFLITA 2 Um cubo feito de madeira com aresta de 30cm é colocado dentro de um recipiente com água como na figura 6 Calcule o valor de h apresentado nesta figura considerando que o sistema está em equilíbrio Considere que a densidade da madeira é de 550 Kgm3 e da água 1000 Kgm3 Figura 6 Espessura do objeto imerso na água Fonte elaborado pelo autor Você solta uma esfera de alumínio com massa de 40g dentro de um líquido Dentro de alguns instantes você percebe que a esfera se deslocou 10cm em relação à superfície livre do líquido figura 7 Calcule o tempo decorrido do instante em que a esfera foi liberada do repouso até se deslocar a esse ponto Considere que a densidade do alumínio é de 2700kgm³ e da água 1000kgm³ Resolução Primeiramente já que a esfera desce teremos a seguinte situação P E Assim usando a segunda lei de Newton P E m cdot a foi considerado que o sentido para baixo é positivo Com a relação acima poderemos calcular a aceleração do corpo Vamos calcular cada termo separadamente E rhoL cdot VL cdot g Nesse caso temos que VL V0 mas não temos esse valor diretamente Assim usando a relação rho fracmV o V fracmrho Substituindo os valores do alumínio na relação acima e lembrando que todas as unidades serão colocadas no sistema internacional temos V frac0042700 148 imes 105 m3 Substituindo esse valor na equação do empuxo E 1000 imes 148 imes 105 imes 981 01452 N calculando o peso da esfera P 004 imes 981 03924 N e voltando à equação da segunda lei de Newton 03924 01452 004alpha o 004alpha 02472 alpha frac02472004 618 ms2 Para calcular o tempo de queda usaremos a equação S S0 V0 t frac12 a t2 o 010 frac12 618 t2 o 010 309 t2 t2 frac010309 00324 t 018 s Veja que utilizando o conceito de empuxo podemos usar a segunda lei de Newton para calcular a aceleração do corpo É importante lembrar que com a aceleração do corpo podemos calcular outras grandezas como tempo de queda velocidade e deslocamento Princípio de Arquimedes 18 Acesse na plataforma o vídeo Aceleração de um objeto em um recipiente ASSISTA Mais uma vez os exemplos foram fundamentais para melhorar o aprendizado não é Que essas informações ajudem você na resolução de novos exemplos e situações que deverá enfrentar na carreira profissional EXPERIMENTO DO PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES No primeiro tópico falamos do experimento de Arquimedes para verificação do material da coroa do rei Neste tópico apresentaremos um experimento que mostra como podemos medir o peso aparente de um corpo Este experimento MARQUES s d é feito da seguinte forma você pode usar uma espiral de um caderno Na ponta da espiral você coloca uma esfera e a outra ponta você prende em um suporte fixo Podemos perceber que nesse caso a espiral faz papel de uma mola Primeiro colocamos o sistema na vertical e medimos o comprimento da mola Agora quando colocamos esse sistema dentro de um recipiente com água podemos verificar que o seu comprimento fica menor Isso acontece devido ao empuxo Se aplicarmos a segunda lei de Newton neste sistema teremos T P E 0 o T P E Essa relação mostra que o peso diminui quando colocado em recipiente com um líquido mostrando o surgimento do peso aparente Pensando de maneira mais formal podemos colocar um dinamômetro na mola e teremos o valor desse peso aparente como na figura 8 A seguir você verá um exemplo com a aplicação desse conceito 1 Você está em um laboratório de física e tem a intenção de medir de forma indireta a densidade de uma amostra Essa amostra é um minério que pesa 20N no ar Colocando esse peso em uma mola com dinamômetro imerso na água verificase que o peso aparente é de 11N Com esses dados calcule a densidade dessa amostra Resolução Primeiramente considerando a gravidade g 981ms² podemos calcular a massa da amostra P m g m Pg m 20981 204Kg O problema forneceu o peso aparente assim P aparente P E 11 20 E E 20 11 E 9N Considerando a expressão do empuxo com a densidade da água de 1000kgm³ ρL VL g 9 1000 VL 981 9 VL 91000 981 917 10⁴ m³ E lembrando que a amostra está imersa na água teremos VL V₀ 917 10⁴ m³ Princípio de Arquimedes 21 Com essa informação podemos calcular a densidade da amostra Portanto usando o conceito de empuxo podemos calcular a densidade do material Neste vídeo é apresentada uma experiência simples de peso aparente Assista e aprimore um pouco mais os seus conhecimentos Título Mec Empuxo e flutuação parte 1 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvGxj0i74gzVI Acesso em 01062022 APROFUNDESE Agora que você já viu na prática o Princípio de Arquimedes procure visualizar outros exemplos nos quais os cálculos podem ser úteis Considerações finais 22 Nesta unidade foi apresentado o conceito de empuxo desenvolvido inicialmente por Arquimedes No primeiro tópico você viu como surge o empuxo e como calcular essa grandeza lembrando que o empuxo é uma força de baixo para cima exercida pelo líquido no objeto imerso em água Dentro desse contexto você observou o que acontece quando o objeto fica em equilíbrio na superfície livre do líquido ou seja quando o empuxo é igual ao peso do volume deslocado Quando o peso é maior que o empuxo o objeto desce para o fundo do recipiente Por fim foi usado o Princípio de Arquimedes para calcular a densidade de uma amostra Referências 23 HALLIDAY David Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 2 MARQUES Domiciano Experimentando o Princípio de Arquimedes Brasil escola s d Disponível em httpseducadorbrasilescolauolcombrestrategiasensinoexperimentando principioarquimedeshtm Acesso em 08 jun 2022 TIPLER Paul A Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 1