Teorema de Stevin e Lei de Pascal: Princípios de Hidrostática

TEOREMA DE STEVIN E LEI DE PASCAL TEOREMA DE STEVIN E LEI DE PASCAL Teorema de Stevin e Lei de Pascal 3 Objetivo de aprendizagem Compreender os princípios que regem o comportamento de fluidos em repouso Tópicos de estudo Definição de pressão e o Teorema de Stevin Lei de Pascal e o barômetro de Torricelli Experimento do Teorema de Stevin Iniciando os estudos É importante compreender os princípios que regem o comportamento de fluidos em repouso estudados numa área da Física designada como Hidrostática Para isso na primeira parte desta unidade você será apresentado ao conceito de pressão em sólidos estendendoo para o estudo dos líquidos Assim para a análise de pressão em líquidos será usado o Teorema de Stevin que mostra que a pressão vai depender da profundidade do líquido Além disso a pressão atmosférica entra nesse modelo como um parâmetro muito importante pois é a pressão da atmosfera terrestre Também verá que esse princípio pode ser usado em experiências que têm como objetivo medir a pressão de um fluido com um dispositivo chamado manômetro Aproveitando o conceito de pressão será mostrada a Lei de Pascal que pode ser usada para uma variedade de aplicações Por exemplo quando você troca o óleo do seu carro em um posto de gasolina é utilizada a Lei de Pascal Todos esses conceitos serão usados enquanto você estuda os fluidos em movimento Bons estudos Teorema de Stevin e Lei de Pascal 4 DEFINIÇÃO DE PRESSÃO E O TEOREMA DE STEVIN Você provavelmente já viu uma cama de pregos Se não verifique na figura 1 um exemplar desse objeto exótico Esse tipo de cama é usado para experiências de Física e também para shows de mágica Figura 1 Cama de pregos muito usada para shows de mágica e experiências em Física No Aprofundese você verá uma experiência com a cama de pregos Mas a pergunta que fazemos agora é por que a pessoa que se deita nessa cama não se machuca Afinal sabemos que se nos deitarmos em um prego vai doer muito Não faça essa experiência APROFUNDESE Este vídeo apresenta a construção de uma cama de pregos e uma experiência com ela Observe que neste caso a pressão se distribui em vários pregos Título É possível dormir em cima de uma cama de pregos Desafio Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvUl5VbwLJQc Acesso em 23052022 Para responder à nossa pergunta usaremos o conceito de pressão Por definição a pressão é diretamente proporcional à força aplicada e inversamente proporcional à área Assim no caso da cama de pregos o peso da pessoa fica totalmente distribuído em todos os pregos isto é a área de contato é grande Agora se temos apenas um prego o peso fica totalmente concentrado nele isto é a área de contato é pequena Quanto menor for a área de aplicação da força maior será a pressão que o prego exercerá sobre o que se coloca nele Matematicamente a pressão será escrita como P fracFA Onde F é a força e A a área de contato A unidade de pressão no Sistema Internacional de Unidades SI é newton por metro ao quadrado Nm2 Essa combinação de unidades é chamada pascal Pa Assim 1Pa 1 fracNm2 A unidade de pressão no Sistema CGS centímetro grama segundo é 1báriaba 1 fracdyncm2 A seguir veja um exemplo de aplicação do conceito de pressão Exemplo 1 Um paralelepípedo de base retangular é colocado em uma mesa Considerando que sua base tenha dimensões de 2m por 1m e que a massa do paralelepípedo seja de 500kg calcule a pressão exercida pelo paralelepípedo sobre a superfície Resolução a massa do paralelepípedo é de 500kg e seu peso usando o valor da gravidade de 981ms² se dá por P m g P 500 981 4905N A área de contato com a mesa é A 1 2 2m² Considerando a equação 1 P FA P 49052 24525Pa Considerando o conceito de pressão analisaremos essa grandeza para líquidos Nesse caso vamos considerar na figura 2 um líquido dentro de um recipiente com uma altura h Assim a pressão na base do recipiente será o peso do líquido dividido pela área da base P peso do líquido mL g área da base A Onde mL é a massa do líquido Podemos reescrever a equação 2 usando a definição de densidade em que a massa do líquido é escrita como mL ρ V Nessa equação ρ é a densidade do líquido e V o volume do líquido Observando a figura 2 o volume do líquido será V A h Teorema de Stevin e Lei de Pascal 7 Considerando essas definições na equação 2 teremos A seguir acompanhe um exemplo de aplicação da equação 5 Figura 2 Recipiente com um líquido de altura h Fonte elaborado pelo autor Exemplo 2 Considere que na figura 2 o recipiente é preenchido por água A altura desse líquido é h 30cm e a área da base do líquido é de 10cm2 Calcule a a pressão desse líquido na base do recipiente e b a força que a água exerce no fundo do recipiente Resolução os dados desse problema são h cm 30 A 10cm 2 Para calcular a pressão usaremos a equação 5 Para obter o resultado em SI teremos que transformar a altura em metros h 30cm 03m Desse modo P ρ h g P 1000 03 981 2943Nm² 2943Pa Para calcular a força usaremos a equação 1 P FA F P A Onde temos que converter a área de cm² para m² Lembrando que 1cm² 00001m² 1 10⁴m² Assim A 10cm² 10 1 10⁴m² 1 10³m² Através dessa mudança a força pode ser calculada como F P A F 2943 1 10³ 2943N Definindo esse conceito chegou a hora de você conhecer o Teorema de Stevin Vamos considerar a figura 3 que apresenta um líquido com densidade ρ Dentro desse líquido consideraremos os pontos 1 e 2 que têm uma altura em relação à superfície Desse modo usando a equação 5 para calcular as pressões nesses pontos P1 ρ g h1 P2 ρ g h2 Fazendo a subtração das equações 7 e 6 P2 P1 ρ g h ρ g h ρ g h2 h1 P2 P1 ρ g Δh Assim podemos verificar pela equação 8 que segundo o Teorema de Stevin a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de altura entre esses dois pontos Ele é chamado de atm atmosfera isto é 1 atm 1013 10⁵ Pa Veremos posteriormente como obter o valor da pressão atmosférica Voltando ao exemplo 2 a pressão no fundo do tanque vai depender da pressão atmosférica pois consideraremos que a parte superior do recipiente da figura 2 está aberta para a atmosfera Considerando a equação 8 temos P Pa ρ g h P Pa ρ g h Substituindo os valores já calculados no exemplo 2 e também o valor da pressão atmosférica temos P 1013 10⁵ 2943 1013 10⁵ 002943 10⁵ P 104243 10⁵ Pa A pressão nesse caso é chamada de pressão absoluta TIPLER 2009 A diferença P Pa é chamada de pressão manométrica A seguir você verá mais exemplos utilizando o Teorema de Stevin Exemplo 3 Você quer aprender a mergulhar com o auxílio de um aparelho chamado snorkel figura 4 Sabese que seus pulmões aguentam uma diferença de pressão de 01 10⁵ Pa Considerando que a densidade da água é de 1000 kgm³ calcule a profundidade máxima a que você poderá mergulhar Resolução utilizaremos a equação 8 sendo a profundidade expressa por Δhh P2 P1 ρ g Δh P Pa ρ g h Sendo que P Pa 01 10⁵ Pa Assim 01 10⁵ 1000 981 h h 01 10⁵ 1000 981 h 102 m Desse modo a profundidade máxima é de 102 m Exemplo 4 Na figura 5 temos um líquido dentro de um recipiente com densidade ρ 136 gcm³ Dentro desse líquido temos dois pontos A e B que têm uma diferença de altura de 10 cm Sabendo que o valor da pressão no ponto A é igual a 111 10⁵ Pa calcule o valor da pressão no ponto B Resolução considerando a equação 8 podemos calcular o valor da pressão no ponto B PB PA ρ g h Neste problema temos que transformar as unidades para o SI ρ 136 gcm³ ρ 13600 kgm³ Δh 10 cm 01 cm Considerando esses dados na equação PB 111 10⁵ 13600 981 01 PB 111 10⁵ 013 10⁵ PB 013 10⁵ 111 10⁵ PB 124 10⁵ Pa Teorema de Stevin e Lei de Pascal 12 Figura 5 Dois pontos dentro do mesmo líquido A diferença de altura entre eles é de 10cm Fonte elaborado pelo autor Um ótimo exemplo de aplicação de engenharia e tecnologia é o submarino que é uma embarcação que pode se deslocar em profundidades muito grandes nos oceanos A maioria de suas aplicações é de natureza militar contudo ele pode ser usado para pesquisas científicas e exploração de petróleo Mas como essa tecnologia pode ser empregada em águas profundas Lembrando que a pressão vai depender da profundidade isto é quanto maior a profundidade maior a pressão reflita sobre isso O artigo aqui sugerido vai auxiliar você nesse processo httpsbitly3zWsJ0Z REFLITA Você percebe quantos exemplos práticos podemos encontrar com a aplicação do Teorema de Stevin A prática nos ajuda a fixar o conteúdo aprendido Continue seus estudos relacionandoos a fatos do seu entorno Teorema de Stevin e Lei de Pascal 13 LEI DE PASCAL E O BARÔMETRO DE TORRICELLI Começaremos este tópico usando o Teorema de Stevin para explicar a Lei de Pascal Conforme a figura 6 a sabemos que a pressão a uma profundidade h do líquido vai depender de uma pressão atmosférica topo da superfície conforme apresentado na equação 8 Agora se conseguirmos aumentar a pressão no topo da superfície essa pressão será transmitida para todo o líquido Mas como podemos fazer isso Uma possibilidade é colocar um pistão no topo dessa superfície como mostra a figura 6 b Assim a Lei de Pascal afirma que o acréscimo de pressão exercido em um ponto de um líquido ideal em repouso se transmite integralmente a todos os pontos desse líquido e às paredes do recipiente que o contém JEWETT JR 2013 Figura 6 a tubo aberto sujeito à pressão atmosférica b pistão colocado no topo da superfície Fonte elaborado pelo autor Exemplo 5 A pressão no ponto 1 da figura 6 a tem valor de 2000Pa Considerando que na figura 6 b é colocado um pistão móvel com um peso de 100N sobre a superfície calcule a nova pressão no ponto 1 Resolução precisamos calcular a pressão exercida pelo pistão Para isso temos o valor da força e também da área da seção transversal Assim P F A P 100 5 10⁴ 20 10⁴ Pa O valor da pressão no ponto 1 com o pistão será P 2000 20 10⁴ 2000 200000 202000 Pa P 202 10⁵ Pa Uma das aplicações da Lei de Pascal é a prensa hidráulica apresentada na figura 7 Nessa figura há um pistão que possui uma área de seção A₁ onde é aplicada uma força F₁ que atua sobre um óleo Essa pressão aplicada é transmitida integralmente através dos tubos até um pistão maior com área A₂ JEWETT JR 2013 Igualando essas duas pressões temos F₁ A₁ F₂ A₂ Uma das aplicações desse princípio pode ser vista em postos de gasolina no serviço de troca de óleo Podemos perceber que o frentista aplica uma força em uma alavanca e faz com que o carro suba até uma determinada altura Além disso a Lei de Pascal é usada em cadeiras de dentistas macacos hidráulicos freios hidráulicos etc Teorema de Stevin e Lei de Pascal 15 No Aprofundese você pode entender melhor o funcionamento da prensa hidráulica Neste vídeo é apresentado o funcionamento de uma prensa hidráulica dispositivo que usa a Lei de Pascal Veja como é interessante Título Prensa hidráulica como funciona Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvIptyj17DhLA Acesso em 23052022 APROFUNDESE Outras aplicações desse princípio são apresentadas no infográfico 1 Teorema de Stevin e Lei de Pascal 16 Infográfico 1 Aplicações da Lei de Pascal Fonte elaborado pelo autor Um objeto que pesa 20000N é colocado em um elevador hidráulico com seção transversal de 1m² Calcule a força necessária que deve ser aplicada em uma área de seção transversal de 3 10⁴m² Resolução considerando que A₁ 310⁴m² F₂ 20000N A₂ 1m² O objetivo é calcular o valor de F₁ e para isso usaremos a equação 9 F₁ F₂ A₁A₂ F₁ F₂ A₂A₁ F₁ 20000 310⁴1 F₁ 6N Essa força é aproximadamente igual ao peso de um objeto de 600 gramas e uma força de 20000N equivale a aproximadamente o peso de um carro O objetivo é calcular o valor de F₁ Como estamos tratando de uma relação de igualdade na equação 9 não vamos precisar transformar as unidades de área F₁ F₂ A₁A₂ F₁ F₂ A₂A₁ F₁ 73575300 20 4905N Veja que a força aplicada pela dentista é bem menor que o peso do paciente Teorema de Stevin e Lei de Pascal 19 Figura 8 Experiência de Torricelli para o cálculo da pressão atmosférica Nessas condições foi verificado que o mercúrio do tubo desceu uma altura da ordem de 760mm em relação à superfície do mercúrio no recipiente Na figura 9 veja esse esquema onde pode observar que os pontos A e B estão sujeitos à mesma pressão devido ao Teorema de Stevin Lembrese de que o ponto B está sujeito à pressão atmosférica Então temos que P P A B Considerando que g 9 81m s 2 h mm m 760 0 760 Substituindo esses valores na equação 10 encontraremos Pₐ 136 10³ 981 0760 101 10⁵Pa Assim a pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 760mm de altura será de 101 10⁵Pa valor já apresentado na seção anterior Por meio desses cálculos podemos usar as seguintes unidades de pressão Pₐ 760mmHg 76cmHg Assim a pressão atmosférica ao nível do mar é igual a 760mm ou 76cm de mercúrio Teorema de Stevin e Lei de Pascal 21 EXPERIMENTO DO TEOREMA DE STEVIN Neste tópico você verá os resultados experimentais de Stevin O primeiro deles é de um recipiente preenchido por água Fazendo furos nesse recipiente podemos verificar que o alcance do jato de água depende da profundidade do orifício Quanto mais profundo o orifício maior é o alcance do jato Por que isso ocorre Esse fato é devido à maior pressão no orifício mais fundo Veja o vídeo a seguir Neste vídeo é apresentada a experiência da garrafa furada O jato de água vai depender da profundidade e também da pressão atmosférica Título Experimento da garrafa furada Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv1CD3VpnSOE Acesso em 23052022 APROFUNDESE Outro experimento interessante é o do manômetro de tubo aberto Na figura 8 é apresentado um exemplo que foi usado para calcular a pressão atmosférica Outro exemplo é o da figura 10 Figura 10 Manômetro uma das extremidades está conectada a um recipiente onde desejamos calcular a pressão A outra extremidade está aberta para a atmosfera Fonte elaborado pelo autor Esse manômetro tem o formato de U e contém um líquido geralmente água ou mercúrio Uma extremidade do tubo está conectada a um recipiente onde desejamos medir a pressão P e a outra está aberta à atmosfera sujeita à pressão HALLIDAY 2016 Observando a figura 10 vemos que a pressão na base do tubo devido ao fluido da esquerda será P1 P ρ g y1 11 A pressão na coluna da direita será calculada como P2 Pa ρ g y2 12 Considerando que as pressões na base do tubo são iguais P1 P2 P ρ g y1 Pa ρ g y2 P Pa ρ g y2 ρ g y1 P Pa ρ g y2 y1 13 Na equação a diferença entre a pressão absoluta P e a pressão atmosférica Pa é proporcional à diferença de altura entre as duas colunas do líquido Por fim um recipiente muito usado para estudar o Teorema de Stevin é o vaso comunicante Esses vasos geralmente têm o formato de U como visto na figura 11 e são usados para analisar as densidades de líquidos imiscíveis Assim na figura 11 considere dois líquidos amarelo e azul que são imiscíveis Considerando que a densidade do líquido amarelo é de 06gcm³ calcule a densidade do líquido azul Teorema de Stevin e Lei de Pascal 23 Figura 11 Dois líquidos imiscíveis colocados em um vaso comunicante Fonte elaborado pelo autor Resolução pela figura podemos verificar que a altura do líquido amarelo é de 8cm Também observamos que a partir da linha tracejada a altura do líquido azul é de 2cm Outro fator que devemos levar em consideração na figura 11 é que na linha tracejada a pressão é a mesma Desig nando o líquido amarelo como 1 e o azul como 2 teremos Considerando que as pressões são as mesmas nesses dois pontos P P 1 2 Simplificando as gravidades 1 1 2 2 h h Teorema de Stevin e Lei de Pascal 24 Substituindo os valores na equação acima Veja que com esse dispositivo podemos descobrir o valor da densidade de um líquido desconhecido Acesse na plataforma o vídeo Exercício sobre o Teorema de Stevin ASSISTA Tudo fica mais simples quando apresentado visualmente e na prática não é mesmo Pratique seus conhecimentos resolvendo outras equações em outras possibilidades com o Teorema de Stevin Considerações finais 25 Nesta unidade você estudou sobre os conceitos relacionados à pressão exercida por uma força em uma superfície Compreendeu que a pressão é diretamente proporcional à força perpendi cular à área da superfície e inversamente proporcional à área Esse conceito foi estendido para o estudo de líquidos em que pôde constatar que a pressão é dependente da profundidade o que é apresentado no Teorema de Stevin Também viu o uso do conceito de pressão para estudar a Lei de Pascal e verificou que as aplicações desse princípio são muito variadas Por fim aprendeu que o Teorema de Stevin pode ser usado em experimentos para cálculos de pressão e densidade de líquidos Aprimorese e aprofundese em seus conhecimentos cada vez mais Referências 26 BRUNETTI Franco Mecânica dos fluidos 2 ed rev São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 HALLIDAY David Fundamentos de física gravitação ondas e termodinâmica 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 2 JEWETT JR John W Física para cientistas e engenheiros oscilações ondas e termodinâmica 2 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 TIPLER Paul A Física para cientistas e engenheiros mecânica oscilações e ondas termodinâmica 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 1