Lista de Exercícios: Cálculo de Volumes por Fatiamento e Cascas Cilíndricas

Lista de exercícios Cálculo de volumes Calcule por fatiamento discos os volumes dos problemas I a IV I Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo x das regiões limitadas pelas retas e curvas aa y x y 1 x 0 3 2 resp bb x y 2 y 2 x 0 resp 2 cc y x2 1 y x 3 5 117 resp dd 2 4 x y x y 2 108 5 resp IIII DDeetteerrm miinnee oo vvoolluum mee ddoo ssóólliiddoo oobbttiiddoo ccoom m aa rroottaaççããoo ddaa rreeggiiããoo ttrriiaanngguullaarr lliim miittaaddaa ppeellaass rreettaass yy 22xx yy 00 ee xx 11 eem m ttoorrnnoo a ddaa rreettaa xx 11 3 2 resp bb ddaa rreettaa xx 22 8 3 resp IIIIII DDeetteerrm miinnee oo vvoolluum mee ddoo ssóólliiddoo oobbttiiddoo ccoom m aa rroottaaççããoo ddaa rreeggiiããoo lliim miittaaddaa ppeellaa ppaarráábboollaa yy xx 22 ee ppeellaa rreettaa yy11 eem m ttoorrnnoo aa ddaa rreettaa yy 11 16 15 resp bb ddaa rreettaa yy 22 56 15 resp cc ddaa rreettaa yy 11 64 15 resp IIVV DDeetteerrm miinnee oo vvoolluum mee ddoo ssóólliiddoo oobbttiiddoo ccoom m aa rroottaaççããoo ddaa rreeggiiããoo llooccaalliizzaaddaa nnoo pprriim meeiirroo qquuaaddrraannttee lliim miittaaddaa ssuuppeerriioorrm meennttee ppeellaa ccuurrvvaa yy xx 22 iinnffeerriioorrm meennttee ppeelloo eeiixxoo xx ee àà ddiirreeiittaa ppeellaa rreettaa xx 11 eem m ttoorrnnoo ddaa rreettaa xx 11 6 7 resp Calcule por cascas cilíndricas os volumes dos problemas V e VI V DDeetteerrm miinnee oo vvoolluum mee ddoo ssóólliiddoo oobbttiiddoo ccoom m aa rroottaaççããoo eem m ttoorrnnoo ddoo eeiixxoo xx ddaa rreeggiiããoo lliim miittaaddaa ppoorr xx 22yy yy22 ee ppeellaa rreettaa yy xx resp 6 VI DDeetteerrm miinnee oo vvoolluum mee ddoo ssóólliiddoo oobbttiiddoo ccoom m aa rroottaaççããoo ddaa rreeggiiããoo ssoom mbbrreeaaddaa eem m ttoorrnnoo ddooss eeiixxooss iinnddiiccaaddooss 11 a eixo xx 5 6 resp b reta yy 1 5 4 resp c reta yy 85 resp 2 d reta yy 25 resp 2 3 2 12 y y x 2 Arruela ou Casca para algumas regiões os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos coordenados mas nem sempre Por exemplo quando a região gira em torno do eixo y e estamos usando arruelas devemos integrar em relação a y Entretanto pode não ser possível expressar o integrando em termos de y Em casos como esse o método da casca permite integrar em relação a x em vez de y O exercício VII permite perceber isso VII Calcule o volume do sólido obtido com a rotação em torno de cada eixo coordenado da região limitada por yy x e yy x2 usando 1 o método da casca 2 o método da arruela 6 2 15 eixo y eixo x resp Calcule pelo método que preferir o volume dos sólidos abaixo obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados VIII A região limitada por x y yy 2 xx 0 em torno 1 do eixo xx resp 8 2 do eixo yy 32 15 resp 3 da reta xx 4 224 15 resp 4 da reta yy 2 8 3 resp IX A região limitada por 2 2 x x y yy xx em torno 1 do eixo yy resp 6 2 da reta xx 1 resp 6 a eixo xx 8 3 resp b reta yy 2 8 5 resp c reta yy 5 resp 8 d reta yy 58 resp 4 2 4 2 4 y y x 2 x y2