Geometria e Desenho Geométrico

Jorge Bernard Geometria e Desenho Geométrico Jorge Bernard Geometria e Desenho Geométrico Curitiba 2015 Geometria e Desenho Geométrico Jorge Bernard Ficha Catalográfica elaborada pela Fael Bibliotecária Cassiana Souza CRB91501 B519g Bernard Jorge Geometria e desenho geométrico Jorge Bernard Curitiba Fael 2015 232 p il ISBN 9788560531271 1 Geometria 2 Desenho geométrico 1 Título CDD 516 Direitos desta edição reservados à Fael É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael FAEL Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz Revisão Maria Eugênia de Carvalho e Silva Projeto Gráfico Sandro Niemicz Imagem da Capa ShutterstockcomLightspring ArteFinal Evelyn Caroline dos Santos Betim Sumário Apresentação 5 1 Conceitos Básicos de Geometria 9 2 Introdução ao Desenho Geométrico 29 3 Contrução Geométrica de Triângulos 65 4 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas 79 5 Circunferência e Suas Partes 95 6 Construção da Circunferência 105 7 Cálculo Gráfico 117 8 Área de Figuras Planas 121 9 Equivalência de Figuras Geométricas Planas 131 10 Métodos Auxiliares 139 11 Curvas 157 12 Demonstração em Geometria 171 13 Geometria Espacial e de Posição 187 14 Geometria Espacial Métrica 205 Referências 231 O objetivo deste livro é dar suporte a disciplina Geometria e Desenho Geométrico do curso de licenciatura em Matemática da FAEL Nesta publicação iremos apresentar os fundamentos da geo metria euclidiana com ênfase nas construções geométricaDentro deste contexto buscará a apresentação construção de demonstra ções básicas que permitirão uma melhor compreensão dos concei tos de Geometria Para concluir este trabalho serão apresentados conceitos da geometria espacial que possibilitam ao futuro profes Apresentação 6 Geometria e Desenho Geométrico sor alguns conceitos elementares da Álgebra Geométrica resolvendo proble mas numéricos com régua e compasso Como linguagem de comunicação e expressão a arte do desenho ante cede em muito a escrita Através de desenhos em paredes das cavernas do homem préhistórico foram gravados fatos relacionados com o cotidiano da época Não se tem registros de onde ou quando o homem formulou pela primeira vez em forma de desenho um problema que pretendia resolver Porem este fato representou um avanço significativo na capacidade de racio cínio abstrato pois este desenho representava algo que ainda não existia e que ainda viria a se concretizar Esta ferramenta foi aprimorada gradativa mente e tornouse importante para o desenvolvimento de civilizações tais como os Babilônios e os Egípcios as quais sabem ter realizado verdadeiras façanhas arquitetônicas Na Grécia onde não se hesitava em absorver conhecimentos de outras culturas surge com Euclides 300 aC em sua obra Elemen tos um modelo dedutivo da Matemática na qual a Geometria é estudada de forma bem elaborada e consistente É na Geometria grega que surge o Desenho Geométrico Em matemática são paralelas linhas retas que permanecem sempre a uma distância fixa uns dos outros independentemente do seu compri mento Este é um princípio da geometria euclidiana Algumas geome trias não euclidianas como a geometria elíptica e hiperbólica no entanto rejeitam o axioma do paralelismo euclidiano Os cinco Postulados de Euclides são 1º Dados dois pontos distintos há um único segmento de reta que os une 2º Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta 3º Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode ser construída uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada 7 Apresentação 4º Todos os ângulos retos são iguais Em especial o quinto postulado de Euclides que caracteriza a Geome tria Euclidiana 5º Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma de dois ângulos interiores de um mesmo lado seja menor que a soma de dois ângulos retos então as duas retas se cruzam quando suficien temente prolongadas do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos Este quinto postulado com redação mais longa e complexa não pare cia ser auto evidente como se desejava Durante vários séculos os mate máticos tentaram demonstrálo a partir dos postulados anteriores o que gerou provas com erros ou substituílo por outro mais simples e evidente a partir do qual o quinto postulado poderia ser deduzido Algumas formas alternativas foram i Por um ponto fora de uma reta podese passar uma única paralela à reta dada ii A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é dois retos iii Três pontos não colineares determinam um círculo A primeira alternativa surgida no século XVIII difundiuse a ponto do quinto postulado de Euclides ser conhecido como o postulado das paralelas A partir de então novas geometrias sem a dependência do quinto pos tulado sugiram como as descritas em publicações de Lobachevsky 1793 1855 e Bolyai 18021860 Estas novas geometrias permitiram Einstein formular a Teoria da Relatividade Geral As discussões no século XIX em torno do quinto postulado das geome trias euclidianas e não euclidianas e de seus fundamentos lógicos mostraram que Os elementos contêm algumas falhas lógicas De modo geral podemos dizer que o Desenho Geométrico é um capí tulo da Geometria que com o uso do compasso e da régua se propõe resolver problemas de natureza teórica e prática 8 Geometria e Desenho Geométrico Figura 1 Jardim Botânico de Curitiba Cesar Fermino Fonte FreeImagescom Em nosso estudo vamos desenvolver de forma geral o estudo da geo metria plana do desenho geométrico e da geometria espacial resolvendo problemas métricos e de construção Como ilustração a figura 1 mostra o Jardim Botânico de Curitiba onde os canteiros principais e a estufa central são exemplos de formas geométricas Jorge Bernard Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Paraná 1962 Bacharelado e Licenciatura em Matemática pela Pontifí cia Universidade Católica do Paraná 1959 e doutorado em Trait de L Inf Optique Applic a LAstronomie Uer Scientifiques Nice 1981Tem experiência na área de Matemática com enfase em Geometria atuando principalmente nos seguintes temas educacao matematica tecnologia educacional informática educativa geo metria e geometria dinâmica A matemática teve origem na necessidade do homem em compreender o mundo em que vive Com a geometria não poderia ser diferente O livro Os Elementos de Euclides de Alexandria 330 a C 260 a C deu um grande impulso ao estudo da Geometria também chamada de Geometria Euclidiana Através de seus estudos e da reunião de diversos estudos realizados anteriores sua principal obra Os Elementos apresenta de forma rigorosa e bem alicerçada com um rigor matemático até então não encon trada os conceitos da geometria Conceitos Básicos de Geometria 1 10 Geometria e Desenho Geométrico 11 A geometria plana A geometria euclidiana plana estuda as formas geométricas planas fun damentada nos conceitos primitivos de pontos de retas linhas e de planos As retas e os planos nada mais são que um conjunto de ilimitado de pontos ou seja tanto a reta quanto o plano possuem infinitos pontos Dentro deste contexto da geometria plana vamos estudar as formas geométricas planas tais como triângulos quadriláteros e outros polígonos regulares e irregulares Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições e teoremas no entanto as noções primitivas são adotadas sem definição Como podemos imaginar ou formar ideias de ponto reta e plano então serão aceitos sem definição 1 Ponto pode se entender o ponto como um lugar concebido sem extensão no espaço O ponto não tem dimensão e sua represen tação pode ser feita pela marca de uma ponta de lápis no papel Uma figura geométrica é considerada um conjunto de pontos Em Desenho Geométrico o ponto é representado pela interseção de duas pequenas linhas e nomeado por uma letra maiúscula B C 2 Reta A reta é um elemento geométrico infinito a uma dimensão A reta pode ser compreendida como o resultado do deslocamento de um ponto em uma única direção sendo que uma direção tem dois sentidos Uma reta possui infinitos pontos e é infinita nos dois sentidos ou seja não tem começo nem fim As retas são nomeadas por letras minúsculas do alfabeto latino Cabem aqui algumas considerações 2 Por um único ponto passam infinitas retas 11 Conceitos Básicos de Geometria 2 Dois pontos distintos definem uma única reta 3 Plano Um plano pode ser considerado como um conjunto infinito de retas não coincidentes paralelas e postas lado a lado Enquanto a reta possui apenas uma dimensão o comprimento o plano possui duas dimensões o comprimento e a largura Em um plano podem ser deter minadas infinitas direções e em cada uma delas dois sentidos Os pla nos são nomeados por letras minúsculas do alfabeto grego Cabem aqui algumas considerações 2 Três pontos não alinhados determinam um plano 12 Geometria e Desenho Geométrico Os pontos A B e C determinam o plano α 2 Uma reta e um ponto fora desta reta determinam um plano A reta r e o ponto P determinam o plano α 12 A reta e suas partes Uma reta é um conjunto de infinitos pontos que estão alinhados Ela é ilimitada nos dois sentidos Quando observamos duas retas em um plano duas são as posições relativas 1 Retas concorrentes Duas retas são concorrentes quando possuem um único ponto em comum r s P Um caso particular de retas concorrentes são as retas perpendiculares Elas são concorrentes e formam entre si um ângulo reto 90 Notação r s 2 Retas Paralelas Duas retas de um plano são ditas paralelas quando não se encontram mantendo entre si uma distância fixa r s p Notação r s Ao considerar um ou mais pontos é possível destacar partes da reta Vejamos 1 Semirreta um ponto divide uma reta em duas partes chamadas de semirretas A semirreta é infinita em apenas uma direção O ponto O divide a reta em duas semirretas A semirreta OA que tem origem no ponto O e se desloca na direção do ponto A e a semirreta OB que tem uma extremidade no ponto O e se desloca na direção do ponto B 2 Segmento de reta Um segmento de reta é a porção da reta limitada em duas extremidades Na figura seguinte temos a reta r e dois pontos A e B sobre a reta que determinam uma porção da reta chamada de segmento de reta Os pontos A e B são chamados de extremos do segmento Notação AB 13 14 Geometria e Desenho Geométrico Quando dois segmentos possuem a mesma medida eles são chamados de congruentes AB CD De acordo com a sua posição os segmentos de retas podem ser classifi cados ainda em segmentos consecutivos segmentos colineares ou segmentos adjacentes Dizemos que dois segmentos são consecutivos quando possuem um ponto em comum enquanto que dois segmentos são colineares quando estão sobre uma mesma reta suporte Quando dois segmentos forem conse cutivos e colineares elas são ditos adjacentes Veja os exemplos Observe que 2 AB e BC são segmentos consecutivos 2 MN e RS são segmentos colineares 2 PQ e QT são segmentos consecutivos e colineares Logo eles são segmentos adjacentes 13 Ângulos Chamamos de ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas de vértice do ângulo Na figura OA e OB são lados O é o vértice AÔB é o ângulo de vértice O e lados OA e OB Não é necessário definir qual lado é mencionado em primeiro lugar Quando estiver bem claro quais são os lados do ângulo podemos abreviar e denotar o ângulo apenas pelo seu vértice Assim na figura acima o ângulo AÔB pode ser denotado apenas por Ô Devemos observar que os lados do ângulo são semirretas e não segmentos apesar de que dois segmentos com uma extremidade em comum determinam um ângulo A unidade usual de medida de ângulo de acordo com o sistema internacional de medidas é o grau e seus submúltiplos são o minuto e o segundo Temos que 1 grau equivalente a 60 minutos e 1 equivalente a 60segundosO objeto escolar capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor 15 16 Geometria e Desenho Geométrico De acordo com suas medidas os ângulos são classificados como se segue 1 Ângulo nulo É o ângulo formado quando os dois lados são coinciden tes mede 0 A ˆOB 0 2 Ângulo reto Ângulo cuja medida é 90 A ˆOB 90 3 Ângulo raso Ângulo cuja medida é 180 ˆ AOB 180 4 Ângulo agudo Um ângulo é chamado de agudo quando sua medida esta entre 0 e 90 0 AOB 90 ˆ Ângulo obtuso Um ângulo é chamado de agudo quando sua medida esta entre 90 e 180 18 Geometria e Desenho Geométrico Deste modo dizemos que dois ângulos adjacentes quando possuírem apenas um lado e o vértice em comum não possuindo nenhum ponto em comum no seu interior Quando dois ângulos adjacentes somados resultam em 90 eles são ditos complementares enquanto que quando somados resultar em 180 eles são ditos suplementares Observe que 2 ˆ ˆ AOB BOC 90 2 Logo A ˆOB e B ˆOC são Complementares Observe que AÔB BÔC 180 Logo AÔB e BÔC são Suplementares 20 Geometria e Desenho Geométrico 2 Os ângulos A ˆOB e C ˆOD são opostos pelo vértice 2 Os ângulos A ˆOD e B ˆOC são opostos pelo vértice Um resultado muito importante pode ser demonstrado Ângulos Opostos pelo Vértice são congruentes Quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal oito ângulos são formados Neste caso é possível agrupalos dois a dois de modo a definir uma característica em comum Observe Observação r e s são retas paralelas e t uma reta transversal às retas r e s De acordo com suas localizações os ângulos são assim nomeados 2 Chamam de alternos os ângulos que estão em lados opostos em relação a transversal 2 Chamam de colaterais os ângulos que estão do mesmo lado em relação a transversal 21 Conceitos Básicos de Geometria 2 Chamam de externos os ângulos estão na parte de fora das paralelas 2 Chamam de internos os ângulos que estão entre as paralelas 2 Deste modo os pares de ângulos são assim nomeados 2 Ângulos correspondentes ocupam uma posição correspondente nas duas retas em relação à transversal Os ângulos corresponden tes são congruentes Na figura os pares de ângulos corresponden tes são  e Ê ˆB e ˆF ˆC e ˆG ˆD e ˆH 2 Ângulos alternos externos são ângulos que estão em lados opos tos em relação a transversal e na parte de fora das paralelas Os ângulos alternos externos são congruentes Na figura os pares de ângulos alternos externos são ˆA e ˆF ˆD e ˆG 2 Ângulos alternos internos são ângulos que estão em lados opos tos em relação a transversal e entre as paralelas Os ângulos alter nos internos são congruentes Na figura os pares de ângulos alter nos internos são ˆB e ˆH ˆC e Ê 2 Ângulos colaterais externos são ângulos que estão do mesmo lado em relação a transversal e na parte de fora das paralelas Os ângulos colaterais externos são suplementares Na figura os pares de ângulos colaterais externos são ˆA e ˆG ˆD e ˆF 2 Ângulos colaterais internos são ângulos que estão do mesmo lado em relação a transversal e entre as paralelas Os ângulos cola terais internos são suplementares Na figura os pares de ângulos colaterais internos são ˆB e Ê ˆC e ˆH 14 Triângulos Chamamos de triângulo a figura geométrica plana formada por três pontos não alinhados chamados de vértices que são unidos por meio de segmentos de retas chamados de lados Nos triângulos os ângulos determi nados em seus vértices por seus lados são chamados de ângulos internos do Triângulo No triângulo ABC indicado por ABC temos 22 Geometria e Desenho Geométrico AB BC e AC são os lados do triângulo A B e C são os vértices do triângulo ˆA ˆB e ˆC são os ângulos internos do triângulo Um fato importante dos triângulos deve ser destacado A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180Uma forma lúdica de mostrar este fato é fazer três triângulos de papel congruentes com medidas iguais e juntar os ângulos diferentes o resultado é que juntos estes ângulos formam um ângulo raso 180 De acordo com as medidas dos seus lados um triângulo pode ser clas sificado como equilátero isósceles ou escaleno O quadro seguinte destaca estes triângulos Triângulo Equilátero Possui os três lados com a mesma medida Triângulo Isósceles Possui dois lados com a mesma medida Triângulo escaleno Possui os três lados com medidas diferentes De acordo com as medidas dos ângulos os triângulos são classificados em acutângulo retângulo ou obtusângulo 23 Conceitos Básicos de Geometria Triângulo acutângulo Possui os três ângulos agudos menores que 90 Triângulo retângulo Possui ângulo reto mede 90 Triângulo obtusângulo Possui um ângulo obtuso maior que 90 Vamos aqui destacar alguns fatos 2 No triângulo equilátero todos os lados e todos os ângulos pos suem a mesma medida Como a soma dos ângulos internos é 180 no triângulo equilátero todos os ângulos medem 60 2 No triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa enquanto que e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos 2 Em todo triângulo a medida de um lado é menor que a soma dos outros dois esta é a chamada desigualdade triangular 24 Geometria e Desenho Geométrico AB BC AC AB AC BC AC BC AB 2 Em todo triângulo se dois lados não são congruentes então seus ângu los opostos não são iguais e o maior ângulo é oposto ao maior lado 2 Chamamos de ângulo externo de um triângulo o ângulo em um vértice formado por um lado e o prolongamento de outro lado adjacente ao vértice Um fato a destacar é que a medida do ângulo externo é igual a soma dos internos a ele não adjacentes D O ângulo A ˆCD é um ângulo externo do triângulo ABC Assim de acordo com o fato anterior ˆ ˆ ACD A ˆB 15 Quadriláteros Chamamos de quadriláteros a figura geométrica plana delimitada por quatro lados e que formam entre si quatro ângulos internos Uma impor tante característica dos quadriláteros é que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360º 25 Conceitos Básicos de Geometria Os quadriláteros são agrupados de acordo com algumas características especiais recebendo assim uma denominação especial Dois grupos especiais são formados os trapézios que possuem apenas um par de lados opostos para lelos e os paralelogramos que possuem os dois pares de lados opostos paralelos Assim podese estabelecer a seguinte classificação 151 Trapézio São quadriláteros que possuem um par de lados paralelos A esses lados dáse o nome de bases do trapézio base maior e base menor A distância que separa as duas bases medida na perpendicular a ambas designase por altura do trapézio 2 AB base maior 2 CD base menor 2 h altura De acordo com a posição dos lados não paralelos os trapézios são clas sificados em 1 Trapézio Isósceles os lados não paralelos possuem a mesma medida 2 AD BC 26 Geometria e Desenho Geométrico 2 Trapézio escaleno os lados não paralelos têm medidas diferentes 3 Trapézio retângulo possui dois ângulos adjacentes retos 152 Paralelogramos São quadriláteros cujos lados são dois a dois paralelos Uma proprie dade importante dos paralelogramos é o fato de que os lados opostos parale los são congruentes ou seja possuem a mesma medida Destacase ainda o fato de que os ângulos adjacentes são suplementares e que os ângulos opostos são congruentes Em relação às diagonais nos paralelogramos elas se inter ceptam em seus pontos médios AB CD e AD BC  C e B D  B 180 B C 180 C D 180 e  D 180 28 Geometria e Desenho Geométrico 3 Quadrado é o paralelogramo que herda do retângulo a característica de possuir todos os ângulos com a mesma medida e deste modo suas diagonais são congruentes e do losango a característica de possuir os quatro lados com o mesmo comprimento e deste modo possui a pro priedade suas diagonais são perpendiculares O desenho geométrico é uma ferramenta fundamental para a resolução de problemas e se baseia totalmente na geometria O desenho geométrico foi o alicerce para o desenvolvimento do desenho técnico Para se estudar o desenho geométrico podemos utilizar diversos métodos como dos lugares geométricos semelhan ças simetrias inversões rotações translações e outros No desenho geométrico alguns princípios básicos devem ser considerados no sentido de que seu estudo possa ser construído de forma lógica proporcionando o correto desenvolvimento do raciocínio geomé trico e gráfico Introdução ao Desenho Geométrico 2 30 Geometria e Desenho Geométrico Neste sentido destacamse os seguintes princípios 2 Princípio 1 Os instrumentos básicos do Desenho Geométrico são a régua e o compasso comum e de ponta seca sendo que no desenho geométrico escolar ainda são usados o par de esquadros e o transferi dor Com estes instrumentos podem ser executadas dentre outras as seguintes operações gráficas 2 Assinalar um ponto geométrico pela interseção de duas linhas 2 Traçar uma reta completamente arbitrária ou arbitrária passando por um ponto 2 Construir ângulos 2 Traçar uma reta por dois pontos conhecidos 2 Traçar um arco de circunferência de centro e raio arbitrários ou um deles conhecido 2 Traçar um arco de circunferência de centro e raio conhecido 2 Transportar um segmento conhecido A graduação da régua somente deve ser utilizada para colocar no papel os dados de um problema ou eventualmente para conferir uma resposta 2 Princípio 2 No desenho geométrico não é permitido fazer contas com as medidas dos dados Os resultados devem ser obtidos graficamente As considerações algébricas são permitidas na dedução e nas justifica tivas dos processos utilizados na resolução dos problemas geométricos 2 Princípio 3 As soluções obtidas à mão livre ou por tentativa e erro não devem ser consideradas pois esses meios podem levar à particula rização da solução que pode não se aplicar quando os dados do pro blema são alterados Inicialmente no desenho geométrico fazse necessário o correto uso do material Neste sentido vamos apresentar o material de desenho e seu correto uso 2 O lápis ou lapiseira Em desenho geométrico utilizaremos o lápis ou lapiseira com grafite HB para os traçados de letras contornos e 31 Introdução ao Desenho Geométrico esboços Para seu desenho ter as linhas bem definidas mantenha a grafite sempre bem apontada em forma cônica usando para isso um pedaço de lixa Quando for destacar a solução recomendase o uso da grafite 2B Ao utilizar a lapiseira apoie bem a mão sobre o papel e trace da esquerda para direita 2 A borracha Recomendase que a borracha seja macia apague com facilidade não agredindo o papel que esteja sempre limpa e seja movimentada sempre no mesmo sentido segurando a folha com a outra mão Para limpála esfreguea em um papel qualquer A borracha não deve ser lavada 2 A régua Há réguas de vários comprimentos Use uma de 20 a 30 cm de material acrílico transparente graduada em centímetros e milíme tros que tenha um corte transversal chanfrado para facilitar a leitura 32 Geometria e Desenho Geométrico 2 O transferidor De material acrílico transparente em forma de um semicírculo graduado de 0 a 180 é usado para medir e cons truir ângulos 2 Os esquadros Devem ser de material acrílico e transparente São utilizados para traçados de paralelas e de perpendiculares e para construção de ângulos Esquadro de 45º 33 Introdução ao Desenho Geométrico Esquadro de 60 2 O compasso É o instrumento usado para traçados de arcos de circunferência transporte de medidas e construções de ângulos É importante que o compasso apresente abertura firme e que a ponta de grafite esteja lixada corretamente O raio do compasso deve ser ajustado fora do desenho em resolução O giro do compasso deve ser conduzido apenas no sentido horário 21 Erros Gráficos O desenho deve ser feito com precisão e des treza no entanto o erro gráfico é inevitável Neste contexto O estudo dos erros gráficos é fundamental para que desde o início seja desenvolvido o correto hábito de desenhar de forma correta e assim alcan çar uma precisão cada vez maior na resolução gráfica dos problemas O erro gráfico relacionado à precisão é inevitá vel no entanto pode e deve ser minimizado Assim é necessário conhecer os tipos de erros suas origens e formas práticas de mini mizálos Deste modo são destacados os seguintes tipos de erros 34 Geometria e Desenho Geométrico 2 O erro gráfico linear que é a distância entre o ponto procurado e o ponto obtido graficamente 2 O erro gráfico angular que é o ângulo entre a reta procurada e a reta obtida graficamente Nos dois casos o erro linear e o erro angular podem ser classificados em dois tipos o erro parcial e o erro total O erro parcial é o erro cometido em cada operação gráfica cujas prin cipais causas são devido ao fato que a representação das linhas e pontos geométricos por meio de traços pois o ponto geométrico não tem dimensão e a linha apenas uma dimensão No entanto linhas e pontos são represen tados graficamente por meio de traços e assim estes elementos adquirem dimensão Portanto o traço utilizado na obtenção de pontos e linhas deve ser o mais estreito possível Outro fator importante são as imperfeições dos instrumentos de desenho Portanto para aproximarse mais da precisão exi gida devem ser utilizados instrumentos de desenho de melhor qualidade e grafite com dureza média O erro total é o somatório dos erros parciais obtido no final da cons trução gráfica 22 Convenções Tipo de linha Grafite Emprego Grossa HB Dados e soluções Fina H ou 2H Linhas de construção Média HB Resultados intermediários Eixos de simetria Linhas de justificação 2 Ponto Representado por letras maiúsculas 2 Reta representado por letras minúsculas 2 Segmento de reta AB ou AB 35 Introdução ao Desenho Geométrico 23 Construções Elementares Vamos apresentar as construções geométricas iniciando com as cons truções elementares 231 Retas perpendiculares 2311 Traçar a mediatriz de um segmento dado AB A Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pon tos fixos dados Para traçar a mediatriz procedemos da seguinte maneira 1º Centros em A e B traçamse arcos de raios iguais maiores que a metade de AB 2º Os pontos M e N comuns aos arcos determinam a mediatriz pedida 2 Realmente desde que M e N são equidistantes de A e de B per tencem a mediatriz de AB 2 Observação Bastaria terse MA MB e NA NB para que se determinasse a mediatriz Isso permite mediante uma mudança de abertura do compasso obter os pontos M e N em um mesmo semiplano em relação à reta que contém o segmento dado 2 Aplicação O traçado de mediatrizes permite a divisão de qual quer segmento em 2n partes iguais isto é 248163264etc 36 Geometria e Desenho Geométrico 2312 Traçar a perpendicular à reta r pelo ponto P P pertence a reta 1º Processo 1º Centro em P raio arbitrário determinamse 1 e 2 em r 2º Recaímos então no traçado da mediatriz de um segmento 2º Processo 1º Centro em P raio qualquer traçamos um arco a partir de A em r 2º Tomamos os arcos AB e BC iguais a 60 cada um fazendo as cor das iguais ao raio 3º Centros B e C com o raio anterior traçamos dois arcos que nos fornecem D PD é a perpendicular pedida 4º Realmente o arco correspondente ao ângulo central APD mede 90 37 Introdução ao Desenho Geométrico 3º Processo 1º Tomemos A qualquer fora de r e fora da perpendicular procu rada centro A tracemos a circunferência que passa por P 2º Seja B o outro ponto em que a circunferência corta r tracemos o diâmetro BD PD é a perpendicular pedida Em virtude das construções feitas o ângulo BPD resultou inscrito numa semicircunferência medindo um ângulo reto 2313 Traçar a perpendicular a reta r pelo ponto exterior à reta 38 Geometria e Desenho Geométrico 1º Centro em P constróise um arco de raio maior que a distância do ponto à reta 2º Tal arco determina em r os pontos A e B A perpendicular pedida é a mediatriz 232 Retas Paralelas 2321 Traçar a paralela à reta r pelo ponto exterior P 1º Processo 1º Centro P arco de raio arbitrário que determina A em r centro em A mesmo raio traçamos um segundo arco que nos dá B em r 2º Sobre o primeiro arco tomamos ACPB PC é a paralela pedida Real mente a construção assegura a igualdade dos ângulos PAB e APC que sendo ângulos alternos internos permite escrever que PCr 2º Processo 39 Introdução ao Desenho Geométrico 1º Centro P arco de raio qualquer que determina A em r 2º Centro em A mesmo raio determinase B também em r 3º Centro em B mesmo raio determinase C no 1arco traçado PC é a paralela pedida porque o quadrilátero PABC em virtude da construção feita é losango tendo portanto lados opostos paralelos 2322 Traçar uma paralela à reta r à distância d da reta 1º Constróise uma perpendicular à reta dada 2º Sobre essa perpendicular a partir de r marcamos a distância d obtendo um ponto exterior à reta r 3º Pelo ponto assim obtido constróise a paralela à r resolvendo o problema 24 Construções Fundamentais 241 Construções Fundamentais Ângulos 2411 Construir um ângulo igual ao ângulo m transportar o ângulo m 40 Geometria e Desenho Geométrico 1º Constróise a semirreta Oa 2º Centros no vértice do ângulo e em O constroemse arcos de mesmo raio 3º A partir da semirreta tomase uma corda igual a corda do arco compreendido entre os lados do ângulo m unindose o ponto assim obtido ao ponto O temse o ângulo igual a m Realmente tais ângulos centrais compreendem arcos iguais em circun ferências de mesmo raio logo são iguais Consequência Podemos efetuar agora facilmente soma ou diferença de ângulos ou ainda a multiplicação de um ângulo por um numero inteiro 2412 Construir a bissetriz do ângulo aÔb 1 o vértice O do ângulo pode ser utilizado 1º Centro O raio qualquer achamos A e B sobre os lados do ângulo centro em A e B raio maior que AB2 achamos Om que é a bissetriz pedida 2º Realmente no triângulo isósceles AOB AOOB a mediatriz de AB é bissetriz do ângulo oposto a esse lado 41 Introdução ao Desenho Geométrico 2 o vértice não pode ser utilizado 1 processo 1º Constróise uma secante s 2º Trançamse as bissetrizes dos quatro ângulos internos aí exis tentes tal bissetriz encontrase duas a duas em M e N MN é a bissetriz pedida Porque tanto M como N são pontos equidistantes das retas a e b determinando portanto a bissetriz do ângulo por elas formado 2 processo 42 Geometria e Desenho Geométrico 1º Tomese P qualquer em uma das retas em a por exemplo 2º Centro P um arco de raio qualquer que nos dá A e B em cada uma das retas respectivamente 3º Centro B mesmo raio temse C na reta b centro C mesmo raio temse D no arco AB 4º A reta AD determina E em b 5º A mediatriz MN de AE é a bissetriz procurada porque o triângulo OAE O é o vértice inacessível é em virtude da construção feita isósceles OEDA Consequência divisão de qualquer ângulo em 2n partes iguais 2413 Dividir um ângulo reto em três partes iguais trissecção do ângulo reto 1º Centro O raio OY qualquer determinamos o arco XY em AO e OB 2º Respectivamente com mesmo raio centros X e Y determinamos C e D no arco XY 3º As semirretas OC e OD efetuam a divisão pedida 43 Introdução ao Desenho Geométrico Um importante fato deve ser destacado Toda corda igual ao raio sub tende um arco de 60 Não é possível dividir um ângulo qualquer em três partes iguais de forma exata trissecção de um ângulo qualquer A conchóide de Nicomedes é uma curva criada na antiguidade para resolver o problema da trissecção de um ângulo mas existem ressalvas geométricas Podemos utilizar um traçado aproximado Centro em V e raio DV traçamos uma circunferência de raio r Na bissetriz do ângulo AVB marcamos o ponto E sendo VE2r Os segmen tos CE e DE interceptam a circunferência nos pontos aproximados 242 Construções Fundamentais Circunferência 2421 Traçar a circunferência determinada pelos pontos A B e C 44 Geometria e Desenho Geométrico 1º Podemos traçar três cordas da circunferência AB BC e AC 2º As mediatrizes de duas dessas três cordas nos dão o centro da curva Realmente a mediatriz de qualquer corda de uma circunferência passa pelo centro 2422 Determinar restabelecer o centro de um arco É uma aplicação imediata do problema anterior 2423 Obter o raio de uma circunferência dada sem determinar seu centro 45 Introdução ao Desenho Geométrico 1º Tomese O na circunferência dada o arco de centro O e raio qualquer corta a circunferência em A e B 2º Centro em B mesmo raio do arco anterior temse C naquele arco a reta AC determina D na circunferência dada 3º O raio procurado é igual a BD 243 Tangentes 2431 Traçar a tangente a uma circunferência dada por um ponto T da curva 1 Com auxilio do centro 1º Constróise o raio OT 2º A tangente t é a perpendicular ao raio OT no ponto T Atendemse a propriedade fundamental da tangente Uma observação o raio OT é anormal à circunferência no ponto T Sabese que a normal anormal a uma curva em um ponto dado é a per pendicular a tangente no ponto considerado 46 Geometria e Desenho Geométrico 2 Sem auxílio do centro 1º Tomemos na circunferência A e B tais que TA TB 2º Assim a mediatriz de AB passa por T 3º Obtemos a tangente t traçando por T a paralela a AB ou A perpen dicular a mediatriz de AB 2432 Traçar as tangentes a uma circunferência paralelas a uma reta dada r 1º caso com auxílio do centro 47 Introdução ao Desenho Geométrico 1º Pelo ponto O constróise a perpendicular à reta r 2º Os extremos T1 e T2 do diâmetro assim obtidos são os pontos de tangência das soluções procuradas 3º Recaímos então no problema anterior 2º caso sem auxílio do centro 1º Constróise uma corda AB paralela à reta r 2º A mediatriz de AB determina na circunferência T1 e T2 pontos de tangência das soluções procuradas daí em diante o problema é bastante simples 2433 Traçar tangentes à circunferência dada a seguir que façam ângulos iguais a m com reta s Este problema depende totalmente do anterior 48 Geometria e Desenho Geométrico 2434 Traçar as tangentes à circunferência dada a seguir pelo ponto exterior P 1º Constróise OP 2º Em seguida a circunferência de diâmetro OP 3º Os pontos T1 e T2 em que a circunferência auxiliar de centro O corta a são os pontos em que as tangentes pedidas tocam a circunferência dada porque os ângulos PT1 O e PT2 O inscritos nos semicírculos são retos 244 Linhas ou Segmentos Proporcionais 2441Dividir o segmento AB em n partes iguais Seja n5 A B 1º Sobre uma semirreta de origem A tomamos n segmentos unitários no caso 5 segmentos iguais a partir de A 2º Unimos o último ponto V ao extremo B e pelos demais pontos traçamse paralelas que fazem a divisão pedida 49 Introdução ao Desenho Geométrico 2442 Dividir o segmento AB em partes diretamente proporcionais a números ou segmentos dados 1º Como no problema anterior segmento em partes iguais é o feixe de paralelas que se utiliza para a resolução da questão 2º Basta tomar a semirreta auxiliar AE e marcar sobre A mesma os segmentos AC CD e DE e proceder como na divisão em partes iguais 2443 Dividir um segmento AB em m partes iguais Seja n5 Traçando pelos pontos extremos A e B duas paralelas e marcando n 1 pontos em sentido contrário em uma reta e outra temos a solução 50 Geometria e Desenho Geométrico 2444 Construir uma escala triangular para a divisão de segmentos em n partes iguais Seja dividir os segmentos AB CD e EF em seis partes iguais 1º Tomamos sobre uma reta sucessivamente 6 segmentos unitários XY 6u 2º Construímos o triângulo equilátero XYZ e unimos o vértice Z aos pontos de divisão do lado XY está construída a escala triangular para a divisão de segmentos em 6 partes iguais 3º Para dividir o segmento AB por exemplo centro em Z raio igual a AB traçamos um arco que determina A1 e B1 em XY eYZ res pectivamente O segmento A1 B1 é igual ao segmento AB e fica dividido em 6 partes iguais pelas semirretas de origem Z e que pas sam pelos pontos de divisão de XY idem para outros segmentos 51 Introdução ao Desenho Geométrico 4º Devemos construir uma escala compatível com a utilização que ela deve ter em função do espaço disponível no desenho A escala triangular é utilizada para dividir muitos segmentos na mesma proporção Podemos dividir segmentos em partes diretamente proporcio nais a números dados com auxílio da escala triangular Por exemplo sejam os segmentos AB25 CD4cm EF6cm É apenas uma generalização do caso anterior 2445 Dividir o segmento AB numa razão K 1º caso K0 seja K25 1º Sendo K0 o pronto procurado é interior 2º Tracemos por A e por B semirretas paralelas e de sentidos opostos sobre elas façamos respectivamente AC2u e BC5u 3º A reta CC determina em AB o ponto pedido P A semelhança dos triângulos APC e BPC justifica o procedimento 52 Geometria e Desenho Geométrico 2º caso K0 seja K 52 1º Sendo K0 o ponto procurado é exterior 2º Traçamos por A e por B semirretas paralelas e de mesmo sentido daí em diante repetimos as operações do caso anterior 2446 Dividir harmonicamente um segmento AB numa razão dada seja K37 53 Introdução ao Desenho Geométrico Devemos achar dois pontos P e Q tais que PAPBK e QA QBK37 resolvemos pois o 1º e 2º casos do item anterior deter minando P e Q 2447 Dividir um segmento AB em média e extrema razão isto é achar o segmento áureo de AB ou ainda fazer a divisão áurea de AB Devese achar o ponto P em AB tal que AB AP APPB ou AP²ABPB 1º Determinamos M ponto médio de AB 2º Traçamos por B a perpendicular a AB 3º Em B tomamos OBMBAB2 4º Construímos a circunferência OOB e a reta OA que determina o diâmetro CD tomamos finalmente em AB APAC realmente a construção da AB²ADxAC mas ADACCD ACAP e CDAB donde 2 AB²ACCDAC ou AB²APABAP AB²AP²ABxAP 2 AB²ABxAP AP²AP²ABABAP AP²ABxPB 2 Analiticamente temos axxax x² aax x² a² ax x² ax a² 0 2 O valor aproximado do segmento áureo é 0618a 54 Geometria e Desenho Geométrico 2448 Dado AP segmento áureo de AB achar o segmento AB 1º Determinamos M ponto médio de AP 2º Traçamos por P a perpendicular a AP 3º Em P tomamos OPMPAP2 4º Construímos OOP e a reta OA que determina o diâmetro CD 5º Tomamos finalmente no suporte de AP ABAD Procure como exercício justificar a construção Compare com a reso lução do problema anterior as proposições utilizadas são as mesmas 2449 Determinar a quarta proporcional a três segmentos dados a b e c nesta ordem 55 Introdução ao Desenho Geométrico 1º Constróise um ângulo qualquer de vértice em O 2º Em um dos lados tomamos AOa ABb sobre o outro lado fazemos OCc 3º Constróise a reta AC e por B a paralela a AC 4º Essa última reta determina X no outro lado do ângulo tal que CXx é o segmento procurado Ora sabese que um feixe de paralelas determina sobre duas transver sais segmentos diretamente proporcionais isto justifica a construção feita e permite que os segmentos sejam dispostos de várias maneiras Tente resolver a questão adotando disposição diferente da utilizada acima Lembrar que é sempre abcx 24410 Determinar a 3ª proporcional a dois segmentos dados a e b nesta ordem Atendendo a condição abbx O segmento da medida x pode ser determinado repetindose as opera ções do problema anterior 56 Geometria e Desenho Geométrico 24411 Determinar a média proporcional ou a média geométrica entre os segmentos p e q Sabese que procuramos em segmento x tal que pxxq ou x²pq ou ainda x pq As relações métricas no triângulo retângulo fornecemnos dois proces sos para a resolução da questão 1º processo AHx 1º Somamos os segmentos dados fazendo BHq e HCp 2º Determinamos O ponto médio de BC para construirmos a semi circunferência de diâmetro BC 3º Por H construímos a perpendicular a BC que nos dá A na curva 4º AHx é a solução ABC inscrito em um semicírculo e retângulo e AH altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projeções BHq e HCp dos catetos sobre a hipotenusa 5º Observe que os três segmentos envolvidos no problema pq e x têm extremo comum H isso ajudará a evitar erros 57 Introdução ao Desenho Geométrico 2º processo 1º Subtraímos os segmentos fazendo BCp e BHq tomados no mesmo sentido 2º Determinamos O ponto médio de BC e construímos a circunferência de diâmetro BC 3º Por H traçamos AH perpendicular a BC 4º ABx é a solução Realmente o triângulo ABC inscrito em semi círculo é retângulo e AB cateto é média geométrica entre a hipo tenusa BCp e sua projeção sobre ela BHq Observe que também aqui os segmentos p q e x têm o extremo comum B Dentre as inúmeras aplicações da Média Geométrica há uma a seguir que vem completar o problema anterior das tangentes à circunferência dada pelo ponto exterior P 24412 Traçar as tangentes a uma circunferência c por um ponto exterior P sem utilizar o centro utilizando a média geométrica 1º Por P constróise uma secante qualquer que corta a circunferência em A e B 2º Determinase A média geométrica entre PA e PB 2º processo por causa da posição dos segmentos seja PT essa média 58 Geometria e Desenho Geométrico 3º Centro P e raio PT determinamos na circunferência T1 e T2 pon tos de tangência das duas soluções Realmente o segmento de tan gente PT1 ou PT2 é média geométrica entre as distâncias de P aos pontos em que a secante intercepta a circunferência PA e PB Observamos que PT²PT²1PT²2PAPB exprime a potência de P em relação ao círculo dado 24413 Determinar a média aritmética entre os segmentos p e q Sabendose que Mapqpq2 a solução é imediata somamse os segmentos e determinase que também se pode escrever Ma pq p q 2 q Desde que pq podemos obter Ma a partir da diferença entre p e q 24414 Obter o inverso de um segmento dado m segundo a unidade u 59 Introdução ao Desenho Geométrico Sobre uma reta s tomemos BHm Fazemos AHu perpendicular a BH A mediatriz de AB determina o ponto O em BH Com OCOB obte mos C em s O segmento HCx é o segmento pedido ou seja xum Real mente no triângulo retângulo ABC temos u²mx ou xu²m1²m1m 24415 Obter a potência de um ponto P em relação a uma circunferência Cm dada 1 Ponto externo à circunferência 2 Ponto interno à circunferência 60 Geometria e Desenho Geométrico Para o mesmo par invariante pontocircunferência o produto PAPB não depende da secante que se traça pelo ponto pois qualquer que seja a secante escolhida este produto é igual ao valor constante PAPB ou seja PAPB PAPB Se a reta conduzida pelo ponto externo P for tangente à circunferência no ponto T a potência será igual a PTPTPT² A demons tração pode ser feita a partir dos ângulos inscritos na circunferência 25 Lugares Geométricos O método mais empregado para a resolução de problemas de geometria é o método dos lugares geométricos Este método consiste em encontrar um ponto que satisfaça a duas condições do problema Existem muitos lugares geométricos mas neste estudo vamos nos limitar aos principais 2 O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r 2 O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de dois pontos fixos A e B do plano é a mediatriz do segmento AB 2 O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância dada d de uma reta r do plano são duas retas paralelas à reta situ adas a uma distância d de r 2 O lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de duas retas concorrentes r e s do plano são duas retas perpendiculares entre si bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas 2 O lugar geométrico dos vértices de ângulos iguais Cujos lados passam por dois pontos fixos AB dados são dois arcos simétri cos em relação ao segmento AB denominados arco capaz de um ângulo dado em relação à corda AB 2 O lugar geométrico do conjunto de pontos do plano pontos médios das cordas determinados em uma circunferência de centro O cujas retas suporte passem por um ponto P é uma circunferên cia cujo diâmetro é o segmento de extremidades O e P Vamos agora obter alguns lugares geométricos por meio de construções 61 Introdução ao Desenho Geométrico 251 Obter o arco capaz do ângulo dado m tendo o segmento AB como corda Pela extremidade A do segmento AB transferimos o ângulo m e traça mos por A uma perpendicular ao lado do ângulo até encontrara media triz de AB em O centro do arco capaz 252 Obter o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a dois pontos fixos do plano estão numa razão dada 62 Geometria e Desenho Geométrico A solução é a circunferência Círculo de Apolônio de Perga de diâme tro igual à distância entre os conjugados harmônicos dos pontos dados na razão dada Seja o exemplo da figura 41 onde são dados o segmento AB e a razão 25 Para qualquer ponto R situado no círculo de Apolô nio teremos RARB25 253 Obter o lugar geométrico dos pontos do plano de igual potência ou equipotentes em relação a duas circunferências dadas A solução é uma perpendicular à linha dos centros das circunferências dadas denominada Eixo Radical No caso de três circunferências o encontro de dois eixos radicais dará o centro radical As tangentes às circunferências tra çadas de um ponto qualquer do eixo radical tem o mesmo comprimento 63 Introdução ao Desenho Geométrico Dadas três circunferências de centros A B e C encontrar um ponto de onde as tangentes às circunferências tenham o mesmo comprimento O ponto P procurado é o centro radical A circunferência de centro em P e raio r é ortogonal as circunferências dadas 254 Obter uma reta s lugar geométrico dos centros das circunferências que determinam diâmetros em duas circunferências dadas A solução é uma reta perpendicular a AB e simétrica do eixo radical em relação ao ponto médio de AB A construção de triângulos é uma das partes mais importantes para o estudo da geometria plana e para desenvolver o raciocínio gráfico na resolução de problemas Na resolução de problemas de geometria plana de outras figuras muitas vezes dividimos em triângulos para con seguir obter os resultados A forma e a dimensão de um triângulo ficam determinadas quando se conhecem as medidas de três elementos do triângulo podendo ser lados ângulos medianas alturas perímetro raio da circunferência inscrita ou circunscrita desde que ao menos um desses elementos conhecidos seja uma medida de comprimento Pode mos afirmar que um triângulo fica definido quando se conhecem os três lados Sabendo que o triângulo é equilátero retângulo ou isósceles basta fornecer um elemento para definilo Para construir um triângulo de lados abc a soma de dois lados deve ser maior que o terceiro lado a b c e a diferença deve ser menor que o terceiro lado a b c Contrução Geométrica de Triângulos 3 Letras maiúsculas A B C Vértices do triângulo Letras minúsculas a b c Lados respectivamente opostos aos vértices α β γ ou â 𝓑 𝓒 ângulos internos dos vértices A B C A mediana é definida pelo segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto As medianas de um triângulo concorrem em um só ponto G denominado baricentro ou centro de gravidade do triângulo O ponto G divide as medianas na proporção de 13 até a base e 23 até o vértice 67 Contrução Geométrica de Triângulos As mediatrizes dos lados concorrem em um só ponto O circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita no triângulo As projeções ortogonais dos vértices sobre os lados opostos do tri ângulo determinam as alturas do triângulo As alturas de um triângulo concorrem em um só ponto H denominado ortocentro Utilizamos a letra h para indicar a altura porque altura em francês é hauteur O triângulo de vértices Ha Hb e Hc é o triângulo órtico do triângulo ABC Os lados do triângulo ABC são bissetrizes dos lados do triângulo órtico O triângulo de perímetro mínimo inscrito no triângulo acutângulo ABC é o triângulo órtico de ABC 68 Geometria e Desenho Geométrico As bissetrizes internas do triângulo concorrem em um só ponto I deno minado incentro do triângulo ou centro da circunferência inscrita no tri ângulo As bissetrizes internas concorrem com as bissetrizes externas nos pontos Ia Ib e Ic denominados exincentros O baricentro G e o incentro I permanecem sempre no interior do tri ângulo enquanto o ortocentro H e o circuncentro O podem ser interiores ou exteriores Vamos apresentar algumas construções de triângulos 1 Construir um triângulo dados os comprimentos dos três lados 69 Contrução Geométrica de Triângulos 2 Construir um triângulo dados os comprimentos de dois ângulos e o valor do lado compreendido 3 Construir um triângulo dados os comprimentos de dois lados e o valor do ângulo compreendido 70 Geometria e Desenho Geométrico 4 Construir um triângulo dados dois ângulos e uma altura ha a altura correspondente a um dos lados conhecidos Duas soluções 5 Construir um triângulo dados dois lados e uma mediana 71 Contrução Geométrica de Triângulos 6 Construir um triângulo ABC dados o raio do círculo circunscrito R um lado a e uma altura ha correspondente ao lado a 1º Traçar uma circunferência de raio R e por um ponto B da curva traçar uma corda BCa 2º Traçar BDh numa perpendicular ao lado a e pelo ponto D uma paralela ao lado a encontrando o vértice A 7 Construir um triângulo ABC dados o raio do círculo circunscrito um lado e uma altura hb correspondente a um dos lados desconhecidos 1º Descrever com o raio dado uma circunferência de centro O 72 Geometria e Desenho Geométrico 2º Tomar um ponto B qualquer na curva e com raio igual ao lado conhecido a marcar o ponto C traçando BC 3º Centro em B e raio igual a altura dada traçar o arco DE 4º Traçar a partir de C pelo ponto T uma tangente ao arco DE prolongandoa até encontrar a circunferência no ponto A 8 Construir um triângulo HJK conhecendose as três medianas HB JD e KB 1º Traçar um triângulo GHJ cujos lados sejam respectivamente iguais a 23 de cada mediana 2º O simétrico de G em relação ao ponto B médio de JH é o ponto I baricentro do triângulo HJK Voltando a relação 23 e 13 construímos o triângulo 9 Construir um triângulo ABC dados dois lados e o ângulo oposto a um deles 73 Contrução Geométrica de Triângulos 1º Traçamos o segmento a e transferimos o ângulo γ 2º Centro em B e abertura do compasso igual a c encontramos A1 e A2 que nos dão duas soluções do problema 10 Construir um triângulo ABC dados a base a a altura ha e o ângulo oposto à base dada α Utilizamos o arco capaz de um ângulo dado e obtemos a solução 11 Construir um triângulo ABC dados dois ângulos e o lado oposto 74 Geometria e Desenho Geométrico 1º Nas extremidades de um segmento AB1sendo B1 arbitrário cons truímos os ângulos dados 2º Tomar ACb e pelo ponto C traçar uma paralela ao lado C1B1 obtendo o ponto B 12 Construir um triângulo dados dois lados e a mediana relativa ao ter ceiro lado Sejam dados os lados a e b e a mediana relativa ao lado c Sabemos que três elementos definem o triângulo 1º Centro em C traçamos um arco de raio b e pelo ponto médio de BC um arco de raio b2 pois sabemos que a mediana é a metade do lado 2º Centro em C traçamos um arco de circunferência de raio igual à mediana dada mc que encontra a circunferência de raio b2 no ponto Mc que resolve o problema 13 Construir um triângulo ABC equilátero conhecendo a altura h 75 Contrução Geométrica de Triângulos 1º Sobre XY marcar um ponto arbitrário A Fazer centro neste ponto e traçar um ângulo de 60 em seguida a bissetriz 2º Sobre a bissetriz marcar ADh e por D uma perpendicular a AD define o triângulo pedido 14 Construir um triângulo ABC isósceles conhecendose a base e o raio do círculo nele inscrito 1º Traçar IJ igual a base dada e traçar a mediatriz da base 2º Com raio r obter o ponto O a partir da base e traçar o círculo de raio r 3º Centro em J e em I traçar as tangentes à circunferência de centro O 15 Construir um triângulo dadas as três alturas ha hb e hc 76 Geometria e Desenho Geométrico 1º A área S de um triângulo é a metade do produto da sua base pela altura e podemos escrever 2S aha bhb chc ou seja que as alturas são inversamente proporcionais aos lados correspondentes 2º Utilizando uma circunferência arbitrária de centro O encontramos três segmentos a b e c inversamente proporcionais às alturas dadas 3º Na sequência constróise o triângulo de lados a b e c que é semelhante ao triângulo pedido e conhecendo a altura ha traça mos este triângulo 16 Construir um triângulo dados a altura relativa ao lado a ha a mediana relativa ao lado a ma e o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo 17 Construir um triângulo dado um lado a o raio da circunferência ins crita r e o raio da circunferência circunscrita R 77 Contrução Geométrica de Triângulos Traçamos a circunferência circunscrita de raio R e construímos o lado a BC Traçamos uma paralela à BC a uma distância r até encontrar o arco BC de centro em D Por este ponto traçamos a circunferência inscrita Pelos pontos B e C traçamos tangentes à circunferência inscrita e temos o triângulo ABC 18 Dado um triângulo ABC construir a reta de Euler A reta de Euler é a reta que contém o baricentro G o ortocentro H e o circuncentro O A distância GH2GO 19 Dado um triângulo ABC construir a reta de Simson 78 Geometria e Desenho Geométrico 20 Encontrar um ponto P cuja soma das distâncias aos vértices A B e C de um triângulo acutângulo seja mínima Nos lados do triângulo dado construímos triângulos equiláteros cujos vértices unidos aos vértices dados se interceptam em P 21 Construir um triângulo de perímetro MN 2p dado sabendo que os lados são proporcionais aos números 6 5 e 7 Estabelecer uma relação entre figuras pode ser muito útil na resolução de problemas matemáticos Nesta unidade vamos estabelecer a semelhança entre figuras No caso particular do tri ângulo vamos ver além da semelhança a congruência que é nada mais do que uma semelhança de razão 1 Na Matemática é a Geometria que trata da semelhança de figuras de mesma forma Uma ampliação uma redução e até uma congruência de figuras são exemplos claros de semelhança Para que duas ou mais figuras sejam semelhantes duas condições são necessárias Os ângulos cor respondentes devem ser iguais Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas 4 80 Geometria e Desenho Geométrico Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes desta camse os círculos e os quadrados Devese observar que nem sempre são seme lhantes os triângulos e os retângulos Dentre os sólidos geométricos todos os cubos e todas as esferas são semelhantes entre si enquanto que os cones e os paralelogramos por exemplo nem sempre são semelhantes entre si 41 Polígonos Semelhantes Se dois polígonos possuem o mesmo número de lados podese estabe lecer uma correspondência entre seus vértices A E C D B K P M N L Observe que existe uma correspondência entre os dois polígonos Pentágono ABCDE Pentágono KLMNP ˆ ˆ A K ˆ ˆ B L ˆ ˆ C M ˆ ˆ D N ˆ ˆ E P AB KL BC LM CD MN DE NP AE KP Dois polígonos são ditos semelhantes se existe ao menos uma corres pondência entre seus vértices que estabeleça 2 Ângulos correspondentes congruentes 2 Lados correspondentes proporcionais 81 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas Assim na figura dizemos que os pentágonos são semelhantes e indica mos ABCDE KLMNP quando 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A K B L C M D N e E P 2 AB BC CD DE AE k KL LM MN NP KP No caso particular de triângulos a semelhança é um importante instru mento de cálculo além de ser uma importante ferramenta de demonstração Diferente dos demais polígonos a semelhança de triângulos pode ser obtida sem que seja necessária a verificação de todas as igualdades A semelhança de triângulos pode ser definida do seguinte modo Definição Dados dois triângulos ΔABC e ΔDEF dizemos que estes são semelhantes se e somente se estes são formados pelos mesmos ângulos internos Observado isso podemos afirmar ainda que AB BC AC k DE EF DF onde k é chamado razão de semelhança Inicialmente vamos conceituar os casos de Congruência de Triângulos que ocorre quando a razão de semelhança é k 1 A congruência de dois tri ângulos ocorre quando eles têm lados correspondentes com mesmas medidas e ângulos internos correspondentes de mesmas medidas Ou seja quando superpostos confundemse num único desses triângulos A congruência pode ser caracterizada quando três medidas iguais são conhe cidas Quando queremos mostrar que dois triângulos são congruentes basta mos trar que eles se enquadram em um dos casos dados pela ordem na qual estão os elementos de mesma medida Estes são os casos de congruências de triângulos 1º caso lado lado lado LLL Se dois triângulos têm os lados cor respondentes congruentes mesmas medidas então eles são congruentes B A D C E F 82 Geometria e Desenho Geométrico A D AB DE BC EF B E AC DF C F 2º caso lado ângulo lado LAL Se em dois triângulos dois lados de um deles têm a mesma medida que dois lados do outro e os ângu los que eles formam também têm as mesmas medidas então eles são congruentes B A D C E F AB DE BC EF A D B E AC DF C F 3º caso ângulo lado ângulo ALA Se dois triângulos têm dois ângulos de um deles com as mesmas medidas de dois do outro e o lado entre eles também têm a mesma medida então eles são congruentes B A D C E F 83 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas B E A D BC EF AB DE AC DF C F 4º caso lado ângulo adjacente ângulo oposto LAAo Se dois tri ângulos têm um lado um ângulo adjacente ao lado e o ângulo oposto a este lado congruentes então estes triângulos são congruentes B A D C E F BC EF B E C F AB DE AC DF A D Observe que estes dois últimos casos podem ser resumidos em um único pois se um triângulo tem dois de seus ângulos internos de mesma medida o terceiro ângulo também terá a mesma medida pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 Estes casos facilitam a demonstração da congruência entre triângulos quando há dados suficientes que permitem mostrar que um desses casos está ocorrendo no problema No caso da semelhança uma referência importante a se observar é o Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais divide as mesmas em segmentos proporcionais 84 Geometria e Desenho Geométrico E D C B A F AB DE BC EF Como consequência deste teorema temos as semelhanças entre triân gulos Dois triângulos são semelhantes se possuem os ângulos internos cor respondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais D A B E F C A D B E C F e AB BC AC k DE EF DF Assim como na congruência os triângulos também possuem os casos de semelhança onde conhecidos alguns elementos podemse concluir os demais Os casos de semelhança de triângulos são 1º caso ângulo ângulo AA Se um triângulo possui dois ângulos cor respondentes então eles são semelhantes 85 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas D A B E F C C F A D AB BC AC k B E DE EF DF 2º caso lado ângulo lado LAL Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos seus correspondentes do outro e os ângulos por eles formados são congruentes então eles são semelhantes D A B E F C A D B E C F AB BC AC k k DE EF DF 86 Geometria e Desenho Geométrico 22 3º caso lado lado lado LLL Se os três lados de um triângulo são proporcionais aos seus correspondentes do outro então os triângu los são semelhantes D A B E F C A D AB BC AC k B E DE EF DF C F Cabe salientar que o uso destes casos é importante para demonstrar teo remas e propriedades quando possível desenvolvendo a capacidade de argu mentar com bases sólidas tanto num problema de geometria como numa situação do cotidiano Além disso será mais fácil planejar escolher e organi zar quais definições e propriedades deve escolher para atingir o objetivo na demonstração ou na justificação de uma afirmação 42 Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo Uma importante consequência da semelhança de triângulos e do Teo rema de Tales é o Teorema de Pitágoras Observe o triângulo retângulo ABC na figura seguinte 87 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas Nesta figura temos 2 a é a medida da hipotenusa lado oposto ao ângulo reto ou maior lado do triângulo 2 b e c são as medidas dos catetos lados que formam o ângulo reto 2 m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa 2 n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa 2 h é a altura que tem como base a hipotenusa Observe que a altura divide o triângulo ABC em dois triângulos ΔHBA e ΔHAC semelhantes ao triângulo ABC e semelhantes entre si A B C H c b n m h h H A 2 Da semelhança ABC HBA temos a c b c n h 2 Da semelhança ABC HAC temos a b c b m h 2 Da semelhança HBA HAC temos c h n b m h 88 Geometria e Desenho Geométrico Destas proporcionalidades podemos estabelecer as relações métricas nos triângulos retângulos 1º O quadrado de um cateto é igual ao produto de sua projeção com a hipotenusa 2 2 b am c an 2º O quadrado da altura é igual ao produto entre as projeções h2 mn 3º O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura bc ah 4º Teorema de Pitágoras A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa 2 2 2 b c a A demonstração do teorema de Pitágoras é bastante simples Basta fazer a soma das primeiras relações e observar que a medida da hipotenusa é igual à soma das medidas das projeções dos catetos 2 2 2 b c am an a m n aa a Um fato importante a se destacar é que para calcular um dos elementos do triângulo retângulo através de uma única relação devemos utilizar aquela em que só desconhecemos o valor desejado No entanto se não conhecemos mais algum elemento devemos primeiro determinar estes valores através de outras relações ou montar um sistema através do qual seja possível calcular o valor desejado No Triângulo Retângulo são definidas para cada ângulo agudo seis razões trigonométricas Três principais chamadas de seno cosseno e tangente e três razões inversas conhecidas como cossecante secante e cotangente Em relação ao ângulo θ temos 89 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas Dado um ângulo agudo θ em um triângulo retângulo definimos 1 Razão trigonométrica 2 θ senθ cateto oposto ao angulo Hipotenusa 2 θ cosθ cateto adjacente ao ângulo Hipotenusa 2 θ θ θ cateto oposto ao angulo tg cateto adjacente ao angulo 2 Razão trigonométrica inversa 2 θ θ Hipotenusa cossec cateto oposto ao ângulo 2 Hipotenusa sec θ cateto adjacente ao ângulo θ 2 θ cotgθ cateto adjacente ao ângulo cateto oposto ao ângulo A representação seguinte justifica as definições das Razões trigonométricas Consideramos um ângulo AÔBθ com 0θ90 e traçamos a partir dos pontos A₁ A₂ A₃ perpendiculares à semirreta OA que interceptam a semireta OB em B₁ B₂ B₃ Os triângulos assim formados OA₁B₁ OA₂B₂ OA₃B₃ são semelhantes por possuírem os mesmos ângulos Assim temos as seguintes razões A₁B₁OB₁ A₂B₂OB₂ A₃B₃OB₃ Cateto OpostoHipotenusa Esta razão chamamos de seno e indicamos senθ Cateto OpostoHipotenusa A partir destas razões algumas relações importantes podem ser obtidas 91 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas 1 Considerando um triângulo retângulo ABC retângulo em  temos que 1º θ θ 2 2 sen cos 1 Demonstração Das razões trigonométricas temos que θ θ b c sen e cos a a No entanto θ θ 2 2 2 2 2 2 2 b c b c sen cos a a a Mas por Pitágoras temos que 2 2 2 b c a Logo θ θ 2 2 2 2 2 2 2 b c a sen cos 1 a a Assim θ θ 2 2 sen cos 1 2º θ θ θ sen tg cos Demonstração Das razões trigonométricas temos que θ θ θ b c b sen cos tg a a c 92 Geometria e Desenho Geométrico Fazendo θ θ sen cos obtemos θ θ θ b sen b a b a tg c cos a c c a Assim θ θ θ sen tg cos 2 Se considerarmos um triângulo retângulo ABC temos que os ângulos agudos a e b são complementares Das razões trigonométricas temos α β b b sen e cos c c Assim α β sen cos 3 Vamos considerar um triângulo OBC isósceles de lados congruentes OB e OC iguais a 1 temos θ θ β 𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐷𝐷 1 93 Congruência e Semelhança de figuras Geométricas Planas Os triângulos OAB e OAC são congruentes pois possuem o lado OA comum e os lados OB e OC congruentes e o ângulo entre eles congruente caso LAL Assim no triângulo OAB senθ AB e no triângulo OAC senθ AC Ainda temos que cosθ OA Traçando BD perpendicular ao OC temos que sen2θ BD Temos também que a área do triângulo OBC pode ser dada por BCOA 2 ou também OCBD 2 Assim BCOA 2 OCBD 2 Logo θ θ θ θ θ θ θ sen sen cos 1 sen 2 2sen cos sen2 ou seja θ θ θ sen2 2sen cos Observe ainda que θ OD cos2 e que no triângulo BCD cosβ DC BC ou seja β DC cos BC Como OD DC 1 e θ BC 2sen temos que θ β θ cos2 cos 2sen 1 e ainda pelo fato de que q e b são complementa res temos que β θ cos sen Assim θ θ θ cos2 sen 2sen 1 ou seja 2 cos2 1 θ 2sen θ Como consequência podemos escrever θ θ 1 cos2 sen 2 Substituindo 2θ por α e como θ por α 2 temos 1 cos sen 2 2 α α Para resolver problemas com triângulos é necessário estabelecer um conjunto de procedimentos e cálculos que permitem determinar os lados ângulos e outros segmentos do triângulo No caso do triângulo não ser um triângulo retângulo estes procedimentos necessitam das relações definidas como lei dos senos e a lei dos cossenos que são utilizadas para a resolução de triângulos quaisquer 94 Geometria e Desenho Geométrico 421 Lei dos Cossenos Considere um triângulo ABC qualquer de lados a b e c Para esses triângulos podemos escrever 2 2 2 a b c 2bccos ˆA Em qualquer triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos qua drados dos outros dois diminuído de duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles Cabe salientar que quando um ângulo é obtuso o cosseno deste ângulo é negativo 422 Lei dos senos A lei dos senos estabelece a relação entra a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado Para um triângulo ABC de lados a b c podemos escrever e a b c senB senA s ˆ ˆ en ˆC A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo Definição chamamos de circunferência ao conjunto de todos os pontos que estão a uma distância fixa de um ponto dado do mesmo plano Os elementos básicos de uma circunferência são Circunferência e Suas Partes 5 Corda Qualquer segmento interno à circunferência com extremidades em dois pontos pertencentes à mesma Na figura AB e CD são cordas da circunferência Diâmetro Qualquer corda da circunferência que contenha o centro da mesma É a maior corda da circunferência CD representa um diâmetro da circunferência na figura Raio Qualquer segmento que liga o centro a um ponto qualquer da circunferência Na figura OB OC e OD são raios da circunferência dada Observe que o raio é metade do diâmetro ou seja d 2r Arco É uma parte da circunferência definida por dois pontos da circunferência Na figura podemos destacar o arco BD Ângulo central É todo e qualquer ângulo cujo vértice seja o centro da circunferência Na figura BÔD é um ângulo central da circunferência A medida do ângulo central é igual à medida do arco por ele determinado Ângulo inscrito É o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são cordas da circunferência Ângulo de segmento É o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e que um lado é uma corda da circunferência e o outro é uma tangente à circunferência Observe a figura AÔB Ângulo Central APB Ângulo inscrito CÂB Ângulo de Segmento Uma importante propriedade é estabelecida no teorema que enunciamos Teorema A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central subtendido ao mesmo arco da circunferência De modo menos formal podemos dizer que um ângulo cujo vértice pertence à circunferência equivale à metade do ângulo central que enxerga o mesmo arco que este Esta relação também ocorre entre o ângulo de segmento e o ângulo central 51 Relações Métricas Assim como nos triângulos as relações métricas na circunferência estabelecem algumas relações entre as medidas na circunferência 1 Teorema das cordas Dada a interseção de duas cordas da circunferência o produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda 98 Geometria e Desenho Geométrico A P B C D PAPB PCPD 2 Teorema das secantes Dados dois segmentos secantes à circunferência partindo de um mesmo ponto o produto das partes internas à circun ferência pelas externas a circunferência é igual em ambos os segmentos P A B C D PAAB PCCD 3 Teorema da secantetangente Dado um segmento secante à circun ferência e outro tangente à mesma o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da parte interna do segmento que é secante pela sua parte externa PT 2 PAAB B A P T 99 Circunferência e Suas Partes Uma importante propriedade deve ser destacada Toda e qualquer reta tangente à circunferência em um ponto é perpendicular ao raio desta circunferência no ponto de tangência 52 Polígonos Regulares Inscritos na Circunferência Dizemos que um polígono está inscrito na circunferência quando seus vértices são pontos da circunferência enquanto que um polígono é dito circunscrito à circunferência ou a circunferência está inscrita no polígono quando todos os lados são tangentes à circunferência Um polígono é chamado de regular quando todos os seus ângulos são congruentes e todos os seus lados são congruentes São exemplos clássicos de polígonos regulares o triângulo equilátero o triângulo regular e o quadrado o quadrilátero regular Para os demais polígonos não existe uma denomi nação especial Denominamos o polígono acrescido da palavra regular Por exemplo o pentágono regular o hexágono regular o heptágono regular etc Algumas relações entre os ângulos e lados dos polígonos merecem des taque ao se falar dos polígonos inscritos na circunferência Na circunferência seguinte temos um triângulo inscrito Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 A B C 100 Geometria e Desenho Geométrico Nas figuras seguintes apresentamos três polígonos um quadrilátero um pentágono e um hexágono Observe que podemos dividir estes polígo nos em triângulos 2 O quadrilátero ABCD foi dividido em dois triângulos ΔABC e ΔACD Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 temos que a soma dos ângulos internos do quadrilátero ABCD é 360 duas vezes 180 2 O pentágono ABCDE foi dividido em três triângulos ΔABC ΔACD e ΔADE Como a soma dos ângulos internos do triân gulo é 180 temos que a soma dos ângulos internos do pentágono ABCDE é 540 três vezes 180 101 Circunferência e Suas Partes 2 O hexágono ABCDEF foi dividido em quatro triângulos ΔABC ΔACD ΔADE e ΔAEF Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 temos que a soma dos ângulos internos do hexá gono ABCDEF é 720 quatro vezes 180 Generalizando esta ideia podemos dizer que um polígono de n lados pode ser dividido em n 2 triângulos Assim a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados á dada por Si n 2 180 Como em um polígono regular todos os ângulos são congruentes temos que cada ângulo interno de um polígono regular é dado pelo quociente entre a soma dos ângulos internos e o número de lados polígono i n 2 180 Si a n n Quando buscamos a soma dos ângulos externos de um polígono a relação é bem simples pois a soma dos ângulos externos de um polígono é sempre 360 Se 360 Como consequência temos que em um polígono regular a medida de cada ângulo externo é dada pelo quociente entre a soma dos ângulos exter nos ou seja 360 e o número de lados do polígono e 360 a n Com relação ao número de diagonais basta observar que de cada vér tice parte n 3 diagonais só não parte diagonal ao próprio vértice e aos dois vértices adjacentes Assim em um polígono de n lados teríamos n n 3 diagonais No entanto devemos considerar que cada diagonal foi contada duas vezes uma em cada vértice extremidade da diagonal Assim em um polígono convexo o número de diagonais é dado por d n n 3 2 102 Geometria e Desenho Geométrico 53 Relações Métricas nos Polígonos Regulares Vamos considerar um triângulo equilátero um quadrado e um hexá gono regular inscritos a uma circunferência Inicialmente vamos definir O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono 531 Triângulo Equilátero 2 a apótema do triângulo e raio da circunferência inscrita 2 R raio da circunferência circunscrita ao triângulo 2 h altura do triângulo equilátero 2 l3 lado do triângulo equilátero As relações métricas no triângulo retângulo são 3 3 l 3 l 3 a R h R a 6 3 103 Circunferência e Suas Partes 532 Quadrado 2 a apótema do quadrado e raio da circunferência inscrita 2 R raio da circunferência circunscrita ao quadrado As relações métricas no quadrado são 4 4 l l 2 a 2 R 2 Observe que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunfe rência circunscrita ao quadrado 533 Hexágono regular 104 Geometria e Desenho Geométrico 2 a apótema do hexágono regular e raio da circunferência inscrita 2 R raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular As relações métricas no hexágono regular são 6 6 l 3 a R l 2 Vamos apresentar nesta unidade um conjunto de opera ções geométricas na circunferência Iniciamos com a divisão da circunferência Construção da Circunferência 6 106 Geometria e Desenho Geométrico 1 Divisão da circunferência em 2n partes iguais Seja n3 2 Divisão da circunferência em 3X2n partes iguais Seja n1 Para dividir a circunferência em 6 partes iguais a corda AB deve ser igual ao raio Após a divisão em 3 partes iguais ligamos os pontos alternadamente 3 Divisão da circunferência em 5X2n partes iguais Seja n1 107 Construção da Circunferência Pelo ponto M médio de OX traçamos o arco NA cuja corda NA corres ponde à divisão em 5 partes iguais O segmento ON que é o segmento áureo do raio corresponde à divisão da circunferência em 10 partes iguais Podemos também construir o pentágono dado o lado AB por homote tia ou pelo processo a seguir 1º Centros em A e B e raio AB traçamos duas circunferências e obte mos a mediatriz HD 2º A reta GH determina E A reta FH determina C Com os vértices C e E o ponto D e o pentágono ficam determinados 4 Divisão da circunferência em 9 partes iguais 108 Geometria e Desenho Geométrico Pelo ponto C traçamos o arco OE e centro em D traçamos o arco EF Centro em F traçamos o arco CG determinando AG que é a corda que divide a circunferência em 9 partes iguais 5 Divisão da circunferência em 15 partes iguais 6 Divisão da circunferência em 9 partes aproximadamente iguais pelo processo de Rinaldini ou de Bion Dividimos o diâmetro AB em 9 partes iguais e centros em A e B tra çamos os arcos com raio AB obtendo os pontos M e N Traçamos as semirretas que unem os pontos M e N alternadamente nas divisões de AB obtendo nas intersecções a divisão procurada 109 Construção da Circunferência Vamos agora apresentar alguns problemas de concordância entre retas e curvas e entre curvas em um ponto Existe a concordância entre arcos de circunferência e reta quando os centros dos arcos estiverem situados na per pendicular à reta no ponto de tangência ou concordância Dois arcos concordam quando seus centros estão alinhados com o ponto de tangência ou concordância 110 Geometria e Desenho Geométrico Vamos apresentar alguns problemas de concordância 1 Concordar com a reta r em um ponto R desta um arco de circunferên cia que passe por um ponto P O ponto O centro da curva está na intersecção da normal à reta por R com a mediatriz de PR 2 Concordar com um arco c em um ponto C outro arco de circunferên cia que passe por um ponto P O centro da curva procurada está na intersecção da reta O1C com a mediatriz de CP 111 Construção da Circunferência 3 Concordar com a reta r um arco de circunferência que passe por dois pontos P e Q fora da reta C C Prolongamos a reta PQ até encontrar r no ponto R Pelo ponto Q traçamos uma perpendicular a PR até o arco de centro em M recaindo assim no problema de traçar tangentes à uma circunferência sem o auxílio do centro 4 Concordar duas retas r e s por meio de um arco que passe por um ponto P Encontramos o ponto Q simétrico de P em relação â bissetriz do ângulo dado A reta PQ encontra r no ponto R Pelo ponto Q traçamos uma perpendicular a PR até o arco de centro em M recaindo assim no problema de traçar tangentes a uma circunferência sem o auxílio do centro 112 Geometria e Desenho Geométrico 5 Concordar duas semirretas r e s orientadas em sentidos contrários por meio de dois arcos de mesmo raio 6 Concordar duas semirretas r e s orientadas em mesmo sentido por meio de dois arcos 7 Traçar circunferências tangentes entre si e inscritas num ângulo dado 113 Construção da Circunferência 8 Traçar tangentes internas e externas a duas circunferências dadas de centros O1 e O2 utilizando a divisão harmônica 9 Traçar circunferências tangentes a uma reta r em um ponto dado P e tangentes a uma circunferência de centro O dada 114 Geometria e Desenho Geométrico Traçamos por P e por O perpendiculares a reta r encontrando os pon tos A e B As retas AP e BP determinam os pontos C e D As retas CO e DO encontram a perpendicular em O e O 10 Traçar tangentes internas e externas a duas circunferências dadas de centros O1 e O2 8 soluções Adição e subtração dos raios na distância entre os centros dados 115 Construção da Circunferência 11 Traçar um ou mais círculos passando por dois pontos e tangentes ou concordantes com um círculo dado de centro O e raio OA C1 C2 Este é um dos dez problemas de Apolônio de Perga Dados três ele mentos podendo ser pontos retas ou círculos traçar um círculo tan gente aos três elementos dados No exemplo traçamos uma circunfe rência auxiliar passando por P e Q e que corta a circunferência dada em A e B O ponto C está na intersecção de AB com PQ Pelo ponto C traçamos tangentes à circunferência dada obtendo os pontos de tangência T1 e T2 Os círculos que contém PQT1 e PQT2 solucionam o problema Em alguns enunciados de problemas de desenho geo métrico constam operações algébricas que devemos resolver no próprio desenho Seja por exemplo Dado um segmento de dimensão a2 construir um segmento de dimensão y a 3 Sabemos que a diagonal do quadrado de lado a mede x a 2 e a diagonal do retângulo de lados a 2 e a mede y a 3 O valor de z a 4 e assim sucessivamente Devemos sempre fazer uma análise dimensional para verificar se o resultado é linear e se a solução gráfica é possível Cálculo Gráfico 7 118 Geometria e Desenho Geométrico Podemos obter graficamente somas diferenças produtos quocien tes médias aritméticas médias geométricas médias harmônicas algumas raízes segmentos proporcionais aplicações do teorema de Pitágoras e de lugares geométricos 1 Dados dois segmentos a3u e b5u obter graficamente o segmento x igual à metade da média geométrica entre a e b Enunciado algébrico Dados a 3 u e b 5 u obter graficamente x 1 ab 2 Podemos conferir efetuando o cálculo 1 x 3 5 19u 2 2 Dados a3cm e b4cm obter graficamente 2 2 a 3 x ab 3 4 57 b 4 119 Cálculo Gráfico Podemos resolver por partes fazendo xy z Utilizamos uma média geométrica e uma 3ª proporcional 3 Dados a4u b3u e c2u obter graficamente 2 2 a b 16 3 x 12u 4 c Podemos utilizar um artifício fazendo ab c b y c ou a y que é uma 4ª proporcional Substituindo na expressão dada teremos ay c y x c ou a x que é outra 4ª proporcional que resolve o problema 120 Geometria e Desenho Geométrico 4 Dados a4u e b3u resolver graficamente a expressão 2 2 a b x 0618 a b 3 7 b 2a 23u A reunião do contorno de uma figura plana o perímetro com sua região interior é denominada superfície do polígono A medida da superfície é expressa por um número real positivo chamado área da figura plana Para medirmos a superfície de uma figura plana é necessário comparála com uma unidade de medida de área Essa unidade de medida corresponde a uma figura unitá ria isto é de dimensões unitárias A partir daí podemos verificar quantas vezes essa figura unitária cabe na região que queremos medir A unidade de área utilizada é uma região quadrada cujo lado mede uma unidade de comprimento Área de Figuras Planas 8 122 Geometria e Desenho Geométrico No Sistema Métrico Internacional a unidade padrão de medida de área é o metro quadrado que corresponde a um quadrado de lado unitário Quando precisamos medir uma superfície menor que o metro quadrado podemos uti lizar seus submúltiplos decímetro quadrado dm2 centímetro quadrado cm2 ou milímetro quadrado mm2 Quando precisamos medir uma superfície maior do que o metro quadrado podemos utilizar seus múltiplos quilômetro quadrado km2 hectômetro quadrado hm2 ou decâmetro quadrado dam2 Veja no esquema abaixo como as transformações de unidades de medida de superfície podem ser feitas Como a tabela nos mostra cada unidade é 100 vezes maior que a uni dade posicionada à sua direita e 100 vezes menor que a unidade posicionada à sua esquerda Um fato importante a ser destacado é a equivalência de áreas São figu ras que mesmo tendo formatos diferentes possuem a mesma área Uma propriedade interessante é Se dois polígonos têm a mesma área sempre é possível decompor um deles em polígonos menores dois a dois congruentes de modo a preencher o outro Observe na malha quadriculada 123 Área de Figuras Planas O retângulo o paralelogramo e o triângulo ocupam o espaço corres pondente a 18 quadradinhos logo eles possuem a mesma área ou seja são figuras equivalentes Na Geometria as formas mais conhecidas são triângulo quadrado retângulo paralelogramo losango trapézio e círculo Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da medida de suas superfícies Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais complexas são desenvolvi dos cálculos matemáticos específicos entre outras técnicas Vamos ao cálculo destas áreas 1 Área do retângulo A área de um retângulo de base b e altura h é dada pelo produto destas medidas A bh 2 Área do quadrado Dado um quadrado de lado l tanto a base quanto a altura tem medida l Logo a área do quadrado é dada por 2 A ll l 124 Geometria e Desenho Geométrico 3 Área do paralelogramo A área de um paralelogramo de base b e altura h é dada pelo produto destas medidas A bh 4 Área do losango A área de um losango cujas diagonais medem 1 d e 2 d é dada pelo semiproduto das diagonais 1 d d2 A 2 125 Área de Figuras Planas 5 Área do trapézio b B Considerando um trapézio cuja base maior é dada por B a base menor é dada por b e a altura é dada por h a área deste trapézio é dada por B b h A 2 6 Área do triângulo Nos estudos relacionados à Geometria o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no coti diano Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades demonstra remos como calcular a área de um triângulo Considere a figura No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais dividindo a figura em duas partes iguais Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A b h considerando que a diagonal dividiu o retân gulo em duas partes iguais formando dois triângulos a área de cada tri ângulo será igual à metade da área total do retângulo constituindo na seguinte expressão matemática b h A 2 A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo sendo identificada como uma reta per pendicular à base isto é forma com a base um ângulo de 90º 126 Geometria e Desenho Geométrico Outras relações podem ser usadas para calcular a Área de um triângulo dependendo das medidas conhecidas 2 A Fórmula de Heron ou Herão de Alexandria deve ser usada nas situações em que se conhece o valor dos três lados do triângulo Dado o triângulo ABC de lados a b e c seu semiperímetro é dado por a b c p 2 e neste caso sua área será dado por A p p a p b p c 2 Dado o triângulo ABC de lados a b e c conhecido dois lados e a medida do ângulo entre eles sua Área é dada pelo semiproduto da medida de dois lados pelo seno do ângulo por eles formados ou seja b c senA a c senB a b senC A 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 127 Área de Figuras Planas 7 Área de um polígono regular Todo polígono regular de n lados pode ser inscrito em uma circunferên cia Esse polígono pode ser decomposto em n regiões triangulares cuja base é a medida do lado do polígono e a altura o apótema deste polígono Assim a área do polígono regular é dada por la A n pa 2 8 Área do círculo Para obter a área do círculo vamos imaginar a seguinte situação ao calcular a área de um polígono regular inscrito numa circunferência quanto maior o número de lados mais próxima do valor da área do círculo estará a área do polígono regular Observe nas figuras seguintes os seguintes polígonos regulares inscri tos em circunferências 2 pentágono cinco lados 2 hexágono seis lados 2 decágono dez lados 2 dodecágono doze lados 2 icoságono vinte lados 128 Geometria e Desenho Geométrico Para calcular a área de um polígono de n lados com semiperímetro p e apótema a usamos a relação la A n pa 2 Considerando uma circunferência de raio r como sendo um polígono regular de infinitos lados Seu perímetro é o comprimento da circunferência C π 2 r e por consequência o semiperímetro será p π r O apótema será o raio r Calculando a área desse polígono regular de infinitos lados ou seja da circunferência obtemos π π 2 A pa rr r Conhecida a área do círculo podemos destacar ainda 2 Área da coroa circular 129 Área de Figuras Planas Coroa circular é uma região limitada por dois círculos concên tricos Denotando por R o raio da circunferência externa e por r o raio da circunferência interna a área da coroa é dada pela dife rença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno π π π 2 2 2 2 A R r R r 2 Área do setor circular Um setor circular tem a forma de uma fatia de pizza É a parte do cír culo limitada por dois raios e por um arco De acordo com a medida do ângulo central um setor pode ser denominado de semicírculo quando o ângulo central é de 180 quadrante quando o ângulo central é de 90 ou de oitantes quando o ângulo central for de 45 Para obter a área de um setor circular basta estabelecer uma regra de três simples e direta Se o ângulo central mede αº estabelecemos Ângulo Área 360 π 2r αº A Assim a área do setor circular de medida αº de um circulo de raio r é dado por π α 2r A 360 Outras áreas podem ser obtidas quando relacionamos algumas formas planas As fórmulas de cálculo podem ser obtidas a partir das figuras que deram origem à área pedida Vamos apresentar nesta unidade um conjunto de opera ções geométricas para representar figuras com mesma área e divisão de figuras 1 Construir um quadrado equivalente a um retângulo dado Dado o retângulo de área SR bh construir um quadrado de mesma área SQ ll Neste caso devemos encontrar o lado l do quadrado ou seja SQ SR Substituindo teremos que ll bh ou l²bh ou l bh que é a média geométrica Equivalência de Figuras Geométricas Planas 9 132 Geometria e Desenho Geométrico 2 Dado um polígono regular ou seja inscritível em uma circunferência de raio r construir um triângulo retângulo e um quadrado de áreas equivalentes Seja dado por exemplo um hexágono regular de lado l Sabemos que neste caso o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado do hexágono e que o apótema é igual à altura de um triân gulo equilátero de lado l Como a área do hexágono é o produto do semiperímetro pelo apótema temos SH pa fórmula válida para todos polígonos regulares A área do hexágono regular é igual à área de seis triângulos equiláteros de lados l Logo H la S 6 3la 2 No caso do triângulo retângulo teremos que SHST bh 3l2a pa 3la 2 2 Para o caso do quadrado fica mais simples partir do triângulo SHSQ ou pal²ll 133 Equivalência de Figuras Geométricas Planas 3 Construir um triângulo GCF equivalente a um polígono qualquer ABCDE Utilizamos a propriedade de que movimentando o vértice oposto à base em uma direção paralela à mesma o valor da área não muda Observa mos que a área SSS e como S não muda no deslocamento conclu ímos que S permanece à mesma em um deslocamento 134 Geometria e Desenho Geométrico 4 Transformar um polígono côncavo num convexo equivalente O polígono côncavo dado é o ABCDEFGA e a solução é o polígono convexo HCDEFGH 5 Modificar uma das alturas de um triângulo dado tornandoa de com primento dado m Dado um triângulo ABC de altura h modificar esta altura para um comprimento mh e para um comprimento nh 1º A paralela à reta AB na distância m determina P na reta AC 2º A paralela a PB por C determina R na reta Ab 3º Ligar R com P obtendo o triângulo APR equivalente ao ABC 4º Para aumentar a altura a solução é semelhante 135 Equivalência de Figuras Geométricas Planas 6 Dado um círculo transformálo pela equivalência de áreas em um retângulo 1º Retificar a semicircunferência de comprimento l dada de cen tro O e raio r Existem vários processos de retificação como o de Arquimedes que considerou o comprimento π l r igual a 22 1 r 3r r 7 7 Adotamos neste caso um processo mais preciso que é o da tangente de 30 devido a Kochansky Na figura temos um triângulo retângulo onde um cateto é igual a 2r e o outro é igual a 3rrtg 30 Pelo teorema de Pitágoras encontramos a hipotenusa π 1 l r 13 2 3 31415r r 3 comprimento da semicircunferência 2º Tomando a semicircunferência retificada para base e o raio para altura construir o retângulo DEFC de mesma área SS ou π 2r π rr 136 Geometria e Desenho Geométrico 7 Dado um círculo transformálo pela equivalência de áreas em um quadrado No triângulo retângulo ABC com um cateto igual a 2r e o outro 4r por Pitágoras a hipotenusa BC r 20 Pelas relações no triângulo retângulo encontramos 4r 16r BD e DC 20 20 Calculando a altura do triângulo ABC temos π 2 2 2 2 2 64 AD BDDC r l 32r r 20 8 Construir um triângulo de área equivalente a um setor circular dado Seja dado um setor circular OAB 137 Equivalência de Figuras Geométricas Planas 1º Achamos o ponto C médio do arco AC 2º Por uma das extremidades do arco por exemplo por A traçamos uma tangente t à curva 3º Sobre a tangente t a partir de A marcamos AE igual a duas vezes a corda AC e AF igual à corda AB 4º Dividimos EF em três partes iguais e acrescentamos EG13 EF 5º Unimos G com B e por O traçamos OH paralela a GB 6º O polígono AHBO é equivalente ao setor dado Este polígono pode ser transformado em triângulo e em outras figuras 9 Dividir um triângulo ABC qualquer em n partes iguais Seja n3 1º Processo Dividir por segmentos que contenham um vértice 2º Processo Dividir por segmentos paralelos à base 138 Geometria e Desenho Geométrico Este problema é uma aplicação direta da média geométrica onde a área S de cada divisão é dada por S bh 6 1º Construímos o segmento HIh e pelo ponto médio M traçamos a semicircunferência de raio h2 2º Dividimos a altura h em n partes iguais no exemplo n3 Pelos pontos D e E da divisão traçamos as perpendiculares até encontrar a semicircunferência obtendo os segmentos DJ e EK 3º Centro em I e raio IJ traçamos o arco JG Centro em I e raio IK traçamos o arco KF Por F e G traçamos paralelas a BC e encontra mos os segmentos x e y Nas construções gráficas para a resolução de problemas de geometria plana utilizamos normalmente os métodos gerais que envolvem o conhecimento das propriedades das figuras e os lugares geométricos conhecidos Nos métodos auxiliares podemos utilizar novos lugares geométricos como homologias afinidades homotetias translações rotações simetrias semelhanças inversões e outros Como exemplo de rotação podemos inscrever um quadrado FFGH em um paralelogramo ABCD dado Neste caso o centro do paralelogramo vai coincidir com o centro do quadrado que é o centro de rotação Em seguida efe Métodos Auxiliares 10 140 Geometria e Desenho Geométrico tuamos uma rotação de 90 do lado AB do paralelogramo ou giramos o triângulo OEF de 90 e obtemos F vértice do quadrado 101 Homologia Plana O Método de Jean Victor Poncelet com a publicação das propriedades das figuras e com a introdução do infinito na geometria permitiu a moder nização da geometria euclidiana 1 Correspondência pontual em um plano É qualquer lei que associa a cada ponto do plano um e somente um ponto neste plano Exemplos 1 A identidade que a cada ponto do plano corresponde o próprio ponto é correspondência pontual no plano 2 A translação em uma direção dada com sentido e módulo dados são também corres pondências pontuais em um plano 141 Métodos Auxiliares 2 Homologia Plana Homologia em um plano é qualquer correspondên cia pontual que satisfaça as seguintes condições 1º Pontos correspondentes estão sempre alinhados com um ponto fixo O dito centro de homologia 2º Pontos alinhados correspondem a pontos alinhados ou seja retas correspondem a retas 3º Retas correspondentes se interceptam em pontos de uma reta fixa u denominada eixo da homologia Os elementos correspondentes em uma homologia dizemse homólo gos O homólogo do ponto P é P Exemplos 1 A simetria em relação a um ponto é homologia O centro é o ponto dado e o eixo é a reta imprópria do plano 142 Geometria e Desenho Geométrico 2 A simetria ortogonal em relação a uma reta é homologia O eixo é a reta dada e o centro é o ponto impróprio das normais ao eixo 3 Elemento unido é um ponto ou uma reta quando ele coincide com o seu homólogo Todo ponto do eixo é unido Se retas homólogas se encontram em pontos do eixo estes pontos são unidos e decorre que o eixo é unido por ser constituído de pontos unidos 4 As retas que passam pelo centro de homologia são unidas porque os pontos correspondentes estão alinhados com o centro Logo o centro é unido 5 Uma homologia fica definida se for possível construir o homólogo de um ponto arbitrariamente escolhido 6 Uma homologia está definida quando são dados o centro o eixo e um par de pontos alinhados com o centro OuPP 7 Reta limite i é o lugar geométrico dos pontos homólogos dos pontos impróprios do plano 8 Reta limite j é o lugar geométrico dos pontos que tem para homólogos os pontos impróprios do plano 9 A distância de uma das retas limite ao centro de homologia é igual à distância da outra reta limite ao eixo da homologia As duas retas limite ficam entre o centro e o eixo ou ambas fora deste intervalo 143 Métodos Auxiliares 10 O coeficiente de uma homologia OPOP OUPP UPUP λ No caso particular em que λ 1as retas limites coincidem e a homologia é har mônica Se λ 1 é anarmônica O ponto UU é um ponto do eixo u 11 Uma homologia OUPP também pode ser definida por outros elemen tos dados como UPPQQ Orrss Oui OujOiPP OjPP uji jiPP OjiujPP e uiPP 12 Casos particulares da homologia 1º Afinidade Quando o centro da homologia é impróprio 2º Homotetia Quando o eixo da homologia é impróprio 3º Translação Quando o centro e o eixo da homologia são impróprios 1011 Construções Geométricas e Aplicações Dada uma homologia pelo seu centro O pelo eixo u e um par de pontos correspondentes OuPP traçar o homólogo de um triângulo ABC dado Os pontos correspondentes estão alinhados com o centro O e as retas correspondentes se encontram sobre o eixo u 144 Geometria e Desenho Geométrico 2 Exemplo de Afinidade Por um ponto P de uma elipse dado seu eixo maior traçar uma tangente sem utilizar os focos O eixo é o eixo da afinidade e o centro é o ponto impróprio das normais a este eixo Os pontos B e B são afins logo as tangentes cortam o eixo u no mesmo ponto UU 2 Exemplo de Homotetia Inscrever um quadrado em um setor circular O centro do arco é o centro da homotetia Utilizamos um quadrado auxiliar ABCD Os pontos C e C são homotéticos 145 Métodos Auxiliares 2 Exemplo de Translação Dado um triângulo ABC construir um segmento BD de comprimento dado paralelo ao lado BC sendo B pertencente a AB e D pertencente a AC Dado um quadrilátero ABCD e um ponto U do eixo de homologia construir um quadrado ABCD homólogo do quadrilátero dado O qua drilátero ABCD é denominado quadrilátero completo Podemos transformar figuras em outras mais simples resolver o pro blema e voltar para a figura original Um problema de homologia muito utilizado nas construções geométricas é a representação de uma cônica que passe por cinco pontos dados ou que seja tangente a cinco retas dadas 146 Geometria e Desenho Geométrico No exemplo transformamos um quadrilátero qualquer num quadrado e inscrevemos uma circunferência tangente aos lados Na operação inversa voltamos ao quadrilátero e traçamos uma elipse inscrita tangente aos lados 102 Simetria A Simetria é um Método Geométrico que permite deslocar uma figura para uma nova posição previamente escolhida para solucionar problemas recaindo em soluções mais simples A Simetria plana pode ser central ou axial Na Simetria Central consideramos um ponto O como sendo o centro de simetria e os pontos simétricos P e P estão alinhados com O e a mesma distância deste centro Como exemplo temos as simetrias centrais de um ponto uma reta e uma circunferência 147 Métodos Auxiliares O centro de simetria é unido ou simétrico dele mesmo As retas que passam pelo centro de simetria são unidas ou simétricas delas mesmas A simétrica de uma circunferência é uma circunferência Na Simetria Axial ou Ortogonal temos um eixo de simetria e sendo o centro o ponto impróprio das normais a este eixo Observamos que é um caso particular da homologia O simétrico do simétrico coincide com o elemento dado 1021 Construções Geométricas e Aplicações Dados dois pontos A e B e uma reta e Encontrar na reta um ponto C cuja soma das distâncias AC BC seja mínima Sabemos que a menor dis tância entre dois pontos é uma reta Achamos o simétrico de B em relação ao eixo e A interseção do eixo e com a reta AB é o ponto C procurado 148 Geometria e Desenho Geométrico Qual a distância percorrida por uma bola de bilhar para se deslocar da posição A para B após ter tocado na mesa retangular em dois ponto Como o ângulo de incidência é igual ao de reflexão o problema pode ser resolvido por simetria A distância percorrida de A até B é igual a BE Dados dois pontos A e C interiores a uma circunferência de centro M construir um paralelogramo ABCD de modo que os vértices B e D perten çam à circunferência dada No ponto médio de AC marcamos o ponto O Traçamos uma circunferência de centro em M simétrica à circunferência dada e encontramos B e D 149 Métodos Auxiliares Dado um ponto A interno ao ângulo formado pelas retas r e t cons truir uma reta que passe por A e encontre as retas dadas numa mesma dis tância A reta s simétrica de r em relação a A encontra a reta t no ponto T Teremos que ATAR 103 Inversão ou Transformação por Raios Vetores Recíprocos A Inversão é um Método Geométrico que permite transformar figuras como pontos retas e curvas mantendo propriedades como a manutenção dos ângulos representação conforme com o objetivo de facilitar a solução de problemas Os elementos básicos de uma inversão são uma circunferência de centro O denominados circunferência fundamental de inversão e centro O polo de inversão o raio k e um par de pontos P e P colineares com O ditos cor respondentes ou inversos Quando o ponto P se encontrar a uma distância d do centro de inversão o produto OPOP k² Sabemos que no triângulo retângulo o quadrado de um cateto k² é o produto da projeção deste cateto sobre a hipotenusa pela hipotenusa Logo para inverter pontos basta cons truir o triângulo retângulo Neste caso a inversão é positiva porque o ponto e seu inverso estão do mesmo lado de O 150 Geometria e Desenho Geométrico Existe ainda outra solução onde OP x OP k² onde P e P estão em lados opostos a O 1031 Inversão da reta Para inverter uma reta poderíamos inverter pontos da mesma Para simplificar o traçado devemos efetuar algumas considerações como se a reta é externa secante ou tangente à circunferência fundamental de inversão Devemos ainda observar que 1 Os pontos na circunferência de inversão são seus próprios inversos 2 Que o inverso de pontos impróprios é o centro de inversão O 3 Os inversos dos pontos externos à circunferência fundamental serão internos e a recíproca é verdadeira 151 Métodos Auxiliares 1032 Inversão da circunferência A determinação da inversa de uma circunferência vai depender de sua posição em relação à circunferência fundamental Se a circunferên cia for externa à circunferência fundamental sua inversa será uma cir cunferência interna e se a circunferência passar pelo centro de inversão sua inversa será uma reta Vejamos os casos das circunferências internas secantes e externas 152 Geometria e Desenho Geométrico Dada uma circunferência e o polo de inversão obter a circunferência fundamental de inversão que transforma a circunferência dada nela mesma Pelo polo O traçamos tangentes à circunferência dada A distância de O ao ponto de tangência é o raio k 1033 Aplicação em Construções Geométricas 1 Podemos resolver o 6º problema de Apolônio de maneira mais simples utilizando a inversão Construir uma circunferência que passa por um ponto dado G e seja tangente a uma reta dada a e a uma circunferência de centro dado C A solução é a circunferência de centro em X que passa por G e tan gencia a reta a e a circunferência de centro em C Devemos encontrar a circunferência fundamental de inversão de polo G que transforma a circunferência de centro em C nela mesma e a inversa da reta a será uma circunferência a de centro em A Traçamos uma reta t tangente às duas circunferências 4 soluções que por inversão nos dá a circunferência de centro X que resolve o problema 153 Métodos Auxiliares 2 Podemos também resolver o 10º problema de Apolônio de maneira mais simples utilizando a inversão Construir uma circunferência de centro C que é tangente a três circun ferências dadas de centros C1 C2 e C3 Escolhemos a circunferência de menor raio e diminuímos este compri mento dos três raios O problema recai em construir uma circunferên cia tangente a outras duas e que passa por um ponto dado No final do problema acrescentamos o comprimento do menor raio Na sequência encontramos a circunferência fundamental f que trans forma a circunferência de centro C2 nela mesma Em seguida inver temos a circunferência de centro C3 Traçamos uma reta tangente comum à esta circunferência encontrada e à circunferência de centro C2 A inversão desta reta resolve o problema Nesta solução podemos diminuir o valor do raio da circunferência C1 154 Geometria e Desenho Geométrico 104 Semelhança de Figuras Geométricas Planas Figuras semelhantes são figuras homotéticas dispostas de maneira que seus lados homólogos sejam paralelos Construir um polígono semelhante a outro polígono dado Seja cons truir um pentágono regular de lado dado semelhante a outro 155 Métodos Auxiliares Construir um triângulo equilátero A B C inscrito em um triângulo qualquer OPQ com um vértice em cada lado do triângulo qualquer Construir um triângulo equilátero inscrito em um pentágono regular 156 Geometria e Desenho Geométrico Construir um retângulo com altura igual a metade do comprimento da base inscrito em um triângulo ABC com a base sobre o lado BC 2 Uma curva plana pode ser descrita como uma linha com comprimento e sem largura produzida por um ponto móvel que se desloca neste plano Quando a direção do movimento do ponto é constante a linha chamase reta A reta é um caso particular da curva onde o raio de cur vatura de todos os seus pontos é infinito 2 Uma curva pode ser definida como uma poligonal de lados infinitamente pequenos 2 Curva gráfica é quando a linha não tem tradução mate mática como quando construídas com arcos concordan tes como falsas espirais falsas elipses ovais e outras 2 Curva geométrica quando tem tradução matemática e os pontos obedecem a uma condição que é a Lei de geração expressa matematicamente na equação da curva Uma curva pode ser representada analiticamente em um sis Curvas 11 158 Geometria e Desenho Geométrico tema de coordenadas por sua equação ou graficamente por suas propriedades geométricas e existe uma correspondência entre estas representações gráficas e analíticas Uma curva pode ser obtida a partir da substituição de valores na equação de lugares geométri cos de projeções de outras curvas de seções planas de superfícies de tangentes etc Quando o ponto móvel gerador da curva se afasta indefinidamente do ponto de partida denominamos curvas planas abertas ou de ramos infinitos e em caso contrário curvas planas finitas 111 Espiral Espiral é uma curva plana aberta que se afasta sempre de um ponto e que pode descrever um número infinito de revoluções seguindo leis mate máticas Por exemplo poderemos ter a espiral logarítmica de Arquimedes envolvente do círculo e outras Falsa Espiral é uma curva plana aberta que se afasta sempre de um ponto e que pode descrever um número infinito de revoluções e que é for mada por trechos de concordâncias de curvas Nomenclaturas a Núcleo É o ponto ou polígono que orienta o desenvolvimento da curva b Centros São os vértices do núcleo Exemplo 1 2 e 3 c Raios Vetores São os prolongamentos dos lados do núcleo Exemplo prolongamento de 21 32 e 13 d Polo É o centro do núcleo e Espira É a porção contínua da curva gerada pelo ponto móvel durante toda a revolução da semirreta f Passo Distância de uma espira a outra Exemplo p g Espiral Dextrógira ou no sentido horário h Espiral sinestrógira ou no sentido antihorário 159 Curvas Exemplos Construir uma falsa espiral dextrógira sendo o núcleo um triângulo equilátero dado Construir uma espiral de Arquimedes sinestrógira Esta espiral é a com posição de dois movimentos Enquanto um móvel percorre a circunferência outro simultaneamente percorre o raio 160 Geometria e Desenho Geométrico 112 Oval Oval regular é uma curva fechada convexa com dois eixos de sime tria perpendiculares entre si composta de arcos concordantes cujos centros estão nos eixos de simetria Uma oval pode ser regular ou irregular Exemplos Dado o eixo maior AB construir uma oval irregular Dado o eixo menor AB construir uma oval irregular 161 Curvas Dado o eixo maior construir uma oval regular Construir uma falsa elipse inscrita num losango ou elipse de 4 centros 113 Curvas cônicas As seções cônicas são as curvas mais importantes tendo sido estudadas desde a antiguidade por grandes matemáticos como Apolônio Descartes Fermat Kepler Laplace Poncelet Dandelin e Quetelet 162 Geometria e Desenho Geométrico Existem várias definições para as curvas cônicas As curvas cônicas ou seções cônicas podem ser obtidas pela interseção de um plano com um cone Vamos considerar um cone reto de base circular Quando o plano de interseção for per pendicular ao eixo do cone teremos um círculo quando o ângulo do eixo com o plano for igual ao do eixo com a geratriz teremos uma parábola quando o ângulo do eixo com o plano for maior que do eixo com a geratriz teremos uma elipse e quando o ângulo do eixo com o plano for menor que do eixo com a geratriz teremos uma hipérbole As cônicas possuem vários elementos como centro eixos diâmetros focos vértices raio vetor tangentes normais secantes circunferências principais circunferências diretrizes diâmetros conjugados e outros Vamos ver que podemos construir as cônicas a partir de suas propriedades geométricas 114 Elipse É o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma de suas distâncias a dois pontos fixos dados denominados focos é constante Designamos o eixo maior da elipse AA2a o eixo menor BB2b e a distância focal do centro ao foco OFc Podemos construir um triângulo retângulo com catetos b e c e hipote nusa a Pelo teorema de Pitágoras teremos que a² b²c² A excentricidade e da elipse é a razão eca Quando o foco coincide com o centro temos uma circunferência de c0 ou uma elipse de excentricidade e0 Quando ca a excentricidade e1 e temos uma reta A tangente à curva em um ponto P é a bissetriz do ângulo formado pelas retas que unem o ponto P aos focos F e F 2 Eixos da elipse São dois segmentos ortogonais que se encontram nos pontos médios O eixo maior AA e o eixo menor BB Os vértices são as extremidades dos eixos 2 Circunferências principais têm centro no centro da curva e raios iguais aos seus semieixos 2 Circunferências diretrizes tem centro em um dos focos e raio igual ao eixo maior da elipse 2 Raio vetor é o segmento que une qualquer ponto da curva a um dos focos 2 Corda é qualquer segmento que une dois pontos da curva 2 Diâmetro é uma corda que passa pelo centro 163 Curvas 1141 Construção da Elipse 1º Processo por pontos Traçar uma elipse por pontos dados o eixo maior AA2a e a distância focal OFc e traçar uma tangente à curva em um ponto qualquer P Temos que BFAOa Por um ponto qualquer 3 situado entre O e F temos a distância do ponto 3 até A que nos dá o segmento m A distância de 3 até A nos dá o segmento n Logo mn2a 2º Processo por circunferências concêntricas Traçar uma elipse conhecidos seus dois eixos Dados AA e BB 164 Geometria e Desenho Geométrico Centro em O traçamos duas circunferências concêntricas com diâmetros iguais aos eixos dados Pelo centro O traçamos retas com inclinações quaisquer que interceptarão as circunferências nos pontos C e D Por estes pontos traçamos paralelas aos eixos que se interceptarão no ponto P O lugar geométrico dos pontos P com a variação das inclinações da reta nos dá a elipse 3º Processo por diâmetros conjugados Traçar uma elipse dados dois diâmetros conjugados Dados os diâmetros SS e TT Dado um diâmetro de uma curva teremos sempre um segmento de reta passando pelo centro da curva que divide ao meio as cordas paralelas ao diâmetro dado e que é seu conjugado Traçamos uma circunferência com diâmetro SS e por O uma per pendicular a SS obtendo o ponto C Pelo ponto D médio de CT traçamos uma circunferência e encontramos os pontos E e F na reta OD Os segmentos OE e OF são as dimensões dos eixos da elipse As direções dos eixos da elipse são paralelas aos segmentos CE e ET 165 Curvas Podemos obter a equação analítica da elipse pela construção gráfica Considerando os eixos da elipse como sendo os eixos cartesianos temos a equação da elipse 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x cos x acos y x a donde donde 1 y bsen a b y sen b α α α α 115 Hipérbole É o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de suas dis tâncias a dois pontos fixos dados denominados focos é constante 2 Eixo transverso AA é o segmento sobre a reta que contém os focos situado entre os dois ramos da curva Os extremos AA são os vértices 2 Eixo não transverso BB é o segmento perpendicular ao transverso pelo seu ponto médio Quando os dois eixos são iguais a hipér bole é equilátera 166 Geometria e Desenho Geométrico 2 Circunferência principal tem centro no centro da curva e diâme tro igual ao eixo transverso 2 Circunferências diretrizes têm centro em um dos focos e raios iguais ao eixo transverso 2 Assíntotas são as tangentes à hipérbole no ponto impróprio 1151 Construção da Hipérbole 1º Processo por Pontos Construir a hipérbole dados o eixo trans verso e os focos 2º Processo por circunferências concêntricas Traçar uma hipérbole conhecidos seus dois eixos AA e BB Na mesma figura traçar as assíntotas e determinar o foco 167 Curvas Centro em O traçamos duas circunferências concêntricas com diâ metros iguais aos eixos dados e na interseção com o eixo temos os pontos A e C Pelo centro O traçamos retas com inclinações quais quer que interceptarão as perpendiculares ao eixo dos pontos A e C e obtemos os segmentos AE e CD Pelo ponto E traçamos o arco EG e pelo ponto D uma paralela ao eixo que vai encontrar a perpendicular ao eixo pelo ponto G no ponto P da hipérbole As diagonais do retân gulo construído com os eixos da hipérbole serão suas assíntotas Podemos obter a equação analítica da hipérbole pela construção gráfica Considerando os eixos da hipérbole como sendo os eixos cartesianos temos a equação da curva 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y tg y btg y x b donde donde 1 a xcos a b a cos x α α α α 168 Geometria e Desenho Geométrico 3º Processo Traçar a hipérbole conhecidos a distância focal e um ponto da curva Traçar a tangente à curva no ponto P Unimos o ponto P aos focos e marcamos simetricamente sobre FF a diferença entre PF e PF O problema recai no anterior dados o eixo transverso e os focos A tangente é a bissetriz do ângulo FPF 116 Parábola É o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo F denominado foco e de uma reta fixa d denominada diretriz 2 Eixo da parábola é a perpendicular à diretriz passando pelo foco O vértice V é o ponto onde o eixo corta a curva e é o ponto médio entre o foco e a diretriz 2 Diâmetro da parábola é qualquer reta paralela ao eixo 2 Parâmetro p é a distância entre o foco e a diretriz 1º Processo por pontos Construir a parábola dados a diretriz e o foco Unimos um ponto A qualquer sobre a diretriz ao foco e traçamos a mediatriz do segmento AF Pelo ponto A traçamos uma perpendicu lar à diretriz que vai encontrar a mediatriz no ponto P da parábola Observamos que a mediatriz é a tangente à parábola no ponto P 169 Curvas Podemos obter a equação analítica da parábola pela construção grá fica Considerando o eixo da parábola como sendo o eixo das abscis sas e a diretriz como eixo das ordenadas temos a equação da curva 2 2 2 2 2 x y p x dondey 2px p Podemos ter uma definição geométrica geral para as cônicas como sendo o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por um ponto fixo denominado foco e tangentes à uma circunferên cia fixa denominada diretriz 170 Geometria e Desenho Geométrico No exemplo temos o ponto fixo F interno à circunferência diretriz e o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por F e tangenciam a diretriz é uma elipse Quando o ponto fixo F for externo à cir cunferência teremos uma hipérbole e se a circunferência diretriz de centro O tender a uma reta a curva tende a ser uma parábola 117 Lemniscata de bernoulli Lemniscata de Bernoulli devido às suas propriedades apresenta várias aplicações práticas como no estudo da mecânica na concordância horizontal no traçado de estradas e na Matemática entre outras A Lemniscata de Bernoulli é uma curva plana fechada cujos produtos das distâncias de seus pontos a dois pontos fixos denominados focos é cons tante Podemos construir esta curva utilizando a potência de um ponto em relação a uma circunferência que tem a mesma propriedade Vamos verificar nesta unidade o funcionamento de um sis tema dedutivo bem como das demonstrações indiretas Neste sen tido iremos fazer a análise de alguns teoremas bem como explorar algumas conjecturas razoáveis que nos permitam fazer uma explora ção sistematizada do ensino da geometria Inicialmente devemos ter claro que o desenvolvimento de um sistema dedutivo parte de algumas proposições evidentes que são os Postulados algumas definições e com a escrita e demonstração de teoremas Vamos descrever alguns passos no desenvolvimento de uma estrutura axiomática para o estudo da geometria Acreditamos que neste momento nos encontramos em condição de dar um desenvolvi mento mais rigoroso na estrutura geométrica por meio de métodos da álgebra e um processo de argumentação lógica para obter conclusões Demonstração em Geometria 12 172 Geometria e Desenho Geométrico Começamos com ponto reta e plano como entes primitivos e faremos uso de uma série de postulados Novos termos foram definidos tendo por base alguns postulados enquanto que algumas definições foram baseadas em termos não definidos porém as definições sempre foram feitas a partir de termos conhecidos De forma análoga todas as afirmações feitas foram fundamentadas em postulados ou afirmações já comprovadas Alguns teoremas foram demons trados diretamente a partir de algum postulado ou tomando algum teorema já demonstrado sendo que de algum modo a cadeia de argumentação pode ser traçada de volta a algum postulado Observamos que a melhor maneira de aprender argumentação lógica é fazer algumas em geral isto é verdadeiro Existe um tipo de demonstração que exige um tipo especial de discussão Estas demonstrações são chamadas indiretas ou por redução ao absurdo Observe o seguinte teorema 121 Teorema 01 Se duas retas se interceptam então a interseção contém somente um ponto Demonstração Supondo que duas retas distintas se interceptam em dois pontos P e Q haveria portanto duas retas contendo P e Q o que contradiz o postulado da reta Este raciocínio não é desconhecido por nós Certamente você já deve ter ouvido em conversas afirmações deste tipo As argumentações seguintes são exemplos de demonstrações indiretas i Não deve estar chovendo lá fora Se estivesse chovendo estas pes soas entrando pela porta estariam molhadas mas elas não estão ii Hoje não deve ser o dia do jogo de futebol Se o jogo fosse hoje o estádio agora já estaria cheio de pessoas mas você e eu somos as únicas pessoas aqui Nas duas argumentações quem fala deseja mostrar que certa afirmação é verdadeira Sua justificação começa supondo que a afirmação a ser provada é falsa em seguida observa que isso leva a uma conclusão que contradiz um fato conhecido 173 Demonstração em Geometria Muitas vezes as demonstrações indiretas em geometria serão curtas e simples pois elas serão nada mais que observações de bom senso Mas estas observações de bom senso são parte do ABC do raciocínio matemático e seria muito difícil prosseguir sem elas Na sequência vamos descrever alguns teoremas sobre retas e planos no entanto se faz necessário inicialmente enunciar alguns postulados que permitirão as nossas demonstrações Postulado 01 O postulado da reta 2 Para cada par de pontos distintos existe exatamente uma reta que os contém Postulado 02 2 Todo plano contém pelo menos três pontos não colineares 2 O espaço contém pelo menos quatro pontos não colineares Postulado 03 2 Se dois pontos de uma reta estão em um plano então a reta está contida neste plano Postulado 04 O postulado do plano 2 Três pontos quaisquer pertencem pelo menos a um plano e três pontos não colineares quaisquer pertencem exatamente a um plano Vamos prosseguir agora demonstrando alguns teoremas 122 Teorema 02 Se uma reta intercepta um plano que não a contém a interseção con tém somente um ponto Demonstração É dada uma reta r e um plano β Por hipótese temos que 1 r intercepta β em pelo menos um ponto P 2 β não contém r Vamos dar uma demonstração indireta e portanto começaremos supondo que 1 r intercepta β em algum outro ponto Q 174 Geometria e Desenho Geométrico Precisamos mostrar que 3 leva à contradição de um fato conhecido e de fato isto acontece se P e Q estão em β seguese pelo postulado 03 que r está contida em β Isto contradiz 2 portanto 3 é falsa Logo o teorema é verdadeiro 123 Teorema 03 Dados uma reta e um ponto fora da reta existe exatamente um plano que os contém Vamos considerar uma reta r dada e um ponto P dado Para demonstrar o teorema precisamos mostrar duas coisas 1 Existe um plano β contendo P e r 2 Existe somente um plano E contendo P e r Afirmações 1 e 2 juntas nos dizem que existe exatamente um plano contendo P e r Demonstração de 1 Sejam Q e R dois pontos quaisquer de r Pelo postulado 04 existe um plano β contendo P Q e R Pelo postulado 03 E contém r Assim β contém P e r Demonstração de 2 Esta demostração será indireta Suponha que exista um outro plano β contendo P e r Então β conterá P Q e R Mas P Q e R são não coli neares pois P é um ponto fora da reta r Assim temos dois planos distin tos β e β contendo os pontos não colineares P Q e R Isto contradiz o postulado 04 Devemos observar que este teorema e sua demonstração dividemse de modo natural em duas partes a existência e a unicidade Quando pro vamos a existência mostramos que existe no mínimo um objeto de certo tipo Quando provamos a unicidade mostramos que existe no máximo um Quando conseguimos provar as duas partes então sabemos que existe exa tamente um A frase um e somente um é usada muitas vezes no lugar de exatamente um para dar ênfase ao valor duplo da afirmação 175 Demonstração em Geometria 124 Teorema 04 Dadas duas retas que se interceptam existe exatamente um plano que as contém São dadas as retas r e s interceptandose em P Precisamos provar duas coisas 1 Existência existe um plano β contendo r e s 2 Unicidade existe somente um plano β contendo r e s Faremos as afirmações e você deve concluir a demonstração colocando as justificativas Demonstração de 1 Afirmações Justificações 1 r contém um ponto Q distinto de P pois uma reta possui infinitos pontos 2 Q não está em s pois a intersecção de uma reta é um único ponto 3 Existe um plano β contendo Q e s 4 β contém r pois P e Q estão em β e os dois pontos estão em r Demonstração de 2 Afirmações Justificações 1 Vamos supor que um outro plano β contenha r e s pois duas retas determinam um plano 2 β contém Q pois Q está em r 3 β e β contém Q e s de acordo com 3 5 e 6 4 β β ou seja β é o único plano contendo r e s pois uma reta e um ponto fora da reta determinam um único plano Observe que na demonstração de 2 fizemos uso da demonstração indireta na forma de coluna dupla Usando uma régua e um transferidor ou uma régua e um compasso é fácil desenhar uma perpendicular a uma reta dada Vamos agora descrever um teorema que justifica os procedimentos usados 125 Teorema 05 Num plano dado por um ponto dado de uma reta dada existe uma e somente uma reta perpendicular à reta dada Poderíamos enunciar este teorema do seguinte modo Seja β um plano e seja r uma reta em β e seja P um ponto de r Então i Existe uma reta s em β tal que s contém P e r s ii Existe somente uma reta s nessas condições A demonstração deste teorema fica como exercício Definição Num plano dado a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento passando por seu ponto médio Todo segmento AB tem um e somente um ponto médio C e por C existe uma e somente uma reta perpendicular a AB Portanto a mediatriz existe e é única 126 Teorema 06 O teorema da mediatriz A mediatriz de um segmento em um plano é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes das extremidades do segmento Reenunciado Seja r a mediatriz de AB no plano β Então Se P está em r PAPB Se PAPB então P está em r A demonstração deste teorema fica como exercício Faça uma pesquisa Corolário 61 São dados um segmento AB e uma reta r no mesmo plano Se dois pontos de r são equidistantes de A e B então r é a mediatriz de AB Demonstração Pelo teorema 6 r contém dois pontos da mediatriz de AB Como dois pontos determinam uma reta isto significa que r é a mediatriz de AB 127 Teorema 07 Por um ponto dado fora de uma reta existe no máximo uma reta perpendicular à reta dada Demonstração A demonstração é indireta como a maioria das demonstrações de unicidade Suponha que s e t são duas retas distintas por P cada uma perpendicular a r Sejam A e B pontos onde s e t interceptam r Seja Q o ponto na semirreta oposta a AP para o qual APAQ Por LAL temos que ΔPABΔQAB Portanto PBAQBA por serem ângulos correspondentes Assim temos que BQ r em B Logo há duas retas t e BQ que são perpendiculares a r em B Isto contraria o teorema 05 Portanto a suposição de que há duas perpendiculares a r é falsa Corolário 71 Nenhum triângulo possui dois ângulos retos Demonstração No ΔABC se A e B fossem ângulos retos haveria duas perpendiculares a AB por C Pelo teorema 07 isso é impossível Deste modo podemos definir um triângulo retângulo como sendo o um triângulo que possui um ângulo reto O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados catetos O último teorema e corolário nos permitem falar do ângulo reto de um triângulo retângulo Em algumas de nossas demonstrações introduzimos pontos e retas auxiliares que não eram dados no enunciado do teorema No entanto antes de introduzir algum fato tenha certeza de que ele existe pois é muito fácil descrever objetos imaginários colocando apressadamente palavras uma após a outra Observe o seguinte teorema colocamos entre aspas pois é evidente para todos que ele é falso e sua demonstração 128 Falso teorema Em qualquer triângulo ABC temos que BC Falsa demonstração Seja D um ponto entre B e C tal que BDDC e AD BC Então ADBADC pois ambos são retos Assim por LAL temos que ADBADC o que resulta em BC É evidente que ao supor que exista este ponto D cometeuse um erro pois este ponto não existe A não existência deste ponto nos levou a conclusões falsas Para concluir esta unidade vamos demonstrar os casos de congruência de triângulos Nosso estudo de congruências de triângulos esteve baseado até agora nos postulados LAL ALA e LLL Na verdade o único que realmente é necessário aceitar como postulado é o LAL Admitindo apenas o LAL os outros podem ser demonstrados ACB DFE ângulos correspondentes 6 CB CB postulad o da construção de um ângulo 7 B B Duas retas distintas se interceptam em no máximo um ponto 8 ΔABC ΔDEF 1210 Eliminando o postulado LLL Vamos mostrar nesta seção que o postulado LLL também pode ser demonstrado como teorema Inicialmente vamos recordar que ao provar o Teorema do triângulo isósceles somente usamos a correspondência ABC ACB LAL Deste modo podemos usar o teorema do triângulo isósceles para demonstrar o LLL sem cometer o erro de argumentar de forma circular Nossa demonstração se dará em duas etapas Na primeira obtemos uma reprodução AHC congruente do triângulo DEF ao lado do triângulo ABC argumentações de 1 a 5 e na segunda etapa vamos mostrar que ΔABC ΔAHC A1 ABDE ACDF BCEF J1 Hipótese LLL ABC DEF A2 Existe um ponto G no lado oposto de AC Postulado da construção de um ângulo em relação ao ponto B tal que CAG D A3 Existe um ponto H em AG tal que AHDE J3 postulados da colocação da régua A4 AHC DEF é uma correspondência LAL passagens 1 2 e 3 A5 ΔAHC ΔDEF J5 LAL A6 ABH AHB J6 teorema do triângulo isósceles A7 HBC CHB J7 teorema do triângulo isósceles A8 ABC AHC J8 postulado da adição de ângulos A9 ABC AHC é uma correspondência LAL passagens 1 5 e 8 A10 ΔABC ΔAHC J10 LAL A11 ΔABC ΔDEF J11 passagens 5 e 10 Na sequência iremos apresentar alguns conceitos relativos a desigualdades geométricas Em nosso estudo até agora trabalhamos apenas com condições onde era possível associar a igualdade nas medidas de segmentos e ângulos Vamos desenvolver nosso estudo fazendo algumas conjecturas sobre afirmações que devem ser verdadeiras Estas afirmações não podem ser chamadas de teoremas até que sejam demonstradas Neste caso enquanto não forem demonstradas estas proposições são chamadas de conjecturas Vamos considerar a seguinte situação Dado um triângulo com dois lados de comprimentos desiguais o que podemos dizer sobre os ângulos opostos a estes lados Você pode investigar esta situação esboçando um triângulo com dois lados de comprimentos visivelmente desiguais Depois de esboçar alguns modelos você estará convencido de que a seguinte conjectura é verdadeira Se dois lados de um triângulo são de comprimentos desiguais então aos ângulos opostos a estes lados são desiguais e o maior ângulo se opõe ao maior lado Experimente o mesmo tipo de procedimento com os seguintes problemas 1 Considere três pontos quaisquer A B e C É verdade que ABBCAC O que se pode dizer de BCAC comparando com AB E comparando ACAB com BC o que se pode dizer Que conjectura sugere as resposta que você encontrou 2 Considere vários triângulos escalenos de diferentes formas Para cada um deles verifique qual é o maior lado e o maior ângulo Que conjectura deve ser verdadeira 3 Desenhe os triângulos ΔABC e ΔRST tais que RSAB STBC e mRST mABC Compare RT e AC É possível fazer uma conjectura 4 Verifique se o seguinte procedimento descreve um processo válido para dividir um ângulo em três partes de mesma medida Faça alguns desenhos para ajudar a decidir Sobre os lados de um ângulo A tome os pontos B e C de modo que ABAC Trace BC e divida este segmento com os pontos D e E em três partes tais que BDDEEC Trace as semirretas AD e AE Então estas semirretas dividem o A em três partes com a mesma medida Vejamos algumas desigualdades para números segmentos e ângulos As desigualdades entre segmentos e ângulos são definidas em termos dos números que medem estes segmentos e ângulos Definição Um segmento é menor que outro se seu comprimento for menor AB CD se ABCD 182 Geometria e Desenho Geométrico Definição Um ângulo é menor que outro se sua medida for menor A B se m A m B Vamos recordar as leis que governam as desigualdades entre números i Tricotomia Para todo x e y uma e apenas uma das seguintes con dições se verifica xy ou xy ou xy ii Transitividade Se xy e yz então xz iii Lei da adição Se ab e xy então axby iv Lei da multiplicação Se xy e a0 então axay Veja a Proposição Se a b c e c0 então ab Demonstração Como abc temos que ab0 abb0b ab Teorema do ângulo externo Definição Dado um triângulo ABC se C esta entre A e D então BCD é um ângulo externo de ABC Observe na figura seguinte que todo triângulo possui seis ângulos externos Estes seis ângulos formam três pares de ângulos opostos pelo vértice Todo ângulo externo de um triângulo formam um par linear com um dos ângulos do próprio triângulo Definição A e B são chamados ângulos internos não adjacentes aos ângulos externos em C O teorema seguinte é a chave para o estudo das desigualdades geométricas 1211 O teorema do ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos seus ângulos internos não adjacentes Reenunciado Dado ΔABC com C entre A e D então BCD B Demonstração Vamos desenvolver nossa demonstração fazendo afirmações A com suas respectivas justificativas J A1 Seja E ponto médio de BC J1 Todo segmento possui um ponto médio A2 Seja F um ponto da semirreta oposta a EA tal que EFEA J2 Sobre uma reta podemos escrever duas semirretas opostas A3 BEA CEF 184 Geometria e Desenho Geométrico J3 Ângulos OPV A4 BEA CEF J4 LAL A5 m B m ECF J4 Passagem 4 A6 m BCD m ECF m FCD J6 Postulado da adição de ângulos A7 m BCD m B m FCD J7 Passagens 5 e 6 A8 m BCD m B J8 teorema 1 A9 BCD B J9 definição de para ângulos O teorema do ângulo externo tem um corolário simples Corolário 21 Se um triângulo tem um ângulo reto então os outros dois são agudos A demonstração é evidente basta aplicar o teorema anterior Baseado no teorema do ângulo externo é possível enunciar os seguin tes teoremas de congruências Vamos considerar uma correspondência ABC DEF entre dois triângulos Se dois lados correspondentes são con gruentes e dois pares de ângulos correspondentes são congruentes então esta correspondência é chamada LAAlado ângulo ângulo Teorema Toda correspondência LAA é uma congruência Reenunciado dados ABC e DEF se A D B D e AC DF então ABC DEF Demonstração Temos três possibilidades para AB e DE 1 ABDE 2 ABDE 3 ABDE Se 1 se verifica então o teorema vale pois temos uma correspondência LAL Devemos mostrar agora que as duas outras possibilidades são impossíveis Suponha que 2 seja verdadeiro Seja B o ponto de AB tal que ABDE Então o ΔABC ΔDEF Logo ABC DEF e portanto ABC ABC pois por hipótese ABC DEF mas isto é impossível pois ABC é externo do ΔBBC Existem outras propriedades para desigualdades que podem ser exploradas porém o nosso objetivo foi dar apenas o início deste raciocínio para que vocês possam encarar outros problemas relacionados com maior facilidade A Geometria espacial nada mais é do que uma ampliação da Geometria plana No estudo da geometria espacial os objetos de estudo são os mesmos objetos primitivos da geometria ou seja o ponto a reta e o plano No entanto estes elementos serão trata dos no espaço Vamos desenvolver meios apropriados para o estudo destes elementos sob o ponto de vista espacial Inicialmente vamos estabelecer alguns conceitos elementares entre os entes fundamen tais relativos às três dimensões e analisar então planos distintos Vimos que dois pontos determinam uma única reta Para determinar um plano podemos fazer de quatro modos Começa mos com um postulado e a partir deste postulado enunciamos três teoremas que serão apresentados sem demonstração Geometria Espacial e de Posição 13 188 Geometria e Desenho Geométrico Postulado Três pontos não colineares determinam um único plano que os contém Teorema I Uma reta e um ponto não pertencente a ela determinam um único plano que os contém Teorema 2 Duas retas concorrentes determinam um único plano que as contém Teorema 3 Duas retas paralelas distintas determinam um único plano que as contém 189 Geometria Espacial e de Posição 131 Posições Relativas entre Retas e Planos Quando comparamos a posição entre duas retas dadas r e s estas podem ser coplanares estarem no mesmo plano ou nãocoplanares As retas coplana res podem ainda ser concorrentes quando se encontram em pelo menos um ponto que não seja o infinito coincidentes quando possuem todos os pontos em comum r s paralelas distintas quando não possuem pontos em comum se encontram no infinito As retas nãocoplanares são chamadas de reversas pois não estão no mesmo plano nem concorrem em nenhum ponto 2 Retas concorrentes s r α 2 Retas paralelas s r α 2 Retas reversas s r α 190 Geometria e Desenho Geométrico Quando a comparação é entre uma reta e um plano temos três situações a analisar Uma reta está contida num plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano Lembrese que para uma reta r estar contida em um plano α é suficiente que dois pontos distintos de r estejam em α Uma reta é concorrente a um plano quando ela possui um único ponto em comum com o plano Uma terceira situação ocorre quando a reta é paralela a um plano Neste caso a reta e o plano não possuem nenhum ponto em comum 2 A reta r está contida no plano α 2 A reta r é concorrente ao plano α 2 A reta r é paralela ao plano α Quando comparamos a posição relativa entre dois planos também podemos definir três situações Dados dois planos α e β eles podem ser paralelos coincidentes quando possuem todos os pontos em comum para lelos distintos quando não possuem nenhum ponto em comum ou concor rentes secantes quando se encontram segundo uma reta 191 Geometria Espacial e de Posição 2 Os planos α e β são coincidentes 2 Os planos α e β são paralelos distintos 2 Os planos α e β são concorrentes 192 Geometria e Desenho Geométrico Algumas definições importantes devem ser destacadas 2 O ângulo entre duas retas reversas é dado pelo ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra 2 Seja α um plano que contém s e intercepta r e m um ponto Tra çando por este ponto a reta s paralela a s dizemos que o ângulo entre as retas r e s é o ângulo entre as retas concorrentes r e s 2 Duas retas reversas são ditas ortogonais se o ângulo formado entre elas for um ângulo reto Agora é possível apresentar a definição de perpendicularismo entre retas e planos Definição Uma reta e um plano são perpendiculares se interceptaremse e se cada reta contida no plano e passando pelo ponto de interseção é perpen dicular à reta dada Se a reta r e o plano π são perpendiculares escrevemos r π ou r π Se P é o ponto de interseção dizemos que r π em P Na figura mostramos três retas do plano passando por P De acordo com a definição as três são perpendiculares a r apesar de não termos esta impressão pelo fato da figura estar em perspectiva Devemos observar que se tivéssemos exigido que apenas uma reta do plano fosse perpendicular à r isso não teria significado 193 Geometria Espacial e de Posição Para ilustrar esta definição propomos as seguintes atividades 1 i Desenhe um plano perpendicular a uma reta vertical ii Desenhe um plano perpendicular a uma reta horizontal iii Em cada plano dos itens i e ii desenhe três retas que passam pelo ponto de interseção com a reta original Enuncie para cada caso a relação existente entre cada uma destas três retas e a reta original 2 Releia a definição de perpendicularismo de uma reta e um plano e diga se a seguinte afirmação é verdadeira com base nesta definição Se uma reta é perpendicular a um plano então ela é perpendicular a toda reta do plano passando pelo ponto de interseção 1311 Teorema fundamental sobre perpendicularismo Se um plano contiver duas retas perpendiculares a uma reta r em um ponto P então esta reta é perpendicular ao plano em P A demonstração deste teorema é complexa Para tornar esta demonstração um pouco mais simples vamos inicialmente demonstrar um teorema que auxilia na demonstração do teorema principal Estes teoremas auxiliares são chamados lemas que vem da palavra grega ramo Assim um lema é um ramo de uma demonstração mais complexa Lema Se B e C são equidistantes de P e Q então todo ponto entre B e C é equidistante de P e Q O reenunciado é sugerido pela figura Observe que P B X e C devem estar em um mesmo plano pois X está em ŃC e existe um plano que contém ŃB e P Porém pode ocorrer que ΔBPC e ΔQJC estejam em planos diferentes É exatamente este caso que nos interessa Demonstração 1º Dado que BP BQ e CP CQ temos por LLL que ΔBPC ΔQJC 2º Logo PBC AQBC 3º Por LAL temos que ΔPBX ΔQBX 4º Portanto PX QX e X é equidistante de P e Q conforme queríamos demonstrar Vamos também precisar do seguinte corolário São dados um segmento AB e uma reta r o mesmo plano Se dois pontos de r são cada um equidistantes de A e B então r é a mediatriz de AB 1312 Teorema fundamental sobre perpendicularismo Se uma reta é perpendicular a duas retas que se interceptam em seu ponto de interseção então ela é perpendicular ao plano que as contém Reenunciado Sejam r₁ e r₂ duas retas em um plano π que se interceptam em A Seja r a reta que é perpendicular a r₁ e r₂ em A Então r é perpendicular a toda reta r₃ do plano que contém A Demonstração 195 Geometria Espacial e de Posição 1º Sejam P e Q dois pontos de r equidistantes de A Então r1 e r2 são as mediatrizes de PQ em dois planos distintos 2º Cada uma das retas r1 e r2 contém pontos nos dois semiplanos determinados por r3 em π Sejam B e C pontos de r1 e r2 situados em semiplanos opostos determinados por r3 em π Assim a reta por r3 contém um ponto X entre B e C 3º Por 1 e pelo teorema da mediatriz da aula passada cada um dos pontos B e C são equidistantes de P e Q 4º Pelo lema anterior X é equidistante de P e Q 5º Portanto r3 contém o ponto médio de PQ e contém outro ponto X que é equidistante de P e Q Pelo corolário descrito 3r r conforme queríamos demonstrar Mais alguns conceitos importantes devem ser destacados 2 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpen dicular do ponto pelo plano A projeção ortogonal de uma figura é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano A projeção ortogonal de um segmento de reta AB sobre um plano qualquer será um segmento AB formado pelas interseções das retas perpendiculares ao plano passando por esses pontos 2 A intersecção de dois planos secantes é uma reta Estes planos for mam um ângulo chamado de diedro ou ângulo diédrico onde o vértice é a reta em comum e os dois semiplanos são os lados deste diedro Este ângulo pode ser medido através do ângulo plano obtido cortando o diedro com um plano perpendicular aos semiplanos 196 Geometria e Desenho Geométrico Se três planos distintos interceptamse dois a dois em três retas então elas são concorrentes num mesmo ponto ou são paralelas Observe as figuras a b e c concorrem no ponto P 197 Geometria Espacial e de Posição a b e c são paralelas distintas a b e c são retas coincidentes Quando tivermos três ou mais semirretas de mesma origem de modo que não se tenha três em um mesmo semiplano essas semirretas irão deter minar ângulos tais que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço A figura formada por esses ângulos é chamada de Ângulo Poliédrico 198 Geometria e Desenho Geométrico 132 Poliedros A figura seguinte apresenta um exemplo de um ângulo poliédrico Do vértice V partem as semirretas 1s 2s 3s ns O sólido limitado externamente por quatro ou mais regiões planas poli gonais pertencentes a planos distintos que têm dois a dois somente uma aresta em comum é chamado de Poliedro Cada face é uma região poligonal contendo n lados As interseções das faces são as arestas do poliedro As interseções das arestas são os vértices do poliedro No quadro seguinte apresentamos alguns exemplos 199 Geometria Espacial e de Posição Todos os sólidos que não sejam constituídos apenas por faces planas são ditos não poliedros Como exemplos de sólidos geométricos que não são poliedros temos o cilindro o cone e a esfera No quadro seguinte temos alguns sólidos que não são exemplo de poliedros A O B Os elementos de um poliedro são 2 As faces que são os polígonos 2 As arestas que são os lados dos polígonos 2 Os vértices que são os vértices dos polígonos 2 Os ângulos que são os ângulos dos polígonos Observe na figura 200 Geometria e Desenho Geométrico Todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior é convexo Um poliedro pode ser convexo ou não convexo Um poliedro é convexo se qualquer reta o corta em no máximo dois pontos A reunião das faces de um poliedro convexo é denominada superfície poliédrica fechada Polie dros convexos são aqueles cujos ângulos formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus Observe as figuras seguintes Exemplos de Poliedros convexos Exemplos de Poliedros não convexos Duas importantes definições serão descritas a seguir para uma melhor compreensão do estudo de Poliedros Definição Um poliedro convexo é regular quando ele apresenta as seguintes características 2 Suas faces são polígonos regulares e congruentes 2 Os ângulos poliédricos são congruentes 201 Geometria Espacial e de Posição Definição Um poliedro convexo é chamado poliedro de Platão se satisfaz as seguintes condições 2 Todas as faces têm o mesmo número n de arestas nF 2A 2 Todos os vértices são pontos em que concorre o mesmo número m de arestas mV 2A Sendo V o número de vértices F o número de faces e A o número de arestas de um poliedro duas importantes desigualdades para poliedros con vexos serão destacadas 2A3F 2A3V Enunciada e demonstrada pelo matemático suíço Leonhard Euler 17071708 a Relação de Euler válida para todos os poliedros convexos é descrita por V F A 2 ou V A F 2 Aqui cabe uma importante observação Todo poliedro convexo é euleriano verifica a relação de Euler mas nem todo poliedro euleriano é convexo Um exemplo que aparece em alguns livros didáticos é colocado a seguir A bola de futebol que apareceu pela primeira vez na copa de 70 foi inspirada em um conhecido poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais todas regulares Quantos vértices possui tal poliedro Solução Temos 12 faces pentagonais F5 e 20 faces hexagonais F6 no total de 32 faces ou seja F 32 Para encontrar o número A de arestas do poliedro fazemos 5 6 2A 5F 6F 512 620 180 A 90 Como o poliedro e convexo vale a relação de Euler V A F 2 Assim V A F 2 V 90 32 2 V 60 Teorema Existem apenas cinco poliedros regulares convexos Para demonstrar seja n o numero de lados de cada face e seja m o número de arestas que concorrem em cada vértice Temos 2A nF mV ou nF A 2 e nF V m 202 Geometria e Desenho Geométrico Substituindo estes valores na relação de Euler temos nF nF 4m F 2ÞF m 2 2m 2n mn Como m 3 concluímos que n 6 Assim 4m 2m 4m n 3 F n 4 F n 5 F 6 m 4 m 10 3m O quadro seguinte ilustra este teorema Poliedro Ilustração Elementos Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Hexaedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas Octaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas 203 Geometria Espacial e de Posição Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas Icosaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas Com relação aos ângulos das faces de um poliedro convexo a proprie dade a seguir apresenta um importante resultado Propriedade A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo de V vértices é dada por S V 2360º De fato sendo V o número de vértices A o número de arestas e F o número de faces de um poliedro convexo e sendo 1 2 F n n L n o número de lados de cada uma das faces podemos calcular a soma dos ângulos de cada face dada pela relação SF n 2 180 Assim a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é dada por 1 2 F 1 F S S S S n 2 180 n 2 180 204 Geometria e Desenho Geométrico 1 2 F S n n n 2F 180 Assim como 1 2 F n n n é a soma de todos os lados das faces e é também o dobro do número de arestas já que cada aresta é lado de duas faces temos S 2A 2F 180 A F 360 Da relação de Euler V 2 A F concluímos S V 2 360 Na sequência é apresentado um exemplo resolvido de aplicação dessas relações nos poliedros Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos Solução Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces S V 2 360 S V 2360º 2880º V 2 V 2 8 10 S 3290º 2880º 360º Utilizando a relação de Euler A 2 F V e substituindo pelos valo res calculamos o número de vértices A 15 F 15 2 10 7 V 10 Considerando x o número de faces quadrangulares e y o de faces pentagonais formase um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces x y 7 x y 7 4 4x 4y 28 5y 4x 4x 5y 30 4x 5y 30 15 2 2 y 2 x 7 2 5 Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais A busca da métrica da geometria espacial está relacionada com os cálculos de áreas e volumes identificando relações mate máticas adequadas para estes cálculos No desenvolvimento desta unidade vamos dividir nosso trabalho no estudo de Prismas Cilin dros Pirâmides Cones e Esferas 141 Prismas Denominamos de Prisma ao poliedro convexo que possui duas faces paralelas e congruentes As demais faces do prisma são paralelogramos Geometria Espacial Métrica 14 206 Geometria e Desenho Geométrico A B C D E F G H I J Na figura os pentágonos ABCDE e FGHIJ são congruentes e estão contidos nos planos α e β paralelos Os pentágonos são as bases dos prismas Os paralelogramos ABGF BCHG CDIH DEJI e AEJF são as faces laterais Os segmentos AB BC CD DE AE FG GH HI IJ e FJ são as arestas da base do prisma Os segmentos AF BG CH DI e EJ são para lelos e são as arestas laterais do prisma Os prismas recebem nomes de acordo com o polígono das bases Assim um prisma é triangular quando suas bases são triângulos um prisma é quadran gular quando suas bases são quadriláteros um prisma é pentagonal quando suas bases são pentagonais um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais Quando as arestas laterais de um prisma forem perpendiculares aos pla nos das bases o prisma é chamado de reto caso contrário de oblíquo No quadro seguinte temos um exemplo de um prisma reto e de um prisma oblíquo 2 Prisma hexagonal reto 207 Geometria Espacial Métrica 2 Prisma hexagonal oblíquo Observe que 2 Em um Prisma Reto as faces laterais são retângulos A altura do prisma reto tem a medida do comprimento da aresta lateral 2 Em um Prisma Oblíquo existe uma relação entre o comprimento da aresta lateral e o ângulo de inclinação do prisma que é o ângulo entre a aresta lateral e o plano da base Vamos iniciar o estudo da métrica dos prismas com um estudo de dois prismas particulares o cubo hexaedro regular e o paralelepípedo O cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base 208 Geometria e Desenho Geométrico No cubo da figura todas as arestas tem medida α Assim como as faces são quadrados suas diagonais medem a 2 As diagonais do cubo medem a 3 Observe Fazendo a planificação do cubo obtemos seis quadrados congruentes Observe Assim como a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado temos que a Área total do cubo é seis vezes a área do quadrado ou seja 2 Acubo 6a O volume do cubo é dado por 3 V a 209 Geometria Espacial Métrica Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogra mos dessa forma todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos Quando as faces laterais do paralelepípedo são retângulos dizemos que o paralelepípedo é reto Quando o paralelepípedo tem faces e bases retangula res dizemos que o paralelepípedo é reto retângulo A área total de um para lelepípedo é a reunião de seis paralelogramos Observe os exemplos 2 Paralelepípedo reto retângulo 2 Paralelepípedo oblíquo Vamos considerar um paralelepípedo da figura com dimensões a b e c sejam d1 e d as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo ABCDEFGH respectivamente 210 Geometria e Desenho Geométrico Considerando a face ABCD a diagonal d1 é a hipotenusa do triângulo ABC cujos catetos são a e c Aplicando o Teorema de Pitágoras temos 2 2 2 d1 a c Considerando o triângulo retângulo ACG a diagonal d é a hipotenusa e os catetos são d1 e b Aplicando o teorema de Pitágoras temos 2 2 2 2 2 2 1 d d b a b c Observe que a superfície de um paralelepípedo reto retângulo é dada pela área de seis retângulos congruentes dois a dois Assim ou seja ABCD EFGH A A ab ABFE DCGH A A ac ADHE BCGF A A bc Logo a área total á dada pela soma dessas áreas ATotal 2ab 2ac 2bc 2 ab ac bc O volume de um paralelepípedo retângulo de arestas a b e c é dado pelo produto da área da base pela altura Assim V abc Veja o exemplo Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9 12 e 20 e que a sua diagonal mede 100 m Solução Observe que como as arestas são proporcionais a 9 12 e 20 temos que a20p b 12p e c 9p onde p é a constante de proporcionali dade Assim aplicando a relação da diagonal com as arestas temos 2 2 2 2 2 2 d a b c 100 20p 12p 9p 2 100 625p 100 25p p 4 Logo a 20p 80m b 12p 48m e b 12p 48m e c 9p 36m 3 V a b c 804836 138240m Dando sequência ao estudo dos Prismas vamos enunciar o Princìpio de Cavalieri que permite obter uma relação matemática para o cálculo de volumes 211 Geometria Espacial Métrica Princípio de Cavalieri Descrito por Bonaventura Cavalieri um matemático italiano discípulo de Galileu este princípio é um método capaz de determinar volumes de sólidos com muita facilidade O Princí pio de Cavalieri simplifica o cálculo de volumes por meio de cálculo de áreas Neste sentido devemse comparar as áreas das seções obtidas em sólidos geométricos de mesma altura e apoiadas em um mesmo plano por planos paralelos ao plano de suas bases Se a razão entre as áreas de seções correspondentes é constante então a razão entre os volumes dos sólidos considerados é essa mesma constante Esse fato nos leva a entender que se as áreas das seções correspondentes são iguais os sólidos têm o mesmo volume A figura a seguir ilustra o Princípio de Cavalieri Assim utilizando o princípio de Cavalieri podemos calcular o volume de um prisma qualquer dados um paralelepípedo retângulo e um prisma tais que possuam bases equivalentes mesma área apoiadas em um plano α e alturas iguais Se um plano qualquer paralelo ao plano α intercepta os dois sólidos em suas seções transversais de mesmas áreas então pelo princípio de Cavalieri os sólidos têm o mesmo volume Como o volume do paralelepípedo retângulo é dado pelo produto da área da base pela altura e a base do paralelepípedo tem a mesma área da base do prisma então o volume do prisma é dado pelo produto da área de sua base pela sua altura Um Prisma é regular quando sua base é um polígono regular e ele é reto Assim vamos obter as áreas e o volume dos seguintes prismas regulares 212 Geometria e Desenho Geométrico 1411 Prisma triangular regular h a Um prisma triangular regular tem como base um triângulo equilátero de aresta a e altura h Assim 2 Área da base a área da base é a área de um triângulo equilátero de lado a 2 base a 3 A 4 2 Área lateral a área lateral é a soma das áreas dos três retângulos que compõem a superfície lateral ou seja é três vezes a área do retângulo de base a e altura h Alateral 3ah 2 Área total a área total e dada pela soma das áreas das duas bases com a área lateral total base lateral A 2A A 2 Volume o volume é dado pelo produto da área da base pela altura base V A h 213 Geometria Espacial Métrica 1412 Prisma quadrangular regular Um prisma quadrangular regular tem como base um quadrado de aresta a e altura h Assim 2 Área da base a área da base é a área do quadrado de lado a 2 Abase a 2 Área lateral a área lateral é a soma das áreas dos quatro retângulos que compõem a superfície lateral ou seja é quatro vezes a área do retângulo de base a e altura h Alateral 4ah 2 Área total a área total e dada pela soma das áreas das duas bases com a área lateral total base lateral A 2A A 2 Volume o volume é dado pelo produto da área da base pela altura base V A h 1413 Prisma hexagonal regular Um prisma hexagonal regular tem como base um hexágono regular de aresta a e altura h Assim Área lateral a área lateral é a soma das áreas dos seis retângulos que compõem a superfície lateral ou seja é seis vezes a área do retângulo de base a e altura h Alateral 6ah Área da base a área da base é a área do hexágono de lado a Observe que a área do hexágono equivale a seis triângulos equiláteros de lado a Abase 6 a² 3 4 3a² 3 2 Área total a área total é dada pela soma das áreas das duas bases com a área lateral Atotal 2Abase Alateral Volume o volume é dado pelo produto da área da base pela altura V Abaseh 142 Cilindros Podemos entender o cilindro circular como sendo um prisma de base regular com o número de vértices das bases tendendo ao infinito Quando as arestas são perpendiculares às bases temos o cilindro circular reto Caso contrário o cilindro é oblíquo 215 Geometria Espacial Métrica 2 Cilindro reto 2 Cilindro oblíquo Os principais elementos do cilindro são 2 As arestas denominadas por geratrizes do cilindro 2 Suas bases são circunferências que estão contidas em planos paralelos 2 O eixo que é a reta que contém os centros das circunferências 2 A altura do cilindro que é a distância dos planos das bases 2 O raio R da base que é o raio do cilindro Do mesmo modo que procedemos com os prismas podemos proceder com os cilindros para obter suas áreas e seu volume 2 Área da base a área da base é a área do círculo de raio R 2 Abase πR 216 Geometria e Desenho Geométrico 2 Área lateral a área lateral do cilindro é igual a área de um retân gulo cuja base é igual ao comprimento da circunferência da base e cuja altura é a mesma medida da altura do cilindro Assim Alateral 2 Rh π 2 Área total a área total e dada pela soma das áreas das duas bases com a área lateral 2 total base lateral A 2A A 2 R 2 Rh 2 R R h π π π 2 Volume o volume é dado pelo produto da área da base pela altura 2 base V A h R h π No cilindro uma seção é chamada de seção meridiana quando ela contém o eixo A seção meridiana divide o cilindro em dois semicilindros Observe a figura Quando a seção meridiana for um quadrado ou seja a medida da altura do cilindro é igual à medida do diâmetro da base o cilindro é chamado de Cilindro equilátero h 2R O cilindro circular reto é um sólido de revolução Sólido de revolução é o corpo gerado por uma superfície plana girando em torno de um eixo que está situado no mesmo plano O cilindro circular reto é gerado pela rotação de um retângulo por um se seus lados A altura de um cilindro circular reto é a geratriz do mesmo 217 Geometria Espacial Métrica Para encerrar esta seção vamos apresentar um exercício resolvido Considere um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm Calcular 2 A área lateral 2 Alateral 2 Rh 2 23 12 cm π π π 2 A área total 2 Atotal 2 2 2 3 20 cm π π 2 O volume 2 2 3 V R h 2 3 12 cm π π π 143 Pirâmides e Troncos de Pirâmides Vamos considerar um polígono de n lados contido em um plano horizontal e um ponto V localizado fora desse plano Uma Pirâmide é o poliedro obtido com n faces triangulares a superfície lateral e uma face poligonal que é a base da pirâmide O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide 218 Geometria e Desenho Geométrico Observe na figura seguinte os principais elementos da Pirâmide 2 Base A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual está apoiada a pirâmide No caso temos uma base quadrangular ABCD 2 Vértice O vértice da pirâmide é o ponto V que está ligado aos vértices do polígono da base da pirâmide 2 Altura É a distância do vértice da pirâmide ao plano que contém a base da pirâmide 2 Faces laterais São regiões planas triangulares que possuem um vértice coincidente com o vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base 2 Arestas Laterais São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono da base 2 Apótema da base É a altura de cada triângulo da face lateral 2 Superfície Lateral É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais 2 Aresta da base É qualquer um dos lados do polígono da base 219 Geometria Espacial Métrica As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados da base No exemplo inicial temos uma pirâmide de base quadrangular Assim temos 2 Pirâmide Triangular 2 Pirâmide quadrangular 2 Pirâmide Pentagonal 220 Geometria e Desenho Geométrico Vejamos algumas definições que serão importantes na caracterização das pirâmides 2 Uma pirâmide é reta quando o vértice V é equidistante dos vérti ces da base 2 Pirâmide regular é aquela cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base Em uma pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles 2 Chamase apótema de uma pirâmide regular a altura de uma face lateral relativa ao lado da base Chamase apótema da base o apótema do polígono da base Assim uma pirâmide é chamada de Pirâmide Regular Reta quando possui como base um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base Vamos através da planificação obter as áreas das pirâmides 2 Área Lateral de uma pirâmide Uma das técnicas usadas para obter a área lateral da pirâmide é a partir da planificação 221 Geometria Espacial Métrica Na figura temos uma planificação de uma pirâmide de base hexagonal Observe que 2 Área da Base a área da base é igual à área do polígono da base No caso como a base é hexagonal a área da base é dada pelo semipe rímetro multiplicado pelo apótema da pirâmide 2 Área lateral a área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas dos triângulos que compõem a superfície lateral 2 Área total a área total é dada pela soma da Área da base com a Área lateral Na pirâmide regular reta podemos estabelecer as seguintes relações métricas dadas pelo teorema de Pitágoras l 2 No VHM temos 2 2 2 VM HM VH ou seja 2 2 2 g m h 2 No VHB temos VB² HB² VH² ou seja 2 2 2 la R h 2 No VBM temos VB² BM² VM² ou seja 2 2 2 l a a g 2 222 Geometria e Desenho Geométrico Para estabelecer o volume da pirâmide vamos observar o seguinte prisma de base triangular Este prisma pode ser decomposto em três pirâmides duas a duas com mesma base e com mesma altura Logo pelo Princípio de Cavalieri as três pirâmides tem o mesmo volume Assim o volume da pirâmide é dado pela terça parte do volume do prisma ou seja pirâmide base 1 V A h 3 As figuras seguintes representam as três partes que foram divididas o prisma 223 Geometria Espacial Métrica A seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma A seção transversal tem a mesma forma que a base isto é as suas arestas correspondentes são proporcionais A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança Na sequência são apresentadas algumas importantes propriedades da seção transversal 2 Em uma pirâmide qualquer a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança 2 Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base obtemos outra pirâmide menor acima do plano semelhante em todos os aspectos à pirâmide original 2 Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais Chamamos de Tronco de pirâmide o sólido obtido quando por uma seção transversal retiramos da pirâmide maior uma pirâmide menor localizada no topo No tronco de pirâmide temos duas bases uma menor e uma maior e a superfície lateral formada por trapézios Para obter o volume do tronco fazemos a diferença entre o volume da pirâmide maior e o volume da pirâmide menor tronco piramide maior piramide menor V V V 224 Geometria e Desenho Geométrico Estabelecendo a proporcionalidade entre os lados temos que T tronco base maior base menor base maior base menor h V A A A A 3 144 Cones e troncos de cones Podemos entender o cone circular como sendo uma pirâmide de base regular com o número de vértices das bases tendendo ao infinito Deste modo as mesmas relações definidas para as pirâmides são válidas para os cones O cone possui uma base circular de raio R A distância do vértice até a base é a altura do cone A geratriz do cone é qualquer segmento que une o vértice a um ponto da circunferência da base O eixo é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base De acordo com a posição do eixo em relação à base os cones são clas sificados em reto ou oblíquo No cone reto o eixo é perpendicular à base ou seja a altura coincide com o eixo Outra característica importante é que todas as geratrizes são congruentes entre si O cone reto é sólido de revolução e pode ser obtido pela rotação de um triângulo em torno de um dos catetos No cone oblíquo o eixo não é perpendicular à base Observe a figura 225 Geometria Espacial Métrica 2 Cone reto 2 Cone oblíquo No Cone reto vale a seguinte relação métrica 2 2 2 g R h Podemos obter as áreas do cone a partir da planificação Observe 226 Geometria e Desenho Geométrico Área da base A área da base é a área do círculo A base πR 2 Área lateral é a área do setor circular de raio g A área lateral pode ser obtida pela seguinte regra de três simples e direta Imagine uma circunferên cia de raio g O comprimento desta circunferência é dado por π 2 g e a área deste círculo é dador por πg2 Ao setor de comprimento 2 R π observe que o comprimento do setor coincide com o comprimento da base corresponde a área do setor Assim 2 lateral setor 2 g R A A Rg 2 R π π π π Assim como o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma o volume do cone é a terça parte do volume do cilindro Assim 2 cone R h V 3 π Para o tronco do cone fazemos de maneira análoga ao que foi deduzido para os troncos de pirâmides Por meio de uma seção transversal por um plano paralelo à base temos o tronco de cone como a diferença entre o cone original e o cone do topo que foi retirado O volume pode ser dado pela diferença dos volumes lembrando que existe uma proporcionalidade entre as medidas ou pela relação tronco cone maior cone menor V V V Estabelecendo a proporcionalidade entre os lados temos que 227 Geometria Espacial Métrica T tronco base maior base menor base maior base menor h V A A A A 3 2 2 2 2 2 2 T T tronco h h V R r R r R r Rr 3 3 π π π π π 145 A esfera e suas partes Chamamos de esfera o lugar geométrico dos pontos do espaço com dis tância menor ou igual a uma constante R de um ponto fixo O O ponto fixo é chamado de centro da esfera e a constante R é chamada de raio da esfera Na superfície esférica estão localizados os pontos que possuem exatamente a distância R do centro O A esfera também é um sólido de revolução gerado pela rotação com pleta de um semicírculo em torno de um eixo e que contém o diâmetro A relação entre superfície esférica e um plano no espaço é similar à rela ção entre circunferências e retas no plano Um plano E é tangente a uma superfície esférica S se E S con tém exatamente um ponto Esse ponto é chamado ponto de tangência Dizemos que o plano e a superfície esférica se tangenciam nesse ponto Se E S contém mais do que um ponto então o plano é secante à super fície esférica 228 Geometria e Desenho Geométrico Outro resultado importante e representado na figura seguinte Observe que a intersecção de uma superfície esférica com um plano passando pelo seu centro é uma circunferência de mesmo centro e mesmo raio Quando o plano contém um ponto do interior de uma superfície esfé rica então a intersecção do plano com a superfície esférica é uma circun ferência O centro dessa circunferência é o pé da perpendicular ao plano traçada a partir do centro da superfície esférica A seção de uma esfera de raio R por um plano a uma distância h de seu centro é um círculo de raio r definem um triângulo retângulo Assim pelo teorema de Pitágoras temos 2 2 2 R h r 229 Geometria Espacial Métrica Para obter a área da superfície esférica de raio R podese demonstrar a seguinte relação 2 ASuperficie esférica 4 R π Uma demonstração encontrada nos livros didáticos mostra que o volume de uma esfera de raio R é dado por 3 4 V 3 R π Para definir o fuso esférico e a cunha esférica vamos considerar dois semiplanos distintos com origem na reta suporte de um dos diâmetros de uma esfera Fica assim definido na superfície esférica o fuso esférico e na esfera uma região denominada cunha esférica Assim para determinar a superfície de um fuso esférico estabelecemos uma regra de três simples e direta Fuso Esfera θ 360 Aesfera 4πR² Logo 2 fuso R A 90 θπ 230 Geometria e Desenho Geométrico Para determinar o volume de uma cunha esférica estabelecemos uma regra de três simples e direta Fuso Esfera θ 360 π 3 esfera 4 V R 3 Logo cunha R3 V 270 θπ Referências 232 Geometria e Desenho Geométrico BARNETT Rich SCHMIDT Philip A Teoria e problemas de geometria Coleção Schaum 3ª Ed Porto Alegre Bookman 2003 CENTRE INFORMATIQUE PÉDAGOGIQUE Apprivoiser La géomé trie avec CabriGéométre Genève Suisse 1996 COSTA Antonio Mochon TEIXEIRA José Luiz SIQUEIRA Paulo Hen rique SOUZA Luzia Vidal Elementos de Geometria Geometria plana e geometria espacial 3ª ed Curitiba UFPR 2012 COSTA Deise Maria Bertholdi TEIXEIRA José Luiz SIQUEIRA Paulo Henrique SOUZA Luiza Vidal Elementos de Geometria Geometria plana e geometria espacial 3ª ed Curitiba UFPR 2012 Disponível em httpwwwexatasufprbrportaldocsdegrafelementospdf CUPPENS Roger Faire de la géométrie supérieure em jouant avec Cabri Géomètre II Tome 1 Paris APMEP 1999 CUPPENS Roger Faire de la géométrie supérieure em jouant avec Cabri Géomètre II Tome 2 Paris APMEP 1999 DOLCE Osvaldo POMPEU José Nicolau Fundamentos de Matemática Elementar Geometria Plana Vol 9 8 ed São Paulo Atual 2005 IEZZI Gelson Fundamentos de Matemática Elementar Geometria Espa cial Vol 10 6 ed São Paulo Atual 2005 IEZZI Gelson DOLCE Osvaldo Machado Antonio Geometria Plana Conceitos Básicos Volume Único São Paulo Atual 2011 LIMA Elon Lages et al A matemática do ensino médiov 2 6 ed Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2005 MIAMI Marcos Matemática Ensino fundamental 6º ano 7º ano 8º ano 9º ano São Paulo Ibep 2012 RANGEL Alcyr Pinheiro Curvas Rio de Janeiro UFRJ 1974 RANGEL Alcyr Pinheiro Poliedros Rio de Janeiro LTC 1982 WAGNER Eduardo Uma introdução às construções geométricas Rio de Janeiro Impa 2015 disponível em httpwwwobmeporgbrdocsapostila8pdf Nesta publicação iremos apresentar os fundamentos da geometria euclidiana com ênfase nas construções geométricas Neste contexto buscará a apresentação dos conceitos básicos da geo metria plana com ênfase na construção de uma estrutura axiomática funda mentada por demonstrações e construções geométricas Para concluir este tra balho serão apresentados conceitos da geometria espacial de posição e métrica Todo o trabalho desenvolvido tem por objetivo sistematizar a formação do futuro Professor de Matemática dandolhes as ferramentas necessárias para o ensino da geometria e do desenho geométrico ISBN 9788560531271 9 788560 531271