Lista de Exercícios Elementos Finitos - Matriz de Rigidez e Análise Estrutural

ELEMENTOS FINITOS 1 2º Atividade Professor Waldério dos Anjos Vasconcelos QUESTÕES PROPOSTAS DA ATIVIDADE Questão 1 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada uma estrutura cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal Considere 𝑘 25𝑘𝑁𝑚𝑚 Determine a matriz de rigidez de cada elemento numere os elementos ELEMENTOS FINITOS 2 Questão 2 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal Determine a matriz de rigidez de cada elemento manter a numeração dos elementos OBS1 Os valores com XX devem ser preenchidos com os dois últimos números da sua matrícula OBS2 Durante a elaboração da matriz rigidez aconselhase usar unidades que facilitem a escrita como 𝑥106 𝑁𝑚 ENTREGA A resposta da lista deve ser feita a mão e enviada em PDF único através da tarefa criada no Teams Data de entrega segundo cronograma PONTUAÇÃO A nota total da atividade corresponde a 10 ponto da nota da nota final ELEMENTOS FINITOS 1 4º Atividade Professor Waldério dos Anjos Vasconcelos QUESTÕES PROPOSTAS DA ATIVIDADE Questão 1 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal É solicitado a Matriz de rigidez da estrutura b Equação matricial do sistema com as condições de restrição c Deslocamentos dos nós e valores das reações d Tensões nas barras OBS1 Manter a numeração dos nós Utilizar uma ferramenta computacional para inversão de matrizes OBS2 Os valores com XX devem ser preenchidos com os dois últimos números da sua matrícula OBS3 Durante a elaboração da matriz rigidez aconselhase usar unidades que facilitem a escrita como 𝑥106 𝑁𝑚 ELEMENTOS FINITOS 2 Questão 2 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal É solicitado a Matriz de rigidez da estrutura b Equação matricial do sistema com as condições de restrição c Deslocamentos dos nós e valores das reações d Tensões nas barras OBS São válidas as mesmas OBS anteriores ENTREGA A resposta da lista deve ser feita a mão e enviada em PDF único através da tarefa criada no Teams Data de entrega segundo cronograma PONTUAÇÃO A nota total da atividade corresponde a 10 ponto da nota da nota final ELEMENTOS FINITOS 1 3º Atividade Professor Waldério dos Anjos Vasconcelos QUESTÕES PROPOSTAS DA ATIVIDADE Questão 1 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal É solicitado a Matriz de rigidez da estrutura OBS1 Manter a numeração dos nós Utilizar uma ferramenta computacional para inversão de matrizes OBS2 Os valores com XX devem ser preenchidos com os dois últimos números da sua matrícula OBS3 Durante a elaboração da matriz rigidez aconselhase usar unidades que facilitem a escrita como 𝑥106 𝑁𝑚 ELEMENTOS FINITOS 2 Questão 2 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal É solicitado a Matriz de rigidez da estrutura OBS São válidas as mesmas OBS anteriores ENTREGA A resposta da lista deve ser feita a mão e enviada em PDF único através da tarefa criada no Teams Data de entrega segundo cronograma PONTUAÇÃO A nota total da atividade corresponde a 10 ponto da nota da nota final ELEMENTOS FINITOS 1 5º Atividade Professor Waldério dos Anjos Vasconcelos QUESTÕES PROPOSTAS DA ATIVIDADE Questão 1 Um suporte foi representado de forma simplificada por uma treliça conforme figura abaixo É solicitado a Matriz de rigidez da estrutura b Equação matricial do sistema com as condições de restrição c Deslocamentos dos nós e valores das reações ENTREGA A resposta da lista deve ser feita a mão e enviada em PDF único através da tarefa criada no Teams Data de entrega segundo cronograma PONTUAÇÃO A nota total da atividade corresponde a 10 ponto da nota da nota final ELEMENTOS FINITOS 1 6º Atividade Professor Waldério dos Anjos Vasconcelos PROPOSTA DA ATIVIDADE Pesquisar um artigo ou relatório em que haja de forma clara a apresentação de uma análise ESTRUTURAL utilizando o Método dos Elementos Finitos em um software comercial Essas análises também recebem a sigla de FEA Finite Element Analysis O aluno deve fazer um relatório onde exponha de forma clara para a análise escolhida Problema físico estudado Modelo FEM malha Restrições Carregamentos Resultados Relatório pode ser feito na forma de um documento Word ou de Apresentação PowerPoint a escolha do aluno ENTREGA A resposta da lista deve ser feita a mão e enviada em PDF único através da tarefa criada no Teams Data de entrega segundo cronograma PONTUAÇÃO A nota total da atividade corresponde a 10 ponto da nota da nota final Atividade 2 1 para A 1 3 1 3K 3K 3 3K k 7500 7500 7500 7500 kNm K 25 kNmm 2500 kNm para B 1 2 1 k k 2 k k 2500 2500 2500 2500 kNm para C 2 3 2 2k 2k 3 2k 2k 5000 5000 5000 5000 para D 3 4 3 k k 4 k k 2500 2500 2500 2500 2 k1 k2 k3 XX 07 k1 E1A1L1 200109π40015204 8836106 Nm k2 E2A2L2 107109π4002204 8404106 Nm k3 E3A3L3 207109π40022205 157375106 Nm para k1 1 3 1 k1 k1 3 k1 k1 8836 8836 8836 8836106 Nm para k2 1 3 1 k2 k2 3 k2 k2 8404 8404 8404 8404106 Nm para k3 3 2 3 k3 k3 2 k3 k3 157375 157375 157375 157375106 Nm Atividade 5 barra 1 e 3 A 100 mm2 E 70 GPa L 08 m barra 2 A 50 mm2 E 80 GPa L 052 082 0943 m barras 1 2 3 4 θ 90 5890 90 0 cosseno 0 c1 0848 c2 0 c3 1 c4 seno 1 s1 053 s2 1 s3 0 s4 cos5r90 C2 0848 Sen5r90 s2 053 a matriz de rigidez de cada elemento é ki EiAiLi c2 cs1 c12 c1s1 0 s12 c1s1 s12 0 0 c12 c1s1 0 0 0 s12 C1S1 da tabela acima é 01 0 barra 1 E1A1L1 7010910010608 875 kNmm barra 2 E2A2L2 80109501060943 424 kNmm k1 875 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 k2 424 0719 045 0719 045 0 0281 045 0281 0 0 0719 045 0 0 0 0 0 0 0 0 0281 barra 3 k3 k1 875 kNm k3 875 igual a k1 3 4 7 8 6 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 0 0 0 1 barra 4 A4 150 mm2 E 70GPa L 05 m k4 70107 150106 05 21 106 21 kNmm k4 21 5 6 7 8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 1 6 0 6 0 0 a A matriz de rigidez da estrutura é 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 875 0 0 0 875 0 0 3 0 0 305 191 305 191 0 0 4 0 0 0 994 191 119 6 875 5 0 0 6 0 1795 191 21 0 6 0 0 0 0 0 994 0 0 7 0 6 6 6 0 0 21 0 8 0 0 0 6 0 0 0 0 875 b F F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F1 F2 F3 F4 0 5 15 0 e u u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 0 0 0 0 u5 u6 u7 u8 F ku c O sistema se reduz a 0 5 15 0 1795 191 21 0 0 794 0 0 0 0 21 0 6 0 0 875 u5 u6 u7 u8 resolvendo u5 0782 mm u6 0503 mm u7 0714 mm u8 0 as forças são F1 F2 F3 F4 0 875 0 0 0 875 0 0 0 0 305 191 305 191 0 0 0 0 0 994 191 119 0 875 0 0 0 0 0 0 875 0 0 305 191 0 0 191 119 0 875 0782 0503 0714 0 0 4401 1424 2092 F 0 4401 1424 2092 kN 1 0 4401 kN 2 0 1424 kN 3 0 0782 mm 0503 mm 4 0 0714 mm Blank page Atividade 4 1 a k 1724 0 1724 0 157375 157375 1724 157375 329775 b F1 F2 F3 1724 0 1724 0 157375 157375 1724 157375 329775 u1 u2 u3 com F F1 30000 20000 N e u 0 u2 u3 restrições c como u1 0 fixo então o sistema fica F1 1724 u1 0 u2 1724 u3 F2 0 u1 157375 u2 157375 u3 F3 1724 u1 157375 u2 329775 u3 0 F1 0 u2 1724 u3 30000 0 F1 157375 u2 157375 u3 20000 0 F1 157375 u2 329775 u3 0 30000 20000 1 0 172400 0 157375 157375 0 157375 329775 F1 u2 u3 k em Nmm e u em mm e F em N c resolvendo o sistema F1 50000 50 kN u2 048 mm u3 029 mm d1 σ1 F1A1 k1u2 u1 π4 d1² 8836106 029 0103 π4 00152 145 MPa σ2 F2A2 k2u3 u1 π4 d2² 8404029106103 π4 0022 7758 MPa σ3 F3A3 k3u2 u3 π4 d3² 157375106 048 029103 π4 00222 7866 MPa 2 a k 9018 0 3782 5236 0 16763 13738 3025 3782 13738 18223 702 5236 3025 704 8965 kNmm b F k u onde F F1 F2 F3 F4 F1 F2 50 20 e u u1 u2 u3 u4 0 0 u3 u4 c com u1 u2 0 o sistema se reduz a F1 3782 u3 5236 u4 F2 13738 u3 3025 u4 50 18223 u3 702 u4 20 704 u3 8965 u4 50 20 18223 702 704 8965 u3 u4 resolvendo u3 0266 mm u4 0202 mm F1 0517 kN F2 3043 kN σ1 k1u4u1 π4 d1² 13467 MPa σ2 k2u2u4 π4 d1² 5404 MPa σ3 k3u3u1 A3 5692 MPa σ4 k4u3u4 A4 1638 MPa σ5 k5u2u3 A5 27531 MPa Atividade 3 1 matriz de rigidez da estrutura 1 2 3 1 k1k2 0 k1k2 2 0 k3 k3 3 k1k2 k3 k1k2k3 1724 0 1724 0 157375 157375 1724 157375 329775 x 106 k 2 1 4 k2 k1 k5 k4 k3 kS 1 k1 k1 k1 k1 k1 k1 k1 k1 4 2 k2 k2 k2 k2 k4 3 k3 k3 k3 k3 k4 4 3 k4 k4 k4 k4 k5 3 2 3 4 3 k5 k5 k5 k Eπd² 4L k 1 2 3 4 1 k1k3 0 k3 k1 2 0 k2k5 k5 k2 3 k3 k5 k3k4k5 k4 4 k1 k2 k4 k1k5k4 d 1 2 3 4 5 10mm 12mm 15mm 16mm 13mm E 200109 107109 107109 7109 207109 L 03 04 05 02 02 k106 5236 3025 3782 704 13738 k 5236 3782 0 3782 5236 0 3025 13738 13738 3025 3782 13738 3782 704 13738 704 5236 3025 704 5236 3025 704 106 k 9018 0 3782 5236 0 16763 13738 3025 3782 13738 18223 702 5236 3025 704 8965 106 Nm 1 Problema físico O caso estudado foram a análise estrutural de duas pontes com arcos a ponte Zuoz 1901 e uma versão otimizada desta a ponte Tavanasa 1905 projetadas pelo engenheiro civil suíço Robert Mailart Segundo o autor Billington 1983 concluiu que na época não haviam ainda cálculos suficientes para justificar a estabilidade da nova ponte por este modelo representar algo além do seu tempo O autor ainda diz que dois anos após a ponte Zuoz ser construída houveram fissuras nas paredes próximas aos pilares no lado da ponte em que havia incidência do sol Estas fissuras ocorriam devido aos efeitos da dilatação e contração do material e portanto não afetava a estrutura da ponte Mas afetava a estética do mesmo e a ponte Tavanasa foi desenvolvida removendo o concreto do local onde ocorriam as trincas Foto 1 Foto 1 a Ponte Zuoz b Ponte Tavanasa 2 Modelo a Das pontes A ponte Tavanasa foi modelada com os dados numéricos abaixo Foto 2 e uma imagem representando tal modelo simplificado também Foto 2 Dados da ponte Tavanasa E a ponte Zuoz foi modelada com os dados numéricos abaixo Foto 3 e uma imagem representando tal modelo simplificado também Foto 3 Dados da ponte Zuoz A modelagem de cada ponte está na figura abaixo Foto 4 Modelagem das pontes O modelo foi desenvolvido com análise linear e as malhas geradas em modelo tetraédrico para ambas as pontes Foto 5 Malha na ponte Zuoz 258912 elementos e 65902 nós Foto 6 Malha na ponte Tavanasa 26288 elementos e 7315 nós O material utilizado na modelagem foi o chamado SOLID65 um concreto sólido reforçado 3D 3 Condições de contorno a Carregamentos Foram aplicadas cargas móveis que simulam o movimento de veículos sobre a ponte e uma carga distribuída de 3 kNm2 ao longo de todo o tabuleiro b Outros As condições de contorno de movimento foram aplicadas nas superfícies da extremidade das pontes Foram elas a restrição de movimento ou seja nestas superfícies não podem haver movimento para nenhum lado Foto 7 Restrições de movimento nas laterais da ponte 4 Resultados A tabela de tensões e deslocamentos máximos em cada ponte foram A maior tensão de tração ocorreu na ponte Zuoz com 054 Mpa e de compressão na Tavanasa de 07 Mpa Ambos são valores menores que a resistência a tração e compressão do concreto 175 Mpa e 141 Mpa respectivamente Mostrando que realmente são bastante eficientes estruturalmente A figura abaixo mostra a distribuição de tensões e a deformação sofrida pelas pontes Considerando que estruturas arqueadas são mais resistentes à compressão o número a ser considerado nesta análise é a tensão máxima de tração que é menor no modelo Tavanasa e portanto este é o modelo mais eficiente Foto 8 Tensão e deformação no modelo Zuoz Foto 9 Tensão e deformação no modelo Tavanasa 5 Fontes httpsrepositoriouniceubbrjspuibitstream2359612121221655pdf