Revisão de Álgebra Matricial

ELEMENTOS FINITOS REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL Waldério Vasconcelos walderiovasconcelosprofessoresunifbvedubr Aula 04 2 MATRIZ Matriz m x n Tabela formada por m linhas e n colunas Representação dos elementos 3 Multiplicação de Matriz por Constante Todos os elementos da matriz são multiplicados pelas constante 4 Multiplicação de Matrizes Somente é possível multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira matriz m x r é igual ao número de linhas da segunda matriz r x n Resultando na matriz Cm x n 5 Matriz Simétrica Uma matriz é simétrica se 𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑗𝑖 EX 𝑨 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝑘21 𝑘12 𝑘32 𝑘23 6 Matriz Diagonal Todos os elementos que não são da diagonal principal são nulos EX 𝑩 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 7 Matriz Identidade Matriz diagonal tal que os elementos da diagonal são iguais a 1 EX 𝑰 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 Uma matriz qualquer multiplicada por uma matriz identidade é igual a ela mesmo 𝑨 𝑰 𝑨 8 Equação Matricial Podese montar uma equação matricial a partir de um sistema de equações algébricas EX 𝒙 𝒛 𝟑 𝒙 𝟐𝒚 𝟐𝒛 𝟔 𝟑𝒚 𝟑𝒛 𝟔 Resposta 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 𝟑 𝒙 𝒚 𝒛 𝟑 𝟔 𝟔 9 Equação Matricial MEF Na aplicação do MEF para solução de problemas estruturais temos ou 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟏𝟑 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟐𝟐 𝒌𝟐𝟑 𝒌𝟑𝟏 𝒌𝟑𝟐 𝒌𝟑𝟑 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒇𝟏 𝒇𝟐 𝒇𝟑 𝐹 𝐾 𝑈 𝐾 𝑈 𝐹 Expandindo os termos 10 Determinante de Matriz Quadrada Cálculo da determinante Matriz 2x2 Matriz 3x3 11 Cofatores Eliminando a linha 𝑖 e sua coluna 𝑗 obtémse outra matriz de ordem 𝑛 1 cujo determinante multiplicado por 1𝑖𝑗 é chamado de COFATOR Exemplo 12 Matriz Transposta Obtémse trocando linhas por colunas da matriz Temos 𝑩 𝑨 𝑻 𝒌𝒊𝒋 𝑨 𝒌𝒋𝒊 𝑩 𝑨 𝒎𝒙𝒏 𝒂𝒏𝒅 𝑩 𝒏𝒙𝒎 𝑨 𝑻 𝑻 𝑨 Matriz Transposta 14 Matriz Inversa Apenas matrizes quadradas são inversíveis Para ser inversível a condição deve ser satisfeita Temos det 𝑨 𝟎 𝑩 𝑨 𝟏 𝑨 𝑨 𝟏 𝑰 Similar a números 𝒏 𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝒏 𝟏 15 Matriz Inversa Cálculo da Matriz Inversa 16 Sistemas Lineares pela Regra de Cramer Podese aplicar a regra de Cramer para verificar se o sistema tem solução se esta é única Determinado ou mais de uma Indeterminado ou não há solução Impossível 17 Sistemas Lineares pela Regra de Cramer Calculando o determinante D 18 Sistemas Lineares pela Regra de Cramer 19 Sistemas Lineares pela Regra de Cramer 20 Sistemas Lineares pela Regra de Cramer CENTRO UNIVERSITÁRIO