Solução de Deslocamentos da Estrutura: Equações Matriciais e Condições de Apoio

ELEMENTOS FINITOS SOLUÇÃO DE DESLOCAMENTOS DA ESTRUTURA Waldério Vasconcelos walderiovasconcelosprofessoresunifbvedubr Aula 06 Como resolver a equação matricial encontrada na aula anterior para encontrar os deslocamentos 2 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES MATRICIAIS Com os Deslocamentos nodais é possível por exemplo determinar as deformações e tensões na estrutura Objetivo Cálculo da matriz 𝑈 dos deslocamentos Nodais 3 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES MATRICIAIS ou 𝐹 𝐾 𝑈 𝐾 𝑈 𝐹 Prémultiplicar por 𝐾1 𝐾1 𝐾 𝑈 𝐾1 𝐹 𝐼 𝑈 𝑈 𝑈 𝐾1 𝐹 A determinante da Matriz de Rigidez K simétrica é Zero Ou seja o sistema não tem solução não conseguimos também calcular a matriz inversa 4 SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES MATRICIAIS Do pondo de vista Físico a estrutura está em Movimento de Corpo Rígido Sem solução estática 𝑈 𝐾1 𝐹 5 CONDIÇÃO DE APOIO Condição de Contorno Caso de uma viga 3 GDL Restritos 3 GDL Restritos Caso 1D Mola ou Barra 1 GDL Restrito As forças nos GDL restritos deixam de ser conhecidas para serem incógnitas Reações Considerando por exemplo como condição de apoio a restrição de movimento no nó 1 𝑈1 0 6 ESTRUTURA COM CONDIÇÃO DE APOPIO 1 2 3 1 2 Estrutura Indeformada Estrutura após aplicação das cargas 𝑓2 𝑓1 U 1 0 1 2 3 𝑓3 U2 U3 1 2 Sistema anteriormente encontrado PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑘1 𝑘1 0 𝑘1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑈1 𝑈2 𝑈3 Partição das Matrizes do Sistema 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑘1 𝑘1 0 𝑘1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑈1 𝑈2 𝑈3 A determinar Conhecido Conhecido A determinar O problema é separado em dois sistemas PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO 𝑓2 𝑓3 𝑘1 0 𝑈1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑈2 𝑈3 𝑓1 𝑘1 𝑈1 𝑘1 0 𝑈2 𝑈3 Cálculo das Reações Cálculo dos Deslocamentos 1º Determinar 𝑈2 𝑒𝑈3 Conhecido 2º Substituir 𝑈2 𝑒𝑈3 Sendo a condição de apoio 𝑈1 0 PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO 𝑓2 𝑓3 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑈2 𝑈3 𝑓1 𝑘1 0 𝑈2 𝑈3 Cálculo das Reações Cálculo dos Deslocamentos Sistema com duas incógnitas e duas equações 𝑈 𝐾1 𝐹 Os deslocamento podem ser calculado resolvendo o sistema matricial Cálculo das tensões Não se aplicado a elementos de mola PÓSPROCESSAMENTO Dado inicial do Problema Para a estrutura considerando elementos de barra 𝜎𝑒 𝐹𝑒 𝐴𝑒 𝐹𝑒 𝑘𝑒𝑢2 𝑒 𝑢1 𝑒 Vista anteriormente Eq II 𝐴𝑒 Adaptando 𝐹𝑒 para notação da estrutura 𝐹1 𝑘1𝑢2 1 𝑢1 1 𝐹2 𝑘2𝑢2 2 𝑢1 2 𝐹1 𝑘1𝑈2 𝑈1 𝐹2 𝑘2𝑈3 𝑈2 𝜎1 𝐹1 𝐴1 𝜎2 𝐹2 𝐴2 EXERCÍCIO 01 O sistema de barras abaixo representa de forma simplificada um suporte cujos movimentos são preferencialmente na direção horizontal É solicitado EXERCÍCIO 01 a Matriz de rigidez da estrutura b Equação matricial do sistema com as condições de restrição c Deslocamentos dos nós e valores das reações d Forças internas nas molas CENTRO UNIVERSITÁRIO UniFBV