Matriz de Rigidez do Elemento Mola: Análise e Aplicações

ELEMENTOS FINITOS MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO E DA ESRUTURA Waldério Vasconcelos walderiovasconcelosprofessoresunifbvedubr Aula 05 Analisando um elemento de mola sujeito a forças em suas extremidades 2 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO MOLA 𝑓2 𝑓1 𝑓2 𝑓1 𝑢 1 𝑢 2 seção Parte A Parte B 𝑓1 𝐹 𝑓2 𝐹 1 2 2 2 1 1 𝐹 Força Interna Aplicando a Lei fundamental 1 Equilíbrio das Forças 3 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO MOLA Parte B 𝑓1 𝐹 𝑓2 𝐹 2 1 Σ𝐹 0 Parte A 𝑓1 𝐹 0 𝑓1 𝐹 Eq I 𝑓2 𝐹 0 𝑓2 𝐹 Eq II Aplicando a Lei fundamental 3 comportamento do material 4 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO MOLA 𝑑 𝑢2 𝑢1 𝐹 𝑘𝑑 Sendo 𝑑 a deformação na mola 𝐹 𝑘𝑢2 𝑢1 Logo Eq III Substituindo Eq III nas Eq I e II 5 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO MOLA 𝑓1 𝑘𝑢2 𝑢1 𝑓2 𝑘𝑢2 𝑢1 𝑓1 𝑘𝑢1 𝑢2 𝑓2 𝑘𝑢2 𝑢1 𝑓1 𝑘𝑢1 𝑘𝑢2 𝑓2 𝑘𝑢2 𝑘𝑢1 𝑓1 𝑘𝑢1 𝑘𝑢2 𝑓2 𝑘𝑢1 𝑘𝑢2 𝑓1 𝑓2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑢1 𝑢2 De forma Matricial Matriz de Rigidez do elemento 6 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO MOLA 𝑓1 𝑓2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑢1 𝑢2 Matriz de Rigidez do elemento A dimensão da Matriz Rigidez do elemento é 𝑛 𝑥 𝑛 onde 𝑛 está relacionado ao número de nós e ao número de Graus de Liberdade GDL 𝑛 𝑁ó𝑠 𝑥 𝐺𝐷𝐿 7 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO 𝑘 𝑒 𝑘11 𝑘12 𝑘21 𝑘22 Significado físico da Matriz de Rigidez do Elemento 𝑘𝑖𝑗 Nó aplicado Deslocamento Nó em que surge a Força 𝑘𝑖𝑗 CAUSA EFEITO Teste 01 Deslocamento nó 1 𝑓1 𝑢 1 𝑢 2 0 1 2 1 2 𝑓2 𝑘11 𝑘 𝑘21 𝑘 8 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO Significado físico da Matriz de Rigidez do Elemento Teste 02 Deslocamento nó 2 𝑘21 𝑘 𝑓2 𝑢 2 1 2 2 1 𝑢 1 0 𝑓1 𝑘22 𝑘 𝑢 2 0 9 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO BARRA Discretizando o elemento Analisando um elemento de mola sujeito a forças em suas extremidades Nº do Nó Nº do Elemento 𝐴𝑒 𝐸𝑒 𝑙𝑒 1 2 𝑒 Área da seção transversal Módulo de Elasticidade Comprimento 𝐹𝑒 Força Interna Aplicando a Lei fundamental 1 Equilíbrio das Forças 10 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO BARRA Parte B Σ𝐹 0 Parte A 𝑓1 𝐹𝑒 0 𝑓1 𝐹𝑒 Eq I 𝑓2 𝐹𝑒 0 𝑓2 𝐹𝑒 Eq II 𝑓1 𝐹𝑒 1 𝑓2 2 𝐹𝑒 Aplicando a Lei fundamental 3 comportamento do material 11 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO BARRA 𝛿𝑒 𝑢2 𝑢1 𝜎𝑒 𝐸𝑒𝜀𝑒 A partir de conceitos de Mecânica dos Sólidos Lei de Hooke Carregamento Axial 𝜎𝑒 𝐹𝑒 𝐴𝑒 𝜀𝑒 𝛿𝑒 𝑙𝑒 Deformação Específica Deformação Linear 𝛿𝑒 Trabalhando com as equações do material MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO BARRA 𝐹𝑒 𝐴𝑒 𝐸𝑒𝜀𝑒 Deformação Linear 𝐹𝑒 𝐴𝑒 𝐸𝑒 𝛿𝑒 𝑙𝑒 𝐹𝑒 𝐸𝑒𝐴𝑒 𝑙𝑒 𝛿𝑒 𝜎𝑒 𝐸𝑒𝜀𝑒 𝐹𝑒 𝐸𝑒𝐴𝑒 𝑙𝑒 𝑢2 𝑢1 De forma análoga a Eq III do Elemento de Mola 𝐹 𝑘 𝑢2 𝑢1 𝐹𝑒 𝐸𝑒𝐴𝑒 𝑙𝑒 𝑢2 𝑢1 𝑘𝑒 𝐸𝑒𝐴𝑒 𝑙𝑒 Eq III Substituindo Eq III nas Eq I e II 13 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO BARRA 𝑓1 𝑘𝑒𝑢2 𝑢1 𝑓2 𝑘𝑒𝑢2 𝑢1 𝑓1 𝑘𝑒𝑢1 𝑢2 𝑓2 𝑘𝑒𝑢2 𝑢1 𝑓1 𝑘𝑒𝑢1 𝑘𝑒𝑢2 𝑓2 𝑘𝑒𝑢2 𝑘𝑒𝑢1 𝑓1 𝑘𝑒𝑢1 𝑘𝑒𝑢2 𝑓2 𝑘𝑒𝑢1 𝑘𝑒𝑢2 𝑓1 𝑓2 𝑘𝑒 𝑘𝑒 𝑘𝑒 𝑘𝑒 𝑢1 𝑢2 De forma Matricial 𝒌𝒆 Matriz de Rigidez do elemento 𝑘𝑒 𝑘𝑒 1 1 1 1 𝑘𝑒 𝐸𝑒𝐴𝑒 𝑙𝑒 1 1 1 1 𝑜𝑢 Considerando mais de um elemento 14 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA 𝑓2 𝑓1 U 1 1 2 3 𝑓3 U 2 U 3 1 2 𝑘1 𝑘2 𝐹1 1 𝐹2 1 Nº do Nó Nº do Elemento 𝐹1 2 𝐹2 2 1 2 𝑓2 𝑓1 𝑓3 𝐹1 1 𝐹2 1 𝐹1 2 𝐹2 2 Modelo Simplificado Forças no Elemento Forças no Nó Aplicando a Lei fundamental 1 nos Nós Equilíbrio das Forças 15 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA Σ𝐹1 𝑓1 𝐹1 1 0 𝑓1 𝐹1 1 Σ𝐹2 𝑓2 𝐹2 1 𝐹1 2 0 𝑓2 𝐹2 1 𝐹1 2 Σ𝐹3 𝑓3 𝐹2 2 0 𝑓3 𝐹2 2 16 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA Eq II Considerando a Lei fundamental 3 comportamento do material já utilizada no elemento Mola 𝐹 𝑘𝑒𝑢2 𝑒 𝑢1 𝑒 𝐹1 1 𝐹 𝑘1𝑢2 1 𝑢1 1 considerando elemento em tração sinal corrigido elemento em compressão 𝐹1 1 𝑘1𝑢1 1 𝑘1𝑢2 1 𝐹2 1 𝐹 𝑘1𝑢2 1 𝑢1 1 𝐹2 1 𝑘1𝑢2 1 𝑘1𝑢1 1 𝐹1 2 𝐹 𝑘2𝑢2 2 𝑢1 2 sinal corrigido elemento em compressão 𝐹1 2 𝑘2𝑢1 2 𝑘1𝑢2 2 𝐹2 2 𝐹 𝑘2𝑢2 2 𝑢1 2 𝐹2 2 𝑘2𝑢2 2 𝑘2𝑢1 2 17 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA Considerando a Lei fundamental 2 compatibilidade de deslocamento Logo 𝑓1 𝑘1𝑢1 1 𝑘1𝑢2 1 𝑓2 𝑘1𝑢2 1 𝑘1𝑢1 1 𝑘2𝑢1 2 𝑘1𝑢2 2 𝑓3 𝑘2𝑢2 2 𝑘2𝑢1 2 𝑈1 𝑢1 1 𝑈2 𝑢2 1 𝑢1 2 𝑈3 𝑢1 2 𝑓1 𝑘1𝑈1 𝑘1𝑈2 𝑓2 𝑘1𝑈2 𝑘1𝑈1 𝑘2𝑈2 𝑘2𝑈3 𝑓3 𝑘2𝑈3 𝑘2𝑈2 18 MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA De forma Matricial Organizando 𝑓1 𝑘1𝑈1 𝑘1𝑈2 0𝑈3 𝑓2 𝑘1𝑈1 𝑘1 𝑘2𝑈2 𝑘2𝑈3 𝑓3 0𝑈1 𝑘2𝑈2 𝑘2𝑈3 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑘1 𝑘1 0 𝑘1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 𝑈1 𝑈2 𝑈3 𝒌𝟏 𝒌𝟐 19 MONTAGEM DIRETA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA Considerando as matrizes dos elementos 𝑘1 𝑘1 𝑘1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 Matriz de rigidez da ESTRUTURA 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 𝑘1 𝑘1 0 𝑘1 𝑘1 𝑘2 𝑘2 0 𝑘2 𝑘2 CENTRO UNIVERSITÁRIO UniFBV