Harmônicas e Série de Fourier em Sinais Periódicos Não Senoidais

1 1 SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS Freqüências harmônicas Sejam dois sinais senoidais de freqüências respectivas nf e 0f A freqüência nf é harmônica da freqüência 0f quando for satisfeita a igualdade f n nf0 onde n é qualquer número inteiro positivo inclusive zero A freqüência 0f é chamada normalmente de freqüência fundamental Neste caso dizemos que a freqüência nf é a enésima harmônica da freqüência 0f A fig 11 mostra uma senoide fundamental sua segunda harmônica e sua harmônica de ordem zero Notese que a harmônica de ordem zero é um sinal de freqüência zero ou seja é um sinal contínuo T 2 T Segunda harmônica Fundamental 0f 0 2 f t t Harmônica de ordem zero 0 0 0 0 0 f Fig 11 Composição harmônica de um sinal periódico não senoidal O matemático francês Fourier demonstrou matematicamente que todo sinal periódico não senoidal é composto de uma soma de senoides harmônicas de uma freqüência fundamental Esta série de senoides cujas freqüências são harmônicas da componente fundamental se denomina série de Fourier Freqüência fundamental Um sinal periódico não senoidal cujo período é 0 T tem como freqüência fundamental o parâmetro 0 0 1 f T 2 Vamos ilustrar a afirmação de Fourier analisando um sinal periódico com forma de pulsos de amplitude V e período 0 T A duração de cada pulso é igual a metade do período ou seja 2 τ T0 Ver fig 12 V 0T t 0 2 0T τ Fig 12 Esta forma de onda é composta de uma freqüência fundamental de valor 0f e das senoides harmônicas de freqüências 0 0 3 f 0 5 f 0 7 f etc O valor da componente contínua harmônica de ordem zero é sempre a média do sinal periódico Em nosso exemplo em que os pulsos variam 0 a V e duram a metade do período essa média resultou no valor 2 V A componente fundamental a terceira e a quinta harmônicas possuem respectivamente as amplitudes π 2V π 3 2V e π 5 2V A fig 13a faz a composição da componente fundamental com a componente contínua e com a terceira harmônica A fig 13b adiciona a esse sinal composto a quinta harmônica Percebese que a composição dessas senoides caminha no sentido de se aproximar da forma do sinal pulsado original 2 V V 0 a b Fig 13 Se passarmos esse sinal pulsante por um filtro passa baixas que impede a passagem de todas as componentes alternadas teremos na safida apenas a componente continua ou seja O sinal que representa a sua média Ver Fig 14 Vv Vv Filtro 2 0 Passa nee Baixas Fig 14 Um voltimetro DC de ponteiro se comporta como um filtro passa baixas natural Quando por exemplo se mede um sinal pulsante de freqiiéncia fundamental de 60 Hz a inércia de seu mecanismo de medic4o impede que seu ponteiro acompanhe a variacao rapida do sinal pulsante Isto faz com que ele acabe indicando o valor médio dessa variacao Esse valor médio corresponde a componente continua desse sinal pulsante Exemplo Se for medida a tens4o com um voltimetro DC do sinal de relégio digital mostrado na fig 15 ele indicara a tensAo de 2 volt 4y HERE 0 Fig 15 Expressao matematica da série de Fourier do sinal pulsante exemplificado eA ae 1 Freqiiéncia ciclica fundamental f rp Hz 0 ns rd 2a rd Freqiiéncia angular fundamental 27f ou Tr s i Chamando 0 sinal pulsante exemplificado de vt temse V2 2V 2V vt senat sen3t sen5at sesseeeeeeees 2 2 32 5x Representac4éo no dominio da freqiiéncia espectro de freqiiéncias A fig 16 mostra a representacd4o dessa série de Fourier no dominio de freqiiéncias 3 4 Fig 16 Caso geral de sinal periódico Seja o sinal periódico t v representado na fig 17 0 t 0T 0T t t v Fig 17 Sua série de Fourier tem a forma geral cos 3 cos 2 cos 2 0 3 0 2 0 1 0 t A t A t A A v t ω ω ω sen 3 sen 2 sen 0 3 0 2 0 1 t B t B t B ω ω ω Reparese que no caso geral cada harmônica da série de Fourier é representada por um par de termos um seno e um coseno Desta maneira por exemplo a enésima harmônica é representada pelo par t n An cos ω0 e t Bn senω0 Determinação das amplitudes n A e n B Vamos escolher arbitrariamente um intervalo de tempo iniciado em t 1t e terminado em 0 1 T t t Ver fig 18 π V 2 ω ω0 2ω0 3ω0 4ω0 5ω0 0 3π 2V 5π 2V 2 V vt A Qh 1 t i T Fig 18 Neste caso teremos 2 ptt A vtcosnrdt Ty B vsennata T n0 1 2 3 4 we Notese que para n 0 resulta 2 pntt 2 pntt A vt cos0 dt vt dt 7 vOvostolar f ve 2 pitt 2 pitt B vesen0ar f vrx0xar 0 T Ty Origem no tempo E comum adotarmos uma posicdo na representacao do sinal periédico onde t 0 Este ponto é denominado origem no tempo A direita dessa posigéo temos ft 0 A esquerda teremos t 0 Ver fig 19 origem t 0 t Fig 19 5 Exemplo de calculo de amplitudes das componentes harmonicas Como ilustragéo vamos calcular as amplitudes das harm6énicas da onda quadrada pulsante do nosso exemplo Na fig 110 redesenhamos o sinal com a indicagéo de uma origem temporal que foi escolhida Seja o tempo inicial do intervalo de integragao o ponto f fo 2 vt V Th 0 t 1 1 ty 90 Fy Fig 110 fo Ty 2 2 26 Ay vtdt Oxdt Vat 2 2 Nh 2 V Ty Ty 2 2 2 0 Tp Th 2 2 2 A costar 0xcosape dr V cost dr Ty Ty Ty 4 2 2 Nh 2V T 20 iT V 0 sent 7V To sen x2 sen0 senzsen00 TQ 0 T 24 T 2 a 6 1 Ty 2 2 2 B vsenr ur fox sent dt v sent dt Ty Ih Ty Ih Ty 0 2 2 th 2V 2V iT 2a iT 0 cosat x cos oF A cos0 Ty 0 1 2 T 2 V V 2V coszcos011 B 2v a a a ik Th Ty 2 7 2 7 Se calculassemos A vcos2ardt B vsenQardt Ty n Ty n 2 2 1 Tp 2 2 A J vcos3er ur e B vsenGorat T Tp Ty Ty 2 2 chegariamos aos resultados 2V A 0 B 0 A 0 e B 30 Portanto confirmase que até a terceira harmGnica a composicao da série de Fourier é 2 2 vt VM senast a sen3ayt cecceeernee 2 2 30 Propriedades dos valores de Ae B Ao 24 O termo corresponde ao valor médio de vt componente continua Os valores de A e B n0 dependem da posicao da origem do tempo f 0 Seja novamente o sinal pulsado A fig 111 mostra uma posicao da origem adotada como exemplo Podemos ver que a funao adquire o mesmo valor tanto para f positivo quanto para f negativo ou seja vt vt Nesta situagéo dizemos que vt é uma funcao par Neste caso na série de Fourier desse sinal todas as amplitudes B se anulam Teremos somente termos do tipo A cosnpt incluindo A 7 8 V t 0 t v 2 0 1 T 0 2 0 1 T t v t t v Fig 111 A série de Fourier desse sinal com a origem nessa posição é cos 5 5 2 cos 3 3 2 cos 2 2 0 0 0 t V t V t V V v t ω π ω π ω π Seja agora o sinal com a forma de onda quadrada mostrada na fig 112 Neste caso a origem foi escolhida de tal forma que se tenha t v v t Temse portanto uma função ímpar Neste caso na série de Fourier desse sinal todas as amplitudes n A se anulam Teremos somente termos do tipo t n Bn 0 sen ω 2 V t 0 0 2 V 2 0 T 2 0T t v t t v t v Fig 112 Sua série de Fourier toma a forma sen 5 5 2 sen 3 3 2 sen 2 0 0 0 t V t V t V v t ω π ω π ω π Sugestao Sempre que for possivel deveremos escolher a origem t 0 de tal forma que se tenha fun4o par ou fungao impar Desta maneira teremos que calcular apenas a metade dos coeficientes da série geral de Fourier Exercicio 11 Calcular a amplitude da componente continua do sinal periddico abaixo Esse sinal representa uma tensdo senoidal de amplitude V retificada por meio de um diodo ideal Notese que 2 T T vt V cost para r T 4 4 vt 0 no restante do perfodo vt V 0 r 0 To fo 1 re 2 4 4 2 Solucao Podemos ver que em torno da origem a funcdo é par ou seja t vr Portanto a série de Fourier s6 contém termos em coseno A amplitude da componente continua fica dada pela expressao 12 1 2 1 20 Voc Av 4 vtcosOdt i vtdt 4 V cos adt 2 Ty T T T 0 4 0 4 0 4 0 Qo 4 VT 2a V a a V xXsen sensen T 24 Ty 20 2 2 a fo 4 Exercicio 12 Determinar a componente continua valor médio do sinal pulsado cujo periodo T ea duragao do pulso é 7 Ver figura abaixo 9 LL ho F 8 5 fh 5 2 2 7 Solucao To zt 1 1 1 Mo F fyar4 jvaFv5v5v2 2 1 Th qT t Ty 2 2 T 2 2 Portanto Ay V 2 T 1 Notese que quando o pulso dura a metade do periodo 7 resulta AV 2 2 Espectro de freqiiéncias no caso geral Voltemos 4 expressdo geral da série de Fourier Ao vt A cost A cos2t Az cOs3pt B sent B sen2t B sen3t Vamos agrupar os termos de mesmas freqiiéncias Ao vt A cost B sentA cos2t B sen2t A cos3t B sen3at Como as senoides de mesma freqiiéncia estao em quadratura podemos fazer a composicaéo vetorial mostrada na figura 113 10 Bi g D D A B Le n ton B A 18 Fig 113 Portanto A cosnt B sennt D cosnt B onde DA B e tg Fe Desta maneira a série de Fourier toma a forma Dy vt D cost D cos2t b D cos3yt by vee Podemos escrever esta série em uma forma compacta vt Pv SD cosn t 2 n 0 n nl B onde DAB e tg Fe Propriedades de D ne O valor de D resulta sempre o mesmo independentemente da escolha da origem t 0 O valor de a Unica grandeza que varia com a posigéo de t0 O conjunto de freqiiéncias n e as respectivas amplitudes D formam o espectro de freqiiéncias do sinal periddico vt Este espectro de freqiiéncias corresponde A figura que observamos quando se injeta o sinal vt em um analisador de espectro Ver figura 114 D I MD D D fy a S TT 2x D D Ty as 3 f 0 fi 0 2 fi 0 J 0 Af 0 5 fi 0 Fig 114 11 2 FORMA EXPONENCIAL DA SERIE DE FOURIER Vimos no capitulo 1 que a formula geral da série de Fourier é Ao vt a A cost A cos2t Az COS3pt B sent B sen2t B sen3t As férmulas de Euler fornecem as igualdades e cosx jsenx e cosx jsenx Podemos ver que Jx jx ee 2cosx ou cosx be i ee 2jsenx ou sen x 2j Estas formulas de coseno e seno sao conhecidas como férmulas de Moivre Vamos aplicalas aos termos da série de Fourier eno ein Mo cosnt 2 ein o en eot elo e not sennt 2j 2 Substituindo estas igualdades na expressao geral da série de Fourier resulta A vt ee e 1 J Ae ei2e0 e 4 3 ey oO S 2 2 2 2 B Jot jot B J2ot j2pot B 3 ot j3ot jre e Jjeler e oO Je je ler ee 8 Jt Pilon mr 5 Ba 1B Agrupando os termos com a mesma exponencial resulta vt Ao A JB el A JB elo 4 A JB ePOo o 2 2 2 2 12 A JB e 1 A JB e120 4 A JB e320 2 2 2 Podemos escrever vt C Ce C677 CeO e FC 0 1 4 C07 Ce Ba A jB A jB onde C n J n e C n J n 2 2 Notese que os coeficientes C e C sao numeros complexos conjugados Podemos observar também que C Ay jx Ap 0 2 2 Esta forma de exprimir a série de Fourier é conhecida como série exponencial de Fourier Podemos representar a série exponencial pelo grafico da figura 21 Neste caso os coeficientes C e C da série exponencial sao numeros complexos Cc C Co C C C Cc C C 40 3 2 0 QW 2M 3a 4Q Fig 21 Reparese que na representacéo mostrada na fig 21 aparecem freqiiéncias positivas e negativas Devida a essa situag4o dizse que essa figura representa a forma bilateral da série de Fourier Esta é apenas uma representagéo matematica pois sabemos que fisicamente nao existem freqitiéncias negativas Expressao compacta da série exponencial de Fourier Not vt Ce nco 13 A jB AjB onde C nh J n e C n J n 2 2 Esta expressao também é conhecida como transformada de Fourier de um sinal periéddico vt Outro tipo de representagéo da série de Fourier bilateral esté mostrado na fig 22 Nesta representacao os coeficientes das componentes entram na forma do mddulo de seus valores complexos ou seja VAn B cJol45 Ic Ic IC ic iP 1 40 3 2 0 QM 20 3a 40 Fig 22 Como veremos mais adiante esta ultima representacdo é util por exemplo para a determinagaio da poténcia média de um sinal vt nado senoidal Também facilita a determinagao do sinal resultante de processamentos de vt como por exemplo filtragens modulacoes etc A notag4o exponencial bilateral da série de Fourier 6 a mais usada na literatura técnica de telecomunicagées do que a notaao trigonométrica unilateral Foérmula opcional para o calculo da poténcia média de um sinal v periddico Quando n4o se dispée da série de Fourier a poténcia média sé pode ser calculada pela férmula geral 1 2 vt dat Ty fe P R Nota Nas disciplinas de telecomunicagGes é costume supor que a tensio vt estd sobre uma resisténcia padronizada R1Q Nesta apostila sempre adotaremos essa convencao 14 1 2 Portanto P rh vc at Vimos em cursos anteriores que a poténcia média de uma tensdo senoidal é dada por rensao eficaz nee P RO tensao eficaz pois R1 Q amplitude amplitude ou P J2 2 Quando se disp6de da série de Fourier a poténcia média é igual a soma das poténcias médias de todas as componentes senoidais adicionadas 4 poténcia da componente DC ou seja Ay 1 2 2 2 2 2 2 P 54 A Al 4B B B Podemos reescrever na seguinte forma Ay 4 As A B By BS Py 42 44S 4S 4 tS tS tee 4 4 4 4 4 4 4 Ay 4 B ASBy A B ou Py 4 2 4 4 45 At 4 4 4 4 Vimos que AjB A jB C n J n e C n J n 2 2 Portanto seus mddulos ficam 2 2 A B i cf e 2 Ab Ico 77 Aplicando estes resultados 4 expressao anterior da poténcia média resulta 15 2 2 c Sle nl oo 2 ou P Sic Portanto quando se tem a disposigaéo a série exponencial bilateral de Fourier poderemos calcular a poténcia média de um sinal periddico nao senoidal pela expressao oo 2 P DiIC noo Exercicio 21 Dado o sinal senoidal vt V cos Qt Supondo que este sinal esta em uma resisténcia normalizada R1 Q sabemos que sua vv poténcia média fica P Vic p W2 2 a Determinar a representacdo deste sinal vt na forma de série de Fourier exponencial b Calcular sua poténcia média utilizando os coeficientes dessa série Solugao Jt Jt e e V VV a Vcos t V ee 7 2 2 2 Vv Vi 7 7 e JOt Ce Jpt Ce Por identidade temse V CC 2 A figura abaixo mostra a representaao grafica desse sinal na forma complexa 16 V V 2 2 fd D 0 DM b Calculo da poténcia média do sinal senoidal exemplificado V IC Ic A poténcia média fica 2 2 2 nates 2 0 V 2 P Determinacao direta dos coeficientes C e C Vamos demonstrar que C f vt dt n T T C f vt dt Ty 1 Demonstracgao 1 jnpgt 1 rh vte dt Tk vtcosnt j senntdt 1 1 A B A JB rhs vtcosnatdt J an vtsennatdt 3 J 3 aoe C An B 2 2 17 Analogamente se demonstra que 1 in AjB C I vt dt oy C Ty to 2 Expressao recursiva de vt Partimos da férmula compacta da série exponencial vt ic Substituimos os coeficientes pelas suas férmulas diretas Resulta vt y af vte dt le nae Ty 7 KY C Comparacao entre os coeficientes C e C Vimos que A jB A jB C n J n e C nh J n 2 2 Na forma polar fica jd V A B l B C IC e onde lc e tg 2 A A B B C IC e onde Ic e g tg 2 A Conclusées elle Portanto em funcgdo de n o mdédulo dos coeficientes possui simetria par e a fase possui simetria impar Este tipo de simetria se chama Simetria Hermetiana 18 19 Nota Estas propriedades de simetria são validas somente quando a função t v for real Quando se trata da análise de um sinal elétrico isto realmente ocorre Entretanto a série exponencial de Fourier é extensiva à análise de sinais compostos de parte real e parte imaginária Isto se aplica por exemplo ao projeto de filtros construídos na técnica digital 3 ESPECTRO CONTINUO DE FREQUENCIAS Consideracao sobre a composicao do espectro de freqiiéncias Sabemos a freqiiéncia fundamental de um sinal periddico é igual ao inverso de seu periodo Isto significa que se o periodo for T a componente fundamental tera a rae 1 Ls Lo freqiiéncia f Tt Portanto 0 espagamento entre componentes vizinhas fica igual a 0 1 fo TO Vemos que quanto menor for o periodo do sinal maior sera 0 espagamento 0 entre harm6nicas de seu espectro Da mesma forma quando o periodo for muito grande 0 espagamento entre as componentes do espectro de freqiiéncias se torna muito pequeno A figura 31 ilustra essas situagGes ot 1 T 0 fo 2 fo 3fo T i 0 7 0 t f 0 Fig 31 Vamos supor 0 caso limite em que se considera o periodo infinito Neste caso fy lim 0 1 T Isto significa que 0 espagamento entre as componentes do espectro de freqiiéncias se anula Neste caso dizemos que 0 sinal temporal possui um espectro continuo de freqiiéncias Seja por exemplo o pulso da fig 32a que acontece uma Unica vez aperiddico 20 21 Matematicamente podemos considerar que o período de repetição é infinito Nesta caso no domínio da freqüência teremos um espectro contínuo No caso particular do pulso da fig 32a a envoltória do espectro contínuo obedece a curva mostrada na fig 32b 2 τ V 2 τ 0 t f V f f 0 τ V τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 τ 3 τ 4 τ 4 τ 2 0 t v a b Fig 32 Vemos que essa representação espectral está na forma bilateral A representação bilateral é a mais vantajosa para os processamentos matemáticos em que ela é aplicada Mais adiante a forma desta envoltória espectral será confirmada por meio de calculo Transformada de Fourier Quando se tem um espectro de freqüências contínuo não se pode usar o nome de série de Fourier para descrever o sinal nesse domínio da freqüência O nome que se utiliza é Transformada de Fourier Quando um sinal é periódico no domínio do tempo seu espectro de freqüências é composto de componentes discretas e é determinado pela série de Fourier Por outro lado se o sinal for aperiédico no dominio do tempo seu espectro de freqiiéncia é continuo e suas propriedades sao determinadas pela transformada de Fourier Na realidade a transformada de Fourier é mais abrangenteporque serve para os dois casos ou seja a transformada de Fourier de um sinal periddico resulta na série de Fourier Expressao matematica da Transformada de Fourier A envoltéria do espectro continuo bilateral pode ser calculada por meio da transformada de Fourier Dado um sinal aperiddico vt sua transformada de Fourier é dada pela expressao 00 Slole fvte 2 at Esta transformada produz como resultado uma funcgéo no dominio da freqiiéncia Por isto podemos chaméla de Vf foo Vf ve at Exemplos de funcées aperiddicas e suas transformadas de Fourier 1 Impulso de area unitdria que ocorre no instante t 0 Ver fig 33 Como ja vimos em cursos anteriores o impulso unitario que é representado por dt é uma fungaéo matematica ideal que s6 ocorre no instante tf 0 tem altura A infinita e duracgéo t 0zero Apesar disto sua drea é unitaria ou seja TXH 0xe1 co 5 ee ea Mee t 0 Fig 33 Isto significa que J Otdt 1 A transformada de Fourier desse impulso unitario fica 22 3dt oe at Como Ot sé é diferente de zero no instante t 0 o produto dtx e também s6 nao sera nulo para t 0 Em t0 temse et e Portanto too too too 3dt oe at 6x bat oat 1 ou seja 3dr1 2 Pulso retangular Com relacao a parte a da fig 34 vamos supor que a chave S fecha durante um tempo tT e torna a ficar aberta definitivamente Neste caso teremos sobre o resistor o tnico pulso de tensao mostrado na parte b da mesma figura S o i 0 t a b Fig 34 Para facilitar o calculo da transformada de Fourier desse sinal vamos escolher a origem do tempo no meio do pulso ver fig 35 Vemos que desse modo temos uma fungao V5 t do tipo par 23 Vo 1 U1 t fF go 2 2 2 Fig 35 co Sb Vf Ve dt V cos2aiar j V sen2aftdr SS 2 Vcos2atar j0V senafz a a 2 Podemos escrever vpyevr set oy fT VfVex sinc fr As propriedades da fungio sincx senax sao bem conhecidas na matematica 7X superior Essa fungao se anula para todo xn onde n 1 2 33 Portanto em nosso caso a funcga4o Vf se anula para todo ft 1 2 3 Entretanto para ft 0 resulta tim SCRAPE im 2 4 fT 7X ft70 x0 Podese verificar este resultado aplicandose a formula de LHopital A fungao VfVe sinc fr esta mostrada na fig 36 Para f 0 temse o valor maximo iguala Vt que corresponde a area do pulso no dominio do tempo 24 25 f V f f 0 τ V τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 τ 3 τ 4 τ 4 τ 2 0 Fig 36 Notese que V f é uma função real Entretanto como tem partes com valores positivos e negativos possui módulo e fase A fig 37 mostra o módulo e a fase dessa função τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 τ 3 τ 4 τ 4 τ 2 τ 1 τ 1 τ 3 τ 2 τ 3 τ 4 τ 4 0 180 1800 00 0 f f f f f V τ V 0 θ Fig 3 7 Essa função é bastante importante para o estudo da transmissão de sinais digitais Notese que essa transformada de Fourier possui simetria Hermetiana em função da freqüência Na realidade a transformada de Fourier de todas as funções reais possui simetria Hermetiana Analogia entre a série de Fourier e a transformada de Fourier Vimos que a forma recursiva da série de Fourier de um sinal periódico pode ser expressa pela equação o 1 s jnot jnQot v f vlte ir Cna A forma recursiva da transformada de Fourier de um sinal aperiddico é expressa pela equacao vt rie eae NY Vf Notese que Vf 3vz ve at Portanto a forma recursiva de vt pode ser escrita vt Vt e af Dizemos que vt é a antitransformada de Fourier da funcio Vf ou seja veSVs Par de transformadas SPNlVs reat SVpv VP ear Podemos observar que a tnica diferenga entre a transformada e a antitransformada de Fourier é 0 sinal algébrico do expoente de No caso da transformada ele é negativo e na antitransformada ele é positivo Relacao entre a transformada de Fourier e a transformada de Laplace Para sinais aperiddicos a transformada de Fourier é igual a transformada de Laplace quando se substitui s por jo j27f 26 A tabela 31 mostra essa relagdo para algumas fungdes Tabela 31 Funcao Transformada Transformada g de Laplace de Fourier pT tr 4 impulso 1 1 1 s j2af degrau 1 ST ST jt jaf é e SINT T e2e 2 T point T j2mft fT pulso ST IN et Sa j2mf a 1 a a at YN Or rasnrom e sa j2af j2af a Exercicio 32 O sinal aperiddico vt Ve cos ft possui a seguinte transformada de Laplace a stay B Determinar sua transformada de Fourier Solugao Basta substituir s por j27f jf A Sly vfv Lae j2af a B 27 28 Resposta temporal de um filtro para uma excitação na forma de impulso Esta resposta é normalmente chamada de resposta impulsiva de um filtro Vamos como exemplo calcular a resposta no domínio do tempo do filtro passa baixas RC da fig 38 utilizando o método da transformada de Laplace Supomos que o sinal de entrada tem a forma de um impulso unitário v1 s v2 s Cs 1 R Fig 38 Cs Cs R v s s v 1 1 1 2 ou Rc s RC v s s v 1 1 1 2 Excitação impulso unitário 1 1 v s Portanto RC s RC v s 1 1 2 31 Fazendo a antitransformada de Laplace resulta a resposta no tempo RC e RC t t v 1 2 1 Transformada de Fourier do sinal de saída Se na expressão 31 substituirmos s por j πf 2 teremos a expressão da transformada de Fourier de v2 t Ou seja RC f j RC v t 1 2 1 2 ℑ π 32 Vamos agora calcular a resposta em freqüência do mesmo filtro Ver fig 39 29 1v 2v jωC 1 R Fig 39 j C j C R v v ω ω 1 1 1 2 ou RC j RC v v 1 1 1 2 ω Mas πf ω 2 Portanto RC f j RC v v 1 2 1 1 2 π 33 Comparando 33 com 32 vemos que resultaram expressões matemáticas idênticas Isto significa que a transformada de Fourier do sinal de saída de um filtro que foi excitado por um impulso unitário é igual a expressão da resposta em freqüência desse filtro Conclusão Quando se excita um filtro com um impulso unitário seu sinal de saída no domínio do tempo tem sua transformada de Fourier identicamente igual à expressão da resposta em freqüência desse filtro Exercício 33 Calcular o sinal de saída no domínio do tempo do filtro abaixo supondo que ele é excitado por um impulso unitário 2v 1v L jω R Solugao Inicialmente calculamos a resposta em freqiiéncia vy MexR JLR R R ou Jakes vy O j2af jor Pate Pela propriedade mencionada temse R v Sly L R 1 i Pap R Sv j27f jeap Para determinar v t devemos fazer a antitransformada de Fourier dessa expressao R Vo r 3 L R j27f jap Utilizando a pentltima linha da tabela 31 podemos concluir que esta anti transformada resulta R R gt Rou ap b J L Portanto vt R u L 7 Na literatura técnica universal é costume designar a resposta impulsiva de um filtro no dominio do tempo por t Da mesma forma expressase a resposta em freqiiéncia de um filtro por Hf A propriedade que acabamos de demonstrar pode ser expressa pelas igualdades 30 Af Slats ou A3AF Convolucao E uma operacio matematica que determina o sinal de safda de um filtro no dominio do tempo para qualquer tipo de excitagao de entrada Vamos supor que um filtro tenha uma resposta em freqiiéncia Hf Neste caso fazemos a antitransformada SAhi At ear Vimos que o resultado ht vem a ser 0 sinal de saida do filtro no dominio do tempo para um sinal de entrada na forma de impulso unitdrio Se na entrada do filtro tivermos um sinal genérico v t o sinal temporal de safda fica dado por vt v1Alr Dizemos que o sinal de safda é igual a convolugao dos sinais v t e ht A fig 310 mostra essa situagao filtro y 1 b vt v0A0 Fig 3 10 A expressao matematica da convolugao é v t At onle 1dt Normalmente esta operagdo requer interpretacao grafica para determinar os limites de integracao Isto torna o processo de calculo dificil e trabalhoso Existe uma propriedade da convolugao que resulta um processo muito mais simples para seu calculo Esta propriedade sera vista a seguir Propriedade da convolucao no dominio da freqiiéncia A transformada de Fourier de uma convolucgao entre duas varidveis é igual ao produto das transformadas individuais de Fourier dessas variaveis ShveAWV7xH 31 32 Esta propriedade induz a um processo muito mais automático para a determinação de v2 t a partir de v1 t e da resposta impulsiva do filtro 1 Determinase V1 f fazendo a transformada de Fourier de v1 t ℑ v1 t V1 f 2 Determinase V2 f fazendo a multiplicação de V1 f pela resposta em freqüência H f do filtro f V H f f V 2 1 3 Determinase v2 t fazendo a antitransformada de Fourier de V2 f v t f V 2 2 1 ℑ A figura 311 ilustra essa seqüência em um diagrama de fluxo Fig 311 Este processo é muito mais simples que o anterior porque não necessita de interpretação gráfica Por isto ele é empregado quase que exclusivamente para resolver problemas desse tipo em telecomunicações Normalmente as transformadas e antitransformadas de Fourier são realizadas por cálculo numérico em computador utilizando algoritmos específicos Exercício 34 Determinar o sinal de saída v2 t do filtro passa baixas RL do exercício 43 supondo que ele foi excitado por um degrau de amplitude V Solução No exercício 33 foi calculada a resposta em freqüência do filtro resultando L R f j L R H f 2π ℑ ℑ1 t v1 V1 f H f V f 1 f H v2 t A transformada de Fourier da excitagao na forma de degrau é V Shy tVf blvlA A transformada de Fourier do sinal de saida fica R 3b lvxHfv J2af saw 4 L O sinal v t fica R vt 37 vy 4 R j2af iow L Utilizando a Ultima linha da tabela 31 podemos concluir que esta antitransformada resulta R Rk g7y 2 R vie J2af saw i L Portanto V t v et 33 4EFEITOS DE ATRAZOS E TRANSFORMADA Z Atraso de um sinal e a sua influéncia na transformada de Fourier Vamos supor que um sinal vt passe através de um dispositivo de tal forma que o sinal de saida mantém a mesma forma do sinal de entrada mas sofre um atraso no tempo igual a tT segundos ver fig 41a A parte superior da fig 41b mostra o sinal de entrada vt O sinal de saida que fica expresso por vt7 esté mostrado na parte inferior dessa figura 41b Vimos que a transformada de Fourier para qualquer sinal vt obedece a expressdo 7 3vt ve at atrasador a v Sinal de entrada t Cm Sinal de v tT saida t b Fig 41 A transformada de Fourier do sinal da saida fica Svtr vtte dt Vamos multiplicar e dividir 0 segundo membro da equacgdéo pelo termo constante J2aft é Neste caso fica 34 SvtcJe 7 v T ee PM PT at Podemos escrever Svre vt te dt Podemos ainda escrever Svt7e vtte 4 dt 7 pois dtt dt Fazendo a mudanga de varidvel para t fT teremos Srre fv Par Entretanto vl edt vl edt pois as areas das fungdes possuem o mesmo valor Portanto Sv z e veat o Sitze P3v Como 2af podemos escrever também Shorze3v0 Se substituirmos J por S teremos essa igualdade em termos de transformadas de Laplace 36 v t τ v t sτ e Em termos de diagrama de blocos teremos no domínio da freqüência a representação da fig 42a Esta representação está associada à transformada de Fourier No domínio da transformada de Laplace que também é conhecido como plano s tem se a representação na fig 42b Finalmente existe uma terceira representação que é conhecida como plano z e que está representada na fig 42c Esta última representação está associada à transformada Z que será estudada a seguir atrasador τ a atrasador τ b atrasador τ c f V s V V f e f j 2π τ e sτV s V z z 1V z Fig 42 Por comparação entre as representações concluímos que π τ ωτ τ f j j s e e e z 2 1 41 ou π τ ωτ τ f j j s e e e z 2 42 Transformada Z A transformada z vem a ser a transformada de Fourier ou de Laplace aplicadas a sinais amostrados No caso da representação da figura 42c o sinal z v representa a transformada z de uma seqüência de amostras presente na entrada do atrasador O sinal z 1v z representa a transformada z da seqüência de amostras atrasadas existentes na saída Definicao de transformada z Dada uma seqiiéncia de valores v para n variando de a definese como transformada z dessa seqiiéncia a expressao VzDiv2 onde z éa varidvel complexa ilustrada na expressio 42 O caso mais comum é aquele em que v 0 para n negativo Neste caso VSv2 0 Exemplo transformada z da seqiiéncia da amostras de um degrau Ver Fig 43 Vo V Yo M3 Va Ti t 01234 Fig 43 0 paran 0 vo n 1 paran 0 Temse a 1 1 1 1 Zz Vila Sie Hlt 4 St SS tis 2 Zz z z lz zl Tabela parcial de transformadas de Laplace e de transformadas Z Tabela VI1 1 1t0 Olt tkT k 0 Atraso kT de uma amostra eh zk 37 1 kT Ot kT O t4kT ut degrau unitario Zz Ss zl t rampa unitdria L Tz s2 21 eo 1 Zz SQH Zz e le 1e e a ss cNce le oa tT leg i ssta z1 azWze 0 z 2zcosoT 1 O Zz 2zcosaT 1 2 2 DOO sa o z2ze cosl e e cos at e eae cosa s a O Zz 2ze cosal e 38 5 AMOSTRAGEM DE SINAIS ANALOGICOS Amostragem natural O circuito da fig 51 possui um gerador que produz um sinal continuo que chamaremos xt Este sinal é transmitido para a safda através da chave S Esta chave interrompe periodicamente a passagem desse sinal Portanto 0 sinal de safda que chamaremos yt fica com o aspecto mostrado a direita dessa figura Ele é formado de uma seqiiéncia de amostras do sinal da entrada Vamos supor que 0 periodo de amostragem seja T Neste caso a freqiiéncia de amostragem sera fi H ou S 2a rd oO 27f 5 Tf T 5 s t T Fig 51 A fig 52 mostra que o sinal yt pode ser descrito matematicamente pela expressio yt xtx S t onde S t é uma seqiiéncia periddica de pulsos de niveis 0 e 1 e freqiiéncia x xX so 1 oT y T Fig 52 39 Como a funcio pulsante St é periddica ela pode ser expressa pela série de Fourier ver capitulo 1 Ay St A cost A cos 2t A COS3Ot 000 7 é é é Portanto Ay yt xtx 3 A cos t A COS2t A COS30f ou yt xt Axtcos t Axtcos 2t Axtcos 30t ae Ay Ay A primeira parcela 5 t vem a ser 0 sinal continuo xt atenuado pelo fator 3 Vamos supor que 0 sinal amostrado yt seja transmitido e recebido por um receptor Vamos supor ainda que esse receptor possui um filtro que deixa passar apenas a primeira parcela e elimina as demais Nesse caso teremos a recuperacao do sinal A 5 2t Este sinal vem a ser o sinal original continuo xt apenas atenuado pelo fator Ay constante 5 Como veremos mais adiante o filtro que elimina as componentes indesejaveis é do tipo passa baixas Ver fig 53 y Filtro Ay xt passa 2 a baixas T NY Fig 43 Ao 4 Za O termo éacomponente média da funao pulsante S t Com base no resultado do exercicio 12 do capitulo 1 podemos concluir que sendo o periodo T e sendo T a A T duragao de cada pulso ver fig 54 resulta Ix S 1 T 0 T Fig 54 40 41 Neste caso o sinal amostrado pode ser escrito cos3 cos2 cos 3 2 1 t A x t t A x t t A x t T x t y t s s s S ω ω ω τ Chamando de xR t o sinal recuperado no receptor temse xR t x t TS τ Portanto podemos concluir que quanto mais largo for o pulso de amostragem menor será a atenuação do sinal recuperado Amostragem de um sinal senoidal Vamos analisar o caso em que o sinal de entrada é t V x t cosωa Neste caso o sinal amostrado fica cos3 cos cos2 cos cos cos 3 2 1 t t AV t t A V t t AV y t s a s a s a ω ω ω ω ω ω cos t V T a S ω τ Pela trigonometria temse a identidade a b a b b a 2 cos 1 2 cos 1 cos cos Aplicando essa identidade na expressão de t y resulta t A V t A V t A V t V A t AV t AV t T V t y a S a S a S a S a S a S a S ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω τ 2 cos 3 2 cos 3 2 cos 2 cos 2 2 2 cos 2 cos cos 3 3 2 2 1 1 A fig 55 mostra a posição dessas componentes no espectro de freqüências a ω a S ω ω a S 3ω ω a S ω ω 3 a S 2ω ω a S 2ω ω a S ω ω ω 0 V TS τ A V 2 1 A V 2 1 ω Y A V 2 3 A V 2 2 A V 2 2 A V 2 3 Fig 55 42 Se este sinal passar por um filtro passa baixas cuja freqüência de corte X ω é maior que a ω e menor que a S ω ω o filtro deixa passar o sinal de freqüência a ω e rejeita todas as outras componentes Portanto na saída desse filtro teremos o sinal t T V t x a s R ω τ cos Este é um sinal senoidal contínuo cuja única diferença para o sinal xt original é uma amplitude menor Esta amplitude pode ser aumentada para o valor original com o emprego de um simples amplificador Condição de recuperação do sinal x t TS τ Examinando a fig 55 vemos que o filtro passa baixas só poderá deixar passar a componente a ω e rejeitar as outras se for obedecida a condição a a S ω ω ω ou a S ω ω 2 ou a S f f 2 Conclusão Podemos transmitir somente amostras de um sinal porque é possível regenerar o sinal completo no receptor Para haver recuperação de um sinal senoidal transmitido na forma amostrada é necessário que a freqüência de amostragem seja maior que duas vezes a freqüência desse sinal Caso da amostragem de um sinal não senoidal composto de muitas freqüências Na fig 56a temos um exemplo de um sinal contínuo no tempo mas não senoidal Como ele é não senoidal seu espectro é composto por muitas freqüências Entretanto ele possui uma freqüência máxima que foi designada por fMAX Ver fig 56b Quando este sinal é amostrado por uma freqüência Sf o espectro do sinal amostrado fica como mostrado na fig 56c 43 Sf MAX S f f MAX S f f fMAX 0 MAX S f f 2 0 MAX f c b t a t x f X f Y Fig 56 Podemos concluir que para um filtro passa baixas poder recuperar o sinal contínuo original é que o espectro de freqüências do sinal amostrado obedeça a condição MAX MAX S f f f ou MAX S f f 2 ConclusãoPara haver recuperação de um sinal não senoidal transmitido na forma amostrada é necessário que a freqüência de amostragem seja maior que duas vezes a maior freqüência espectral do sinal não senoidal O sinal elétrico de voz produzido na saída do microfone de um telefone celular tem um espectro de freqüências semelhante ao da fig 56b Sua freqüência máxima é 34 kHz Este sinal é amostrado 8000 vezes por segundo e essas amostras são transmitidas Quando o sinal amostrado é recebido um filtro passa baixas deve recuperar o sinal contínuo original Vejamos se a condição necessária é satisfeita kHz f MAX 43 e kHz f S 8 Neste caso kHz f MAX 86 2 Podemos ver que kHz f S 8 é maior que kHz f MAX 86 2 Portanto a condição para possibilitar a recuperação do espectro do sinal de voz pelo filtro ficou satisfeita 44 COMUNICAÇÃO EM PULSE AMPLITUDE MODULATION PAM Amostragem natural e amostragem instantânea O tipo de amostragem que acabamos de analisar é denominada amostragem natural Entretanto nas transmissões PAM Pulse Amplitude Modulation e PCM Pulse Code Modulation usase a chamada amostragem instantânea Na amostragem instantânea o sinal é amostrado no instante que a chave fecha Ver fig 57a A duração das amostras é extremamente pequena Ver fig 57b Em seguida um dispositivo chamado hold faz com que o nível de tensão amostrado permaneça durante um tempo τ Ver fig 57c Essa operação é conhecida como sample hold Normalmente a duração τ é muito menor que o período de amostragem S T b a τ S T c Fig 57 A seguir essa seqüência periódica de pulsos estreitos é transmitida Quando este tipo de amostragem é transmitido o receptor consegue recuperar o sinal original contínuo da mesma forma que no caso da amostragem natural Basta que se satisfaça a condição MAX S f f 2 onde fMAX é a maior freqüência do sinal original de entrada e Sf é a freqüência com que ele é amostrado Diferenças de comportamento entre a amostragem natural e a amostragem sample hold A fig 58 mostra em detalhes as características da amostragem sample hold em relação à variação do sinal amostrado Notase que a amostra não acompanha perfeitamente a variacao do sinal durante a duracao 7 Isto acarreta uma modificagao do nivel do sinal recuperado no receptor como mostraremos a seguir Vimos que se o sinal de entrada for xt Vcosat entao na amostragem natural se recupera o sinal T Xp 1 Vcosat T e eee 0oeee as é eee T T wee Cece Fig 58 Ja na amostragem sample holding o sinal recuperado obedece a expresso oT 7 Sea Xp 2V cos at Ti Qe 2 Isto acarreta uma diminuiao do nivel no sinal recuperado O valor dessa diminuigao depende da freqiiéncia do sinal recuperado Quanto maior for esta freqiiéncia maior sera a atenuacao Normalmente essas modificagdes das amplitudes no sinal recuperado sAo corrigidas facilmente com uma pequena modificacao na resposta do filtro passa baixas de recuperaaéo do sinal no receptor Mais adiante sera resolvido um exercicio que ilustra o processo Multiplex temporal PAM Uma das principais utilizagdes desse tipo de comunicaao amostrada é para 0 envio em uma unica linha de transmissao de varios sinais telefOnicos de voz Entre duas amostras sucessivas de um mesmo sinal de voz intercalase amostras dos outros sinais de voz Esta é a principal razao para que os pulsos de amostragem sejam estreitos A fig 59 mostra um exemplo de um multiplex PAM para quatro sinais independentes de voz 45 46 Amostras de Quatro sinais independentes 1 t 2 1 1 4 2 2 4 4 3 3 3 Fig 59 Recepção de um multiplex PAM O receptor seleciona separadamente as amostras de cada sinal de voz A fig 510a mostra a seqüência de amostras de um mesmo sinal de voz selecionadas no receptor a c b Fig 510 A seguir é feito o alargamento dos pulsos para o valor do período de amostragem Desta maneira o sinal amostrado assume a forma de escada Ver fig 510b Esta operação é conhecida como hold S T Finalmente as amostras passam pelo filtro passa baixas recuperandose o sinal analógico original Ver fig 510c Como no receptor se tem τ TS a expressão do sinal recuperado toma a forma oT sen4 Xp t or V cos t 2 sen ou xt V cosat a fs Exercicio 51 Um espectro de um sinal telef6nico de voz é formado por um conjunto de freqtiéncias que individualmente possuem a amplitude V A menor e a maior freqiiéncia desse sinal sao respectivamente 100 Hz e 3400 Hz A freqiiéncia de amostragem é 8000 Hz a Determinar as amplitudes no sinal recuperado para as freqiiéncias f 100 Hz e f 3400 Hz b Esbogar a resposta do filtro passa baixas que compensa a variacao dessas amplitudes com a freqiiéncia Solugao a a x100 sen f 100 Hz xt V cos t 09997 xV cos t 8000 Amplitude 09997V V a X 3400 sen f 3400 Hz xt ETE V cos t 07283xV cosa t 8000 Amplitude 07283xV b O filtro deve proporcionar um ganho G na freqiiéncia f 3400 Hz de tal forma que Gy X07283xV V ou G X07283 1 1 Portanto Gy 1373 07283 A resposta do filtro passa baixas deve ter 0 aspecto mostrado abaixo A7 48 kHz 43 1 1373 M G G f Dificuldades da comunicação PAM O sinal PAM se deforma facilmente com a resposta em freqüência e fase do meio de transmissão Ver fig 511 Fig 511 Além disto a presença de ruído modifica os níveis de tensão amostrados Por isto a transmissão PAM não é utilizada a não ser em distâncias pequenas dentro de um equipamento Sua utilização para transmissão a grandes distâncias só acontece após um processamento que transforma seu sinal em Pulse Code Modulation PCM Modulação por código de pulsos Pulse Code Modulation PCM Uma maneira mais robusta de transmitir os níveis das amostras do sinal é na forma numérica Neste caso para cada amostra transmitese uma seqüência de bits 1 e 0 Essa seqüência de bits forma uma palavra digital que representa na base dois um valor numérico proporcional ao valor da tensão da amostrada Ver fig 412 Esta transformação é conhecida como conversão analógicodigital ou simplesmente conversão AD Existem circuitos integrados especializados que realizam essa operação 89 1 1 1 1 0 0 0 0 AMOSTRA SINAL TRANSMITIDO Fig 512 Na recepção o receptor terá apenas que identificar os valores de cada bit É claro que a resposta em freqüência e o ruído do meio de transmissão deformam também os pulsos digitais Entretanto se essas deformações não forem excessivamente grandes o 49 receptor não terá dificuldades para identificar corretamente a seqüência de bits da informação digital ver fig 513 Tomandose como referência o nível médio do sinal recebido teremos um bit 1 quando o sinal está acima dessa referência e viceversa SINAL RECEBIDO SINAL DIGITAL REGENERADO 0 1 0 0 0 1 1 1 Fig 513 Após a identificação dos bits o receptor gera amostras analógicas cujas amplitudes correspondem aos valores numéricos de cada palavra digital recebida Esta operação é denominada conversão digitalanalógica ou simplesmente conversão DA Existem também circuitos integrados especializados que realizam essa operação A seguir os pulsos analógicos correspondendo a cada amostra são alargados de maneira a adquirir a duração S T onde S T é o período de amostragem operação hold S T Com isto o sinal adquire a forma de escada Finalmente o sinal escada resultante passa pelo filtro passa baixas compensado Desta maneira o sinal analógico original de voz é recuperado O tipo de comunicação descrito é chamado de Pulse Code Modulation PCM Na parte a da fig 514 temse um diagrama simplificado de um transmissor PCM A parte b da mesma figura mostra o diagrama simplificado do receptor PCM Modernamente existem chips comerciais que contém um transmissor e um receptor PCM completos amostrador TRANSMISSOR PCM hold TS decodif amostras analógicas a b filtro passa baixas amostras analógicas sinal PCM codific sinal PCM RECEPTOR PCM Fig 514 50 Filtragem analógica e filtragem digital A fig 515 mostra um circuito passa baixas analógico O sinal da entrada que usamos como exemplo é um sinal periódico composto de uma freqüência fundamental af e sua segunda harmônica 2 af Essa figura mostra esse sinal de entrada tanto no domínio do tempo osciloscópio como no domínio da freqüência analisador de espectro O mesmo acontece com o sinal de saída t t af af 2 af f f Fig 515 O filtro elimina a segunda harmônica do sinal de entrada Desta maneira o sinal de saída é formado somente da componente fundamental af Portanto o sinal de saída no domínio do tempo tem a forma de uma senoide A fig 416 mostra o processo equivalente de uma filtragem digital Processamento numérico das amostras AD DA t t Fig 516 O sinal de entrada é amostrado resultando uma seqüência PAM A seguir as amostras são convertidas para valores numéricos digitais base 2 Os valores numéricos dessas amostras são submetidos a operações matemáticas que alteram seus valores de uma maneira programada Finalmente essas amostras alteradas são convertidas novamente para pulsos PAM Devido às alterações dos valores numéricos das amostras o PAM de saída é diferente daquele da entrada Em nosso exemplo esse PAM de saída é equivalente a uma seqüência de amostras de um sinal senoidal de freqüência af O estudo que permite o domínio dos procedimentos matemáticos dessa filtragem é conhecido como Processamento Digital de Sinais Uma introdução a esse estudo será abrangida está nos próximos capítulos desta apostila Como veremos ao longo do estudo a matemática utilizada é bastante complicada e requer dos alunos um esforço bem maior para seu aprendizado quando comparado com o esforço dispensado para as disciplinas precedentes Vantagens da filtragem digital A técnica de filtragem digital por não usar capacitores ou indutores permite que todo o sistema seja integrado em um único chip Além disto os processamentos matemáticos 51 necessários podem ser realizados em software Portanto o coração do chip é um microprocessador especializado para realizar os procedimentos matemáticos necessários O processamento por meio de software torna o sistema facilmente adaptável às mudanças das características da filtragem quando assim for desejável Modernamente todos os aparelhos de telefonia celular funcionam na base de processamento digital de sinais Esta é a principal razão da obrigatoriedade da inclusão dessa disciplina no curso de Tecnologia e Engenharia Eletrônica ênfase em Telecomunicações