Técnicas de Implementação de Filtros Digitais

52 6 TÉCNICAS DE IMPLEMENTAÇÃO DE FILTROS DIGITAIS Os filtros digitais são construídos com atrasadores ponderadores e somadores Atrasador Quando a amostra está no estado numérico podemos atrasála escrevendo a em uma memória e lendoa algum tempo depois Normalmente em diagramas operacionais o atrasador é representado como na fig 61 1 z X X z Y 1 Fig 61 Esta representação é conhecida como a representação no plano z Entretanto esta representação não informa o valor do atraso Como vimos no capítulo 4 um atraso de um tempo 0 T pode ser representado no plano s por sT0 e ou em termos de freqüência aplicando a substituição de s por ω j 0 0 1 j T sT e e z ω Ponderador Ponderação é a operação matemática em que se multiplica o valor numérico da amostra por um coeficiente constante A fig 62 mostra sua representação em um diagrama operacional a X Y aX Fig 62 Somador A unidade aritmética de um processador se encarrega se somar numericamente duas ou mais amostras ponderadas A fig 63 mostra a representação de um somador desse tipo com duas entradas a b 1 X X2 2 1 bX aX Y Fig 63 Filtros FIR e filtros IIR A fig 64 mostra um exemplo de um diagrama de um filtro digital do tipo Finite Impulse Response FIR também chamado de Filtro Transversal A quantidade de atrasadores é determinada pelas especificações da resposta do filtro 53 a b c d g h 1 z Y X z1 1 z 1 z 1 z Fig 64 A fig 65 mostra um exemplo de construção de um filtro digital do tipo Infinite Impulse Response IIR também chamado Filtro Recursivo Notese que existe realimentação da saída para as entradas de estágios anteriores z 1 1 z c d a b X Y Fig 65 Dimensionamento do valor do atraso Vamos supor que a taxa de amostragem seja Sf Neste caso o atraso de cada atrasador deve ser 0 T tal que se tenha Sf T 0 1 Portanto quando for conveniente podese usar as equivalências 0 0 1 j T sT e e z ω Também se pode usar a equivalência Sf f j fT j j T e e e π π ω 2 2 0 0 Comparação entre as respostas em freqüências de filtros analógicos e filtros digitais A fig 66a mostra a resposta em freqüência de um filtro passa baixas construído na tecnologia analógica A figura 66b mostra a resposta em freqüência deste mesmo filtro caso ele fosse construído na forma digital Neste ultimo caso vemos que a resposta em freqüência se torna periódica Em torno de cada harmônica da freqüência sf a resposta se repete na forma bilateral Isto está relacionado com o teorema da amostragem que foi estudado no capítulo 5 54 Cf f Cf f C S f f X f log Y f 20 Sf C S 2 f f C S f f C S 2 f f Sf 2 a b X f log Y f 20 1f dB 0 dB 0 20 dB 20 dB 2f Fig 66 Esta periodicidade da resposta em freqüência faz com que um sinal próximo à freqüência Sf por exemplo não seja rejeitado pelo filtro Isto obriga o uso adicional de um filtro passa baixas analógico para rejeitar os sinais de freqüências acima da freqüência 2f que está indicada na fig 66b Muitas vezes o uso de um simples filtro passa baixas RC é suficiente para esta filtragem adicional Influência da freqüência de amostragem na qualidade do filtro digital Vemos que o filtro digital da fig 66b atingiu uma atenuação de 20 db Entretanto podemos ver pela fig 67a que ele não atinge uma atenuação da ordem de 40 db Cf f C S f f Sf C S 2 f f C S f f C S 2 f f Sf 2 a X f log Y f 20 1f dB 0 20 dB 2f 40 dB Cf f C S f f Sf C S 2 f f b X f log Y f 20 dB 0 20 dB 2f 40 dB 1f Fig 67 55 Isto é causado pela influência da repetição da curva de resposta em torno de sf Contudo isto pode ser resolvido aumentandose o valor de sf Ver fig 67b Isto significa trabalhar com taxa de amostragem mais alta A taxa de amostragem mais alta que se consegue em equipamento digital é a própria freqüência do relógio Neste caso o atraso vem a ser o intervalo entre dois pulsos do relógio Respostas no tempo de filtros digitais Quando se excita um filtro digital com amostras de um sinal senoidal permanente ou de um sinal transitório seu sinal de saída observado em um osciloscópio vem a ser a resposta temporal desse filtro para aqueles tipos de sinais de entrada Na fig 68a damos como exemplo a resposta temporal de um filtro digital passa baixas de primeira ordem A excitação de entrada é a seqüência de amostras de um degrau unitário Devido ao holding que se faz na recepção das amostras o sinal de saída tem o aspecto de uma escada como se vê nessa fig 68a Entretanto vimos que todo filtro digital necessita de um filtro analógico adicional para rejeitar sinais em torno da freqüência de amostragem A fig 68b faz a comparação dos sinais antes e depois do segundo filtro Podemos ver que na saída do segundo filtro o sinal se torna praticamente contínuo Plot Time sec 0 2 4 6 8 1 125 250 375 500 625 750 875 1000 Plot Time sec 0 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 a b Fig 68 Exemplo de um diagrama de um filtro passa baixas digital implementado na forma FIR A fig 69 mostra um diagrama operacional de um filtro FIR que produz uma resposta passa baixas de primeira ordem 20 Y z 1 1 z 1 z 30 50 X Fig 9 A expressão matemática deste diagrama é 56 x z x z x z y 3 2 1 20 30 50 Verificação da resposta no tempo Seja x um degrau unitário que ocorre no instante t 0 A tabela 61 mostra a seqüência de estados até o sexto período de amostragem Tabela 61 t x y z 1x 50 z 2 x 30 z 3 x 20 y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 T 1 05 0 0 05 0 2T 1 05 03 0 08 0 3T 1 05 03 0 2 10 0 4T 1 05 03 0 2 10 0 5T 1 05 03 0 2 10 0 6T 1 05 03 0 2 10 1 A fig 610 plota os resultados desta tabela t x 05 08 10 10 t y t t T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 0 T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 0 a b Fig 610 57 A parte a da fig 610 mostra a seqüência de amostras do sinal de entrada A parte b da mesma figura mostra a seqüência de amostras do sinal de saída Reparese que a seqüência das amostras da saída é semelhante a uma seqüência de amostragens da tensão de carga do capacitor no filtro passa baixas analógico mostrado na fig 611 quando ele é excitado com um degrau de tensão R C v1 t t v2 Fig 611 Verificação da resposta em freqüência Vimos que x z x z x z y 3 2 1 20 30 50 É convenção adotarse letras maiúsculas para representar as variáveis da entrada e da saída quando se analisa o comportamento do filtro no domínio da freqüência Portanto X z X z X z Y 3 2 1 20 30 50 Ou 3 2 3 2 1 20 30 50 20 30 50 z z z z z z X Y Mas 0 0 1 j T sT e e z ω Portanto e j T0 z ω Substituindo z na expressão da resposta temse 0 0 0 3 2 20 30 50 T j j T T j e e e H j X Y ω ω ω ω Pela fórmula de Euler temse α α α sen cos j e j Portanto usando esta identidade e agrupando separadamente as partes reais e imaginárias resulta 0 0 0 0 0 0 sen3 cos3 50 sen 2 30 sen cos2 50 30 cos 20 T j T T T j T T H j ω ω ω ω ω ω ω 58 jD C jB A 2 2 2 2 D C B A H j ω 1 cos2 20 0 42cos 0 38 0 0 T T ω ω Ou S S f f f f H j π π ω cos4 20 0 42cos2 0 38 A fig 612 mostra o gráfico desta função Na parte a desta figura temse escalas lineares tanto na abscissa quanto na ordenada Na parte b da mesma figura temos o gráfico com escala logaritma na abiscissa e e escala em decibel dB na ordenada 0 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 20 10 0 1 0 01 1 0 Sf f Sf f H jω log H jω 20 a b Fig 612 Reparese que na escala linear a resposta é simétrica em relação ao ponto 50 Sf f Esta propriedade é válida para todos os tipos de filtros digitais Exemplo de um diagrama de um filtro passa baixas digital implementado na forma IIR A fig 613 mostra o diagrama de um filtro digital extremamente simples do tipo IIR z1 y x 90 10 Fig 613 59 A fig 614 repete o esquema mostrando os sinais nos diversos pontos do diagrama 1 z y x 90 10 10 x y x 90 10 y 90 y z z x y 1 1 90 10 614 Desta maneira verificamos que a transferência de sinal da entrada para a saída segue a expressão y z x z y 1 1 90 10 Verificação da resposta no tempo Vamos supor que o sinal x é uma seqüência de amostras de um degrau unitário que ocorre a partir do instante zero A tabela 62 calcula os valores das amostras correspondentes do sinal y de saída Tabela 62 t x y z 1x 10 z 1 y 90 y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T 1 01 0 01 0 2T 1 01 009 019 0 3T 1 01 017 027 0 4T 1 01 024 034 0 5T 1 01 031 041 0 6T 1 01 037 047 0 7T 1 01 042 052 0 8T 1 01 047 057 0 9T 1 01 051 061 0 10T 1 01 055 065 A fig 615 mostra esta resposta até a qüinquagésima amostra 60 0 2 4 6 8 10 12 10T0 20T0 30T0 40T0 0 50T y Fig 615 Verificação da resposta em freqüência z Y X z Y 1 1 90 10 ou X z z Y 1 1 10 90 1 ou 1 1 90 1 10 z z X Y 0 0 90 1 10 T j T j e e H j X j j Y ω ω ω ω ω ou 0 0 0 0 sen 90 cos 90 1 10 sen 10 cos T j T T j T H j ω ω ω ω ω 2 0 2 0 2 0 2 0 sen 90 cos 90 1 10 sen cos 10 T T T T H j ω ω ω ω ω ou 0 81 cos 81 1 10 T H j ω ω ou Sf f j H π ω 81 cos2 81 1 10 61 A fig 616 mostra esta resposta considerando escala logaritma na abscissa e decibel dB na ordenada 10 3 10 2 10 1 40 30 20 10 0 1 log H jω 20 Sf f Fig 616 Técnicas de projeto de filtros digitais Existem três técnicas básicas de projeto de filtros digitais 1 Método da transformação bilinear 2 Método da sintetização partindo da resposta temporal 3 Método de sintetização partindo da resposta em freqüência Do primeiro e do segundo método resultam filtros do tipo IIR O terceiro método resulta filtros do tipo FIR Os próximos capítulos serão dedicados ao estudo desses métodos 7 PROJETO DE FILTROS IIR PELO METODO DA TRANSFORMACAO BILINEAR Transformacao bilinear E uma transformacdo matematica que permite sintetizar um filtro digital IIR que produza aproximadamente a mesma resposta em freqiiéncia de um filtro analégico Para que as diferengas sejam despreziveis é necessario que a maior freqiiéncia f do sinal a ser filtrado seja muito menor do que a metade da taxa f de amostragem Fs t 2 Procedimento para a sintese Partese da resposta em freqiiéncia do filtro analogico em fungao de s Substituise s pela expressao 2 58a Ty zt1 Estas duas entidades sao aproximadamente iguais na regiao em que f A Verificacao Jl Jl JOM 2 ot 27 e fe e 7 7 7 eh T ialy iol jet Tztl Tye 1 My 62 o2 462 JOM JOM 2e7 e 7 T Jl JOM le 2 e Utilizando as formulas de Moivre temse 62 ol 2z1 2 5 2 rlea no r 0 0 cos 70 0 2 QO ey Para T 1 fica valida a aproximacao 2 2 2 Jte 1 jXT jos T 2 T 2 Portanto 2zl1 5 Mas or 2p IM rt 2 2 fs fs Isto significa que a condigao st l éequivalente a oe 1 fs 1 ou f f a ou f 03f Exemplo de projeto Projetar um filtro digital para ter resposta em freqiiéncia aproximadamente igual a de um filtro analé6gico de primeira ordem Filtro analégico 63 Yo vy sta Substituindo s por 2fzot fica Ti z41 Me TEI vy 2z1 0 21 Tz 1 Tztl Q1Z oT oT OT 2 2 OT e 01 2 2 01 07 2z7 aT aT Zz vy 2T 2T ou Vy 14 Geko 74 4 2 T v bbz ou Ty vy Itaz T ni Qo onde b ahah ou b s OT 1a Is r2 rte 1 Qo e a c7 0 ou a 5 2 0T gic 4 Is Construcao do diagrama operacional 1 Partimos da expressao da resposta no plano z Vv b bz vy ltaz 64 65 2 Multiplicamos em cruz 1 1 2 1 1 v bz b v az 3 Isolamos 2v a esquerda da igualdade 2 1 1 1 1 2 az v bz v bv v 4 Construíse o diagrama que satisfaz esta equação Ver fig 71 1 z 2v 1v 1 bv 2 1 bv av 2 1 1 1 az v v bz a av2 b bv1 2 1 1 1 1 2 az v bz v bv v Fig 71 Resposta em freqüência 1 1 1 2 1 az bz b v v 1 1 1 1 az z b Substituindo z1 por j T0 e ω fica 0 0 0 0 1 2 sen cos 1 sen cos 1 1 1 0 0 T ja T a T j T b ae e b H j V V T j T j ω ω ω ω ω ω ω 0 2 2 2 0 0 2 2 0 sen cos 1 sen cos 1 T a T a T T b H j ω ω ω ω ω 0 2 0 2 cos 1 2cos 2 T a a T b ω ω ou S S f f a a f f b j H π π ω 2 cos2 1 cos2 1 2 2 Seja 10π 1 S c f f 66 Então 0 091 1 10 10 b 0 818 1 10 1 10 a Portanto S S f f f f j H π π ω cos2 1 636 699 1 cos2 1 2 091 0 Na fig 72 temos o gráfico desta resposta em freqüência A escala da abscissa é logaritma e a da ordenada é em decibel No mesmo gráfico sobrepomos a resposta do filtro analógico correspondente 10 3 10 2 10 1 20 10 0 Sf f 1 log H jω 20 digital analóg digital Fig 710 Podemos ver que até aproximadamente 12 dB de atenuação as curvas se sobrepõem Verificação da resposta temporal a um degrau Vamos adotar o valor normalizado Hz fc 1 Como 10π 1 S c f f 67 Então Hz f S 10π s T 0 0318 10 1 0 π A fig 73a mostra a resposta simulada desse filtro digital para uma excitação na forma de um degrau unitário Time sec 0 2 4 6 8 1 125 250 375 500 625 750 875 1000 Time sec 0 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 a b Fig 73 A resposta do filtro analógico correspondente obedece a fórmula t t f t e e e t v c c 6 28 2 2 1 1 1 π ω A fig 73b mostra esta resposta do filtro analógico Finalmente a fig 74 mostra as duas curvas sobrepostas Time sec 0 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 10 Fig 74 68 8 PROJETO DE FILTROS IIR PELO MÉTODO DA REPRODUÇÃO DA RESPOSTA TEMPORAL DE UM FILTRO ANALÓGICO Este método é empregado quando se quer repetir com um filtro digital a mesma resposta temporal de um filtro ou de um circuito analógico Por exemplo quando se implementa um sistema de controle o principal objetivo é a resposta no tempo Portanto um dispositivo de controle implementado na forma digital precisa ter a mesma resposta temporal do dispositivo analógico para ser considerado equivalente O método de projeto de um filtro digital desta natureza é constituído pelas seguintes etapas 1 Determinação da resposta temporal do um filtro analógico correspondente utilizando a antitransformada de Laplace de sua resposta no plano s 2 Mudase essa resposta contínua para resposta amostrada 3 Determinação da transformada z das amostras discretas resultantes 4 A partir dessa transformada z sintetizase o filtro digital Na tabela 81 temos algumas transformadas de Laplace úteis para o processo Tabela 81 t x X s δ t 1 t u degrau unitário s 1 t rampa unitária 2 1 s e αt α s 1 e αt 1 s s α 1 α e αt t 1 s 2 s α 1 senωX t 2 2 2 X X s ω ω cosωX t 2 2 X s s ω t e X t α sen ω 2 2 X X s ω α ω t e X t α cosω 2 2 X s s ω α α Na tabela 82 temos as transformadas z das mesmas funções da tabela anterior considerando que essas funções estão amostradas a cada intervalo 0 T Tabela 82 OnT para n0 I T unT degrau unitdrio Zz zl nT rampa unitdria Ty z 1y aly za7e 1 ew 1 e Ho e z1ze 1 ea TZ 1 et e of a 1 az1ze sen nT zsen T z 2zcosT 1 cos nT zzcos OyT Zz 2zcosT 1 ee sen wy nT ze sen Thy Zz 2ze cosT e 2 ay e cos ynTy Ze CosyTy z 2ze cosT e Exemplo de sintese Vamos sintetizar um filtro digital que tenha a mesma resposta a um impulso unitario 6t que um filtro Butherworth passa baixas de 2 ordem A resposta deste filtro em transformada de Laplace para qualquer tipo de excitagao é 2 2 Q oO Ys Xs X s s 2 s Or V2 1 s 2 2 Para a excitacio impulso temse Xs1 69 o Ys 1 5 V2 1 S 2 Oc 2 Oc Seja ae e Oo N24 2 p V2 2 Entao podemos escrever 0 sV2 a sta a Seqiiéncia de procedimentos 1 Determinamos a resposta no tempo utilizando a antitransformada de Laplace fornecida pela pentltima linha da tabela 81 yt V2 Oe senat 81 2 Mudamos o argumento para nT ynTV2 a e sen a nT 3 Pela pentiltima linha da tabela 82 determinamos a transformada z desta expressao al ze sen T Y c V2 QD eR z 2ze cosT e Substituindo e resulta an J2 ze sen T Yz 2 Oc re 2 3 Wel V2 2 Th Zz 2ze cos Wel e er Y z 4 Para sintetizar o filtro precisamos determinar a relagdo Xc Zz Como a excitacao é impulsiva sua transformada z é fornecida pela primeira linha da tabela 82 70 1 Xz T Portanto out sen v2 oT Y v2 QD 2 x z 1 an 2 7 06g ze cos T te 0 wt T 4 ero 2 ocr J2 z ze sen T TAz V2 Te ou 0 2 Xz 2 cTp J2 2 oT z 2ze cosTe 2 Dividindo o numerador e denominador por z maior poténcia de z resulta 1 Pot J2 ze sen 01 YQ pg 0 x Pax V2 2 V2 ay 12ze COSTS Ocly z e Aplicacao numérica Seja f 50 Hz e fs 500 Hz Portanto QO 24x500 314 rds e 7 1 0002 seg fs 500 Substituindo estes valores na expressao de a chegase ao resultado Zz Yz 0247 Xz 11158z10411z7 Para simplificar a notacgéo vamos fazer as mudangas Yajy e Xzx Portanto 71 72 2 1 1 0 411 1158 1 24 0 z z z x y Procedimento da síntese 1 Eliminamse algebricamente os denominadores x z z z y 1 2 1 0 24 0 411 1158 1 ou x z y z y z y 1 2 1 0 24 0 411 1158 2 Isolase y à esquerda da igualdade y z y z x z y 2 1 1 0 411 1158 0 24 Implementase o diagrama funcional que obedece esta equação Ver fig 81 1 z 1 z 158 1 x y 0 411 24 0 y z y x 411 1 0 1158 24 0 y z y z z x y 2 1 1 411 0 1158 24 0 Fig 81 Verificação da resposta no tempo Para o impulso unitário de excitação temos na tabela 83 a seqüência de estados mostrados até a oitava amostra Tabela 83 n x z 1x z 1 y z 2 y y z y z x z y 2 1 1 0 411 1158 0 24 0 0 0 0 0 0 0 500 0 0 0 0 1 0 500 0 0 024 x 500 0 0 120 2 0 0 120 0 0 1158 x 120 0 139 3 0 0 139 120 0 1158 x 139 0411 x 120 1116 4 0 0 1116 139 0 1158 x 1116 0411 x 139 7212 5 0 0 7212 1116 0 1158 x 7212 0411 x 1116 3764 6 0 0 3764 7212 0 1158 x 3764 0411 x 7212 1 395 7 0 0 1395 3764 0 1158 x 1395 0411 x 3764 0684 8 0 0 0684 1395 0 1158 x 0684 0411 x 1395 4941 A fig 82 mostra o gráfico das amostras do sinal de saída 73 n 0 1 3 5 4 6 7 2 y 150 100 50 0 8 Fig 82 A linha pontilhada mostra a resposta temporal a um impulso unitário do filtro analógico correspondente Esta resposta analógica obedece a expressão 81 ou seja t e y t C t C C ω ω ω 2 2 sen 2 2 2 onde s rd C 314 ω Reparese que as amostras correspondem a valores exatos da amostragem da resposta temporal do filtro analógico correspondente Exercício 81 Sintetizar um filtro digital passa baixas Butherworth de 2a ordem com os seguintes parâmetros Hz fC 5 f S 500 Hz Fornecer como resultados a O diagrama operacional b O gráfico da resposta a um impulso unitário comparando com a do filtro analógico via simulação c O gráfico da resposta a um degrau unitário comparandoo com a resposta do filtro analógico por simulação d Verificar a influência da precisão numérica na resposta temporal e A resposta em freqüência comparandoa à resposta de um filtro analógico Solução a Partimos da expressão da resposta no plano z que já determinamos para este filtro digital ou seja 74 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 cos 2 1 2 2 sen 2 T C T C T C C C C z e T e z T z e T X z z Y ω ω ω ω ω ω Para Hz fC 5 f S 500 Hz temse rd s fC C 31416 5 2 2 π π ω s f T S 0 002 1 0 Substituindose este valor na expressão e efetuando os cálculos resulta 2 1 1 0 9149758 19111995 1 003775 0 z z z x y Eliminando o denominador fica x z y z y z y 1 2 1 0 003775 0 914975 1 9111995 Isolando y temse y z y z x z y 2 1 1 0 914975 1 9111995 0 003775 A fig 83 mostra o diagrama do filtro que obedece esta equação recursiva 1 z 1 z 9111995 1 x y 0 9149758 003775 0 Fig 83 b Resposta temporal a um impulso unitário No gráfico da fig 84a temos a resposta temporal deste filtro digital a um impulso unitário através de uma simulação que obedece o diagrama operacional da fig 83 A resposta temporal do filtro analógico correspondente ao impulso unitário obedece também a equação 81 ou seja og J2 yt V2 Qc e sen Oc onde O 31416 rds Na fig 84b temse a resposta temporal desse filtro analogico Finalmente a fig 84c mostra as duas curvas sobrepostas Plot Plot Plot 20 20 20 s fo 1OfosgiesssebeMgeeesdsseccesbeces see a 10 foe d Ngee bbe PONE DOG DON l BN DN 40 po 40 a 40 3 a 0 05 Al 15 2 0 05 A 15 2 0 05 4 15 2 Time sec Time sec Time sec a b c Fig 84 Podemos notar que as respostas temporais do filtro analogico e do digital praticamente sao iguais b Resposta temporal a um degrau unitario A resposta temporal do filtro analégico para a excitag4o degrau pode ser obtida da anti transformada de Laplace da expresso 2 2 Q 1 Q s x s ys 4 e V2 1 s V2 1 Sto 5 M8 SHOT 5 8 Resulta v2 J2 5 Oct 2 30 yt 1V2e 2 cos t 2 4 A resposta temporal do filtro digital correspondente é obtida da seqiiéncia de estados que obedece expressao y 0003775z 1x 19111995z y 0914975z y Considerase que x uma seqiiéncia de amostras de um degrau A tabela 84 calcula essa seqiiéncia de estados até a quarta amostra 75 76 Tabela 84 n x z 1x z 1 y z 2 y y z y z x z y 2 1 1 0 914975 1 911995 0 003775 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0003775 0 0 0003775 2 1 1 0003775 0 0003775 19111995 x 0003775 0 0001098978 3 1 1 0001098978 0003775 0003775 19111995 x 001098978 0914975 x 0003775 0002132463 4 1 1 0002132463 0001098978 0003775 19111995 x 00213391 0914975 x 000109928 0003447525 Na fig 85a temos curva desta resposta temporal Esta resposta foi determinada por meio de cálculo computacional simulação Na fig 85b temse a curva da resposta temporal do filtro analógico correspondente Finalmente a fig 85c mostra as duas curvas sobrepostas Podemos ver que a coincidência dessas curvas também é praticamente perfeita Time sec 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 125 Time sec 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 125 Time sec 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 125 a c b Fig 85 d Influência da precisão numérica na resposta temporal Na expressão da resposta x y é muito importante a precisão numérica dos coeficientes do denominador Devese utilizar pelo menos seis casas decimais após a vírgula Seja por exemplo a aproximação numérica para 3 casas decimais após a vírgula 2 1 1 0 915 1911 1 003775 0 z z z x y Na fig 86 temse a superposição da resposta temporal a um degrau unitário do filtro digital superposta à resposta do filtro analógico correspondente Notase que a discrepância é bem acentuada 180 digital analdgico Wo 0 4 2 3 4 5 Time sec Fig 86 e Resposta em freqiiéncia Seja a resposta no plano z yo 0003775z x 119111995z 09149758z 9 jab Substituindo Z por e 7 fs fica jant Yf 0003775e Xf 7 jont j4ab 119111995e 09149758ze 8 ou 0003773 cos ont jsen2z Yf fs f xX 7 119111995 0 ont jsen af sosnastss coset jsente fs f fs f Separando a parte real e a parte imaginaria no denominador fica 0003773 cos 20 FL jsen2a x Y i 19111995 cos 27 f 09149758cos 47 f fj 11995sen2z FL 09149758sen4a f fs fs fs f 77 Calculando o médulo desta expressaéo complexa resulta y a 0003775 Xf f f 548986424 731980158 cos 2 18299516cos 4a fs fs Para f 500 Hz temse y a 0003775 Xf 4948986424 731980158 cos001257 f 182995 16cos002513 f A resposta em freqiiéncia de um filtro analégico do tipo Butherworth passa baixas de segunda ordem obedece a expressao iA 1 Xf 1 LF Fe Para f 5 Hz resulta iA I Xf fi16x107 x f4 A fig 87a mostra as curvas de resposta sobrepostas do filtro digital e do filtro analdgico correspondente Este grafico abrange a faixa de freqiiéncia até 100 kHz A fig 87b estende a faixa de freqiiéncias para 1 MHz Yf rood 20logK oer xf 20 a 20Tae ass ss es es PEER PDE TPEEE LESS TO iScc who IEE Tee oad TOPOS SEEES digital 02 S28 PEE 0 RK SE QW wee TEST LD DEIN DDIne nie binge onooqe EE ghalgiog ice Ne cies 720 S38 Geta ccc NG digital sf NO The rene PP HER TOTES 80 SS NSE Si noa Ano YI Oe HEE EEN 40 ee OE 80 EE TES TEES NTS go eg cine diss cine Qe 50 0 SEE LEE SE oy 80 EEE HEEg 1g Spano 60 gH LINER LLEEE LUE ID iEES i IEEg 10 107 10 tt IGF GT gy to 10 10 Freq Hz Freq Hz a b Fig 87 Notamos também que até uma atenuado de 55 dB as curvas coincidem Também para a exatidao da resposta em freqiiéncia é necessaria uma grande preciséo numérica nos valores dos coeficientes do filtro tipo OR 78 9 SINTETIZACAO DE QUALQUER RESPOSTA EM FREQUENCIA POR MEIO DE UM FILTRO FIR Esta é uma parte muito importante da sintese de filtros digitais pois permite criar uma resposta em freqiiéncia que podera ser mais vantajosa do que a que se consegue com os filtros analégicos Este tipo de sintese aplica os conhecimentos da série exponencial de Fourier estudada no capitulo 2 Teoria da sintese do filtro FIR desta natureza Um filtro FIR com 2M atrasadores segue a fungao 2M yo m Hzbz plano z 91 xX m0 2M msTy ou Hs be plano s m0 Resposta em freqiiéncia de filtros digitais Sabemos que a resposta em freqiiéncia de um filtro digital periddica com periodo f onde f éa freqiiéncia de amostragem A curva Af mostrada na fig 91 preenche as caracteristicas da resposta em freqiiéncia de um filtro digital Af A f I I I I l TT I l I f 0 fe 2s Fig 91 Vamos redesenhar esta curva de maneira bilateral e supor que ela é valida para todo valor de f compreendido entre oo e o Ver fig 92 Como é uma fungao periddica podemos descrevéla pela série de Fourier As fungoes periddicas analisadas nos capitulos 1 e 2 eram fung6ées da variavel tempo Entretanto curva periddica deste caso é funcao da varidvel freqiiéncia A fig 92 mostra também que esta curva corresponde a uma fungao par em torno da origem Neste caso a série de Fourier contém somente cosenos 79 Af VIS f fe Ss 0 Sts fs f 2 2 Fig 92 Como a curva é funcao da varidvel f e possui periodo f a série de Fourier tem a forma Af 2 A cos f A cose f A C083 fH cesses 2 fs fs fs 2 20 onde A Af cosm f df fs I fs Mas sabemos que imp imp 20 e e cos m f ts 2 Substituindo esses valores na expressao de Af resulta 2a 2a 2a 2a 2a 2a i3f J2f if if j2f i3f AfCe Cle Cye C4Ce Cye 4Cye o A onde Cc c4e1 al fcosm f df 92 2 fs fs fs Portanto co im 5 AUF DCye 93 80 1 Mas mudando a notaao de tal modo que 27f e T fica fs jmaty Aja Ce mco Para representar no plano s fazemos js Neste caso temse msT As Ce mco Para representar no plano z substituise e por z Resulta Az DiC2 Esta expressao sugere a construcao de um filtro digital F7R que tivesse a resposta y m Hz SC2 94 x moo Nesta expressdo z representa um atraso de mT das amostras O coeficiente C C Seria dado pela expressdo 92 Entretanto devido a simetria da fungao a integral em um periodo é 0 dobro da integral em meio periodo portanto tornase valida também a espressao ts 2 2 C Afcos maa af 95 ts 0 fs Nesta expressao 95 Af representa a resposta periddica de freqiiéncia que se deseja Entretanto para a implementacao desse filtro terfamos dois problemas a resolver 1 A expressao 93 mostra que precisariamos de infinitos atrasadores Para contornar este problema podemos limitar em 2M o nimero de atrasadores e verificar se as deformagées da resposta em freqiiéncia seriam toleraveis Desta maneira terfamos M m Hz CZ mM 81 2 Para os valores negativos de m deveriamos ter adiantadores em lugar de atrasadores Isto nao tem sentido fisico pois nao se pode adivinhar as amostras do futuro Portanto é necessario fazer uma adaptagao para so utilizar a amostra presente e as que ja ocorreram Para isto tornase necessario fazer um deslocamento de referéncia no tempo de maneira a sé utilizar a amostra presente e as passadas A mostra mais adiantada passa a ser a do presente Matematicamente isto se faz acrescentando um atraso de MT ao filtro M M Hz zu y Cz Yc 2 mM mM Chamando Cb e mMn vemos que Quando mMentéo n0 Quando m Mentéo n2M Portanto 2M n Hz0z onde b C e nmM n0 O fato de que C C acarreta b Dom n EXEMPLO Para M 20 teremos a correspondéncia da tabela 91 Tabela 91 Cn Caw Cs Cg rr Cy Pere Coo by b by e by by Ba Calculo de C Partimos da expressdo 94 ts 2 2 C Apcosman L af fs 0 ts E comum fazerse mudanga de variavel afim de normalizar esta expressio Adotase 2 v 2f fs Entao para f a resulta vl 82 Além disto df 5 fedv Portanto podemos escrever 1 C Avcosmav dv 95 Determinagao da resposta em freqiiéncia de mdédulo e de fase Vamos analisar o método de determinagao da resposta em freqiiéncia deste tipo de filtro FIR utilizando um exemplo simples de um filtro deste tipo Ele usa 6 atrasadores A relacAo entre seus sinais de saida e de entrada obedece a expressao matemiatica Zab tb tbyc 7 bye tbo bee bge x 23b23 b27 bz b bz bsz7 bez7 Mas b bb b b Portanto 2 27 lb 3 z b 2 27 b 2 z b x ino jnol Mas 2 z e e 2cosnal Portanto Y 730 2 b e COS3T 2b cos2T 2b cosTb ow X y Je BA Generalizacao para a quantidade de 2M atrasadores y M1 b H 26 5 cosM noT x m0 2 83 Médulo y M1 b lemon yn cosM moT X m0 2 y M1 b ou P aS cosM mT u x ond 2 Fase gMoaTy onde M1 b y0 para D cosM maT 0 m0 M1 b y para yy cosM maT 0 m0 Uma propriedade importante deste tipo de filtro FIR é que a fase uma funcao linear da freqiiéncia na faixa de passagem do filtro Isto nao acontece com os filtros analégicos A linearidade de fase faz com que um sinal periddico nao senoidal cujas componentes se encontram dentro da faixa de passagem do filtro nao sofra qualquer deformagao E 0 tipo de filtro ideal para sinais pulsados por exemplo Exemplo de sintese Construir um filtro FIR passa baixas com resposta retangular Ver fig 93 goss Dados fe 025 0125 fs Af1 para Ife A0 para fo sf f fe Af 1 0 yale 0 025 1 175 2 3 4 f Ss Fig 93 84 Vamos utilizar 20 atrasadores 2M20 ou M10 De acordo com a tabela 91 e a expressao 95 temse 025 025 by C 4 cos102vav coslozvav 0 0 025 1 1 sen 10zv sen102x025 00318 10z 10z 0 b 900318 Por analogia matematica temse bC 5 sen 025 0025 b 0025 a Analogamente calculamos os demais b lembrando que C C Desta maneira obtemos os resultados que esto contidos na tabela 92 Tabela 92 bh b b e b a e Dy b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 D 0 003180025 0000 0032 0053 0045 0000 0075 Finalmente implementase o filtro FIR que obedece a equagao y 00318x 0025z7x 00322 7 x 0257 70x 003182 79x A fig 9 4 mostra esta implementagao 85 1 2 3 20 oe y 0025 00318 Fig 94 Verificagao da resposta em freqiiéncia M1 b 2 b cosM moT X m0 2 2 Mas of 2 av fs Portanto Y fF 200318 cos 10zv 0025 cos 9zv 0032 cos 7Z2V 0230 cos av 025 A fig 94 mostra esta resposta Lembremos que resposta em freqiiéncia significa a relagao de amplitudes entre os sinais de entrada e saida do filtro em fungao da freqiiéncia Na Fig 94a as escalas de freqiiéncia abscissa e da ordenada sao escalares Na fig 94b a escala de freqiiéncia é escalar e a da ordenada é em decibel y Y a 20 logi ty 125 20 0 VhrnnananananlY 60 it 0 25 5 75 1 125 15 175 2 0 2 5 75 1 125 15 175 2 fs fs a b Fig 94 Pelo grafico da fig 94b podemos ver que a atenuagaéo minima na faixa de rejeigao é da ordem de apenas 20 dB 86 87 Resposta de fase ψ πν ψ ω φ 20 20 T0 onde ψ 0 para 0 0 25 0 230cos 0 032cos7 0 025cos9 0 0318cos10 πν πν πν πν ou ψ π para 0 0 25 0 230cos 0 032cos7 0 025cos9 0 0318cos10 πν πν πν πν A fig 95 mostra esta resposta de fase 0 5 1 15 2 150 125 100 75 50 25 0 0 1 2 3 4 5 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Sf 2 f ν Sf 2 f ν b a φ rd rd φ Fig 95 A fig 95a mostra a variação de fase até ν 2 A fig 95b mostra a mesma curva até 50 ν Notase que a curva é linear até 30 ν Como a faixa de passagem tem como corte o parâmetro ν 0 25 confirmase que dentro da faixa de passagem a fase varia linearmente com a freqüência 10 METODOS PARA AUMENTAR A ATENUACAO NA FAIXA DE REJEICAO DO FILTRO Representacao dos coeficientes do filtro no dominio do tempo Vimos no capitulo 9 que um filtro que reproduzisse exatamente a curva de resposta em freqiiéncia desejada deveria obedecer a expresso YC 2 101 Esta expressao representa 0 espectro exponencial de Fourier no dominio do tempo de uma fungao continua periddica que descreve a resposta em freqiiéncia desejada A representagao grafica deste espectro temporal esta mostrada na parte a da fig 101 Cy C C a Espectro temporal C C original C C C C t ft 4T 30 2T T 0 1 2 3 4 KmT b Janela temporal f 0 f Cy c Espectro temporal C C truncado FLEd t MT MT Fig 101 Quando se utiliza apenas 2M atrasadores 0 espectro toma a forma representada na parte c da fig 101 Dizse que foi feito um truncamento no espectro original Este truncamento pode ser descrito matematicamente pela multiplicagao do espectro original pela fung4o mostrada na parte b da fig 101 Esta fungao que indicamos como K mT é chamada de janela temporal Mais especificamente a janela temporal mostrada nesta figura 101b é chamada de janela retangular 88 Portanto podemos dizer que M co YC2 Kot Yee 102 mM moo M oo ou YC27 KmTc2 103 mM moo onde KmT0 para mM e mM KmT0 para MmM Na expressao 102 notamos que se tem uma multiplicagao de fungdes do dominio do tempo Esta operacao é equivalente a uma convolugao no dominio da freqiiéncia ver capitulo 3 Isto acarreta uma modificagao da resposta em freqtiéncia desejada O filtro projetado no capitulo 9 adotou um truncamento de tal forma que utilizou 20 atrasadores Vamos chamar de H f a resposta em freqiiéncia desejada e H TR f a resposta resultante do truncamento do espectro temporal daquele filtro Estas respostas em dB estéo mostradas respectivamente na parte a e na parte b da fig 102 20logH 201081 20 Do 20 10 ee eee ag kk 0 poche becbebesteny 0 ee ee EEE 20 fhe 20 Ape lee de pf 30 Sdeesebibeshestens 30 0 Wanancaannthht Pee 60 60 0 25 56 75 1 12515 175 2 0 256 6 75 1 125 15 175 2 2 2 a fs b fs Fig 102 Podemos ver que a atenuacgdo minima na faixa de rejeicao é da ordem de apenas 20 dB Isto normalmente é considerado insuficiente para a quase totalidade das aplicagdes de filtros Para aumentar a atenuacdo na faixa de rejeicdo teriamos duas possibilidades 1 Aumentar a quantidade de atrasadores Entretanto isto é pouco eficiente Mesmo que se dobre a quantidade de atrasadores 0 aumento da atenuagao nao 89 fica maior do que 3 dB Além disto 0 atraso de percurso do sinal devida a presenga dos atrasadores ficaria duas vezes maior Para uma grande parte de aplicagées este atraso ficaria inaceitavel 2 Utilizar outra forma de janela temporal que acarrete aumento da atenuacéo na faixa de rejeigao do filtro Vamos nos dedicar ao estudo deste segundo método testando alguns tipos diferentes de janelas Janela triangular Multiplicase cada coeficiente C pelo valor de K fornecido pela fungao triangulo que esta representada na fig 103 K m JN m M 0 M Fig 103 Nesta fungao temse para m M M K 0 para m M Resulta uma familia de coeficientes que chamaremos de C Apés 0 deslocamento da referéncia temporal eles se transformam nos novos coeficientes b do filtro FIR A tabela 101 mostra as diversas fases deste procedimento Lembramos que C KxC Tabela 101 Ea Esp Cs Cr Cae Css Cs Cx Co Cu Co K0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 ic o 00025 O 00096 00212 00225 fo 00525 0128 0207 rn b bs be b be b b Dy Dy bs b Ds ds Dy Bs Dy by 10 A fig 104b mostra como fica a resposta desse filtro quando se usa janela triangular Para efeito de comparagao a parte a da mesma figura mostra a resposta para a utilizagao da janela retangular Podemos observar que a janela triangular suavizou as 90 91 ondulações na faixa de rejeição Além disto aumentou de 20 para 28 dB a atenuação mínima nessa faixa de rejeição Entretanto a transição da faixa de passagem para a faixa de rejeição se tornou menos brusca 0 25 5 75 1 125 15 175 2 60 50 40 30 20 10 0 10 20 log HTR 20 Sf 2 f ν Janela Retangular a Janela Triangular 0 25 5 75 1 125 15 175 2 60 50 40 30 20 10 0 10 20 log HTT 20 Sf ν 2 f b Fig 104 Janela de Hamming A janela de Hamming obedece a expressão 054 046 M cos πm para m M K 0 para m M Esta função se classifica como sendo do tipo coseno levantado A fig 105 mostra o formato deste tipo de janela temporal M M 0 m m K 1 0 Fig 105 A tabela 102 mostra as etapas para o cálculo dos coeficientes nb para este novo tipo de janela Lembramos que m m C K C Tabela 102 Jen es ea e ee fe ea ea es fe a 01025 0168 02696 03979 054 0682 0810 0912 0977 0025 0002 fo 00086 00211 00243 fo 00607 0146 0225 by b b b b b b b b by b b Dy Dy bs by D6 Ds by b by Di 10 A fig 106b mostra como fica a resposta desse filtro quando se usa janela de Hamming Para efeito de comparagao a parte a da mesma figura mostra a resposta para a utilizagao da janela retangular Podemos observar que a janela de Hamming aumentou de 20 para 53 dB a atenuacao minima na faixa de rejeiao do filtro 20logH 7 Janela Retangular 20logH 11 Janela de Hamming 20 20 0 Cesetsebeeeseceseehesteedereeesdereeedg Op Rengs bee bee binee ee cheeeeebeeeneday 40 EAA be agp ec tite p trees 60 SO eee 80 0 25 5 75 1 125 LS 175 2 0 2 5 7 1 125 15 175 2 yu2f yall a fs b f Fig 106 Janela de Kaiser Este é 0 tipo mais eficiente de janela temporal A janela de Kaiser obedece a expressao m 2 I 81 M K para m M 1 8 0 para mM O valor de deve ser escolhido entre 4 e 9 Em nosso exemplo adotaremos 0 27 rd Na expressao de K aparece 0 parametro J a Este parametro é uma funcdo de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero Ela é calculada pela expressao 92 Nt 1 Qcos x I e dx 20 Apéos a realizagao dos calculos dos valores de K preenchemos a tabela 103 que mostra as diversas etapas da determinacdo dos coeficientes b Lembramos mais uma vez que C KxC Tabela 103 Cu Oo Cs Co Ce Cs Cu Cs Co Cu Oo C 020318 0025 000 0032 0053 0045 000 0075 K 00115 00455 01060198 0320 0465 0620 0767 0890 0972 C 900037 000113 000 00064 00144 00209 000 005756 0142 0223 by b b b b b b b b by b b by Dy bs By D6 bs by b by Di 10 A fig 107b mostra como fica a resposta desse filtro quando se usa janela de Kaiser com 0 parametro 277 Para efeito de comparacio a parte a da mesma figura mostra a resposta quando se utiliza a janela retangular Podemos observar que esta janela de Kaiser aumentou de 20 para 68 dB a atenuacao minima na faixa de rejeicao Até 0 momento este tipo de janela é o mais eficiente para aproximar as caracteristicas da resposta em freqiiéncia da resposta ideal desejada 20logH 7 Janela retangular 20logH Janela de Kaiser 2g 20 86 80 Wn a AN 0 2 5 75 1 125 15 175 2 O 2 5 7 1 125 15 175 2 2 vat a fe b Fig 107 93 11 METODO DE SINTESE BASEADO NAS AMOSTRAS DA RESPOSTA EM FREQUENCIA DESEJADA Nos capitulos 9 e 10 partimos de uma curva continua e periddica de resposta em freqiiéncia Ver fig 111a Af NIT fh is 0 fs Is 2 2 a x0 aT xZ x27 x2T x 37 x3T x AT x47 ee o 2 fd ft 31 21 1 0 qh 27 31 41 b Fig 11 Neste caso esta curva acarreta no dominio do tempo uma série de componentes discretas e eqilidistantes que chamaremos xmT Estas componentes possuem simetria par ou seja x mT x m1 Ver fig 111b Calculase xmT pela transformada de Fourier de Xf xmTXfle df 11 fs 9 Notese a mudanga da notagdoC para a notacdoxmT Desta maneira a curva continua da resposta em freqiiéncia pode ser expressa por jm Xf DixlmTe 112 94 Apés a limitagao do espectro temporal e mudanga da referéncia fica 2M imo Xf Diallo n0 onde nmM Quando o calculo de xmT é realizado em um computador digital sao fornecidos como dados valores discretos da resposta em freqiiéncia desejada Neste caso a expressdo 111 nao é aplicavel A curva da resposta em freqiiéncia além de ser periddica e possuir simetria par passa a ser discreta Ver fig 112a Neste caso 0 espectro no dominio do tempo além de ser discreto tornase periddico Ver fig 112b XqF A 1 1 f Ty Me a a F Pe oe a f qF f MF a O MF fs xmT A T i P F LLL mi tt LLL MT 0 mT MT b Fig 112 Suponhamos que se divide 0 periodo f da curva da resposta em freqiiéncia em 2M intervalos Desta maneira teremos fs 2MF onde F éa distancia entre as amostras da curva de freqiiéncia O espectro temporal tera 0 perfodo 1 T F e uma distancia entre linhas igual a 95 1 T fs O ntimero de intervalos dentro de um periodo temporal é fr Ss oy T F Como o periodo da resposta de freqiiéncia foi dividido em 2M intervalos teremos 2M 1 amostragens dessa curva Da mesma forma como o periodio da resposta temporal ficou também dividido em 2M intervalos temse 2M 1 linhas representando este espectro temporal Conclusao A quantidade de linhas dentro de um periodo temporal ficou igual a uantidade de amostras dentro de um periodo da curva da resposta em freqiiéncia A quantidade de atrasadores para a construcao do filtro resulta em 2M pois uma das linhas espectrais resulta uma ligacao saindo da entrada do primeiro atrasador Relacdes matematicas Na expressao 111 a varidvel f deve ser substituida pela variavel gF onde g 6 um numero inteiro Neste caso cada valor discreto da resposta em freqiiéncia obedece a equacao M XqF xmT er 113 mM Os valores das linhas do espectro temporal coeficientes dos atrasadores do filtro FIR sao calculados pela expressao n11 Sxqrp xmT XqFk 2M 1 Sh 1 M j 271 mqF XqF ee 2M 1 1 Mas FT 2M Entaéo 96 1 of jm xmT XqF 114 2M 1 u As express6es 113 e 114 séo conhecidas como par de transformadas discretas de Fourier Discrete Fourier Transform DFT A formula 114 pode ser escrita com a f6rmula de Euler 1 a a C XmT 0 X qF cos mq jsen mq X mT Ta oo q xa j 4 1 a 1 1 X qgF cos m q j X qF sen m mt 41 4 a Tani 2 4 a A parte imaginaria desta equagao se anula devida a propriedade matematica sen ma senma0 Portanto 1 a 1 wt 1 C D X qF cosm q X042 XqF cosm saps EMaM loom a P x0 23 xl com g Alguns autores chamam XgF de Xq pois a tnica grandeza que varia é q Desta maneira teremos c 1 X02Xqcosmq 115 2M 1 qa M Partindose dos valores Xq das amostras da resposta em freqiiéncia podemos calcular os coeficientes dos atrasadores por meio da expressao 115 Precisdo do calculo de C Para que haja precisao no calculo de C necessdrio que o intervalo periddico da resposta em freqiiéncia seja descrito por algumas centenas de amostras Entretanto vimos que isto acarretara a mesma quantidade de coeficientes C Para que nado se utilize este numero proibitivo de atrasadores fazse também aqui costumase usar 0 truncamento do espectro por meio de janelas temporais 97 Procedimento da sintese do filtro 1 Fazse 2M amostras no periodo da resposta em freqiiéncia desejada Temse entao a tabela de X q 2 Calculase os coeficientes C aplicando a expressdo 115 3 Utilizase uma janela temporal para reduzir a quantidade de atrasadores para 2Monde MM 4 Mudase a referéncia temporal para que sé se utilize atrasadores Desta maneira temse os coeficientes b tal que b C onde nmM 5 Constréise o filtro FIR que obedece a expressao 2M Hz 0b2 n0 Exemplo de projeto de um filtro FIR pelo método da DFT amostragem da resposta em freqiiéncia Seja o mesmo filtro que foi projetado nos capitulos 9 e 10 Ver fig 11 3 Xf 1 yeot 2 1 025 0 025 1 2 fs Fig 113 Vamos dividir o periodo dessa resposta de freqiiéncia em 2M intervalos Desta maneira sao produzidas 2M1 amostras de um periodo da resposta em freqiiéncia Ver fig 114 xq M 0 M q M q M vel v025 Vv 025 vel Fig 114 98 Podemos ver que as amostras sao diferentes de zero apenas no intervalo entre as freqiiéncias de corte Portanto chamando de 2M essa quantidade de amostras nao nulas teremos MvXM 025M De acordo com a expressao 115 teremos c 1 x025 xqcosm 4 2M 1 qa M Considerando apenas as 2M amostra nao nulas fica C X0 23 xqcosm2q 2M 1 ql M 1 ue 1 ou C 12cosmgq 2M 1 M Vamos adotar 2M 800 Neste caso M 400 M 025x400 100 1 100 x C 142 cosmq Portanto 801 2 400 Vamos truncar 0 espectro com uma janela retangular para utilizar apenas 20 atrasadores 2M 20 Portanto MsmM Ou 10m10 99 100 Como m m C C teremos que calcular apenas os valores de m C em que 10 0 m Os cálculos desses valores de m C foram feitos por computador Os resultados estão indicados na tabela 111 A tabela mostra também os valores de m C já calculados anteriormente pelo método da transformada contínua Podemos ver que os resultados numéricos estão bem próximos Tabela 111 Método DFT Método FT m m C m C 0 0251 0250 1 0226 0225 2 0159 0159 3 0074 0075 4 1 25 10 3 0 5 0046 0045 6 0053 0053 7 0031 0032 8 1 25 10 3 0 9 0026 0025 10 0032 0032 A partir deste ponto criamse os coeficientes nb dos atrasadores segundo a correlação m n b C onde n m M O uso de outros tipos de janelas temporais segue as mesmas diretivas utilizadas no capítulo 10