Lista de Exercícios Resolvidos - Séries de Fourier e Funções Periódicas

1ª Questão Considere a função representada na figura abaixo onde você precisa definir o eixo vertical Pedese a A função pode ser par A função pode ser ímpar Justifique cada uma das respostas b O valor médio da função c Os dez primeiros coeficientes da Série de Fourier An Bn 2ª Questão Considere a função representada na figura abaixo onde você precisa definir o eixo vertical Pedese a A função pode ser par A função pode ser ímpar Justifique cada uma das respostas b O valor médio da função c Os dez primeiros coeficientes da Série de Fourier An Bn Percela que em ninhum t ft ft t e nem ft ft Portanto ft não pode ser nem par e nem ímpar a0 2T0 T02 to T02 ft dt 2T0 T06 to T06 A dt T06 to T02 B dt B 2A a0 2T0 AT06 T06 2A T02 T06 2T0 AT03 2A²T06 2A am 2T0 T02 to T02 ft cosmwt dt 2T0 T06 to T06 A cosmwt dt T06 to T02 B cosmwt dt B 2A am 2T0 A1mw sinmwt from tT06 to T06 2A 1mw sinmwt from tT06 to T02 w 2πT0 am 2T0 T0A2mπ sinm2πT0 T06 2 sinm2πT0 t tT06 to T02 am Amπ sinm2πT0 T06 sinm2πT0 T06 2 sinm2πT0 T02 2 sinm2πT0 T06 am Amπ sinm π3 sinm π3 2 sinm π 2 sinm π3 am 0 m Z bm 2T0 T02 to T02 ft sinmwt dt 2T0 T06 to T06 A sinmwt dt T06 to T02 B sinmwt dt B 2A bm 2T0 A1mw cosmwt from tT06 to T06 2A1mw cosmwt from tT06 to T02 w 2πT0 bm 2T0 T0A2mπ cosm2πT0 T06 2 cosm2πT0 T02 2 cosm2πT0 T06 bm Amπ cosm π3 cosm π3 2 cosm π 2 cosm π3 bm Amπ 21m 2 cosm π3 observe que cosm π 1m bm1 Aπ 2 212 Aπ 3 bm2 A2π 2 212 3A2π bm3 A3π 2 2 0 bm4 A4π 2 212 3A4π bm5 A5π 2 212 3A5π 3 Valor médio a02 A 32 am 0 m Z b1 3Aπ 102π b2 3A2π 1022π b3 0 b4 3A4π 1024π b5 3A5π 1025π 2 Para que haja recorrência Perceba que ft ft portanto ft é par Não há t0 tal que ft ft não podendo ser ímpar a0 2T0 T02 a T02 ft dt 4T0 T02 a 0 ft dt já que ft é par a0 4T0 0 a T06 B dt T06 a T02 A dt 4T0 2A T06 A 2T06 0 am 2T0 T02 a T02 ft cosnωt dt 4T0 0 a T02 ft cosnωt dt já que ft cosnωt é par par x par par am 4T0 0 a T06 B cosnωt dt T06 a T02 A cosnωt dt B 2A am 4T0 2A 1nω sennωt0 a T06 A 1nω sennωtT06 a T02 ω 2πT0 am 4T02 T0A2nm 2 senm 2πT0 t0 a T06 senm 2πT0 tT06 a T02 am 2Amπ 2 senm 2πT0 T06 2 senπ3 senm 2πT0 T02 senm 2πT0 2T03 am 2Amπ 2 senm π3 senm π senm π3 am 6Amπ senm π3 a1 6Aπ 32 3A3π a2 6A2π 32 3A32π a3 0 a4 6A4π 32 3A34π a5 6A5π 32 3A35π bm 2T0 T02 a T02 ft sennωt dt Como ft é par ft sennωt é ímpar par x ímpar ímpar então T02 a T02 ft sennωt dt 0 bm 0 m Z Valor Médio a0 2 0 a1 3A3 π 1023 π a2 3A3 2π 1023 2π a3 0 a4 3A3 4π 1023 4π a5 3A3 5π 1023 5π e bm 0 m Zt