Modelagem Matematica de Sistemas Eletricos Analogias Eletromecanicas - Notas de Aula

Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 1 1 INTRODUÇÃO Os sistemas elétricos são componentes essenciais de muitos sistemas dinâmicos complexos Por exemplo um controlador de um driver de disco de um computador ou o controlador da velocidade de um automóvel necessitam de certos circuitos elétricos para funcionar Usaremos os termos sistemas elétricos e circuitos elétricos como sinônimos Tendo em vista que existe no currículo uma disciplina de Circuitos Elétricos onde o estudo é feito com muito mais profundidade aqui faremos apenas uma abordagem que seja suficiente para a compreensão das analogias que existem entre certos sistemas dinâmicos analogias eletromecânicas eletrohidráulicas eletropneumáticas eletrotérmicas etc assim como dos sistemas eletromecânicos a serem estudados posteriormente 2 ELEMENTOS ELÉTRICOS PASSIVOS Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos As relações elementares de voltagens são Resistor Lei de Ohm 1 eA eB R iR Indutor 2 Capacitor 3 onde R L e C são a resistência a indutância e a capacitância respectivamente 08 Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas dt e L di e L B A i dt C e 1 e t 0 C A B Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 2 As relações elementares de correntes são Resistor Lei de Ohm 4 Indutor 5 Capacitor 6 3 MODELAGEM DE CIRCUITOS ELÉTRICOS LEIS DE KIRCHHOFF A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicandose as Leis de Kirchhoff a Lei dos Nós eou a Lei das Malhas Modelagem Matemática pelo Método dos Nós Aplicase a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico Exemplo 1 No circuito da fig 1 o interruptor S é fechado no instante t 0 Achar o modelo matemático sendo E a entrada e as tensões eA e eB as saídas Considerar 2R1 R2 R3 R3C 1 E 12 v R e e i B A R e dt e L 1 i B t 0 A L dt e C de i B A L A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó Fig 1 Solução Referência para voltagem no nó D eD 0 Lei dos Nós aplicada ao nó A a i1 i2 i3 Usando as equações das correntes i1 E eAR1 i2 eA eDR2 eAR2 i3 eA eBR3 Levando essas três últimas equações na eq a b E eAR1 eAR2 eA eBR3 Por outro lado temos no ponto B i3 C deB eDdt C deBdt logo c eA eB R3 C deBdt Substituindo os dados do enunciado na eq b chegamos a d 4eA eB 24 Analogamente levando na eq c e eB eA eB Eliminando eA nas eqs d e e chegamos à EDOL de primeira ordem f eB 075 eB 6 Assim o modelo matemático é composto pela EDOL f e pela equação algébrica d Modelagem Matemática pelo Método das Malhas Aplicase a Lei dos Malhas a cada malha do circuito elétrico A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das voltagens que são introduzidas na mesma malha Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 4 Exemplo 2 No circuito RL série da fig 2 o interruptor S é fechado no instante t 0 Achar o modelo matemático sendo E a entrada e it a saída Fig 2 Solução Lei das Malhas eL eR E Usando as equações das voltagens chegamos a a Vemos que se trata de uma EDOL de primeira ordem bastante simples 4 ANALOGIAS ELETROMECÂNICAS Até agora estudamos os sistemas mecânicos e os sistemas elétricos apresentando suas modelagens matemáticas Vamos a seguir estabelecer certas características comuns aos dois tipos de sistemas o que permite definir o que chamamos analogia eletromecânica Dois sistemas físicos são análogos duais quando são descritos pelo mesmo modelo matemático ou seja pelo mesmo conjunto de equações diferenciais ou pela mesma função de transferência Os sistemas análogos caracterizamse por apresentarem a mesma forma de resposta quando submetidos a excitações do mesmo tipo Esse fato é de extrema importância pois permite nas fases de análise e projeto trabalhar experimentalmente com o circuito elétrico mais barato análogo do sistema mecânico que está sendo projetado antes da implementação do protótipo do sistema mecânico muito mais caro O dimensionamento do circuito elétrico análogo é feito com base na Teoria da Análise Dimensional e Semelhança O conceito de sistemas análogos é bem mais amplo podemos ter analogias eletrohidráulica eletrotérmica eletropneumática etc No que diz respeito à analogia eletromecânica temos dois tipos a analogia forçacorrente com base na Lei de Kirchhoff dos nós e a analogia forçavoltagem amparada na Lei de Kirchhoff das malhas E Ri dt L di Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 5 5 ANALOGIA FORÇAVOLTAGEM Vamos considerar o sistema mecânico massamolaamortecedor com um GDL e o sistema elétrico resistorindutorcapacitor série mostrados na fig 3 Sistema mecânico Circuito elétrico Fig 3 Os modelos matemáticos dos dois sistemas conforme já vimos são Sistema Mecânico Sistema Elétrico a Sistema translacional ft kx c x m x b Sistema rotacional Tt K C J θ θ θ et idt C 1 Ri dt di L t 0 ou como dt i dq q t d d q dt di 2 2 t 0 q idt então et C q 1 R q L q Examinando os modelos matemáticos dos sistemas mecânico e elétrico verificamos que os mesmos são compostos pelas mesmas equações diferenciais a menos dos símbolos utilizados Pela posição que ocupam nas equações podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 6 Sistema Mecânico Sistema Elétrico Força f ou Torque T Massa m ou Inércia J Coef Amortecimento Viscoso c ou C Rigidez k ou K Deslocamento x ou θ Velocidade x ou θ Aceleração x ou θ Voltagem e Indutância L Resistência R Inverso da Capacitância 1C Carga elétrica q Corrente elétrica i Variação didt 6 ANALOGIA FORÇACORRENTE Vamos considerar agora o mesmo sistema mecânico massamolaamortecedor com um GDL e o sistema elétrico resistorindutorcapacitor paralelo mostrados na fig 4 Sistema mecânico Circuito elétrico Fig 4 Semelhantemente ao caso anterior podemos ter os dois modelos matemáticos Sistema Mecânico Sistema Elétrico a Sistema translacional m x c x kx ft iC iR iL i C dedt eR 1L 0t edt i ou como e dψdt onde ψ fluxo magnético dedt ψ e 0t edt ψ então C ψ 1R ψ 1L ψ it b Sistema rotacional J θ C θ Kθ Tt Analogamente podemos facilmente estabelecer as quantidades análogas dos dois sistemas Sistema Mecânico Sistema Elétrico Força f ou Torque T Massa m ou Inércia J Coef Amortecimento Viscoso c ou C Rigidez k ou K Deslocamento x ou θ Velocidade x ou θ Aceleração x ou θ Corrente elétrica i Capacitância C Inverso da Resistência 1R Inverso da Indutância 1L Fluxo magnético ψ Voltagem e Variação dedt Portanto podemos concluir que sistemas análogos mesma equação diferencial mesma função de transferência 7 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO POR INSPEÇÃO Comparando as figuras anteriores podemos observar que 1 Analogia forçavoltagem k e c em paralelo análogos C e R em série k e c em série análogos C e R em paralelo 2 Analogia forçacorrente k e c em paralelo análogos 1L e 1R em paralelo k e c em série análogos 1L e 1R em série Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 8 Os fatos acima permitem construir o circuito elétrico análogo a um dado sistema mecânico simplesmente por inspeção Assim na figura do sistema mecânico colocamos um ponto P Q S etc em cada um dos seguintes locais massas pontos de aplicação de forças e pontos de ligação entre elementos flexíveis molas e amortecedores A quantidade de pontos assim definidos nos informa a quantidade de GDL do sistema mecânico Para a construção do circuito elétrico levamos em conta que a quantidade de GDL do sistema mecânico é igual à quantidade de malhas do circuito elétrico e que cada ponto do sistema mecânico P Q S etc corresponde a uma malha do circuito elétrico Com essas informações podemos construir o circuito elétrico análogo conforme ilustram os exemplos das figs 5 e 6 Exemplo 3 fig 5 Exemplo 4 fig 6 Fig 5 Fig 6 Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 9 8 OBTENÇÃO DO CIRCUITO ELÉTRICO ANÁLOGO A PARTIR DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Mostraremos a seguir através de um exemplo uma maneira mais rigorosa de obter o circuito elétrico análogo a um dado sistema mecânico a partir do modelo matemático desse último Exemplo 5 Usando a analogia forçavoltagem obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da fig 7 Solução Inicialmente vamos achar o modelo matemático do sistema mecânico Para isso construímos o diagrama de corpo livre fig 8 e aplicamos a Segunda Lei de Newton Fig 8 massa m1 massa m2 Ordenando 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 m x c x k x x c x x k x 2 2 1 2 2 1 2 2 m x x c x x k x 0 x k x x c x x m 0 x k x x c x k x c x x m 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Fig 7 Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 10 Usando a analogia forçavoltagem obtemos as equações do circuito elétrico análogo Vemos nas equações acima que o termo de acoplamento i1 i2 está presente nas duas equações Logo ele deve pertencer simultaneamente às duas malhas do circuito elétrico ou seja deve estar presente no ramo comum a ambas as malhas Assim podemos construir o circuito elétrico análogo Comparando as figs 7 e 9 podemos comprovar que a cada grau de liberdade no sistema mecânico corresponde uma malha no circuito elétrico Fig 9 Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 11 EXERCÍCIOS 1 Representar o modelo matemático do Exemplo 1 do texto pelas funções de transferência s E E s Es e G s E s G s B 2 A 1 2 Dado o circuito RLC série da figura determinar a modelo matemático b freqüência natural c fator de amortecimento d função de transferência ECsEs onde eCt é a saída tensão no capacitor et é a entrada Resp a dt de L 1 LC i 1 dt di L R dt i d 2 2 b c L 2 R C 1 2 ς d LC 1 L s R LCs 1 Es s E 2 C 3 Dado o circuito da figura deduzir o modelo matemático e obter as funções de transferência I1sEs e I2sEs Resp Modelo matemático 0 i dt i C 1 R i dt di L E i dt i C 1 i R 1 2 2 2 2 2 1 1 1 LC 1 ωn Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos Analogias Eletromecânicas 12 4 Obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da figura usando a analogia forçavoltagem e as equações diferenciais do sistema mecânico a serem deduzidas previamente 5 Resolver o Exercício 4 por inspeção Deu o mesmo resultado 6 Obter o circuito elétrico análogo do sistema mecânico da figura usando a analogia forçavoltagem e as equações diferenciais do sistema mecânico a serem deduzidas previamente 7 Resolver o Exercício 6 por inspeção Deu o mesmo resultado