PDS Aula Pratica 1 - Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Processamento Digital de Sinais PDS Aula Prática 1 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO AP1 1 Eng Viviana Zurro MSc Sistemas lineares invariantes no tempo 1 Para o sinal 𝑥𝑛 mostrado na figura determine 𝑦𝑛 tal que a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 Resolução a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 neste caso a saída 𝑦𝑛 está atrasada 3 amostras em relação à entrada 𝑥𝑛 portanto a saída será deslocada 3 amostras para a direita do gráfico da seguinte maneira Isto pode ser verificado da seguinte maneira 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 0 𝑦1 𝑥1 3 𝑥2 0 0 1 2 3 4 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xn n AP1 2 Eng Viviana Zurro MSc 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 0 𝑦3 𝑥3 3 𝑥0 4 𝑦4 𝑥4 3 𝑥1 3 𝑦5 𝑥5 3 𝑥2 2 𝑦6 𝑥6 3 𝑥3 1 𝑦7 𝑥7 3 𝑥4 0 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 neste caso a saída 𝑦𝑛 está adiantada 3 amostras em relação à entrada 𝑥𝑛 portanto a saída será deslocada 3 amostras para a esquerda do gráfico da seguinte maneira Isto pode ser verificado da seguinte maneira 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 𝑦4 𝑥4 3 𝑥1 0 𝑦3 𝑥3 3 𝑥0 4 𝑦2 𝑥2 3 𝑥1 3 𝑦1 𝑥1 3 𝑥2 2 𝑦0 𝑥0 3 𝑥3 1 𝑦1 𝑥1 3 𝑥4 0 𝑦2 𝑥2 3 𝑥5 0 𝑦3 𝑥3 3 𝑥6 0 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 este é um caso especial onde o sinal vai ser invertido Neste caso é conveniente primeiro fazer o deslocamento neste caso atraso da função e depois inverter quando o processo é realizado graficamente O primeiro passo é deslocar o sinal AP1 3 Eng Viviana Zurro MSc Para depois inverter Isto pode ser verificado da seguinte maneira 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 𝑦5 𝑥5 1 𝑥4 0 𝑦4 𝑥4 1 𝑥3 1 𝑦3 𝑥3 1 𝑥2 2 𝑦2 𝑥2 1 𝑥1 3 𝑦1 𝑥1 1 𝑥0 4 𝑦0 𝑥0 1 𝑥1 0 𝑦1 𝑥1 1 𝑥2 0 𝑦2 𝑥2 1 𝑥3 0 0 1 2 3 4 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 xn1 0 1 2 3 4 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 yn AP1 4 Eng Viviana Zurro MSc 2 Vários sistemas são representados pelas equações a seguir Para cada um dos sistemas determinar se são Estáveis Causais Lineares Invariantes no tempo Sem memória a 𝑇𝑥𝑛 𝑔𝑛𝑥𝑛 com 𝑔𝑛 determinado b 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 c 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑛 0 Resolução a 𝑇𝑥𝑛 𝑔𝑛𝑥𝑛 Estável Se 𝑥𝑛 𝑀 com 𝑀 sendo um valor finito então 𝑇𝑥𝑛 𝑔𝑛𝑀 será estável se 𝑔𝑛 é limitado Isto significa que o sistema será estável se tanto 𝑥𝑛 como 𝑔𝑛 não atingem amplitude infinita para nenhum valor de 𝑛 Causal 𝑦1𝑛 𝑔𝑛𝑥1𝑛 𝑦2𝑛 𝑔𝑛𝑥2𝑛 Sendo que 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑛 𝑛0 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑛 𝑛0 Se estas condições são cumpridas o sistema é causal Isto significa que como o sistema depende somente de amostras atuais o sistema é causal Cabe lembrar que sistemas causais dependem de amostras presentes e passadas Linear Sendo as entradas 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 as entradas de um sistema e 𝑦1𝑛 e 𝑦2𝑛as respectivas saídas o sistema será linear se 𝑇𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑇𝑥1𝑛 𝑇𝑥2𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑇𝑎𝑥𝑛 𝑎𝑇𝑥𝑛 𝑎𝑦𝑛 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑔𝑛𝑥𝑛 𝑦1𝑛 𝑔𝑛𝑥1𝑛 𝑦2𝑛 𝑔𝑛𝑥2𝑛 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑔𝑛𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑔𝑛𝑥1𝑛 𝑏𝑔𝑛𝑥2𝑛 𝑎𝑇𝑥1𝑛 𝑏𝑇𝑥2𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 Portanto o sistema é linear Invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑔𝑛𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0 𝑔𝑛 𝑛0𝑥𝑛 𝑛0 Como 𝑔𝑛 não depende de 𝑛0 este sistema não é invariante no tempo AP1 5 Eng Viviana Zurro MSc Sem memória 𝑦𝑛 𝑇𝑥𝑛 e depende somente do valor atual de 𝑥 portanto é sem memória Significa que a saída não depende de valores armazenados em memória b 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 Estável Se 𝑇𝑥𝑛 𝑀 3 para 𝑛 1 e 𝑇𝑥𝑛 𝑀 para 𝑛 1 o sistema é estável para 𝑀 Causal Como o sistema não usa valores futuros de 𝑥𝑛 ele é causal Linear 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑎𝑇𝑥1𝑛 𝑏𝑇𝑥2𝑛 O sistema não é linear Podemos observar facilmente que este sistema não é linear devido ao degrau de amplitude 3 em 𝑛 1 Degrau não é uma função linear Invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3𝑢𝑛 𝑛0 1 O sistema não é invariante no tempo Isto se deve a que a função degrau não depende de 𝑛0 Sem memória 𝑦𝑛 𝑇𝑥𝑛 e depende somente do valor atual de 𝑥 portanto é sem memória c 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑛 0 Estável 𝑥𝑛 𝑀 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑛 𝑛0𝑀 Se 𝑛 𝑇 portanto o sistema não é estável A soma de infinitos valores terá uma amplitude infinita Causal O sistema depende de valores futuros de 𝑥𝑛 quando 𝑛 𝑛0 portanto é não causal AP1 6 Eng Viviana Zurro MSc Linear 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑘 𝑏𝑥2𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑎 𝑥1𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑏 𝑥2𝑘 𝑛 𝑘𝑛0 𝑎𝑇𝑥1𝑛 𝑏𝑇𝑥2𝑛 Portanto o sistema é linear Invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑘 𝑛0 𝑛 𝑘𝑛0 𝑥𝑘 𝑛𝑛0 𝑘0 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑘 𝑛𝑛0 𝑘𝑛0 Portanto o sistema é não é invariante no tempo Sem memória O sistema não é sem memória porque depende de valores 𝑛0 armazenados em memória Domínio do tempo e domínio da frequência 3 Um sistema LIT é definido pela seguinte equação de diferenças 𝑦𝑛 2𝑥𝑛 4𝑥𝑛 1 2𝑥𝑛 2 a Determine a resposta ao impulso do sistema b Determine a resposta em frequência do sistema c Desenhe o gráfico de amplitude e fase do sistema d Para a seguinte entrada do sistema determine a saída 𝑦1𝑛 usando resposta em frequência 𝑥1𝑛 1 ⅇ𝑗05𝜋𝑛 𝑛 e Para a seguinte entrada do sistema determine a saída 𝑦2𝑛 usando convolução discreta 𝑥2𝑛 1 ⅇ𝑗05𝜋𝑛𝑢𝑛 𝑛 f Compare 𝑦1𝑛 e 𝑦2𝑛 e verifique para quais valores de 𝑛 elas são iguais Resolução a Resposta ao impulso esta função sai diretamente da equação de diferenças 𝒉𝒏 𝟐𝜹𝒏 𝟒𝜹𝒏 𝟏 𝟐𝜹𝒏 𝟐 AP1 7 Eng Viviana Zurro MSc b Resposta em frequência 𝐻ⅇ𝑗𝜔 2 4ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗2𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 2 2ⅇ𝑗𝜔 4ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗2𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 2 ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2 𝐻ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔 2 4ⅇ𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠𝜔 Considerando a equação de Euler ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗𝑠ⅇ𝑛𝜔 1 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗𝑠ⅇ𝑛𝜔 2 Isolando na equação 1 𝑗𝑠ⅇ𝑛𝜔 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 3 E substituindo na equação 2 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 4 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2𝑐𝑜𝑠𝜔 5 Por identidade trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝛼 1 2𝑠ⅇ𝑛2𝛼 6 Considerando 𝜔 2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜔 1 2𝑠ⅇ𝑛2𝜔2 7 2𝑠ⅇ𝑛2𝜔2 1 𝑐𝑜𝑠𝜔 8 Portanto 𝐻ⅇ𝑗𝜔 4ⅇ𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠𝜔 4ⅇ𝑗𝜔2𝑠ⅇ𝑛2𝜔2 𝑯ⅇ𝒋𝝎 𝟒ⅇ𝒋𝝎𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝎 𝟖ⅇ𝒋𝝎𝒔ⅇ𝒏𝟐𝝎 𝟐 c Trabalhando no ambiente matemático Scilab SCILAB ENTREPRISES 2017 AP1 8 Eng Viviana Zurro MSc Diagrama de amplitude Figura 1 Comandos no ScniNotes Figura 2 Gráfico de amplitude em função da frequência AP1 9 Eng Viviana Zurro MSc Diagrama de fase Figura 3 Comandos no ScniNotes Figura 4 Gráfico de fase em função da frequência d Determinar 𝑦1𝑛 usando a resposta em frequência 𝑥1𝑛 1 ⅇ𝑗05𝜋𝑛 𝑛 𝑥1𝑛 ⅇ𝑗0𝑛 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 𝐻ⅇ𝑗𝜔 8ⅇ𝑗𝜔𝑠ⅇ𝑛2𝜔 2 Definindo 𝑯ⅇ𝑗𝜔 para 𝜔 0 e para 𝜔 𝜋 2 𝐻ⅇ𝑗0 8ⅇ0𝑠ⅇ𝑛20 0 AP1 10 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 8ⅇ𝑗𝜋 2𝑠ⅇ𝑛2𝜋 4 A saída deste sistema é 𝑦1𝑛 𝐻ⅇ𝑗𝜔𝑥1𝑛 𝐻ⅇ𝑗0ⅇ𝑗0𝑛 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 0 ⅇ𝑗0𝑛 8sⅇ𝑛2 𝜋 4 ⅇ𝑗𝜋 2ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 Como sⅇ𝑛2 𝜋 4 1 2 𝒚𝟏𝒏 𝟖 𝟐 ⅇ𝒋𝝅 𝟐𝒏𝟏 𝟒ⅇ𝒋𝝅 𝟐𝒏𝟏 𝒏 Usando Scilab Figura 5 Comandos no ScniNotes Figura 6 sinal de saída do sistema e Determinar 𝑦2𝑛 usando convolução discreta AP1 11 Eng Viviana Zurro MSc 𝑥2𝑛 1 ⅇ𝑗05𝜋𝑛𝑢𝑛 𝑛 𝑦2𝑛 ℎ𝑘𝑥2𝑛 𝑘 𝑘 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑢𝑛 𝑘 𝑘 𝑦2𝑛 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑛 𝑘 Como o sistema é causal 𝑦2𝑛 0 𝑛 0 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑛 𝑘0 𝑛 0 f Comparando 𝑦1𝑛 e 𝑦2𝑛 Considere 𝑛 0 𝑦2𝑛 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 O primeiro termo da equação pode ser escrito como ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 ℎ𝑘 𝑘0 ℎ𝑘ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 Como ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 ⅇ𝑗𝜋 2𝑘ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 ℎ𝑘 𝑘0 ℎ𝑘ⅇ𝑗𝜋 2𝑘 𝑘0 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 𝐻ⅇ𝑗0 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 𝑦2𝑛 𝐻ⅇ𝑗0 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 Lembrando que 𝑦1𝑛 𝐻ⅇ𝑗0ⅇ𝑗0𝑛 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 Como ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 é zero para 𝑛 2 ℎ𝑛 0 𝑛 2 Então 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑛 2 AP1 12 Eng Viviana Zurro MSc Transformada z 4 A função do sistema de um sistema causal LIT é definida da seguinte maneira 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 a Determine a saída do sistema quando a entrada é 𝑥𝑛 𝑢𝑛 b Determine a saída do sistema quando a entrada é 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠05𝜋𝑛 𝑛 c Determine a entrada 𝑥𝑛 se a saída é 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 Resolução 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 Fatorando o denominador 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 9 1 025𝑧2 1 05𝑧11 05𝑧1 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 Desta forma é possível ver que a função tem polos em 𝑧 05 a Determine a saída do sistema quando a entrada é 𝑥𝑛 𝑢𝑛 Verificando a tabela de pares comuns de transformadas na página 68 do livro texto OPPENHEIM e SCHAFER 2012 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑋𝑧 1 1 𝑧1 1 𝑧 𝑌𝑧 𝐻𝑧 𝑋𝑧 1 𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 1 1 𝑧1 1 1 05𝑧11 05𝑧1 Para resolver esta equação 1 1 05𝑧11 05𝑧1 𝑎 1 05𝑧1 𝑏 1 05𝑧1 𝑎 1 05𝑧1 𝑏 1 05𝑧1 𝑎1 05𝑧1 𝑏1 05𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 𝑎1 05𝑧1 𝑏1 05𝑧1 1 𝑎 𝑏 05𝑧1𝑎 05𝑧1𝑏 1 𝑎 𝑏 1 AP1 13 Eng Viviana Zurro MSc 05𝑧1𝑎 05𝑧1𝑏 0 𝑎 𝑏 Dessas duas últimas equações 𝑎 𝑏 05 𝑌𝑧 05 1 05𝑧1 05 1 05𝑧1 05 𝑧 A região de convergência de 𝑌𝑧 é a interseção das regiões de convergência de 𝑋𝑧 e 𝐻𝑧 Aplicando a transformada inversa 𝒚𝒏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 b Determine a saída do sistema quando a entrada é 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠05𝜋𝑛 𝑛 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 ⅇ𝑗𝜔 1 025ⅇ𝑗2𝜔 Em 𝜔 05𝜋 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 1 ⅇ𝑗𝜋 2 1 025ⅇ𝑗𝜋 ⅇ𝑗𝜋 2 equivale a um ângulo de 90𝑜e em coordenadas retangulares é 𝑗 ⅇ𝑗𝜋 equivale a um ângulo de 180𝑜 180𝑜e em coordenadas retangulares equivale a sinal menos 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 1 𝑗 1 025 1 𝑗 𝑟ⅇ𝑗𝜑 𝑟 12 12 2 𝜑 𝑡𝑔1 1 1 𝜋 4 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 2ⅇ𝑗𝜋 4 125 113ⅇ𝑗𝜋 4 Portanto 𝒚𝒏 𝟏 𝟏𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟎 𝟓𝝅𝒏 𝝅 𝟒 c Determine a entrada 𝑥𝑛 se a saída é 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 Verificando a tabela de pares comuns de transformadas na página 68 do livro texto 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 𝑌𝑧 1 𝑧1 0 𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝐻𝑧 AP1 14 Eng Viviana Zurro MSc 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 𝑧1 1 025𝑧2 𝑋𝑧 1 025𝑧2 0 𝑧 Aplicando a transformada inversa 𝒙𝒏 𝜹𝒏 𝟎 𝟐𝟓𝜹𝒏 𝟐 5 A entrada de um sistema LIT 𝑥𝑛 𝑢𝑛 Se a saída é 𝑦𝑛 1 2 𝑛1 𝑢𝑛 1 a Encontre 𝐻𝑧 e esboce o diagrama de polos e zeros b Encontre a resposta ao impulso ℎ𝑛 c Verifique se o sistema é estável e causal Resolução a Como o degrau depende de 𝑛 1 para resolver esta equação deixaremos a fração 1 2 em função de 𝑛 1 também 1 2 𝑛1 1 2 𝑛 1 2 1 1 2 𝑛 1 2 1 2 2 Como 1 2 1 2 1 2 𝑛1 1 2 𝑛 1 2 1 1 2 𝑛 2 2 2 1 2 1 2 𝑛 4 4 1 2 𝑛1 Portanto 𝑦𝑛 4 1 2 𝑛1 𝑢𝑛 1 Usando a tabela de transformadas da página 68 do livro texto 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 𝑎𝑧1 10 Considerando 𝑛 1 𝑌𝑧 4𝑧 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 𝑯𝒛 𝒀𝒛 𝑿𝒛 𝟒𝒛 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛𝟏 𝟏 𝟏 𝒛𝟏 𝟒𝒛𝟏 𝒛𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛𝟏 𝒛 𝟏 𝟐 AP1 15 Eng Viviana Zurro MSc O sistema tem um zero em 𝑧 0 e um polo em 𝑧 1 2 Figura 7 Diagrama de polos e zeros do sistema b Resposta ao impulso 𝐻𝑧 4𝑧1 𝑧1 1 1 2 𝑧1 4𝑧 1 1 2 𝑧1 4 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 𝒉𝒏 𝟒 𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝒖𝒏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 𝒏 𝒖𝒏 c Estabilidade e causalidade A região de convergência de 𝐻𝑧 inclui o 1 portanto o sistema é estável ℎ𝑛 começa em 𝑛 1 portanto o sistema é não causal Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 SCILAB ENTREPRISES Scilab Scilab 2017 Disponivel em httpwwwscilaborg