Aula 4 - Processamento Digital de Sinais - Análise Espectral e Transformada de Fourier

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 4 Profª Viviana Raquel Zurro 2 CONVERSA INICIAL O sinal analógico representa a variação de um parâmetro físico em função do tempo Qualquer sinal pode ser representado por uma soma de vários sinais senoidais de amplitudes e frequências diferentes Sinais periódicos são compostos por ondas senoidais cujas frequências são múltiplos inteiros de uma frequência fundamental 𝑓 cada uma delas com fase e amplitude determinada São os chamado harmônicos do sinal e compõe o espectro em frequência O espectro do sinal não é visível no domínio do tempo e é composto pela resposta em amplitude e em fase do sinal Para passar do domínio do tempo para o domínio da frequência usase um operador matemático chamado transformada integral Em tempo discreto para passar o sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência usase um operador matemático chamado transformada integral Existem vários tipos de transformadas mas a Transformada z em conjunto com a transformada discreta de Fourier são provavelmente as ferramentas matemáticas mais poderosas no processamento digital de sinais Análise espectral de sinais Qualquer sinal variável pode ser decomposto em n sinais senoidais A forma de onda no domínio do tempo é menos importante na análise de sinais do que a amplitude a frequência e a fase das componentes senoidais A DFT é usada para extrair esta informação Resposta em frequência dos sistemas No domínio do tempo os sistemas podem ser analisados por convolução Uma análise similar pode ser realizada no domínio da frequência Aplicando a transformada de Fourier qualquer sinal de entrada pode ser representado pela soma de cossenos cada um com amplitude fase e frequência específicas Da mesma forma o sinal de saída pode ser representado pela DFT Então todo sistema linear pode ser descrito analisando a variação da fase e amplitude dos cossenos processados por ele Isto é a resposta em frequência do sistema A resposta ao impulso e a resposta em frequência apresentam a informação completa do sistema e deve haver correspondência entre elas A 3 relação entre essas duas respostas é um dos fundamentos do processamento de sinais A Figura 1 apresenta o exemplo de sinais no domínio do tempo com seus respectivos espectros em frequência Figura 1 Sinais de eletrocardiograma com seus respectivos espectros em frequência Fonte Wei Hongxing et al 2010 TEMA 1 SÉRIE E TRANFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS A análise de Fourier usada para decompor sinais separando os harmônicos que compõe o espectro do sinal consiste em um conjunto de ferramentas matemáticas A Transformada de Fourier Discreta é usada para analisar sinais digitais Ela pode ser chamada de TFD nas bibliografias em português mas nesta etapa adotaremos a nomenclatura DFT Discrete Fourier Transform em inglês que é usada na grande maioria das bibliografias no mundo A DFT é uma sequência de amostras em frequências da DTFT estudada em etapa anterior e é usada em sequências de duração finita A DFT é uma ferramenta fundamental no desenvolvimento de algoritmos de processamento digital de sinais A ferramenta de Fourier que vai ser usada para determinados sinais vai depender do tipo de sinal que vai ser processado ou estudado A Tabela 1 mostra a ferramenta que deverá ser usada de acordo com o tipo de sinal 4 Tabela 1 Análise de Fourier de acordo com o tipo de sinais Tipo de sinal Análise de Fourier Sinais contínuos e periódicos Série de Fourier Sinais contínuos e aperiódicos Transformada de Fourier Sinais discretos e periódicos Transformada de Fourier Discreta TFD ou DFT Sinais discretos e aperiódicos Transformada de Fourier em tempo discreto TFTD ou DTFT Fonte Zurro 2023 11 Série discreta de Fourier Uma sequência periódica em tempo discreto é uma sequência cujo padrão se repete a cada determinado período em tempo discreto 𝑁 A Figura 2 mostra um exemplo de sequência periódica com período 𝑁 5 Figura 2 Sequência periódica em tempo discreto Fonte Zurro 2023 Essa sequência pode ser escrita matematicamente como 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 1 Em que 𝑁 é o período 𝑟 a repetição do período 𝑁 e 𝑟 são números inteiros O símbolo de 𝑥𝑛 indica que o sinal é periódico Considerando o período do sinal podemos definir a frequência fundamental como 𝜔0 2𝜋 𝑁 2 Enquanto os sinais em tempo contínuo são representados pela somatória de inúmeras exponenciais complexas harmonicamente relacionadas os sinais 5 discretos periódicos com período 𝑁 precisam somente de 𝑁 exponenciais complexas harmonicamente relacionadas e cujas frequências são múltiplos da fundamental 𝑥𝑛 𝑋𝑘 𝑁 ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑘𝑛 𝑘 3 Em que ⅇ𝑘𝑛 ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑘𝑛 4 O parâmetro 𝑘 é um número inteiro portanto as exponenciais da equação 4 serão ⅇ0𝑛 ⅇ1𝑛 ⅇ𝑁1𝑛 5 Para 𝑘 𝑁 ⅇ𝑁𝑛 ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑁𝑛 ⅇ𝑗2𝜋𝑛 1 ⅇ0𝑛 6 Na equação 6 verificamos a periodicidade do sinal então ⅇ𝑁1𝑛 ⅇ1𝑛 ⅇ𝑁2𝑛 ⅇ2𝑛 e assim por diante Como há apenas 𝑁 frequências diferentes elas estão definidas para 𝑘 0 1 2 𝑁 1 da seguinte maneira 𝜔𝑘 2𝜋 𝑁 𝑘 7 Ficando a série periódica 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑁1 𝑘0 8 Os parâmetros 𝑋𝑘 da equação 8 representam os coeficientes da série discreta de Fourier DFS Discrete Fourier Series Esses coeficientes representam as amplitudes de cada componente de frequência do sinal periódico O cálculo desses coeficientes é mostrado na equação 9 6 𝑋𝑘 𝑥𝑛ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 𝑘 0 1 𝑁 1 9 Definindo a variável complexa 𝑊𝑁 𝑊𝑁 ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 10 A DFS pode ser definida como 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 11 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 12 Em que a equação 11 é a equação de análise e a equação 12 é a equação de síntese 𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋𝑘 13 A frequência de 𝑋𝑘 é discreta e igual a 2𝜋 𝑁 𝑘 e 𝑋𝑘 é periódico então 𝑋𝑘 𝑁 𝑋𝑘 Exemplo 1 Obter os coeficientes de Fourier de um trem de pulsos definidos pela equação a seguir Sendo 𝑟 um número inteiro qualquer Oppenheim Schafer 2012 𝑥𝑛 𝛿𝑛 𝑟𝑁 𝑟 1 𝑛 𝑟𝑁 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Resolução 𝑥𝑛 𝛿𝑛 para 0 𝑛 𝑁 1 Usando a equação 12 7 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 𝛿𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 𝑊𝑁 0 1 Assim 𝑋𝑘 1 para todo 𝑘 Substituindo na equação 12 𝒙𝒏 𝜹𝒏 𝒓𝑵 𝒓 𝟏 𝑵 𝑾𝑵 𝒌𝒏 𝑵𝟏 𝒌𝟎 𝟏 𝑵 ⅇ𝒋𝟐𝝅 𝑵 𝒌𝒏 𝑵𝟏 𝒌𝟎 12 Propriedades da DFS A DFS assim como as outras transformadas tem propriedades que facilitam o cálculo Muitas dessas propriedades básicas são similares às da Transformada z e da DTFT Aplicando as propriedades é possível resolver diferentes problemas usando processos matemáticos mais simples Essas propriedades são fundamentais no processamento digital de sinais 121 Linearidade A propriedade de linearidade apresenta aditividade e homogeneidade Sendo duas sequências periódicas 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 com comprimentos iguais se forme de comprimento diferentes zeros deverão ser acrescentados à sequência mais curta 𝑥1𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋1𝑘 𝑥2𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋2𝑘 Considerando a aditividade e a homogeneidade 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑎𝑋1𝑘 𝑏𝑋2𝑘 14 122 Deslocamento de uma sequência Os coeficientes de Fourier de uma sequência 𝑥𝑛 são 𝑋𝑘 então 𝑥𝑛 𝑚 𝐷𝐹𝑆 𝑊𝑁 𝑘𝑚𝑋𝑘 15 8 123 Dualidade 𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋𝑘 𝑋𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑁𝑥𝑘 16 124 Simetria As propriedades básicas da DFS são similares às da DTFT portanto a propriedade de simetria explicada em etapa anterior aplicase à DFS 125 Convolução periódica Considerando a DFS em tempo discreto em que 𝑥1𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋1𝑘 𝑥2𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋2𝑘 𝑥3𝑛 𝐷𝐹𝑆 𝑋3𝑘 Definindo 𝑋3𝑘 como o produto de 𝑋1𝑘 e 𝑋2𝑘 no domínio da frequência 𝑋3𝑘 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 17 Então no domínio do tempo discreto 𝑥3𝑛 deverá ser calculada como a convolução entre 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 𝑥3𝑛 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 18 Portanto 𝑥3𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑁1 𝑚0 19 Como essa propriedade é comutativa 9 𝑥3𝑛 𝑥2𝑚𝑥1𝑛 𝑚 𝑁1 𝑚0 20 Resumindo 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑁1 𝑚0 𝐷𝐹𝑆 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 21 Tabela 2 Resumo das propriedades da DFS Sequência periódica período 𝑵 Coeficientes da DFS período 𝑵 1 𝑥𝑛 𝑋𝑘 periódica com período 𝑁 2 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑋1𝑘 𝑋2𝑘 3 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑋1𝑘 𝑏𝑋2𝑘 4 𝑋𝑛 𝑁𝑥𝑘 5 𝑥𝑛 𝑚 𝑊𝑁 𝑘𝑚𝑋𝑘 6 𝑊𝑁 ℓ𝑛𝑥𝑛 𝑋𝑘 ℓ 7 𝑁1 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑚0 convolução periódica 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 8 𝑥1𝑛𝑥2𝑛 1 𝑁 𝑁1 𝑋1ℓ ℓ0 𝑋2𝑘 ℓ convolução periódica 9 𝑥𝑛 𝑋𝑘 10 𝑥𝑛 𝑋𝑘 11 𝑅ⅇ𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑘 1 2 𝑋𝑘 𝑋𝑘 12 𝑗𝐼𝑚𝑥𝑛 𝑋𝑜𝑘 1 2 𝑋𝑘 𝑋𝑘 13 𝑥𝑒𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑅ⅇ𝑋𝑘 14 𝑥𝑜𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑗𝐼𝑚𝑋𝑘 Somente para 𝒙𝒏 real 10 15 Propriedades de simetria para 𝑥𝑛 real 𝑋𝑘 𝑋𝑘 𝑅ⅇ𝑋𝑘 𝑅ⅇ𝑋𝑘 𝐼𝑚𝑋𝑘 𝐼𝑚𝑋𝑘 𝑋𝑘 𝑋𝑘 𝑋𝑘 𝑋𝑘 16 𝑥𝑒𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑅ⅇ𝑋𝑘 17 𝑥𝑜𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑗𝐼𝑚𝑋𝑘 Fonte Oppenheim Schafer 2012 13 Transformada de Fourier de sinais periódicos Em muitos casos para sequências periódicas a DFS pode ser representada pela DTFT do sinal Por exemplo considerando um sinal periódico 𝑥𝑛 com período 𝑁 podemos definir 𝑥𝑛 considerando um período de 𝑥𝑛 como mostrado na Figura 3 Neste caso 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛 0 1 2 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 22 A DTFT é 𝑋ⅇ𝑗 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝑛 N1 𝑛0 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝑛 N1 𝑛0 23 Como a DFS de 𝑥𝑛 é definida pela equação 11 𝑋𝑘 𝑋ⅇ𝑗𝜔2𝜋 𝑁 𝑘 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 0 𝑁 1 24 Isto significa que a DFS é composta por amostras da DTFT de 𝑁 pontos com espaçamento de 2𝜋 𝑁 em 0 𝜔 2𝜋 Cabe lembrar que 𝑋ⅇ𝑗 é uma função contínua e 𝑋𝑘 uma função discreta Como podemos ver na Figura 3 se repetirmos uma sequência finita 𝑥𝑛 formaremos uma sequência periódica infinita 𝑥𝑛 Olhando de outro ponto de vista a sequência finita 𝑥𝑛 consititui um período da sequência periódica infinita 𝑥𝑛 11 Figura 3 a Sequência periódica infinita 𝑥𝑛 com período 𝑁 5 b sequência de comprimento finito 𝑥𝑛 Fonte Zurro 2023 14 Amostragem da DTFT Como uma sequência periódica infinita com período 𝑁 pode ser reproduzida repetindo 𝑛 vezes uma sequência de duração finita com comprimento 𝐿 𝑁 os coeficientes da DFS serão amostras da DTFT nas frequências 𝜔𝑘 2𝜋 𝑁 𝑘 Sendo 𝑥𝑛 a sequência de duração finita Figura 3 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑟 25 Então 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑟 𝐷𝐹𝑆 𝑋𝑘 𝑋ⅇ𝑗𝜔𝜔2𝜋 𝑁 𝑘 26 12 A partir da DTFT é possível obter amostras que correspondam aos coeficientes da DFS 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑚ⅇ𝑗𝜔𝑚 𝑚 27 É possível calcular a sequência periódica aplicando DFS inversa equação de síntese 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑚ⅇ𝑗𝜔𝑚 𝑚 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑥𝑚ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑘𝑚 𝑚 𝑁1 𝑘0 𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑚 𝑚 1 𝑁 𝑊𝑁 𝑘𝑛𝑚 𝑁1 𝑘0 28 Em que 1 𝑁 𝑊𝑁 𝑘𝑛𝑚 𝑁1 𝑘0 𝛿𝑛 𝑚 𝑟𝑁 𝑟 29 Substituindo a equação 29 na 28 𝑥𝑛 𝑥𝑚 𝑚 𝛿𝑛 𝑚 𝑟𝑁 𝑟 30 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝛿𝑛 𝑟𝑁 𝑟 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑟 31 A Figura 4 mostra uma sequência com suas respectivas transformadas 13 Figura 4 a Sequência original b magnitude da DTFT de um período c fase da DTFT d coeficientes de amplitude da DFS como amostras da DTFT e coeficientes de fase da DFS como amostras da DTFT Fonte Oppenheim Schafer 2012 Na equação 31 a convolução é aperiódica então sequência periódica 𝑥𝑛 é o resultado da convolução aperiódica de 𝑥𝑛 com um trem de pulsos unitários periódicos Como 𝑁 é o período da sequência 𝑋𝑘 todos os 14 deslocamentos são múltiplos de 𝑁 positivos ou negativos A Figura 5 mostra os pontos em que 𝑋𝑧 é amostrada Figura 5 Pontos no círculo de raio unitário no plano z em que se obtêm a sequência periódica 𝑋𝑘𝑁 8 pela amostragem de 𝑋𝑧 Fonte Oppenheim e Schafer 2012 A Figura 6 a mostra uma sequência 𝑥𝑛 de comprimento 𝑁 9 Considerando a equação 25 para 𝑁 12 o ponto b da Figura 5 mostra que os valores atrasados de 𝑥𝑛 não estão superpostos Caso diferente é o do ponto c dessa mesma figura Neste caso como 𝑁 7 as réplicas de 𝑥𝑛 são superpostas e o período de 𝑥𝑛 não será igual a 𝑥𝑛 Nesta figura podemos ver que a sequência 𝑥𝑛 pode ser recuperada a partir da sequência periódica 𝑥𝑛 mostrada na parte b da figura mas não pode ser recuperada da sequência periódica da parte c O ponto b da figura mostra uma sequência que foi amostrada com um espaçamento adequado portanto vai ser possível recuperar Já o ponto c mostra uma sequência subamostrada o que pode ser considerado como aliasing no domínio do tempo A amostragem da DTFT de 𝑥𝑛 nos permite obter os coeficientes da DFS de 𝑥𝑛 E a sequência 𝑥𝑛 pode ser recuperada a partir de 𝑥𝑛 15 𝑥𝑛 𝑥𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 32 Para cada sequência periódica infinita 𝑥𝑛 existe uma sequência 𝑥𝑛 de comprimento finito 𝑁 equação 25 que representa o período completo de 𝑥𝑛 Oppenheim Schafer 2012 Figura 6 a Sequência 𝑥𝑛 de comprimento finito b sequência periódica 𝑥𝑛 que corresponde à DTFT de 𝑥𝑛 com 𝑁 12 c sequência periódica 𝑥𝑛 que corresponde à DTFT de 𝑥𝑛 com 𝑁 7 Fonte elaborada por Zurro 2023 com base em Oppenheim e Schafer 2012 Resumindo Uma sequência periódica 𝑥𝑛 pode ser associada a uma sequência de comprimento finito 𝑥𝑛 É possível recuperar uma sequência 𝑥𝑛 a partir de uma sequência periódica 𝑥𝑛 sempre e quando o comprimento de 𝑥𝑛 seja menor o igual a 𝑁 16 TEMA 2 TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER DFT Assim como as outras transformadas já estudadas a transformada discreta de Fourier em inglês Discrete Fourier Transform permite transformar uma função matemática em outra No caso da DFT o sinal original está no domínio do tempo discreto e aplicando o operador transformada podemos obter a representação da função no domínio da frequência O sinal de entrada do sistema é uma sequência discreta de comprimento finito Enquanto a DTFT pode ser aplicada a uma sequência infinita a DFT é aplicada em segmentos finitos de sinal Isto significa que será analisado somente um período de sinal que se repete indefinidamente Se isto não for possível será necessário aplicar janelas no sinal para evitar faixas não desejadas do espectro Desta forma somente se o sinal de entrada for periódico a DFT inversa pode reproduzir o sinal em tempo completo Essa transformada pode ser aplicada somente em sequências discretas de comprimento finito sendo que as componentes senoidais têm as mesmas propriedades A DFT é apropriada para processar informação armazenada em meios digitais devido ao fato de que o sinal de entrada é uma sequência finita de números complexos ou reais Para calcular a DFT usamse algoritmos matemáticos específicos por exemplo a Transformada Rápida de Fourier FFT em inglês Fast Fourier Transform Observações Os sinais devem ser discretos para serem processados por um DSP ou computador sinais digitais São necessárias infinitas senoides para representar sinais não periódicos o que inviabiliza a DTFT Computadores só podem lidar com um número finito de dados Na prática a única transformada que pode ser usada é a DFT A DFT é uma amostragem da DTFT no domínio da frequência Para ser implementada se usam algoritmos específicos como a FFT 17 21 Representação de Fourier de sequências de duração finita Considerando as equações 25 e 32 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑟 𝑥𝑛 𝑥𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Quando o comprimento da sequência finita 𝑀 𝑁 geralmente é necessário assumir que o comprimento é 𝑁 colocando amostras de valor zero para completar o comprimento Na seção anterior vimos que se amostrarmos a DTFT teremos os coeficientes DFS de 𝑥𝑛 Como não há superposição de valores para diferentes valores de 𝑟 podemos reescrever a equação 29 da seguinte maneira 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 𝑥𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑁 𝑥 𝑛𝑁 33 Em que 𝑚𝑜𝑑 𝑁 significa módulo de 𝑁 Agora se considerarmos uma sequência de duração finita 𝑋𝑘 tal que 𝑋𝑘 𝑋𝑘 0 𝑘 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 34 𝑋𝑘 𝑋𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑁 𝑋 𝑘𝑁 35 A DFT 𝑋𝑘 está relacionada com os coeficientes da DFS como mostrado nas equações 38 e 39 Como 𝑊𝑁 ⅇ𝑗2𝜋 𝑁 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 0 𝑘 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 36 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 37 As equações 38 e 39 mostram a forma geral das equações de análise e de síntese 18 𝑋𝑘 𝑥𝑛𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑛0 0 𝑘 𝑁 1 38 𝑥𝑛 1 𝑁 𝑋𝑘𝑊𝑁 𝑘𝑛 𝑁1 𝑘0 0 𝑛 𝑁 1 39 Todos os valores fora do intervalo são nulos A equação 44 mostra a relação entre 𝑥𝑛e 𝑋𝑘 𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋𝑘 40 A Figura 7 mostra uma DFT de um pulso retangular Figura 7 a Sequência finita 𝑥𝑛 b sequência periódica 𝑥𝑛 com 𝑁 5 c coeficientes 𝑋𝑘 de 𝑥𝑛 e d DFT de 𝑥𝑛 Fonte Oppenheim e Schafer 2012 19 A sequência 𝑥𝑛 da Figura 7 pode ter um comprimento 𝑁 5 Se considerarmos 𝑁 5 a DFS da sequência periódica 𝑥𝑛 corresponde à DFT de 𝑥𝑛 Considerando 0 𝑛 4 𝑋𝑘 ⅇ𝑗2𝜋𝑘5𝑛 4 𝑛0 1 ⅇ𝑗2𝜋𝑘 1 ⅇ𝑗2𝜋𝑘5 𝑋𝑘 5 𝑘 0 5 10 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 41 Portanto todos os coeficientes da DFS são nulos exceto em 𝑘 0 ou 𝑘 igual a múltiplos inteiros de 5 A DFT de 𝑥𝑛 corresponde a um período de 𝑋𝑘 e é a mostrada na Figura 7 d TEMA 3 PROPRIEDADES DA DFT As propriedades da DFT são similares às propriedades de outras transformadas já estudadas Elas facilitam o cálculo de problemas em aplicações reais Por isso é muito importante conhecer quais são essas propriedades 31 Linearidade A aditividade e homogeneidade estudadas nas outras transformadas também se aplicam na DFT Sendo duas sequências finitas 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 de comprimentos 𝑁1 e 𝑁2 respectivamente Caso as sequências tenham comprimentos diferentes a sequência de comprimento menor deverá ser completada com zeros até ter o comprimento da sequência maior Combinadas linearmente gerarão uma sequência 𝑥3𝑛 cujo comprimento 𝑁3 será o maior de 𝑁1 e 𝑁2 Sendo 𝑥3𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 42 A DFT de 𝑥3𝑛 será 𝑋3𝑘 𝑎𝑋1𝑘 𝑏𝑋2𝑘 43 Portanto 20 𝑥1𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋1𝑘 𝑥2𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋2𝑘 𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑎𝑋1𝑘 𝑏𝑋2𝑘 44 32 Deslocamento circular de uma sequência Se a sequência 𝑥𝑛 for multiplicada por uma fase linear ⅇ𝑗2𝜋𝑘 𝑁 𝑚 gerando a sequência 𝑥1𝑛 sendo 𝑚 um número inteiro a transformada 𝑋𝑘 sofrerá um deslocamento circular 𝑋𝑘 𝑚 𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋𝑘 𝑥1𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋1𝑘 𝑋1𝑘 ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁𝑚𝑋𝑘 45 Como podemos ver na equação 45 uma vez calculada 𝑋𝑘 para obter 𝑋1𝑘 é só multiplicar 𝑋𝑘 vezes ⅇ𝑗2𝜋𝑘 𝑁 𝑚 Como ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁𝑚 é periódica com período 𝑁 em 𝑘 e 𝑚 𝑋1𝑘 ⅇ𝑗2𝜋𝑘 𝑁 𝑚𝑋𝑘 46 Então 𝑥1𝑛 𝑥1𝑛 𝑥 𝑛 𝑚𝑁 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 47 21 Figura 8 Deslocamento circular de uma sequência Fonte Zurro 2023 33 Dualidade Como 𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋𝑘 𝑋𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑁𝑥 𝑘𝑁 0 𝑘 𝑁 1 48 34 Simetria As propriedades de simetria da DFT podem ser deduzidas a partir das propriedades da DFS 22 𝑅ⅇ𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋𝑒𝑝𝑘 49 𝑗 𝐼𝑚𝑥𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑋𝑜𝑝𝑘 50 𝑥𝑒𝑝𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑅ⅇ𝑋𝑘 51 𝑥𝑜𝑝𝑛 𝐷𝐹𝑇 𝑗𝐼𝑚𝑋𝑘 52 35 Convolução circular Sendo duas sequências finitas 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 de comprimento 𝑁 com suas respectivas DFTs 𝑋1𝑘 e 𝑋2𝑘 é possível calcular uma terceira função finita 𝑋3𝑘 𝑋3𝑘 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 53 No domínio do tempo discreto 𝑥3𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑁1 𝑚0 0 𝑛 𝑁 1 54 Se considerarmos um período da sequência infinita isto pode ser reescrito como 𝑥3𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚𝑁 𝑁1 𝑚0 0 𝑛 𝑁 1 55 Essa operação pode ser escrita como 𝑥3𝑛 𝑥1𝑛 𝑁 𝑥2𝑛 56 Ou 𝑥3𝑛 𝑥2𝑚𝑥1𝑛 𝑚𝑁 𝑁1 𝑚0 57 7 23 Figura 9 Convolução circular de duas sequências finitas de comprimento 𝑁 Fonte elaborada por Zurro 2023 com base em Oppenheim e Schafer 2012 A Tabela 3 mostra um resumo das propriedades da DFT Tabela 3 Propriedades da DFT Sequência de comprimento finito 𝑵 DFT de 𝑵 pontos 1 𝑥𝑛 𝑋𝑘 periódica com período 𝑁 2 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑋1𝑘 𝑋2𝑘 3 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑋1𝑘 𝑏𝑋2𝑘 4 𝑋𝑛 𝑁𝑥𝑘𝑁 5 𝑥𝑛 𝑚𝑁 𝑊𝑁 𝑘𝑚𝑋𝑘 6 𝑊𝑁 ℓ𝑛𝑥𝑛 𝑋𝑘 ℓ𝑁 7 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚𝑁 𝑁1 𝑚0 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 8 𝑥1𝑛𝑥2𝑛 1 𝑁 𝑋1ℓ 𝑁1 ℓ0 𝑋2𝑘 ℓ𝑁 9 𝑥𝑛 𝑋𝑘𝑁 10 𝑥𝑛𝑁 𝑋𝑘 24 11 𝑅ⅇ𝑥𝑛 𝑋𝑒𝑝𝑘 1 2 𝑋𝑘𝑁 𝑋𝑘𝑁 12 𝑗𝐼𝑚𝑥𝑛 𝑋𝑜𝑝𝑘 1 2 𝑋𝑘𝑁 𝑋𝑘𝑁 13 𝑥𝑒𝑝𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛𝑁 𝑅ⅇ𝑋𝑘 14 𝑥𝑜𝑝𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛𝑁 𝑗𝐼𝑚𝑋𝑘 Somente para 𝒙𝒏 real 15 Propriedades de simetria para 𝑥𝑛 real 𝑋𝑘 𝑋𝑘𝑁 𝑅ⅇ𝑋𝑘 𝑅ⅇ𝑋𝑘𝑁 𝐼𝑚𝑋𝑘 𝐼𝑚𝑋𝑘𝑁 𝑋𝑘 𝑋𝑘𝑁 𝑋𝑘 𝑋𝑘𝑁 16 𝑥𝑒𝑝𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛𝑁 𝑅ⅇ𝑋𝑘 17 𝑥𝑜𝑝𝑛 1 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛𝑁 𝑗𝐼𝑚𝑋𝑘 Fonte Oppenheim e Schafer 2012 TEMA 4 CONVOLUÇÃO LINEAR Sendo duas sequências finitas 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 de comprimentos 𝐿 e 𝑃 respectivamente podemos definir uma terceira função 𝑥3𝑛 como 𝑥3𝑛 𝑥1𝑚𝑥2𝑛 𝑚 𝑛 58 O comprimento de 𝑥3𝑛 será 𝐿 𝑃 1 A equação 58 representa a convolução linear de duas sequências Para duas sequências de comprimento finito 𝐿 e 𝑃 a convolução circular equivale à convolução linear das duas sequências se o comprimento delas for 𝐿 𝑃 1 Para obter esse comprimento se adicionam às duas sequências originais 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 Também é possível realizar a convolução circular verificando quantos pontos são iguais aos da convolução linear Se 𝑃 𝐿 e a convolução circular é feita para 𝐿 pontos os primeiros pontos 𝑃 1 são corrompidos enquanto os pontos remanescentes de 𝑛 para 𝑃 1 𝑛 𝐿 1 não 25 41 Convolução circular como convolução linear com aliasing O comprimento da DFT resultante do produto de duas DFTs depende do comprimento das sequências finitas originais Se consideramos aliasing no tempo podemos ver que existe uma relação entre convolução circular e convolução linear Considerando um período de uma sequência periódica infinita 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑟𝑁 59 A DFT desse período será 𝑋𝑘 𝑋ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁 0 𝑘 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 60 Definindo 𝑥𝑝𝑛 𝑥𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 61 O subíndice 𝑝 indica que a sequência corresponde a um período da sequência periódica infinita correspondente à DFT inversa obtida a partir de uma DTFT amostrada Caso o comprimento de 𝑥𝑛 seja 𝑁 𝑥𝑝𝑛 𝑥𝑛 devido ao fato de que não haverá aliasing no tempo Mas se o comprimento de 𝑥𝑛 for 𝑁 então 𝑥𝑝𝑛 𝑥𝑛 para alguns ou para todos os valores de 𝑛 A DTFT da equação 58 é 𝑋3ⅇ𝑗𝜔 𝑋1ⅇ𝑗𝜔𝑋2ⅇ𝑗𝜔 62 Portanto a DFT será 𝑋3𝑘 𝑋3ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁 0 𝑘 𝑁 1 63 𝑋3𝑘 𝑋1ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁𝑋2ⅇ𝑗2𝜋𝑘𝑁 0 𝑘 𝑁 1 64 Nesse caso a equação 53 da convolução circular se aplica à convolução linear 26 𝑋3𝑘 𝑋1𝑘𝑋2𝑘 65 Neste caso a DFT inversa será 𝑥3𝑝𝑛 𝑥3𝑛 𝑟𝑁 𝑟 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 66 Levando em conta a equação 65 𝑥3𝑝𝑛 𝑥1𝑛 𝑁 𝑥2𝑛 67 A convolução circular de duas sequências de comprimento finito é equivalente à convolução linear seguida pelo aliasing no tempo Oppenheim Schafer 2012 Se 𝑁 𝐿 𝑃 1 o aliasing no tempo devido à convolução circular de duas sequências finitas pode ser evitado mas se 𝑁 𝐿 𝑃 os valores da sequência resultante da convolução linear podem ser diferentes dos valores da convolução circular Na Figura 10 são mostradas as sequências 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 de comprimento finito 𝐿 e 𝑃 respectivamente sendo 𝑃 𝐿 Para verificar quais valores são iguais aos da convolução linear vamos aplicar uma convolução circular de 𝐿 pontos de acordo com a equação 68 𝑥3𝑝𝑛 𝑥1𝑛 𝐿 𝑥2𝑛 𝑥3𝑛 𝑟𝑁 𝑟 0 𝑛 𝐿 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 68 Na Figura 10 𝐿 8 e 𝑃 4 e o comprimento de 𝑥3𝑛 é 𝐿 𝑃 1 11 27 Figura 10 Convolução linear de duas sequências 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 de comprimento finito 𝐿 e 𝑃 respectivamente Fonte Zurro 2023 Na Figura 11 podemos ver a parcela da equação 68 para 𝑟 0 1 e 1 A sequência 𝑥3𝑝𝑛 será influenciada por 𝑥3𝑛 e 𝑥3𝑛 𝐿 no intervalo 0 𝑛 𝐿 1 Para 𝑃 𝐿 𝑥3𝑛 𝐿 sofrerá aliasing em 0 𝑛 𝐿 1 os últimos pontos de 𝑥3𝑛 𝐿 entre 0 𝑛 𝑃 2 se somam aos primeiros pontos de 𝑥3𝑛 E os últimos pontos de 𝑥3𝑛 entre 𝐿 𝑛 𝐿 𝑃 2 contribuirão para o próximo período de 𝑥3𝑛 Sendo assim 𝑥3𝑝𝑛 em 0 𝑛 𝐿 1 Este é um processo de convolução circular a partir de convolução linear com aliasing 28 Figura 11 Convolução circular interpretada como convolução linear seguida de aliasing Fonte Zurro 2023 TEMA 5 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER FFT A transformada rápida de Fourier FFT pela sua sigla em inglês Fast Fourier Transform é um algoritmo que permite calcular a DFT e sua inversa de uma maneira muito eficaz Existem vários algoritmos que podem ser usados para calcular a DFT alguns deles são 29 Algoritmo de Goertzel Algoritmo de dizimação em tempo Algoritmo de dizimação em frequência E outros 51 Algoritmos 511 Algoritmo de Goertzel O algoritmo de Goertzel é um algoritmo derivado da DFT que pode detectar componentes de frequência de um sinal sem a necessidade de analisar o espectro como um todo Como resultado o tempo de processamento é muito menor devido ao fato de que o volume de cálculos é consideravelmente menor Esse algoritmo é muito usado para detecção de tom DTMF Dual Tone Multi Frequency pelos sistemas telefônicos tons produzidos ao apertar os botões dos teclados telefônicos Um tom DTMF é composto pela soma dois sinais senoidais um de baixa e outro de alta frequência A geração do tom é simples Na Figura 12 podemos ver um teclado telefônico o tom correspondente ao número 1 é composto por uma senoide de frequência igual a 697 Hz somada com uma senoide de frequência igual a 1209 Hz ou o tom correspondente à tecla 1 é composto por uma senoide de frequência igual a 941 Hz somada com uma senoide de frequência igual a 1633 Hz Várias aplicações precisam de detecção de tom Decodificação DTMF touch tone Progresso da ligação tom de discagem ocupado etc Medições de resposta em frequência Banks 2002 30 Figura 12 Teclado de telefone e geração do tom de discagem Fonte Zurro 2023 512 Algoritmo de dizimação no tempo Em processamento de sinais dizimação significa a redução da taxa de amostragem do sinal A dizimação em tempo consiste em decompor a DFT em DFTs menores com menor quantidade de termos Essa decomposição quebra é possível devido à periodicidade e simetria de 𝑊𝑁 𝑛𝑘 A sequência 𝑥𝑛 deve ser dividida em sequências menores Por exemplo sendo 𝑁 um número par igual ao total de amostras 𝑁 deve ser potência de 2 𝑁 2𝑛𝑢𝑚 Como 𝑁 é par a sequência original 𝑥𝑛 pode ser dividia em duas sequências menores de comprimento 𝑁2 513 Algoritmo de dizimação em frequência Estudando separadamente as amostras de frequências pares e ímpares O procedimento é similar ao anterior só que nesse caso se trabalha no domínio da frequência 514 Algoritmos FFT otimizados O principal objetivo dos algoritmos de FFT otimizados é a redução do número de operações matemáticas reais necessárias para cálculo da DFT A 31 transformada de Hartley é uma alternativa para a transformada de Fourier devido a que usa aritmética real Essa transformada é usada para processamento de imagens tais como compressão cifragem processamento de imagens sísmicas microondas e ótica Também é usada em filtragem adaptativa comunicações e processamento de voz Com o advento da VLSI do inglês Very Large Scale Integration e o desenvolvimento dos Processadores Digitais de Sinais DSP do inglês Digital Signal Processor que implementam técnicas de processamento de sinais a DFT e a DHT tornaramse ferramentas atrativas para avaliação do espectro de um sinal A redução de custo dos DSPs e a capacidade crescente alcançada por processadores de dados ou seja dezenas de GFlps Giga operações em ponto flutuante por segundo e TFlops tera operações em ponto flutuante por segundo junto com novas e eficientes técnicas de processamento de sinais estão tornando viáveis aplicações em tempo real para diversos tipos de sinais Neste cenário a DFT e DHT tornaramse ferramentas largamente difundidas para análise espectral Oliveira 2013 FINALIZANDO Nesta etapa estudamos as ferramentas de Fourier para análise e processamento de sinais Verificamos as quatro ferramentas usadas em tempo contínuo e discreto e suas aplicações de acordo com o tipo de sinal a ser processado O processamento digital de sinais exige que estes estejam em formato digital ou seja na forma de sequências de números compondo um sinal discreto Os computadores DSPs e processadores processam somente sinais discretos de comprimentos finitos a DTFT não pode ser usada porque para representar sinais com ela são necessárias infinitas senoides Na prática só a DFT pode ser usada Existem algoritmos computacionais para calcular a DFT esses algoritmos são chamados de FFT Os gráficos foram gerados por algoritmos desenvolvidos no ambiente matemático Scilab Dassault Systèmes 2023 32 REFERÊNCIAS BANKS K The Goertzel Algorithm University of Washington 2002 Disponivel em httpscoursescswashingtoneducoursescse46612aucalendarGoertzel EETimespdf Acesso em 20 set 2023 DASSAULT SYSTÈMES Scilab 2023 Disponivel em httpswwwscilaborg Acesso em 20 set 2023 OLIVEIRA R C D Novos algoritmos rápidos para computação de transformadas discretas Universidade Federal de Pernambuco Recife 2013 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 WEI Z et al Singlelead fetal electrocardiogram estimation by means of combining Rpeak detection resampling and comb filter Medical Engineering Physics Nanjing Sep 2010 Disponível em httpswwwsciencedirectcomsciencearticleabspiiS135045331000086X Acesso em 20 set 2023