Processamento Digital de Sinais - Introdução e Princípios Básicos

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 1 Profª Viviana Raquel Zurro 2 CONVERSA INICIAL Nesta abordagem estudaremos os princípios básicos de processamento digital de sinais Verificaremos algumas das características necessárias dos sistemas para processamento desses sinais Na atualidade a grande maioria dos sistemas depende do processamento digital de sinais para funcionar e processar dados Os sinais analógicos obtidos pelos sensores precisam ser convertidos em uma sequência de números sinal digital para que o sistema consiga entendêlos e trabalhar com eles Sistemas eletrônicos de processamento de sinais computadores microprocessadores e processadores digitais de sinais DSPs em inglês só entendem essas sequências de números que eletronicamente falando são tensões Devido a isso falaremos acerca de sistemas de processamento tanto analógico quanto digital de sinais TEMA 1 INTRODUÇÃO AO PROCESSAMENTO DE SINAIS Parâmetros físicos variáveis podem ser representados como um sinal variável em função do tempo Os sinais analógicos provenientes dos sensores que captam o parâmetro físico são sinais contínuos que variam no tempo enquanto os sinais digitais são sequências descontínuas discretas em tempo e amplitude e são representados por números sequências binárias O sinal analógico pode ser medido a qualquer instante de tempo enquanto o sinal digital existe somente em determinados instantes Estes parâmetros analógicos podem ser sons luminosidade temperatura tração compressão pressão etc Cada parâmetro tem suas características específicas portanto devem ser captados por sensores adequados considerando as características deles Alguns autores afirmam que a natureza é analógica O mundo em que vivemos é analógico Nós somos analógicos Qualquer sinal que podemos perceber é analógico Kinget 2014 Outros afirmam que a natureza não é nem analógica nem digital Segundo a física moderna a natureza segue as regras da mecânica quântica na qual só há níveis de energia permitidos Mas podemos afirmar que tanto os sinais analógicos quanto os digitais são representações da variação de parâmetros físicos em função de determinadas variáveis tempo e espaço por exemplo E baseados nestes sinais o sistema de processamento realizará determinadas ações Lesurf 3 Somos cada vez mais homo digitalis misturando a natureza biológica analógica individual com o aparato tecnológico universal Com isso pavimentamos o caminho não só para que o cérebro consiga acompanhar a escalada tecnológica exponencial mas também para a construção de um neocórtex coletivo global Gabriel 2014 11 Princípios de processamento de sinais Todos os parâmetros físicos podem ser representados como uma função cuja amplitude varia em função de uma variável independente Esta variável independente pode ser o tempo ou o espaço A maioria dos sinais é uma representação da variação de um parâmetro em função do tempo nestes casos o tempo é a variável independente Por exemplo um som pode ser representado como a variação da pressão do ar em função do tempo Imagens são representações da variação de luminosidade e cores em função do espaço sendo o espaço a variável independente Variável independente Tempo contínuo a variação do sinal é infinitesimal isto significa que acontece permanentemente O tempo contínuo é definido por t e de acordo com o Sistema Internacional de Unidades SI é medido em segundos Tempo discreto o sinal é considerado somente em determinados instantes Fora desses instantes o sinal não existe ou é zero O tempo discreto é definido por n é adimensional e o chamaremos de número de amostra Na conversão analógicodigital o tempo t e o número de amostra n estão relacionados pela frequência de amostragem Sinais Para que exista comunicação entre seres humanos natureza e processadores computadores é necessário que as variações de determinados parâmetros sejam convertidas em sinais elétricos para processamento deles Sensores são transdutores que transformam qualquer tipo de sinal inclusive elétricos em sinais elétricos de tensão ou de corrente Existem inúmeros tipos de sensores para todos os tipos de parâmetros mensuráveis Cada sinal tem características inerentes à sua natureza e cada um dos sensores tem características específicas Tanto as características do sinal quanto as do sensor devem ser respeitadas pelo equipamento que vai recebêlo e processálo Os 4 sinais captados pelos sensores são analógicos e precisam ser processados analogicamente antes da digitalização É de fundamental importância conhecer detalhadamente as características do sinal para poder processálo O espectro em frequência do sinal deve ser estudado detalhadamente antes de qualquer tipo de processamento devido a que cada sinal analógico possui um espectro em frequência próprio e característico e o equipamento usado para processar esse sinal deverá cobrir todo o espectro para não eliminar informação O espectro em frequência de um sinal é composto por n componentes senoidais de amplitudes e frequências diferentes Cada uma destas senoides corresponde a uma harmônica do sinal Todos os sinais têm características próprias Eles podem ser periódicos as formas de onda se repetem a cada determinado intervalo de tempo não periódicos não têm uma forma de onda definida analógicos acontecem em tempo contínuo com amplitude contínua digitais são sequências de números que representam um sinal analógico em tempo discreto A Figura 1 mostra quatro tipos de sinais Figura 1 Sinais a Analógico periódico b Analógico não periódico c Digital periódico d Digital não periódico a b c d 20 10 0 10 20 0 10 20 30 40 Amplitude t ms 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 Amplitude t ms 20 10 0 10 20 0 10 20 30 40 Amplitude n 0 5 10 15 20 0 10 20 30 40 Amplitude n 5 Como os sinais captados pelos sensores apresentam amplitudes muito baixas alguns deles na faixa dos µV um processamento analógico anterior à digitalização é necessário Os sinais precisam ser amplificados e filtrados A amplificação é necessária para que a amplitude seja compatível com a amplitude necessária na entrada do conversor analógicodigital CAD em português ou ADC em inglês Amplitudes de sinal muito pequenas o CAD não vai captar ou o sinal digitalizado terá baixíssima definição o que é péssimo já que no próprio processo de digitalização até nos melhores CAD o sinal digitalizado perderá informação A filtragem é necessária devido a que há ruído no sinal devido ao próprio sensor ruído que entra pelos cabos de conexão e por outros fatores interferências ruído atmosférico etc Estes ruídos precisam ser eliminados Então o processamento básico inicial é analógico composto por amplificação aumenta a amplitude do sinal filtragem elimina as componentes de frequência indesejadas ruído Objetivos do processamento de sinais condicionamento acondicionar os sinais para que possam ser interpretados ou apresentados por diferentes sistemas ou equipamentos por exemplo amplificação e filtragem detecção de parâmetros extração de informações para que o sistema realize determinadas ações a partir dos dados obtidos reconhecimento de padrões verificação da existência de determinados padrões dentro do sinal separação de faixas de frequência por exemplo um equalizador de áudio cuja finalidade é separar o som em faixas de frequência e muitas outras aplicações O sinal apresentado na Figura 1 é um sinal de eletrocardiograma ECG A figura a apresenta o sinal original obtido dos eletrodos conectados no paciente O sinal mostrado na figura b é o mesmo sinal após ser processado por um filtro passabaixas que tirou o ruído de alta frequência que entrou no sistema pelos eletrodos e cabos de conexão Este é um exemplo de acondicionamento do sinal ou seja o processo de filtragem É conveniente que o sinal seja filtrado analogicamente antes de ser digitalizado para que as componentes de ruído sejam eliminadas A filtragem aplicada no sinal da figura 6 b foi realizada com um filtro digital devido a que o sinal da figura a já é um sinal digitalizado Figura 2 Sinal de eletrocardiograma em derivação I a Sinal original b Sinal após filtragem de ruído a b O sistema básico de processamento de sinais é mostrado na Figura 3 onde o sistema físico corresponde ao objeto ou sistema que gerará o sinal neste caso representado por uma pessoa falando ao microfone e o atuador é o sistema que executará a ação determinada pelo sistema de processamento neste caso um altofalante Neste caso o sistema físico é uma pessoa falando emitindo um sinal sonoro cuja voz é captada por um microfone sensor O sistema de aquisição é a parte do sistema encarregada de captar esse sinal Como o sinal na entrada do sistema tem baixa amplitude o ruído externo interfere tanto na entrada do microfone que vai pegar vários sinais não somente a voz do cantor quanto na entrada do sistema de áudio neste caso o ruído elétrico Assim fazse necessária uma filtragem e amplificação desse sinal tratamento do sinal para tirar os ruídos indesejados e aumentar sua amplitude O processamento da informação neste caso consiste em amplificação e aprimoramento do sinal 0 2 4 6 8 10 50 50 150 250 350 450 550 650 750 V mV t ms 0 2 4 6 8 10 50 50 150 250 350 450 550 650 750 V mV t ms 7 enviado pelo microfone em determinados casos pode ser usado algum tipo de distorção caso a pessoa esteja cantando e a canção exija isso Finalmente o atuador é a caixa de som que vai emitir o som da voz da pessoa para a plateia que está ouvindo Para que isto seja possível o projetista do sistema de som tem que conhecer perfeitamente o sinal de áudio Figura 3 Diagrama de blocos básico de um sistema de processamento de sinais 12 Conversão analógicodigital Atualmente 99 do processamento de sinais é feito digitalmente Desde um simples aparelho de MP3 até o mais complexo sistema de inteligência artificial precisa de processamento digital de sinais Como o sinal proveniente dos sensores é originariamente analógico ele precisa ser transformado em um sinal digital para poder ser processado digitalmente Os primeiros processos são analógicos o sinal precisa ser amplificado para ter uma amplitude compatível com a entrada do conversor AD e precisa ser filtrado para que sejam tirados todos os ruídos provenientes do sensor cabos e ambiente A Figura representa os passos a serem seguidos para transformar um sinal analógico em uma sequência de números binários sinal digital 8 Figura 4 Processo de conversão de um sinal analógico para um sinal digital Passos para a digitalização de um sinal Amostragem a cada determinado intervalo de tempo tirase uma amostra do sinal analógico A frequência de amostragem deve ser no mínimo o dobro da máxima frequência de interesse do sinal para não perder informação do sinal no processo de digitalização critério de Nyquist Por exemplo um sinal de áudio cujo espectro de frequência vai de 20Hz a 20kHz a mínima frequência de amostragem deve ser de 40kHz Retenção a amostra deve ser retida memorizada por alguns instantes para dar tempo ao sistema para converter o sinal em um número Quantização o sistema digital tem níveis determinados para o sinal dependendo da sua quantidade de bits a quantização consiste em colocar essa amostra em um determinado nível Codificação cada nível tem um código número valor etc Sinal analógico amplitude contínua em tempo contínuo São sinais representados por funções variáveis contínuas A variação da variável independente é infinitesimal e a amplitude é contínua Por exemplo variações de temperatura som pressão etc em função do tempo Sinal amostrado amplitude contínua em tempo discreto O primeiro passo para transformar um sinal analógico em digital é a amostragem Este 9 processo é chamado de amostragem seguido pela retenção Amostragem consiste em pegar uma amostra de sinal em intervalos de tempo determinados abrir uma janela de amostragem No período que a janela está fechada retenção o sistema aproveita para realizar os passos seguintes da digitalização quantização e codificação Um sinal amostrado tem amplitude contínua em tempo discreto Sinal quantizado amplitude discreta em tempo contínuo O processo de quantização consiste em atribuir valores discretos a sinais cuja amplitude varia entre certos valores Ou seja não existem níveis permitidos entre dois níveis determinados do sistema O sinal quantizado é um sinal em tempo contínuo com amplitudes discretas Sinais digitais amplitude discreta em tempo discreto A cada um dos níveis quânticos é atribuído um código equivalente a um número digital binário Este processo é chamado de codificação O sinal digital é uma sequência de números e pode ser definido como um sinal de amplitude discreta e tempo discreto Oppenheim Schafer 1975 A Figura 5 apresenta um diagrama de blocos de um sistema de processamento digital de sinais A função do filtro antialiasing é evitar ou atenuar que ruídos de altas frequências que não pertencem ao sinal original sejam digitalizados junto com o sinal Este é um filtro passabaixas analógico O critério de Nyquist determina que a frequência de amostragem deve ser pelo menos o dobro da componente de máxima frequência de interesse do sinal portanto o filtro deve respeitar o espectro de frequência do sinal CAD ADC Analog to Digital Converter conversor analógicodigital que transforma sinais analógicos em digitais DSP Digital Signal Processor processador digital de sinais encarregado do processamento do sinal digital CDA DAC Digital to Analog Converter conversor digitalanalógico encarregado de transformar o sinal digital em analógico Filtro antiimaging é outro filtro passabaixas encarregado de suavizar o aspecto escalonado do sinal entregue pelo conversor DA 10 Figura 5 Procedimento completo de processamento digital e apresentação de um sinal qualquer Como nossos sentidos só entendem sinais analógicos todos os sinais digitais devem ser convertidos em analógicos para que possamos entender Por exemplo mesmo que a imagem que chega aos nossos televisores seja digital ela deve ser convertida em imagem analógica para que possamos ver e entender TEMA 2 VARIÁVEL INDEPENDENTE E FUNÇÕES BÁSICAS 21 Sinais em tempo discreto sequências Os sinais analógicos variam constantemente com o tempo e são representações contínuas da variação de um determinado parâmetro Os sinais digitais são uma sequência de números provenientes da amostragem e digitalização de um sinal analógico Esta sequência de números pode ser representada por 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 1 Na Figura 6 podemos ver um sinal em tempo contínuo e seu equivalente em tempo discreto Figura 6 a Sinal contínuo analógico b Sinal discreto digital a b 211 Impulso unitário δn O sinal discreto da Figura 6 b está definido para valores inteiros de n Para outros valores ele é zero ou não existe Os sinais discretos podem ser expressos como funções da função impulso unitário também chamada de função amostra unitária ou simplesmente impulso Esta função representada na Figura 7 pode ser definida como δn 0 n 0 1 n 0 2 Figura 7 Função impulso unitário Um sinal discreto é uma sequência de números que pode ser representada pela somatória de valores multiplicada por um trem de impulsos deslocados como podemos ver na equação 3 xn Σ k xn δnk 3 Existe uma relação entre as funções degrau e impulso unitário O degrau pode ser definido como uma função do impulso un Σ k0 δnk 5 E o impulso pode ser definido como uma função do degrau δn un un1 6 213 Operações básicas com sinais discretos Soma ou subtração Para realizar a soma de sinais discretos a quantidade de amostras dos sinais a serem somados devem ser iguais Caso um sinal tiver menos amostras as amostras faltantes deverão ser substituídas por zero zn xn yn 7 Se xn 3 4 0 2 e yn 0 1 3 5 2 n 2 1 0 1 2 3 4 xn 3 4 0 2 0 0 0 yn 0 0 0 1 3 5 2 zn 3 4 0 3 3 5 2 Portanto zn 3 4 0 3 3 5 2 Produto O processo é similar à soma e deve ser realizado ponto a ponto zn xn yn 8 Para os mesmos vetores do exemplo anterior n 2 1 0 1 2 3 4 xn 3 4 0 2 0 0 0 yn 0 0 0 1 3 5 2 O mesmo sinal digital pode ser representado das seguintes formas Forma vetorial xn 3 3 1 2 5 7 4 6 1 Equação xn 3δn 4 3δn 3 δn 2 2δn 1 5δn 7δn 1 4δn 2 6δn 3 δn 4 Forma gráfica No caso da forma vetorial o número que está em realce está na posição n 0 É importante ressaltar que o impulso em tempo discreto não tem os problemas matemáticos que o impulso em tempo contínuo tem 212 Degrau unitário un A sequência degrau unitário representada na Figura 8 pode ser definida como un 0 n 0 1 n 0 4 Figura 8 Função degrau unitário 14 𝒛𝒛𝒏𝒏 0 0 0 2 0 0 0 Portanto 𝑧𝑧𝑛𝑛 𝟎𝟎 2 Multiplicação por uma constante A multiplicação por uma constante também deve ser realizada ponto a ponto 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝛼𝛼𝑥𝑥n 9 Considerando 𝛼𝛼 2 𝒏𝒏 2 1 0 1 𝒙𝒙𝒏𝒏 3 4 0 2 𝒚𝒚𝒏𝒏 6 8 0 2 Portanto 𝑦𝑦𝑛𝑛 6 8 𝟎𝟎 4 Deslocamento As sequências podem ser atrasadas ou adiantadas umas em relação a outras Considerando α como número inteiro Sequência 𝑦𝑦𝑛𝑛 é igual a 𝑥𝑥𝑛𝑛 atrasada α amostras 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 α 10 Sequência 𝑦𝑦𝑛𝑛 é igual a 𝑥𝑥𝑛𝑛 adiantada α amostras 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 α 11 TEMA 3 SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO Um sistema de processamento pode ser representado por um operador matemático 𝑇𝑇 que transforma uma sequência de entrada 𝑥𝑥𝑛𝑛 numa sequência de saída 𝑦𝑦𝑛𝑛 A equação 12 mostra a saída como uma função da entrada 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 12 A equação 13 representa um sinal de entrada 𝑥𝑥𝑛𝑛 que entra num sistema de processamento cuja saída é o sinal 𝑦𝑦𝑛𝑛 15 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑇𝑇 𝑦𝑦𝑛𝑛 13 31 Propriedades básicas de sistemas Todos os sistemas têm características que fazem com que eles sejam apropriados para processar sinais de acordo com as necessidades Estas características são sistemas com e sem memória sistemas inversos e invertibilidade linearidade invariância no tempo causalidade estabilidade 311 Sistemas com e sem memória Os sistemas com memória caracterizamse por lembrar de estados anteriores No caso de sistemas analógicos por exemplo capacitores e indutores quando ligados a um sistema eles se carregam e uma vez retirada a alimentação o capacitor mantém a tensão se lembra da tensão anterior e o indutor mantém a corrente se lembra da corrente Por outro lado nos sistemas sem memória o sinal de saída só depende do valor atual do sinal de entrada por exemplo circuitos puramente resistivos Figura 9 Função degrau unitário No caso dos sistemas digitais o sistema é considerado sem memória se a saída depende somente do valor da amostra atual da entrada Agora nos 16 sistemas com memória o sinal de saída pode depender de amostras passadas e futuras também Como o sinal digital é um vetor guardado na memória do computador o operador pode decidir qual é a amostra atual portanto pode definir quais são as amostras passadas e futuras A Figura 10 mostra sistemas com memória Figura 10 Sistemas com memória a Sinal de entrada b Saída atrasa a entrada em duas amostras c Saída adianta a entrada em três amostras d Saída depende de amostras atrasadas e adiantadas da entrada 312 Sistemas inversos e invertibilidade Em tempo discreto o sistema é invertível se existe um sistema inverso cuja saída é igual à entrada quando ligado em cascata com o sistema original A Figura 11 mostra um diagrama de blocos de um sistema invertível 17 Figura 11 Sistema invertível 313 Linearidade Sistema lineares são sistemas cuja saída varia linearmente com a entrada Ou seja a variação da saída é proporcional à variação da entrada Se a entrada é composta pela soma de vários sinais a saída será igual à soma das respostas do sistema para cada entrada individual que compõem a entrada Todo sistema linear é caracterizado pelas seguintes propriedades Aditividade se a entrada é composta por dois ou mais sinais 𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑥𝑥2𝑛𝑛 a saída será 𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑦𝑦2𝑛𝑛 onde 𝑦𝑦1𝑛𝑛 é a resposta do sistema para 𝑥𝑥1𝑛𝑛 e 𝑦𝑦2𝑛𝑛 é a resposta do sistema para 𝑥𝑥2𝑛𝑛 Homogeneidade se a entrada é multiplicada por uma constante complexa 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 a saída será multiplicada pela mesma constante 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑛𝑛 onde 𝑦𝑦𝑛𝑛 é a resposta do sistema para 𝑥𝑥𝑛𝑛 Estas duas propriedades podem ser combinadas numa única relação 𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 14 O sistema é linear somente se as saídas 𝑦𝑦1𝑛𝑛 e 𝑦𝑦2𝑛𝑛 são as respostas para as entradas 𝑥𝑥1𝑛𝑛 e 𝑥𝑥2𝑛𝑛 da seguinte forma 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑇𝑇𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑇𝑇𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 15 Na equação 15 o sistema é representado pelo operador 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 e 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 são constantes Exemplo 1 Verificar se o sistema representado pelo operador 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 é linear 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 Sistema inverso Sistema original 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑤𝑤𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 18 Resolução Sendo duas entradas 𝑥𝑥1𝑛𝑛 e 𝑥𝑥2𝑛𝑛 e aplicando duas entradas ao mesmo tempo no sistema aditividade e homogeneidade 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 Aplicando uma entrada por vez 𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 Somando as duas saídas 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 Como 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 o sistema é linear Exemplo 2 Verificar se o sistema representado pelo operador 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 é linear 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑑𝑑 Resolução Sendo duas entradas 𝑥𝑥1𝑛𝑛 e 𝑥𝑥2𝑛𝑛 e aplicando duas entradas ao mesmo tempo no sistema aditividade e homogeneidade 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑑𝑑 Aplicando uma entrada por vez 𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑑𝑑 Somando as duas saídas 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑦𝑦1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑦𝑦2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑑𝑑 Como 𝑇𝑇𝑎𝑎𝑥𝑥1𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑥𝑥2𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 o sistema é não linear 19 314 Invariância no tempo Um sistema é invariante no tempo se quando o sinal de entrada é atrasado ou adiantado o sinal de saída sofre o mesmo deslocamento Isso significa que as características deste sistema não se alteram com o tempo Para entender um pouco melhor este conceito vejamos os exemplos a seguir Exemplo 3 Verificar se o sistema representado pelo operador 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 é invariante no tempo 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 Resolução A entrada sofre um deslocamento 𝑛𝑛0 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 Considerando somente a sequência 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 Como 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑛𝑛0 o sistema não é invariante no tempo Exemplo 4 Verificar se o sistema representado pelo operador 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 é invariante no tempo 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑑𝑑 Resolução Considerando um deslocamento 𝑛𝑛0 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑑𝑑 Considerando somente a sequência 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑑𝑑 Como 𝑇𝑇𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛0 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑛𝑛0 o sistema é invariante no tempo 20 315 Causalidade Enquanto sistemas analógicos são somente causais sistemas discretos devido aos sinais serem armazenados na memória podem ser de três tipos sistema causal sistema não causal sistema anticausal Sistema causal Sistemas causais são também chamados de não antecipativos O sinal de saída depende de amostras atuais da entrada sistema sem memória ou de valores passados da entrada ou de valores atuais presentes e passados da entrada 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 16 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 17 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 𝑥𝑥𝑛𝑛 18 A equação 16 representa um sistema causal sem memória onde a saída depende somente da amostra atual da entrada A equação 17 representa um sistema causal com memória onde a saída depende de amostras passadas da entrada O sinal de saída está atrasado em duas amostras em relação à entrada A equação 18 representa um sistema causal com memória onde a saída depende de amostras atuais e passadas da entrada Todos estes sistemas são apresentados na Figura 12 21 Figura 12 a Sinal de entrada b Sistema causal sem memória c e d Sistemas causais com memória Sistema não causal No sistema não causal ou antecipativo a saída depende de amostras passadas e futuras presentes e futuras ou presentes passadas e futuras Neste caso as variáveis não dependem do tempo como por exemplo em processamento de imagens dependem de coordenadas de posição Ou sistemas de processamento offline onde todas as variáveis já estão armazenadas Sistemas não causais são sempre com memória como os sinais estão gravados A partir de um ponto de referência o sistema decide quais são amostras passadas presentes e futuras 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 19 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 20 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 21 A equação 19 representa um sistema não causal onde a saída depende de amostras passadas e futuras da entrada A equação 20 representa um sistema não causal onde a saída depende de amostras presentes e futuras da 22 entrada A equação 21 representa um sistema não causal onde a saída depende de amostras passadas presentes e futuras da entrada Todos estes sistemas são apresentados na Figura 13 Figura 13 a Sinal de entrada b c e d Sistemas não causais Sistema anticausal O sistema anticausal também é antecipativo e com memória porque a saída deste sistema depende somente de amostras futuras da entrada A equação 6 mostra um exemplo de sistema anticausal 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 22 O sistema da Figura 10 c é anticausal 316 Estabilidade Sistema estável é aquele que quando aplicamos um impulso na entrada a saída tende a um valor finito Ou seja para todo sinal limitado em amplitude aplicado na entrada a saída também será limitada em amplitude Estes sistemas 23 são convergentes porque a saída converge a um valor finito Um sistema estável responde como mostrado na Figura 14 quando aplicado um impulso na entrada Figura 14 Sinal de saída de um sistema estável quando aplicado um impulso na entrada Um exemplo de sistema estável é um pêndulo por exemplo Quando soltamos o pêndulo com determinado ângulo ele oscilará com amplitude cada vez menor até se estabilizar no ponto de equilíbrio Esta propriedade é muito importante para sistemas de processamento de sinais Para que um sistema LIT seja estável a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável Esta é uma condição necessária e suficiente isto significa que a resposta do sistema deve tender a zero quando 𝑛𝑛 tende a infinito Albuquerque 2000 TEMA 4 A SOMA DE CONVOLUÇÃO E PROPRIEDADES DE SISTEMAS LIT Nos sistemas lineares a saída varia proporcionalmente com a entrada e é invariante no tempo quando seu funcionamento permanece inalterado ao longo do tempo Sistemas lineares invariantes no tempo SLIT ou simplesmente LIT são caracterizados pelas suas respostas ao impulso Sistemas LIT discretos também são chamados de sistemas lineares invariantes com o deslocamento ou sistemas LID 41 Convolução A função impulso unitário em tempo discreto é usada para representar qualquer sinal em tempo discreto portanto um sinal em tempo discreto é uma sequência de impulsos unitários multiplicados pela amplitude do sinal como mostra a equação 3 Combinando o sinal da equação 3 com a propriedade de linearidade representada pela equação 15 podemos afirmar que um sistema linear pode ser representado pela sua resposta ao impulso Definido hin como a resposta do sistema a uma entrada δni o impulso unitário acontecerá em ni Então se a entrada for xn mostrada na equação 3 a saída será função da entrada da forma ynTkxkδnk 23 Trabalhando com a equação 23 ynkxkTδnkkxkhkn 24 Na equação 24 xk depende somente de k h depende de n e de k devido à propriedade de linearidade sendo assim muito limitada para uso computacional Considerando a invariância no tempo colocaremos uma restrição adicional para facilitar o cálculo Para os sistemas invariantes no tempo se xn tiver uma resposta yn a resposta de xnk será ynk portanto se hn tiver uma resposta δn a resposta de hnk será δnk Então ynkxkhknkxkhnk 25 A equação 25 é chamada de soma de convolução onde yn é o resultado da convolução entre xn e hn Em tempo contínuo esta função seria a integral de convolução no tempo A soma de convolução é representada em algumas bibliografias pelo operador e em outras pelo operador aqui adotaremos este último ynxnhn 26 Na equação 25 podemos ver que a somatória é realizada para valores de k não nos de n e na resposta ao impulso hnk o valor de k é negativo 25 No exemplo 5 veremos a resolução gráfica de um sinal 𝑥𝑥𝑛𝑛 convoluindo com a resposta ao impulso ℎ𝑛𝑛 de um sistema cuja saída será 𝑦𝑦𝑛𝑛 Exemplo 5 O sinal de entrada é definido pelo vetor 𝑥𝑥𝑛𝑛 cuja amostra em realce está na posição 𝑛𝑛 0 A resposta ao impulso está definida pelo vetor ℎ𝑛𝑛 cuja amostra em realce está na posição 𝑛𝑛 0 Calcular o vetor de saída 𝑦𝑦𝑛𝑛 resultado da convolução do sinal de entrada com a resposta ao impulso 𝑥𝑥𝑛𝑛 4 𝟕𝟕 2 ℎ𝑛𝑛 3 4 𝟓𝟓 A Figura 15 mostra os sinais a serem usados neste processo Figura 15 a Sinal de entrada b Resposta ao impulso do sistema c Resposta ao impulso invertida Resolução 1 Se inverte ℎ𝑘𝑘 em torno de 𝑘𝑘 0 para se obter ℎ𝑘𝑘 Se ℎ𝑘𝑘 3 4 𝟓𝟓 ℎ𝑘𝑘 𝟓𝟓 4 3 2 O sinal ℎ𝑘𝑘 deverá ser deslocado ponto a ponto por cima de 𝑥𝑥𝑘𝑘 3 Multiplicamse ponto a ponto todos os elementos 𝑥𝑥𝑘𝑘 ℎ𝑛𝑛 𝑘𝑘 para se obter a sequência 4 Para se obter 𝑦𝑦𝑛𝑛 todos os elementos do produto devem ser somados Quem determina a posição da amostra de 𝑦𝑦𝑛𝑛 é a amostra de ℎ𝑛𝑛 que originariamente estava em 𝑛𝑛 0 no nosso caso a amostra de amplitude igual a 5 seta vermelha nos gráficos 26 Graficamente é assim multiplicando ponto a ponto e somando 𝑦𝑦3 𝑥𝑥3 ℎ3 𝑥𝑥2 ℎ2 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥0 ℎ0 𝑥𝑥1 ℎ1 05 04 43 70 20 𝑦𝑦3 12 𝑦𝑦2 𝑥𝑥2 ℎ2 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥0 ℎ0 𝑥𝑥1 ℎ1 05 44 73 20 𝑦𝑦2 37 𝑦𝑦1 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥0 ℎ0 𝑥𝑥1 ℎ1 45 74 23 𝑦𝑦1 54 27 𝑦𝑦0 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥0 ℎ0 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥2 ℎ2 40 75 24 03 𝑦𝑦0 43 𝑦𝑦1 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥0 ℎ0 𝑥𝑥1 ℎ1 𝑥𝑥2 ℎ2 𝑥𝑥3 ℎ3 40 70 25 04 03 𝑦𝑦1 10 Portanto a convolução entre os vetores 𝑥𝑥𝑛𝑛 4 𝟕𝟕 2 e ℎ𝑛𝑛 3 4 𝟓𝟓 resulta em um vetor 𝑦𝑦𝑛𝑛 12 37 54 𝟒𝟒𝟑𝟑 10 A Figura 16 apresenta os três vetores Nesta figura os eixos verticais têm escalas diferentes Figura 16 a Sinal de entrada b Resposta ao impulso do sistema c Sinal de saída 28 Nesta figura podemos observar que os vetores 𝑥𝑥𝑛𝑛 e ℎ𝑛𝑛 têm comprimento de três amostras Já o vetor 𝑦𝑦𝑛𝑛 tem comprimento de cinco amostras pois o comprimento do vetor resultante é igual à soma dos comprimentos dos vetores 𝑥𝑥𝑛𝑛 e ℎ𝑛𝑛 menos um 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐 ℎ𝑛𝑛 1 27 42 Propriedades dos sistemas LIT Em sistemas lineares LIT é a resposta ao impulso que determina as características dele Isso não acontece com sistema não lineares Os sistemas em tempo discretos são representados pela soma de convolução 421 Propriedade comutativa 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 28 A propriedade comutativa permite que tanto o sinal de entrada do sistema quanto a resposta ao impulso sejam invertidas e deslocadas em cima do outro vetor No exemplo 5 ℎ𝑛𝑛 foi invertida e deslocada em cima de 𝑥𝑥𝑛𝑛 mas esta propriedade permite que ℎ𝑛𝑛 permaneça fixa e 𝑥𝑥𝑛𝑛 seja invertida e deslocada em cima de ℎ𝑛𝑛 Nos dois casos o vetor resultante 𝑦𝑦𝑛𝑛 será o mesmo A Figura 17 representa a propriedade comutativa Figura 17 Propriedade comutativa a 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 b 𝑦𝑦𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 ℎ𝑛𝑛 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 Se Então a b 29 422 Propriedade associativa 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 29 Os diagramas de fluxo da Figura 18 mostram várias situações da propriedade associativa Figura 18 Propriedade associativa a 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 b 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 c 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 d 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 Na Figura 7 c foi usada a propriedade comutativa da convolução Nesta figura foram apresentados sistemas em cascata Nesta cascata não importa a ordem do sistema o resultado será sempre o mesmo Cabe ressaltar que isso se aplica somente a sistemas lineares Em sistemas não lineares a ordem da cascata não pode ser mudada sem mudar o resultado 30 423 Propriedade distributiva 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 30 A propriedade distributiva da convolução está representada na Figura 19 considerando dois sistemas conectados em paralelo Figura 19 Propriedade distributiva a 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 b 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 ℎ1𝑛𝑛 ℎ2𝑛𝑛 TEMA 5 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA Em determinados sistemas LIT a relação entre a saída atual e as saídas anteriores com a entrada do sistema é dada por uma equação de diferenças Esta é uma equação linear de ordem n com coeficientes constantes Enquanto em tempo contínuo a variável independente tempo varia continuamente de forma infinitesimal e constante em tempo discreto a variável independente só pode ser representada por números inteiros e as funções discretas só existem para valores inteiros de n Por isso para calcularmos a inclinação de uma curva de um sinal em tempo contínuo podemos usar equações diferenciais derivada do sinal no ponto Porém para tempo discreto isso não será possível já que o operador 31 diferencial não faz sentido neste caso Por isso em tempo discreto usaremos equações de diferença Tempo contínuo Tempo discreto 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑥𝑥 𝑛𝑛 A Figura 20 mostra a representação gráfica de uma equação diferencial derivada da função em tempo contínuo e de uma equação de diferenças sinal em tempo discreto Figura 20 a Derivada do sinal 𝑥𝑥𝑐𝑐 no ponto 𝑃𝑃 b Diferença entre os pontos 𝑃𝑃1 e 𝑃𝑃2 do sinal 𝑥𝑥𝑛𝑛 a b Em sistemas digitais muitas vezes será necessário usar filtros derivativos para processar determinados sinais A Figura 21 mostra parte de um eletrocardiograma onde é necessário detectar o pico da onda P A Figura 21 a mostra a onda P original A Figura 21 b mostra o resultado da aplicação de um filtro digital cuja estrutura corresponde a uma equação de diferenças 𝑦𝑦𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 8 usado para detectar a amplitude máxima da onda original Figura 21 a Onda P típica b Saída do filtro yn xn xn 8 Fonte Zurro Stelle e Nadal 1997 Equações de diferença lineares com coeficientes constantes descrevem sistemas lineares recursivos e não recursivos A forma genérica deste tipo de equação é mostrada na equação 31 k0Nakynkm0Mbmxnm 31 Onde N são valores passados da saída e M valores passados da entrada e ake bm são constantes do sistema Estas equações podem ser não causais anticausais ou causais A equação 32 mostra um sistema de primeira ordem cuja saída depende de amostras atuais do sinal de entrada e de amostras passadas do sinal de saída yn ayn 1 xn yn xn ayn 1 32 A equação 32 está representada na Figura 22 Nesta figura o parâmetro é uma representação recursiva onde o parâmetro a1 Os procedimentos recursivos usam parâmetros deles mesmos para sua execução neste caso uma amostra da saída é injetada na entrada isto é mostrado na figura Parte da saída neste caso a amostra anterior é somada à entrada para se obter a própria saída Figura 22 Representação da equação 11 onde a saída é equivalente à soma da entrada mais o valor da amostra anterior da própria saída Atraso de uma amostra yn1 Existem outras formas de escrever a equação 32 a0yn m0M bmxn m k1N akyn k 33 yn 1a0m0M bmxn m k1N akyn k 34 A função recursiva é mostrada na equação 34 onde a saída é função da entrada e da própria saída Exemplo 6 É possível definir um sistema somador acumulador pela equação a seguir yn kn xk Neste sistema a relação entradasaída deve respeitar a equação 31 Reescrevendo a equação 33 yn xn ⁿ¹ₖ xk Sendo yn1 ⁿ¹ₖ xk Substituindo na equação anterior yn xn ⁿ¹ₖ xk xn yn1 Este sistema satisfaz as equações 31 e 33 Caso particular Considerando a equação 34 teremos um caso particular para N 0 yn 1a₀ ᴹₖ₀ bₖ xnk ᴹₘ₀ bₖa₀ xnk Podemos observar que neste caso a saída depende somente dos parâmetros da entrada Por cálculo direto podemos deduzir a partir desta equação que a resposta ao impulso deste sistema será dada pela equação 35 hn bₖ a₀ 0 n M 0 caso contrário 35 A resposta ao impulso mostrada na equação 35 tem duração finita Esta resposta representa sistemas chamados FIR do inglês Finite Impulse Response que são sistemas de resposta finita Um caso deste tipo é mostrado no exemplo 7 Exemplo 7 A seguinte equação de diferenças representa um sistema LIT causal yn 2xn 4xn1 2xn2 Calcular a resposta ao impulso do sistema considerando xn um sinal de entrada qualquer Resolução A saída depende somente do sinal de entrada e não da própria saída Como a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso yn xn hn hn 2δn 4δn1 2δn2 Nesta equação hn é função do impulso unitário δn e pode ser representada na forma vetorial como hn 2 4 2 51 Forma geral da Equação de Diferenças A forma geral da equação de diferenças é apresentada na equação 36 yn ᴺₖ₁ aₖ ynk ᴹₖ₀ bₖ xnk 36 Esta equação contempla duas respostas do sistema a resposta homogênea yₕn equivalente da resposta natural em sistemas analógicos que corresponde à entrada nula xn 0 e a resposta particular yₚn equivalente da resposta forçada em sistemas analógicos que corresponde a uma entrada não nula yn yₕn yₚn 37 A resolução da equação 36 corresponde à resposta natural 37 REFERÊNCIAS ALBUQUERQUE M P D Processamento de Sinais Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas 2000 Disponível em wwwcbpfbrcatpdsippsAulaDeMotivacaopps Acesso em 31 jul 2023 DASSAULT SYSTÈMES Scilab 2023 Disponível em httpswwwscilaborg Acesso em 31 jul 2023 GABRIEL M Cérebro analógico cérebro digital Revista Galileu 2014 Disponível em httprevistagalileuglobocomRevistanoticia201410cerebro analogicocerebrodigitalhtml Acesso em 31 jul 2023 KINGET P The World Is Analog Circuit Cellar 2014 Disponível em httpcircuitcellarcomtechthefuturekingettheworldisanalog Acesso em 31 jul 2023 LESURF J Analog or Digital University of St Andrews Disponível em httpswwwst andrewsacukwwwpaScotsGuideiandmpart12page1html Acesso em 31 jul 2023 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 ZURRO V R STELLE L NADAL J Detecção Automática de ondas P Sinusais do Eletrocardiograma RBE Caderno de Engenharia Biomédica Rio de Janeiro 1997 ᴺₖ₀ aₖ ynk 0 38 A resposta forçada é dada pela resolução da equação de diferenças para valores da entrada diferentes de zero FINALIZANDO Nesta abordagem falamos acerca das características de sistemas discretos de processamento de sinais Enquanto os sistemas analógicos são sistemas físicos amplificadores filtros etc que podem ser representados matematicamente por equações que determinarão o que o sistema fará com o sinal de entrada para se obter o sinal de saída os sistemas digitais são linhas de programa algoritmos matemáticos que a maioria das vezes representam digitalmente as equações matemáticas às quais os sistemas analógicos respondem Mas pelo fato dos sistemas digitais trabalharem com números guardados em vetores na memória de um computador é possível realizar ações que seriam muito difíceis ou impossíveis de efetuar com sistemas analógicos Exemplos disso são os sistemas não causais ou anticausais que só existem como sistemas digitais Um sistema digital é definido pelas características de linearidade invariância no tempo memória causalidade e estabilidade O tipo de sistema será desenvolvido de acordo com o tipo de sinal de entrada a necessidade do sinal de saída e o tipo de processamento requisitado A grande vantagem dos sistemas digitais é que podem ser usados em inúmeras aplicações como amplificadores filtros processadores detectores e parâmetros usando somente um sistema computacional enquanto um sistema analógico precisaria de grandes circuitos com muitos componentes e de equipamentos grandes e complexos A dificuldade maior nos sistemas digitais está no projeto e desenvolvimento matemático do algoritmo que pode vir a ser de grande complexidade dependendo da aplicação Todos os sinais mostrados nas figuras foram feitos por algoritmos rodados no ambiente matemático Scilab Dassault Systèmes 2023