Transformada de Laplace em Circuitos Elétricos - Análise e Aplicações

CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 AULA 4 Profa Priscila Ertmann Bolzan CONVERSA INICIAL Vamos começar os estudos sobre transformada de Laplace Assim como na aula passada analisaremos o circuito no domínio da frequência a fim de facilitar a análise e após será feita a transformada do domínio da frequência para o domínio do tempo novamente Nesta aula vamos estudar a transformada de Laplace os princípios as propriedades a tabela com as transformadas mais usuais a transformada inversa e como utilizar expansão em frações parciais para simplificar a conversão Além disso veremos como fazer a transformação dos elementos de circuitos como fontes resistor capacitor e indutor para o domínio da frequência e por fim alguns exemplos de resolução de circuitos elétricos com o uso desta técnica TEMA 1 INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE LAPLACE A transformada de Laplace é utilizada para transformar o circuito para o domínio da frequência fazer os cálculos necessários utilizando ferramentas de circuitos elétricos já conhecidas e após transformar a resposta para o domínio do tempo novamente através da transformada de Laplace inversa O uso dessa técnica é justificado por facilitar os cálculos uma vez que equações diferenciais são convertidas em equações algébricas de solução mais fácil Além disso a análise para elementos com condições iniciais será mais simples Por fim através deste método podese encontrar o valor final do circuito já considerando a resposta natural e a resposta forçada A sequência de conversões pode ser vista graficamente na Figura Figura 1 Resolução de circuitos utilizando a transformada de Laplace A transformada de Laplace de uma função ft é Fs ou Lft conforme apresentado em 1 Sendo que s é uma variável complexa que simboliza a frequência Uma vez que será utilizada a transformada de Laplace e a transformada de Laplace inversa é importante saber que esta relação se dá de forma bilateral ou seja conforme mostrado em 2 Sempre que for necessário saber a transformada de Laplace de uma função podese apenas verificar na tabela predefinida da transformada porém é importante entender com base em que a tabela foi concebida por isso são apresentadas algumas das transformadas mais importantes na sequência Para começar podese calcular a transformada de Laplace da função degrau ut O cálculo é apresentado em 3 Lut 1s est 0 Lut 1s 0 1s 1 Lut 1s Na sequência em 4 apresentase a transformada da função eat ut Leat ut 0 eat est dt Leat 0 esat dt Leat 1sa esat 0 Leat 1sa 0 1sa 1 Leat 1sa Para a transformada da função seno ft senωt ut a transformada de Laplace é calculada como mostrado em 5 Lsenωt ut 0 senωt est dt Sabese que senωt pode ser reescrito conforme mostrado em 6 senωt ejωt ejωt 2j Então podese substituir 6 em 5 e continuar o cálculo conforme apresentado em 7 Lsenωt 0 ejωt ejωt 2j est dt Lsenωt 12j 0 esjωt esjωt dt Lsenωt 12j 1sjω esjωt 0 1sjω esjωt 0 Lsenωt 12j 1sjω 0 1sjω 1 1sjω 0 1sjω 1 Lsenωt 12j 1sjω 1sjω Lsenωt 12j s 2j2 ω 12j s 2j2 ω Sabendo que j 1 então podese substituir em 7 resultando em 8 Lsenωt 12j s 2ω 12j s 2ω Aplicando o mínimo múltiplo comum a fim de realizar a adição entre as duas partes temse 9 Lsenωt 2j s 2ω 2j s 2ω 2j s 2ω 2j s 2ω Lsenωt 4ω 4j2 s2 4ω2 Lsenωt ωs2 ω2 De acordo com 2 podese concluir que a transformada de Laplace inversa destas mesmas funções fica como mostrado em 10 L11s ut L11sa eat ut L1ω s2 ω2 senωt ut A fim de não ser necessário o cálculo das transformadas de Laplace mais usuais toda vez que for preciso a Tabela 1 mostra a transformada das funções mais utilizadas Tabela 1 Transformadas de Laplace ft Fs δt 1 ut 1s eat 1sa t 1s2 tn n sn1 t eat 1sa2 tn eat n san1 senωt ω s2 ω2 cosωt s s2 ω2 senωt θ s senθ ω cosθ s2 ω2 cosωt θ s cosθ ω senθ s2 ω2 eat senωt ω sa2 ω2 eat cosωt sa sa2 ω2 TEMA 2 PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE As propriedades da transformada de Laplace são importantes para casos em que não é possível aplicar a definição apenas As principais propriedades são mostradas nos tópicos a seguir 21 LINEARIDADE A transformada de Laplace de uma soma é igual à soma das transformadas conforme exposto em 11 11 Um exemplo do uso desta propriedade pode ser visto em 12 12 Seguindo os mesmos passos já expostos anteriormente podese concluir que 12 irá resultar em 13 13 22 DESLOCAMENTO NO TEMPO A transformada de Laplace para uma função deslocada no tempo é mostrada em 14 14 Neste caso a resposta da transformada de Laplace para uma função deslocada será como mostrado em 15 15 Isto é devese multiplicar a resposta da função sem o deslocamento por 23 DIFERENCIAÇÃO NO TEMPO No caso de aplicação da transformada de Laplace em derivadas a resposta ficará conforme apresentado em 16 16 Nesse caso temse a integral de uma multiplicação e se faz necessário integrar por partes Para isso é necessário definir Assim podese finalizar a integral apresentada em 16 como é mostrado em 17 17 Da mesma maneira podese estender a análise para derivadas de ordem maior como é apresentado em 18 18 E continua da mesma maneira para derivadas de ordem n 24 TABELA GERAL DE PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Um resumo das propriedades mais importantes é apresentado na Tabela 2 Tabela 2 Propriedades da transformada de Laplace TEMA 3 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Após transformar o circuito para o domínio da frequência utilizando a transformada de Laplace e resolvêlo chegase ao resultado final mas ainda no domínio da frequência Para encontrar a função no domínio do tempo fazse necessário utilizar a transformada de Laplace inversa Basicamente uma equação no domínio da frequência genérica é mostrada em 19 Em que Ns é o polinômio numerador e Ds é o polinômio denominador As raízes de Ns denominamse zeros de Fs enquanto as raízes de Ds denominamse polos de Fs Para a transformada de Laplace inversa podese utilizar a Tabela 1 Em caso de funções simples que são compreendidas pela tabela a transformada inversa é fácil conforme mostrado em 20 No entanto algumas funções não possuem uma correspondendo direta na tabela por isso é preciso dividilas em expressões menores Para isso será utilizado o método de expansão em frações parciais Serão estudados três casos principais de expansão em frações parciais 31 POLOS SIMPLES É o caso em que o denominador é composto por polos reais raízes da função Em 21 temse um exemplo dessa função onde Ns simboliza o numerador Neste caso podese dividir em n funções cada uma assume como denominador um dos termos da multiplicação ou seja ficará conforme mostrado em 22 Sendo que os termos A B C e X são constantes a serem calculadas A fim de exemplificar como devem ser feitos esses cálculos observe o exemplo mostrado em 23 Aplicando o mínimo múltiplo comum MMC podese igualar o denominador dos dois lados da equação conforme mostrado em 24 Fazendo a distributiva no numerador e colocando os termos em evidência chegase à equação mostrada em 25 Além disso sabendose que o numerador dos dois lados da igualdade é o mesmo ele pode ser desconsiderado Com base em 25 podese perceber que tudo que está multiplicando s² na primeira parte deve ser igual a tudo o que está multiplicando s² na segunda parte da equação e o mesmo vale para os outros termos assim podese concluir o mostrado em 26 Aplicando substituição ou qualquer ferramenta para solucionar um sistema de equações concluise que A 45 B 32 e C 310 Assim substituindo estes valores em 23 a equação Fs pode ser reescrita como 27 Dessa maneira para calcular a transformada de Laplace inversa de Fs podemse calcular as três partes separadamente e somar conforme mostrado em 28 Assim resolveuse a transformada inversa de Laplace utilizando apenas uma transformação simples encontrada diretamente na tabela das transformadas Outro exemplo é mostrado em 29 Primeiramente aplicase o MMC no denominador no segundo lado da equação a fim de ficar com os dois lados da equação com o mesmo denominador sendo possível simplificálos Após podemse colocar os termos em evidência como em 30 Comparando os dois lados da equação podese concluir o que é mostrado em 31 25 A B 35 2 A B 31 Com duas incógnitas e duas equações sabese que A 10 e B 15 Desta maneira podese reescrever 29 como 32 25 s 35 s 1 s 2 10 s 1 15 s 2 32 Após simplificar a equação em duas partes mais simples podese aplicar a transformada de Laplace inversa em cada uma das partes conforme feito em 33 L125 s 35 s 1 s 2 L110 s 1 L115 s 2 L125 s 35 s 1 s 2 10 L11 s 1 15 L11 s 2 L125 s 35 s 1 s 2 10 et 15 e2t 33 32 POLOS REPETIDOS É quando os polos reais se repetem como mostrado em 34 Fs Ns s p1n 34 Para o numerador seguese a mesma regra porém o denominador ficará diferente e em vez de dividir cada termo com um dos polos devese dividir como mostrado em 35 Fs A s p1 B s p12 C s p13 x s p1n 35 Um exemplo para este caso pode ser visto em 36 Fs 8 s 24 s 12 Fs A s 11 B s 12 36 Inicialmente da mesma maneira que anteriormente devese calcular o MMC conforme mostrado em 37 8 s 24 s 12 A s 11 B s 12 37 Reorganizando os termos e eliminando o denominador uma vez que é o mesmo nos dois lados da igualdade chegase a 38 8 s 24 s A A B 38 Analisando os dois lados podese concluir o que é apresentado em 39 8 A 24 A B 39 Assim calculase que A 8 e B 16 portanto podese reescrever 36 como 40 8 s 24 s 12 8 s 11 16 s 12 40 Portanto para calcular a transformada de Laplace inversa basta utilizar a tabela das transformadas para cada um dos termos como em 41 L18 s 24 s 12 L18 s 1 L116 s 12 L18 s 24 s 12 8 L11 s 1 16 L11 s 12 L18 s 24 s 12 8 et 16 t et 41 Outro exemplo desse mesmo caso é mostrado em 42 onde o denominador possui grau 4 no expoente Fs s3 1 s 14 42 Nesse caso na expansão em frações parciais o número de termos será igual a n sabendose que n é o grau do expoente do denominador ou seja para este caso n 4 Por isso Fs será expandida em 4 partes conforme mostrado em 43 Fs s3 1 s 14 A s 1 B s 12 C s 13 D s 14 43 Seguindo a sequência já apresentada fazse o MMC do denominador e igualamse os denominadores dos dois lados da igualdade como em 44 s3 1 s 14 A s 13 B s 12 C s 1 D s 14 44 Reestruturando os termos e eliminando os denominadores a equação 44 se torna 45 s3 1 s 14 A s3 3 s2 3 s 1 B s2 2 s 1 C s 1 D s 14 s3 1 s3 A s2 3 A B s 3 A 2 B C A B C D 45 Assim podemse igualar os valores que multiplicam os termos conforme apresentado em 46 1 A 0 3 A B 0 3 A 2 B C 1 A B C D 46 Dessa maneira podese concluir que A 1 B 3 C 3 e D 2 Logo 43 pode ser reescrita como 47 Fs s3 1s 14 1s 1 3s 12 3s 13 2s 14 47 Após ter a função expandida podese fazer a transformada de Laplace inversa de todos os termos conforme mostrado em 48 L¹Fs L¹1s 1 L¹3s 12 L¹3s 13 L¹2s 14 L¹Fs L¹1s 1 3 L¹1s 12 32 L¹2s 13 26 L¹6s 14 L¹s3 1s 14 et 3 t et 32 t2 et 26 t3 et 48 33 POLOS COMPLEXOS Nesse caso o denominador não possui polos reais e sim polos complexos conforme mostrado em 49 Fs Nss2 a s b 49 Para esse caso a parte superior não deve ser apenas uma constante e sim como apresentado em 50 Fs A s Bs2 a s b 50 Para exemplificar este caso será utilizada a função mostrada em 51 Fs 20s 3 s2 8 s 25 51 Nesse caso para fazer a expansão é necessário dividir a equação em termos conforme 52 20s 3 s2 8 s 25 As 3 B s Cs2 8 s 25 52 Primeiramente deve ser feito o MMC e após organizar o numerador como em 53 20s 3 s2 8 s 25 A s2 8 s 25 B s C s 3s 3 s2 8 s 25 20 A s2 A 8 s A 25 B s2 B s 3 C s C 3 20 s2 A B s 8 A 3 B C A 25 C 3 53 De 53 podemse estabelecer as relações apresentadas em 54 0 A B 0 8 A 3 B C 20 A 25 C 3 54 Com base nesse sistema de equações sabese que A 2 B 2 e C 10 Portanto 52 pode ser reescrita como 55 55 Esta equação ainda não está de acordo com nenhuma das tabelas de forma direta por isso é necessário reorganizar alguns termos a fim de alinhar a equação com a da tabela como mostrado em 56 20s 3 s2 8 s 25 2s 3 2 s 4 2s 42 9 20s 3 s2 8 s 25 2s 3 2 s 4s 42 9 23 3s 42 9 56 Para resolver basta aplicar a transformada inversa em cada um dos termos conforme 57 L¹Fs L¹2s 3 L¹2 s 4s 42 9 L¹23 3s 42 9 L¹Fs 2 L¹1s 3 2 L¹s 4s 42 9 23 L¹3s 42 9 57 Para concluir o cálculo primeiramente é necessário saber qual das funções da tabela devese utilizar As duas que serão utilizadas para o segundo e o terceiro termo de 57 são vistas em 58 eat senωt ωs a2 ω2 eat cosωt s as a2 ω2 58 Com base em 58 podese então aplicar a transformada inversa em 57 conforme apresentado em 59 L1Fs 2 cdot e3 cdot t 2 cdot e4 cdot t cdot cos3 cdot t frac23 cdot e4 cdot t cdot sen3 cdot t 59 Outro exemplo de funções com polos complexos é mostrado em 60 Fs frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 60 Neste caso para expandir em frações parciais devese fazer como mostrado em 61 frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 fracA cdot s Bs2 1 fracCs 2 61 A partir daí aplicando o MMC e removendo o denominador temse 62 frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 fracA cdot s Bs2 1 fracCs 2 frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 fracA cdot s B cdot s 2 C cdot s2 1s2 1 cdot s 2 10 cdot s A cdot s2 2 cdot A cdot s B cdot s 2 cdot B C cdot s2 C 10 cdot s s2 cdot A C s cdot 2 cdot A B 2 cdot B C 62 Agora podese criar um sistema de equações com base nas igualdades conforme 63 0 A C 10 2 cdot A B 0 2 cdot B C 63 Resolvendo o sistema chegase à conclusão de que A4 B2 e C4 por isso podese reescrever 61 como 64 Dividiuse o primeiro termo da equação a fim de ficar compatível com a tabela de transformadas frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 frac4 cdot s 2s2 1 frac4s 2 frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 frac4 cdot ss2 1 frac2s2 1 frac4s 2 64 Depois disso basta aplicar a transformada inversa em todos os termos conforme 65 mathcalL1 left frac10 cdot ss2 1 cdot s 2 right mathcalL1 left frac4 cdot ss2 1 right mathcalL1 left frac2s2 1 right mathcalL1 left frac4s 2 right mathcalL1Fs 4 cdot mathcalL1 left fracss2 1 right 2 cdot mathcalL1 left frac1s2 1 right 4 cdot mathcalL1 left frac1s 2 right mathcalL1Fs 4 cdot cost 2 cdot sent 4 cdot e2 cdot t 65 TEMA 4 ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A primeira etapa para resolver um circuito elétrico com o auxílio da transformada de Laplace é mudar o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência Para isso é necessário alterar as fontes e todos os elementos resistores capacitores e indutores Como fazer essa modificação é o que é estudado a seguir Inicialmente vêse em 66 a equação de tensão no resistor tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência ou seja após ter sido aplicada a transformada de Laplace vt R cdot it Vs R cdot Is 66 Fazendo o mesmo para um indutor temse 67 vt L cdot fracditdt Vs L cdot lefts cdot Is i0right s cdot L cdot Is L cdot i0 67 Sendo que i0 é a corrente inicial do indutor Ainda com base em 67 podese reescrever a equação de forma que a corrente no indutor seja isolada conforme mostrado em 68 Is frac1s cdot L cdot Vs fraci0s 68 Com base nas equações podese concluir que um indutor carregado ao ser transformado para o domínio da frequência vai ficar conforme mostrado na Figura Figura 2 Indutor no a domínio do tempo b domínio da frequência com fonte de tensão em série e c domínio da frequência com fonte de corrente em paralelo Fonte Alexander Sadiku 2013 No caso de capacitores a equação que descreve a corrente no capacitor é vista em 69 it C cdot fracdvtdt Is C cdot s cdot Vs v0 s cdot C cdot Vs C cdot v0 69 Reescrevendo 69 chegase a 70 Vs frac1s cdot C cdot Is fracv0s Fonte Alexander Sadiku 2013 No caso de capacitores sem tensão inicial basta zerar a fonte de tensão ou de corrente demonstradas na Figura e chegase à representação conforme Figura 6 Figura 6 Capacitores no domínio da frequência Fonte Alexander Sadiku 2013 A fim de demonstrar como fazer a conversão de um circuito no domínio do tempo para o domínio da frequência no circuito da Figura 7 temse um circuito no domínio do tempo Figura 7 Exemplo 1 Circuito no domínio do tempo Fonte Alexander Sadiku 2013 Sabendo que os valores dos resistores se mantêm os mesmos o valor da fonte de tensão e do indutor são calculados no domínio da frequência conforme apresentado em 71 70 Assim ao transformar o capacitor carregado para o domínio da frequência o resultado é mostrado na Figura Figura 3 Capacitor no a domínio do tempo b domínio da frequência com fonte de tensão em série e c domínio da frequência com fonte de corrente em paralelo Fonte Alexander Sadiku 2013 Ao transformar um capacitor carregado para o domínio da frequência podese utilizar qualquer uma das duas opções mostradas na Figura de acordo com o que facilitar a resolução do circuito No caso de resistores conforme já demonstrado em 66 a transformação é direta e a representação do resistor continua como no domínio do tempo conforme demonstrado na Figura 4 Figura 4 Resistores no domínio da frequência Fonte Alexander Sadiku 2013 Para indutores sem carga inicial basta zerar a fonte de tensão ou a fonte de corrente chegandose à representação apresentada na Figura 5 Figura 5 Indutores no domínio da frequência 71 Na Figura 8 Figura mostrase o mesmo circuito da Figura 7 mas com os elementos no domínio da frequência Figura 8 Exemplo 1 Circuito no domínio da frequência Fonte Alexander Sadiku 2013 Da mesma maneira que no exemplo anterior a Figura apresenta um circuito no domínio do tempo onde desejase passala para o domínio da frequência A tensão inicial do capacitor é de vc0 5 V Figura 9 Exemplo 2 Circuito no domínio do tempo Fonte Alexander Sadiku 2013 A conversão de cada um dos elementos para o domínio da frequência é vista em 72 Lembrando que o capacitor possui condição inicial de tensão por isso também é calculado o valor da fonte de corrente em paralelo com o capacitor Sabendo todos os valores podese redesenhar o circuito da Figura conforme mostrado na Figura já com os elementos no domínio da frequência Figura 10 Exemplo 2 Circuito no domínio da frequência Fonte Alexander Sadiku 2013 TEMA 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE APLICADA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS Neste tema serão apresentados exemplos do uso da transformada de Laplace para a resolução de circuitos elétricos Na Figura 11 é apresentado o circuito já no domínio da frequência conforme calculado no tema anterior e desejase calcular a tensão no resistor de 2 Ω chamada Vos Figura 11 Exemplo 1 Circuito no domínio da frequência resolução Fonte Alexander Sadiku 2013 Utilizando a Lei das Correntes de Kirchhoff podese concluir o que é apresentado em 73 75s2 Vos1 Voss2 Vos2 75s2 Vos Voss2 Vos2 75s2 Vos Voss Voss2s2 75s2 Vos3s 1s2 150ss2 Vos3s 1 Vos 150ss23s1 Vos 150ss23s13 50ss2s13 73 A fim calcular a transformada de Laplace inversa devese primeiramente utilizar a expansão em frações parciais em 73 conforme demonstrado em 74 50ss2s13 As2 Bs13 50ss2s13 As13 Bs2s2s13 50s As A13 Bs B2 50s sA B A3 B2 74 Igualando os dois lados sabese que o termo que multiplica s vale 50 e o resto da equação deve ser zerado como apresentado em 75 A B 50 A3 B2 0 75 Resolvendo o sistema linear chegase à conclusão que A60 e B 10 assim reescrevendo 74 temse 76 50ss2s13 60s2 10s13 76 Para encontrar vot basta aplicar a transformada de Laplace inversa de acordo com a tabela das transformadas como mostrado em 77 L1Vos L150ss2s13 L160s2 10s13 L1Vos 60L11s2 10L11s13 vot 60e2t 10et3V 77 Para o circuito da Figura 12 que já está no domínio da frequência conforme demonstrado anteriormente no Tema 4 desejase calcular a equação que descreve a tensão no capacitor ou seja Vcs Figura 12 Exemplo 2 Circuito no domínio da frequência resolução Fonte Alexander Sadiku 2013 Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff no nó superior podese concluir o que é mostrado em 78 78 Reorganizando os termos temse 79 79 Para passar a resposta da tensão no capacitor do domínio da frequência para o domínio do tempo é necessário utilizar a transformada de Laplace inversa Inicialmente devese procurar por uma função correspondente na tabela porém esta função não tem uma transformação direta por isso primeiramente será realizada a expansão em frações parciais Esse caso já foi demonstrado no tema 3 desta aula de 29 a 33 e irá resultar em 80 80 Dessa maneira os dois circuitos foram resolvidos com o uso de transformada de Laplace A lógica é sempre a mesma inicialmente transformar todo o circuito para a frequência então resolver o circuito com base em qualquer ferramenta de circuitos elétricos já estudadas em Eletricidade e após encontrar o resultado transformar novamente para o domínio do tempo FINALIZANDO Circuitos elétricos podem ser resolvidos de inúmeras maneiras desde as mais simples às mais complexas e a ferramenta a ser utilizada para resolver um circuito irá depender da análise do circuito Para casos mais complexos com fontes de tensão ou corrente como as apresentadas nesta aula ou para circuitos de segundo grau uma das ferramentas que poderá facilitar os cálculos é a transformada de Laplace Conforme foi estudado ela facilita a análise de componentes como indutores e capacitores e sua resposta já considera a resposta natural e a forçada uma vez que considera a condição inicial de tensão e corrente dos elementos Após esta aula você já possui mais uma ferramenta disponível sempre que precisar analisar um circuito elétrico Além disso você pode resolver utilizando ferramentas diferentes a fim de verificar se os resultados serão os mesmos confirmando que a resolução está correta REFERÊNCIAS ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre AMGH 2013 BOYLESTAD R L Introdução à análise de circuitos 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2012 NILSSON J W RIEDEL SA Circuitos elétricos 10 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015