Analise Nodal e Teoremas de Circuitos Eletricos em Regime Senoidal

CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 AULA 3 Profª Priscila Ertmann Bolzan CONVERSA INICIAL Olá vamos começar os estudos sobre regime estacionário senoidal Nesta aula iremos estudar as mesmas ferramentas para a resolução de circuitos elétricas que já foram vistas anteriormente na disciplina de Eletricidade porém agora com corrente alternada Neste caso teremos resistores indutores e capacitores que devem ser analisados no domínio da frequência de forma a facilitar a análise Os principais tópicos que serão vistos nesta aula são análise de malhas análise nodal teorema da superposição transformação de fontes e equivalente Thévenin e Norton Todas essas ferramentas sendo utilizada com fasores no domínio da frequência TEMA 1 ANÁLISE NODAL NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Até então trabalhamos com circuitos que apresentam entrada contínua Agora vamos estudar circuitos com entrada senoidal Para isso são necessários três passos 1 Passar o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência ou domínio fasorial 2 Resolver o circuito no domínio da frequência utilizando qualquer ferramenta de análise de circuitos análise de malhas análise nodal Thévenin Norton Leis de Kirchhoff etc 3 Transformar o circuito novamente para o domínio do tempo Nesta aula serão estudados os valores na forma fasorial Os fasores são números complexos que representam a fase e a amplitude de uma senoide Um número complexo z é definido conforme mostrado em 1 z x jy 1 Nessa equação x é a parte real y é a parte imaginária e j 1 Em 1 o número complexo está apresentado em sua forma retangular mas ele também pode ser expresso na sua forma polar conforme mostrado em 2 z rφ 2 A relação entre a forma retangular e a forma polar é representada na Figura 1 Figura 1 Números na forma retangular e polar Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Para efetuar a transformação da forma retangular para a forma polar podese fazer conforme mostrado em 3 ou utilizar a calculadora r x² y² φ tg¹yx 3 Para fazer o inverso da forma polar para a retangular seguese o apresentado em 4 x r cos φ y r sen φ 4 Nesta aula os números complexos na forma polar e retangular serão muito utilizados e por isso é importante saber como fazer operações matemáticas simples com eles No caso de adição ou subtração utilizase a forma retangular conforme demonstrado em 5 dotz1 dotz2 x1 x2 jy1 y2 dotz1 dotz2 x1 x2 jy1 y2 Quando é necessário utilizar multiplicação ou divisão é mais prático utilizar os números na forma polar conforme mostrado em 6 dotz1 cdot dotz2 r1 cdot r2 angle phi1 phi2 fracdotz1dotz2 fracr1r2 angle phi1 phi2 A fim de utilizar fasores para a análise de circuitos em corrente alternada em 7 é mostrado como transformar formas de onda alternadas em fasores vt Vm cdot cos2 cdot pi cdot f cdot t phi rightarrow dotV Vm angle phi Temos que f é a frequência em Hertz e Vm é o valor máximo que a forma de onda atinge Observe que as variáveis que levam um ponto em cima do nome estão representando fasores podese também utilizálas em negrito Além disso para os outros elementos de circuitos como resistores indutores e capacitores a Tabela 1 mostra como é feita a transformação No caso a impedância de um indutor e de um capacitor no domínio da frequência também podem ser reescritos como mostrado em 8 ZL j cdot XL ZC j cdot XC Temos que ZL é a impedância do indutor ZC é a impedância do capacitor XL é a reatância do indutor e XC é a reatância do capacitor As reatâncias podem ser calculadas conforme 9 XL omega cdot L 2 cdot pi cdot f cdot L XC frac1omega cdot C frac12 cdot pi cdot f cdot C Para a resolução de um circuito utilizando análise nodal fazse o mesmo que o estudado em Eletricidade ou seja determinase a tensão em cada um dos nós do circuito e aplicase Lei das Correntes de Kirchhoff LCK A diferença é que o circuito não será composto apenas de resistores mas também de capacitores e indutores Visando conseguir trabalhar com todas essas variáveis reescrevese o circuito no domínio da frequência utilizando a Tabela 1Tabela Depois de passar o circuito ao domínio da frequência aplicase a análise nodal normalmente porém com números complexos tanto na forma polar quanto na retangular Na sequência apresentamos um exemplo de circuito a fim de demonstrar como utilizar a análise nodal no domínio da frequência Observe que os elementos já estão com os valores das reatâncias Podese observar o circuito na Figura 2Figura O objetivo do circuito é encontrar o valor da tensão dotV1 que é aplicada no indutor Em análise nodal o importante é encontrar o valor das tensões em cada nó Para este circuito temse três nós importantes o primeiro com tensão dotV1 o segundo com tensão dotV2 e o terceiro no terra com tensão igual a 0 V Será aplicada a Lei das Correntes de Kirchhoff LCK em cada um dos nós Primeiramente os elementos serão transformados para o domínio fasorial conforme 10 ZR1 05 cdot 103 angle 0 05 cdot 103 ZR2 2 cdot 103 angle 0 2 cdot 103 ZL j cdot 10 cdot 103 10 cdot 103 angle 90 ZC j cdot 5 cdot 103 5 cdot 103 angle 90 O circuito no domínio da frequência pode ser visto na Figura 3 Os elementos já estão da forma fasorial conforme calculado em 10 No primeiro nó a equação que pode ser deduzida é mostrada em 11 0 dotI1 dotI2 dotI3 fracdotV1 12 angle 005 cdot 103 fracdotV110 cdot 103 angle 90 fracdotV1 dotV22 cdot 103 0 dotV1 cdot left frac105 cdot 103 frac110 cdot 103 angle 90 frac12 cdot 103 right dotV2 cdot left frac12 cdot 103 right frac12 angle 005 cdot 103 dotV1 cdot 25 cdot 103 01 cdot 103 angle 90circ dotV2 cdot 05 cdot 103 24 cdot 103 Conforme estudado recentemente para a soma de fasores aconselhase o uso dos números na forma retangular Por isso o valor que está multiplicando dotV1 será transformado para retangular para realizar a soma e após para polar novamente 25 cdot 103 01 cdot 103 angle 90circ 25 cdot 103 j cdot 01 cdot 103 25 cdot 103 229circ No segundo nó através da Lei das Correntes de Kirchhoff podese concluir 13 dotI3 dotI4 dotI5 fracdotV1 dotV22 cdot 103 fracdotV25 cdot 103 angle 90circ 4 cdot 103 angle 0circ dotV1 cdot leftfrac12 cdot 103right dotV2 cdot leftfrac12 cdot 103 frac15 cdot 103 angle 90circright 4 cdot 103 angle 0circ dotV1 cdot 05 cdot 103 dotV2 cdot 05 cdot 103 02 cdot 103 angle 90circ 4 cdot 103 Novamente temse uma soma multiplicando dotV2 e para calcular adições o mais indicado é utilizar os números em sua forma retangular Esta transformação de polar para retangular pode ser vista em 14 após isso voltouse os números para a forma polar 05 cdot 103 02 cdot 103 angle 90circ 05 cdot 103 j cdot 02 cdot 103 0539 cdot 103 angle 218circ Assim temse um sistema linear de duas equações e duas variáveis que pode ser resolvido de diversas maneiras por exemplo GaussJordan regra de Cramer escalonamento substituição matrizes etc Para esse exemplo será utilizado substituição As equações são vistas em 15 begincases dotV1 cdot 25 cdot 103 angle 229circ dotV2 cdot 05 cdot 103 24 cdot 103 dotV1 cdot 05 cdot 103 dotV2 cdot 0539 cdot 103 angle 218circ 4 cdot 103 endcases Usando a primeira equação podese escrever dotV2 em função de dotV1 conforme 16 dotV2 frac24 cdot 103 dotV1 cdot 25 cdot 103 angle 229circ05 cdot 103 Substituindo na segunda equação temse 17 dotV1 cdot 05 cdot 103 frac24 cdot 103 dotV1 cdot 25 cdot 103 angle 229circ05 cdot 103 cdot 0539 cdot 103 angle 218circ 4 cdot 103 Isolando dotV1 passando os valores para retangular para realizar as subtrações e depois para polar novamente temse o resultado de dotV1 conforme 18 Dessa maneira calculouse a variável de interesse Observe que a parte mais extensa se deve à analise nodal do circuito aprendida em Eletricidade A utilização de fasores apenas aumentou um pouco os cálculos pois às vezes é necessário alternar de polar para retangular conforme a expressão matemática que se deseja realizar Ainda assim é importante observar que com a utilização de fasores conseguiuse utilizar análise nodal em um circuito com resistores capacitores e indutores trabalhando com as impedâncias de cada um desses elementos Da mesma forma como vimos no Tema 1 a análise nodal agora vamos ver um circuito resolvido por análise de malhas no domínio da frequência A maneira de resolver o circuito utilizando análise de malhas é exatamente igual ao que já foi aprendido A única diferença será que nesse caso temse impedâncias e não apenas resistências e com isso números complexos tanto na forma polar quanto na forma retangular ou seja fasores O circuito utilizado como exemplo é mostrado na Figura 4 Desejase descobrir o valor da corrente Figura 4 Circuito resolvido com análise de malhas Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Primeiramente os elementos serão transformados para o domínio fasorial conforme 19 A Figura 5 apresenta o circuito já com os elementos na forma de fasores Figura 5 Circuito resolvido com análise de malhas circuito no domínio fasorial Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Na sequência devese aplicar a análise de malhas utilizando a Lei das Tensões de Kirchhoff LTK Ou seja o somatório de tensões em uma malha é igual a zero Para a primeira malha formase a equação mostrada em 20 A fim de realizar a adição que está multiplicando é necessário transformar os números para a forma retangular mais indicado para a realização de adição e subtração A transformação pode ser vista em 21 Ao analisar a segunda malha podese escrever a equação demonstrada em 22 Para realizar a adição apresentada devese transformar para retangular e depois voltar para polar conforme visto em 23 Substituindo 21 e 23 nas equações 20 e 22 respectivamente temse um sistema linear com duas equações e duas variáveis conforme visto em 24 Da mesma maneira que o exemplo anterior será utilizado o método da substituição A partir da primeira equação podese concluir 25 Depois podese substituir 25 em 22 conforme mostrado em 26 Passando os valores para retangular para realizar as adições e depois para polar novamente temse o resultado de conforme 27 Observe que a forma como a análise de malhas foi feita segue o mesmo padrão aprendido até então A única diferença foi a adição das impedâncias com o uso de fasores TEMA 3 TEOREMA DE SUPERPOSIÇÃO O teorema da superposição possibilita a análise do circuito com uma fonte por vez Devese escolher uma das fontes para ser mantida ativa eliminando todas as outras do circuito e calculandose o que se deseja Depois disso devese fazer a mesma coisa para cada uma das outras fontes e ao final somar todos os resultados obtidos da variável de interesse A eliminação das outras fontes do circuito vai depender do tipo de fonte em questão Se for uma fonte de tensão ela deve ser substituída por um curtocircuito e se for uma fonte de corrente ela é substituída por um circuito aberto A fim de exemplificar como resolver um circuito no domínio da frequência utilizando o teorema da superposição na Figura 6 temse um circuito com duas fontes de tensão Desejase calcular a corrente no indutor L2 ou seja Figura 6 Circuito 1 resolvido por superposição Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Para calcular o valor da corrente ela será dividida em duas partes A primeira será a influência da fonte de 10 V na corrente do indutor denominada e a segunda será a influência da fonte de 5 V na corrente do indutor denominada A corrente total que circula no indutor é a soma da parcela da primeira fonte e da parcela da segunda fonte conforme demonstrado matematicamente em 28 Na Figura 7 a vemos como fica o circuito apenas com a fonte de 10 V a segunda foi substituída por um curto Já a Figura b mostra o circuito apenas com a fonte de 5 V e a primeira tendo sido substituída por um curtocircuito Primeiramente os elementos são transformados para o domínio fasorial conforme 29 Figura 7 Circuito resolvido com superposição considerando apenas a a fonte de 10 V e b fonte de 5 V Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Para encontrar primeiramente podese calcular a corrente total que circula pela fonte e depois utilizar um divisor de corrente conforme 30 Para calcular a impedância total é preciso fazer o paralelo entre e e depois somar com Esse cálculo é demonstrado em 31 31 Sabendo a impedância total podese continuar os cálculos apresentados em 30 conforme mostrado em 32 32 Sabendo a corrente total da fonte podese aplicar um divisor de corrente a fim de calcular a corrente conforme 33 33 Esse valor de corrente calculada é o resultado da influência apenas de uma das fontes do circuito A fim de saber a real corrente que circula no indutor ainda é necessário calcular a parcela de influência da outra fonte A sequência de cálculos será a mesma mas agora para o circuito apresentado na Figura b Para encontrar primeiramente podese calcular a corrente total que circula pela segunda fonte e depois utilizar um divisor de corrente A corrente total é calculada como mostrado em 34 34 Para calcular a impedância total é preciso fazer o paralelo entre e e depois somar com 𝑍𝑐 Esse cálculo é demonstrado em 35 35 Sabendo a impedância total podese continuar os cálculos apresentados 34 conforme 36 36 Sabendo a corrente total da fonte podese aplicar um divisor de corrente a fim de calcular a corrente Observe que a corrente irá se dividir igualmente entre e e portanto a corrente em cada um dos braços será metade da corrente da fonte conforme demonstrado em 37 37 Sabendo a influência de cada uma das fontes na corrente do indutor em questão basta somar as duas correntes encontradas conforme foi demonstrado em 28 e agora continuase em 38 38 Observe novamente que a técnica de aplicar o teorema de superposição é exatamente igual ao modo como se calculava em circuito apenas com corrente contínua e resistores O próximo exemplo traz fontes de tensão e fontes de corrente a fim de demonstrar como devese calcular em cada um dos casos Na Figura 8 temse um circuito e desejase descobrir o valor da corrente que circula pelo resistor e capacitor que será denominada Figura 8 Circuito 2 resolvido por superposição Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Sabendo que há duas fontes no circuito dividiremos a análise em duas partes Na primeira delas será considerada apenas a fonte de tensão e na segunda apenas a fonte de corrente Em cada uma dessas análises será encontrado um valor para a corrente que circula no resistor O resultado real de corrente no resistor é a soma dos resultados encontrados em cada uma das análises conforme mostrado em 39 39 Para os elementos mostrados no circuito quando se tem as reatâncias podese calcular as impedâncias conforme demonstrado em 40 40 Conforme estudado para a análise do circuito por superposição analisase o circuito com apenas uma fonte por vez Para a primeira análise a fonte de corrente foi removida do circuito e substituída por um circuito aberto conforme pode ser visto na Figura 9 Figura 9 Circuito 2 resolvido com superposição considerando apenas a fonte de tensão Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Para calcular a corrente basta utilizar Lei de Ohm A corrente será determinada conforme 41 41 Depois de encontrar o valor da corrente podese fazer a análise considerando apenas a outra fonte no circuito Quando uma fonte de tensão é zerada ela se torna um curto circuito conforme demonstrado na Figura Figura 10 Circuito 2 resolvido com superposição considerando apenas a fonte de corrente Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Para calcular a corrente desejada podese utilizar a equação de divisor de corrente conforme 42 42 Observe que o denominar da equação já foi calculado anteriormente portanto será apenas substituído pelo valor encontrado em 41 Os outros cálculos serão continuados em 43 43 Sabendo o valor da corrente considerando cada uma das duas fontes podese somálos e obter o resultado final conforme 44 44 TEMA 4 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES Uma fonte de tensão em série com uma impedância pode ser substituída por uma fonte de corrente em paralelo com a mesma impedância conforme mostrado na Figura 11 Figura 11 Transformação de fontes Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 O circuito a ser conectado entre os pontos a e b terá as mesmas características elétricas corrente tensão em ambos os casos ou seja podese fazer a transformação de fontes sem que se perca as características do circuito Os pontos a e b são equivalentes para o primeiro e para o segundo circuito ou seja tudo o que estava conectado ao primeiro circuito com fonte de tensão deve ser conectado ao mesmo ponto do segundo circuito com fonte de corrente e todas as análises serão iguais Essa técnica pode ser utilizada quando uma ou outra fonte facilita a análise do circuito Para fazer a transformação só é necessário utilizar Lei de Ohm conforme mostrado matematicamente em 45 45 Um exemplo da utilização da transformação de fontes para facilitar a resolução de um circuito é apresentado na sequência Na Figura 12 vê se um circuito e desejase saber o valor da tensão Figura 12 Circuito resolvido por transformação de fontes Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Inicialmente podese transformar a fonte de tensão em série com o resistor em uma fonte de corrente em paralelo com essa mesma resistência mantendo todo o resto do circuito conectado entre os pontos a e b da mesma maneira Para essa transformação utilizase 45 conforme 46 46 Sabendose o valor da fonte de corrente e que a impedância será a mesma o novo circuito fica conforme pode ser observado na Figura 13 Figura 13 Circuito resolvido por transformação de fontes primeira transformação Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Desta vez realizar uma nova transformação pode ser útil de forma que todos os elementos ficarão em série Para isso inicialmente é necessário calcular a impedância do paralelo entre o resistor de 5 Ω com o ramo série do resistor de 3 Ω com o indutor de j4 Ω A impedância equivalente do ramo em série é simplesmente a soma entre os dois ou seja 3j4 mas para o cálculo do paralelo utilizase 47 47 Sabendo que a parte real corresponde a resistência e a parte imaginária corresponde a um indutor de j125 Ω a impedância equivalente já foi calculada Para saber o valor da fonte de tensão utilizase 45 conforme 48 48 Assim o circuito já pode ser redesenhado conforme mostrado abaixo Figura 14 Circuito resolvido por transformação de fontes segunda transformação Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Para saber a tensão no resistor de 10 Ω basta aplicar a equação do divisor de tensão conforme feito em 49 49 Dessa maneira o valor da tensão desejada foi calculado Observe que foi apenas utilizada uma transformação de fontes sem ser necessário outra ferramenta de análise de circuitos como análise de malhas análise nodal Leis de Kirchhoff etc TEMA 5 THÉVENIN E NORTON O Teorema de Thévenin diz que qualquer circuito pode ser simplificado para uma fonte de tensão em série com uma resistência para o caso serão utilizadas impedâncias uma vez que é válido para resistências capacitâncias e indutâncias O circuito equivalente de qualquer circuito maior é mostrado a seguir Figura 15 Equivalente Thévenin Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Além disso o Teorema de Norton diz que qualquer circuito pode ser simplificado por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência para este caso impedância O circuito é apresentado na Figura 16 Figura 16 Equivalente Norton Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 O valor da impedância é a mesma para os dois casos conforme mostrado em 50 50 Para calcular o valor da impedância é necessário zerar todas as fontes do circuito e encontrar a impedância equivalente entre os pontos que se deseja Ao zerar uma fonte de tensão ela é substituída por um curtocircuito e ao zerar uma fonte de corrente ela é substituída por um circuito aberto Esse processo é o mesmo já estudado para encontrar o equivalente Thévenin e Norton em circuitos com cargas apenas resistivas Uma vez encontrado o equivalente Thévenin do circuito o equivalente Norton pode ser calculado através da transformação de fontes conforme estudado anteriormente seguindo 51 51 Serão apresentados dois exemplos a fim de elucidar cada um dos teoremas No primeiro deles para o circuito apresentado na Figura 17 o objetivo é calcular o equivalente de Thévenin entre os pontos a e b Figura 17 Circuito resolvido por Equivalente Thévenin Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Primeiramente podese calcular a impedância equivalente sendo necessário zerar as fontes ou seja substituir a fonte de tensão por um curtocircuito o circuito equivalente sem a fonte é visto na Figura 18 Figura 18 Circuito resolvido por Equivalente Thévenin parte 1 Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 A fim de facilitar a visualização observe que o circuito da Figura 19 é o mesmo que o da Figura 18 porém redesenhado para mostrar o que está em paralelo Figura 19 Circuito resolvido por Equivalente Thévenin parte 2 Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Assim para calcular a impedância de Thévenin inicialmente é feito o cálculo dos dois paralelos o do lado esquerdo e o do lado direito dos pontos a e b Eles serão chamados de e respectivamente Os cálculos são apresentados em 52 52 Após calcular as impedâncias em paralelo para saber a impedância de Thévenin só é necessário somar e uma vez que visto em relação aos pontos a e b elas estão em série 53 Sabendo a impedância é necessário calcular a tensão do equivalente Thévenin Para isso assumese o circuito inicial mostrado na Figura 20 e calculase a tensão entre os pontos a e b sabendo que eles ficarão abertos Figura 20 Circuito resolvido por Equivalente Thévenin parte 3 Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Para o cálculo das correntes será utilizada Lei de Ohm conforme mostrado em 54 54 Sabendose o valor das correntes para a determinação da tensão entre a e b pode ser feita aplicando Lei das Tensões de Kirchhoff LTK em alguma das malhas Será utilizada a malha superior formada pelo caminho aedcb O cálculo da malha é mostrado em 55 55 Sabendose a tensão do equivalente Thévenin agora é possível interpretar o circuito apresentado na Figura 20 como o circuito mostrado na Figura 21 Figura 21 Circuito resolvido por Equivalente Thévenin resultado Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 Utilizando o mesmo circuito desejase saber o valor da corrente do equivalente Norton Para isso basta criar um curto circuito entre os pontos a e b e calcular o valor da corrente que circula neste curto 58 Podese confirmar esse resultado através do princípio da transformação de fontes conforme é mostrado em 59 59 O circuito equivalente sendo a análise por Norton pode ser visto na Figura 23 Figura 23 Circuito resolvido por Equivalente Norton resultado Fonte Elaborado com base em Boylestad 2012 E assim o circuito foi resolvido tanto através do equivalente Thévenin quanto pelo equivalente Norton Comprovouse ainda se que eles estavam corretos através da equação de transformação de fontes FINALIZANDO Nesta aula aprendemos a lidar com circuitos no domínio da frequência utilizando fasores As ferramentas utilizadas já eram conhecidas e é muito importante ter total domínio da sua aplicação Através do uso de fasores podese trabalhar não apenas com circuitos resistivos mas também com outros elementos como capacitores e indutores com fontes senoidais no circuito tanto de tensão quanto de corrente REFERÊNCIAS O circuito está demonstrado na Figura 22 Foi utilizado no método de análise nodal para descobrir a tensão no nó do curto circuito para posteriormente ser possível calcular a corrente do curto ou seja a corrente do equivalente Norton A resistência de Norton não precisa ser calculada pois é a mesma resistência de Thévenin já calculada anteriormente Figura 22 Circuito resolvido por Equivalente Norton Fonte Elaborado com base em Alexander Sadiku 2013 Utilizando Lei das Correntes de Kirchhoff no nó 2 onde temse a tensão podese concluir o que é mostrado em 56 56 Dessa maneira podese calcular a tensão conforme 57 57 Sabendose o valor da tensão no nó 2 podese aplicar LCK para descobrir o valor da corrente os cálculos são mostrados em 58 ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre AMGH 2013 BOYLESTAD R L Introdução à análise de circuitos 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2012 NILSSON J W RIEDEL S A Circuitos elétricos 10 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015