Funcoes Singulares e Circuitos de Primeira Ordem RC e RL - Analise de Circuitos Eletricos

CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 AULA 1 Profª Priscila Ertmann Bolzan CONVERSA INICIAL Olá Vamos começar os estudos de análise de circuitos elétricos Esta aula vai abordar circuitos com capacitores ou com indutores chamados de circuitos de primeira ordem São circuitos muito utilizados e que servirão de base para análises mais avançadas nas próximas aulas São estudados circuitos simples que servem para a análise do comportamento de capacitores e indutores importantes componentes em qualquer circuito elétrico ou eletrônico Os estudos começarão por funções singulares que serão importantes durante as próximas análises Além disso serão examinados os circuitos RC e RL com e sem fonte com principal foco em carga e descarga dos componentes TEMA 1 FUNÇÕES SINGULARES Funções singulares são funções não lineares muito importantes para a análise de circuitos elétricos Elas simulam comportamentos normais em circuitos chaveados As principais funções utilizadas na análise de circuitos elétricos são função degrau unitário função impulso unitário e função rampa unitária Cada uma dessas funções será estudada com maiores detalhes a seguir 11 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO UT A função degrau unitário é descrita matematicamente por 1 1 O que implica que ela será zero enquanto t for negativo e terá valor 1 quando t for positivo O gráfico dessa função é apresentado na Figura 1 Figura 1 Gráfico da função degrau unitário Observe que a função muda repentinamente do estado 0 para o estado 1 sendo que em 0 ela possui um valor indefinido Se essa mudança acontecer antes ou depois do instante 0 podese representála como ut t0 ou ut t0 respectivamente Matematicamente o degrau unitário atrasado em t0 é mostrado em 2 e o degrau unitário adiantado em t0 é mostrado em 3 2 3 Na primeira delas 2 a função assume valor 1 depois do instante 0 e na segunda 3 a função assume valor unitário antes de zero conforme é visto na Figura 2 Figura 2 Função degrau unitário deslocada no tempo a atrasado de t0 b adiantado de t0 A função degrau pode ainda ter valor diferente de 1 Para isso basta que ela seja multiplicada pelo valor que se deseja conforme mostrado matematicamente em 4 e graficamente na Figura 3 Figura 3 Função degrau com valor diferente de 1 A função degrau pode ser utilizada para simbolizar fontes de tensão e de corrente no momento em que elas são ligadas ao circuito ou seja o circuito estava desligado e em algum instante ele é conectado a uma fonte 12 FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO ΔT A função impulso é a derivada da função degrau unitário e é representada matematicamente por 5 5 Graficamente a função impulso unitário pode ser vista na Figura 4 Figura 4 Função impulso unitário A função impulso possui valor zero por todo o tempo exceto em t 0 onde ela assume valor desconhecido teoricamente infinito A derivada de uma função calcula a variação da função No caso da função degrau a variação no tempo t 0 é infinita uma vez que ela sai de 0 e atinge valor 1 instantaneamente Em circuitos elétricos a função impulso representa um pico de tensão ou de corrente como por exemplo quando acontece um curtocircuito A função impulso pode ser deslocada no tempo e ser multiplicada por um número conforme demonstrado matematicamente em 6 7 e 8 respectivamente 6 7 8 E graficamente vêse as funções na Figura 5 Figura 5 Função impulso a atrasada em t₀ b adiantada em t₀ e c com multiplicação 13 FUNÇÃO RAMPA RT A função rampa é a integral da função degrau unitário e é representada matematicamente por 9 9 Figura 6 Função rampa unitária A função rampa pode ser deslocada no tempo e ser multiplicada por um número conforme demonstrado matematicamente em 10 11 e 12 respectivamente 10 11 12 E graficamente vêse as funções na Figura 7 Figura 7 Função rampa a atrasada em t₀ b adiantada em t₀ e c com multiplicação TEMA 2 CIRCUITO RC SEM FONTE Um circuito RC composto por resistor e capacitor sem fonte é mostrado na Figura 8 Chamase de resposta natural do circuito o seu comportamento quando não há nenhuma fonte no circuito para a sua excitação Considerase que havia uma fonte no circuito mas ela foi repentinamente removida de forma que o capacitor se encontra com carga Elementos como o capacitor e o indutor não consomem potência portanto toda a energia armazenada no capacitor será consumida no resistor ao ser transformada em energia térmica calor mesmo processo que ocorre com o chuveiro elétrico energia elétrica convertida em calor através de um resistor Figura 8 Circuito RC sem fonte Fonte adaptado de Alexander Sadiku 2013 Podese perceber que o capacitor começa carregado conforme mostrado em 13 onde V0 é a tensão inicial do capacitor 13 A tensão inicialmente aplicada no capacitor através de uma fonte que não está mais presente no circuito sofrerá uma queda de forma exponencial iniciando com seu valor V0 e aproximandose de zero É válido ressaltar que conforme estudado em disciplinas anteriores a tensão no capacitor não varia instantaneamente pois o capacitor possui inércia à variação de tensão A equação que descreve a tensão do capacitor é apresentada em 14 14 Em que R é o valor do resistor e C é o valor do capacitor O gráfico de tensão no capacitor é mostrado na Figura 9 Figura 9 Gráfico de tensão no capacitor de um circuito RC sem fonte A velocidade de decaimento da tensão é denominada τ onde τ tau letra grega pode ser descrito conforme 15 e é chamado de constante de tempo do circuito 15 Assim é possível reescrever 15 conforme visto em 16 16 A Tabela 1 apresenta os valores percentuais de tensão no capacitor em relação à tensão inicial V0 para diversos períodos de tempo Tabela 1 Decaimento da tensão no capacitor em um circuito RC sem fonte 3678 1353 497 183 067 Podese observar que após 5 τ a tensão no capacitor já terá apenas 067 de seu valor inicial Por isso é considerado que o capacitor está descarregado após 5 τ ou seja após cinco constantes de tempo Assim o tempo de descarga do capacitor é calculado conforme mostrado em 17 17 A corrente do circuito pode ser analisada por meio do resistor Considerando que a tensão no capacitor é igual à tensão no resistor uma vez que ambos os componentes estão em paralelo a corrente do circuito terá um comportamento similar ao comportamento da tensão no capacitor conforme é demonstrado matematicamente em 18 18 O gráfico da corrente do circuito pode ser visto na Figura 10 Figura 10 Corrente no resistor em um circuito RC sem fonte A energia inicialmente armazenada no capacitor foi dissipada pelo resistor transformandose em energia térmica calor É válido lembrar que o capacitor não consome energia ele apenas armazena energia No caso do circuito RC o resistor é o responsável pelo consumo de energia Exemplo 1 considere o circuito da Figura 11 em que o capacitor possui uma capacitância de 100 μF o resistor possui uma resistência de 50 kΩ e a tensão inicial no capacitor é de 200 V Figura 11 Exemplo 1 circuito RC sem fonte UNINTER Podese utilizar ln nos dois lados da equação uma vez que a propriedade de ln mostrada em 22 pode ser utilizada nesse caso Assim continuando os cálculos temse 23 Ou seja após 34 segundos o capacitor já terá se descarregado 50 TEMA 3 CIRCUITO RL SEM FONTE Um circuito RL composto por um resistor e um indutor é apresentado na Figura 12 Considerase que o indutor começa com uma corrente inicial conforme 24 Figura 12 Circuito RL sem fonte Nesse caso supondo que o capacitor começa carregado com 200 V para calcular o tempo de descarga devese fazer conforme mostrado em 19 Ou seja serão necessários 25 segundos para que o capacitor seja descarregado Além disso podese calcular qual é a tensão no capacitor depois de metade do tempo de descarga ou seja em 125 s Os cálculos são apresentados em 20 Ou seja após 125 segundos a tensão no capacitor será de 164 V Além disso podese calcular em quanto tempo o capacitor descarrega pela metade ou seja quantos segundos são necessários para a tensão no capacitor ser 100 V Os cálculos são apresentados em 21 O comportamento da corrente no indutor será similar ao comportamento da tensão no capacitor do circuito RC É válido ressaltar que conforme estudado em disciplinas anteriores a corrente no indutor não varia instantaneamente pois o indutor possui inércia à variação de corrente A equação que descreve a corrente no indutor é apresentada em 25 Nesse caso a constante de tempo será definida conforme 26 Substituindo 26 em 25 temse 27 O gráfico do decaimento da corrente no indutor é expresso na Figura 13 Da mesma maneira que demonstrado na Tabela 1 podese considerar que a corrente no indutor chegará a 0 após 5 constantes de tempo A tensão do circuito pode ser analisada pelo resistor uma vez que a corrente que circula no indutor é a mesma que circula no resistor Dessa forma a tensão no resistor é dada por 28 O comportamento da tensão no resistor pode ser visto na Figura 14 Figura 14 Tensão no resistor em um circuito RL sem fonte Indutores e capacitores não consomem potência eles apenas armazenam energia ao se carregarem e devolvem essa energia para o circuito ao se descarregarem A energia inicialmente armazenada no indutor é dissipada pelo resistor na forma de energia térmica calor Essa mesma análise pode ser feita para circuitos maiores com vários indutores e resistores como o exemplo mostrado na Figura 15 Figura 15 Circuito RL sem fonte com vários elementos Esse circuito da Figura 15 pode ser reduzido para um circuito RL conforme o mostrado na Figura 12 Para isso podese calcular a indutância equivalente do paralelo de indutâncias e a resistência equivalente dos dois resistores em série 4 Ω e 6 Ω Para o cálculo de indutância equivalente seguese o mesmo modelo utilizado para resistores ou seja a equação para indutores em série é apresentada em 29 e para indutores em paralelo é apresentada em 30 Lserie L1 L2 L3 29 1Lparalelo 1L1 1L2 1L3 30 Fazendo a indutância equivalente e a resistência equivalente podese simplificar o circuito para o mostrado na Figura 16 Figura 16 Circuito RL sem fonte com vários elementos simplificação 1 Agora com dois resistores no circuito e sabendose que em circuitos com elementos conectados em paralelo a ordem deles não muda o circuito podese concluir que os dois resistores de 10 Ω estão em paralelo e podem ser simplificados para apenas um resistor de 5 Ω conforme demonstrado na Figura 17 Figura 17 Circuito RL sem fonte com vários elementos simplificação 2 Dessa maneira com o circuito reduzido podese aplicar todas as equações apresentadas anteriormente e as análises serão válidas TEMA 4 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CIRCUITO RC Neste tema é vista a resposta de um circuito RC em série com uma fonte de tensão Essa fonte de tensão terá o comportamento de uma função degrau estudada anteriormente no Tema 1 Na Figura 18 a vêse o circuito RC com a fonte de tensão sendo a função degrau e na Figura 18 b vêse como seria o equivalente da função degrau ou seja o circuito possui uma chave que comuta no instante t 0 Figura 18 Circuito RC com fonte a com entrada em degrau b circuito equivalente da função degrau A tensão do capacitor para os casos em que há uma fonte de tensão de valor Vs no circuito e o capacitor inicia com um valor v0 V0 é dada pela equação 31 vt V0 t 0 Vs V0 Vs etτ t 0 31 Ou seja a tensão no capacitor será a sua tensão inicial para todo o tempo menor do que zero e será uma exponencial para todo o tempo maior do que zero A curva da tensão no capacitor pode ser vista na Figura 19 Figura 19 Gráfico de tensão no capacitor de um circuito RC com fonte com v0V0 Nos casos em que o capacitor não possui tensão inicial a equação de carga é descrita por 32 e o gráfico é mostrado na Figura 20 vt Vs 1 etτ ut 32 Figura 20 Gráfico de tensão no capacitor de um circuito RC com fonte com v0 0 V É importante ressaltar que assim que o capacitor estiver totalmente carregado não haverá mais corrente no circuito uma vez que a tensão no capacitor será igual à tensão da fonte e o capacitor poderá ser considerado como um circuito aberto Se esse capacitor for removido do circuito ele irá permanecer carregado para sempre idealmente ou até que algo seja conectado a ele fazendo com que ele seja descarregado O tempo de carga do capacitor segue a mesma regra de quando foi analisado um circuito RC sem fonte O tempo de carga completa do capacitor é de 5 constantes de tempo ou seja 5 τ Enquanto a corrente no capacitor seguia a mesma curva de tensão no capacitor em um circuito sem fonte nesse caso a corrente no capacitor será descrita por 33 conforme mostrado na Figura 21 it VsR etτ ut 33 Figura 21 Corrente no capacitor em um circuito RC com fonte Exemplo 2 considere o circuito da Figura 22 em que se tem dois capacitores em paralelo um de 40 μF e outro de 7 μF o resistor possui uma resistência de 22 kΩ os capacitores iniciam descarregados v0 0 V e a fonte de tensão é de 50 V Figura 22 Exemplo 2 circuito RC com fonte O cálculo da capacitância equivalente não se efetua da mesma maneira que para resistores e indutores por isso é preciso prestar atenção durante os cálculos A equação para capacitores em série é apresentada em 34 e para capacitores em paralelo é apresentada em 35 1Cserie 1C1 1C2 1C3 34 Cparalelo C1 C2 C3 35 Dessa maneira podese calcular o capacitor equivalente dos capacitores em paralelo obtendose um capacitor de 47 μF O circuito reduzido pode ser visto na Figura 23 Figura 23 Circuito RC com fonte simplificação Nesse caso para calcular o tempo de carga devese utilizar a mesma equação da descarga do capacitor conforme mostrado em 17 agora visto em 36 Td Tc 5 R C Tc 5 22 103 47 106 Tc 517 s 36 Ou seja em 517 s o capacitor já estará carregado com a tensão da fonte ou seja 50 V Além disso podese calcular qual é a tensão no capacitor depois de determinado tempo no caso 2 s Os cálculos são apresentados em 37 vt Vs 1 etτ v2 50 1 e222 103 47 106 v2 50 1 e21034 v2 50 1 e1934 v2 50 1 01445 v2 50 08554 v2 42773 V 37 Nesse caso após 2 s de a fonte ser conectada no circuito o capacitor já estará carregado com 427 V TEMA 5 RESPOSTA AO DEGRAU DE UM CIRCUITO RL Por fim é estudado um circuito RL com fonte Na Figura 24 a vêse o circuito com a fonte de tensão sendo um degrau unitário enquanto na Figura 24 b vêse o circuito equivalente em que a chave comuta em t 0 Figura 24 Circuito RL com fonte a com entrada em degrau b circuito equivalente da função degrau A corrente no indutor para os casos em que há uma fonte de tensão de valor Vs no circuito e o indutor inicia com um valor de corrente de i0 I0 é dada por 38 38 O gráfico dessa equação pode ser visto na Figura 25 Figura 25 Gráfico de corrente no indutor de um circuito RL com fonte com i0 I0 Para casos em que o indutor não possui corrente inicial ou seja i0 0 A a equação pode ser simplificada por 39 conforme mostrado na Figura 26 39 Figura 26 Gráfico de corrente no indutor de um circuito RL com fonte com i0 0 A No momento em que a corrente no indutor atinge seu valor máximo ou seja após cinco constantes de tempo o indutor se comporta como um curtocircuito sendo que o valor da corrente passa a depender apenas da fonte de tensão e do valor do resistor em série com o circuito A tensão no indutor pode ser descrita por 40 e é apresentada na Figura 27 40 Figura 27 Tensão no resistor em um circuito RL com fonte Observe que a tensão no indutor atinge valor 0 após 5 constantes de tempo ou seja por meio da Lei das Tensões de Kirchhoff toda a tensão do circuito está aplicada no resistor FINALIZANDO Capacitores e indutores são elementos presentes na maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos Você irá encontrar diversos deles nos equipamentos eletrônicos dentro de sua casa como carregador de celular computador liquidificador etc Nesta aula aprendemos como eles funcionam enquanto carregam ou descarregam entendendo melhor seu funcionamento o que servirá de base para as próximas aulas Foram analisados circuitos de primeira ordem ou seja que continham apenas capacitores ou indutores mas não os dois juntos no mesmo circuito Nas próximas aulas veremos circuitos que unem resistores capacitores e indutores Para isso precisamos saber como cada um se comporta individualmente que foi o tema desta aula REFERÊNCIAS ALEXANDER C K SADIKU M N O Fundamentos de circuitos elétricos 5 ed Porto Alegre AMGH 2013 BOYLESTAD R L Introdução à análise de circuitos 12 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2012 NILSSONJ W RIEDEL S A Circuitos elétricos 10 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2015