Transformada Z - Lista de Exercícios e Pares de Transformadas

Transformada z PDS Lista de Exercícios Aula 3 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO Caderno Aula 3 1 Eng Viviana Zurro MSc Sumário TRANSFORMADA z 2 Equação de análise 2 Equação de síntese 2 Progressões geométricas 2 Referências 19 Caderno Aula 3 2 Eng Viviana Zurro MSc TRANSFORMADA z Equação de análise 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 1 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 2𝜋𝑗 𝑋𝑧𝑧𝑛1𝑑𝑧 𝐶 2 Progressões geométricas 𝑆 𝑎𝑞𝑛 𝑛0 𝑎 1 𝑞 𝑞 1 3 𝑆 𝑞𝑘 𝑚 𝑘𝑛 𝑞𝑛 1 𝑞𝑚𝑛1 1 𝑞 𝑞 1 4 Na equação geral 4 se 𝑚 o termo 𝑞𝑚𝑛1 𝑞 0 sempre que 𝑞 1 Tabela 1 Pares de transformadas OPPENHEIM e SCHAFER 2012 Sequência Transformada RDC 1 1 𝛿𝑛 1 Todo 𝑧 2 2 𝑢𝑛 1 1 𝑧1 𝑧 1 3 3 𝑢𝑛 1 1 1 𝑧1 𝑧 1 4 4 𝛿𝑛 𝑚 𝑧𝑚 Todo 𝑧 exceto 0 se 𝑚 0 ou se 𝑚 0 5 5 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 6 6 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 7 7 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 8 8 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 1 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 Caderno Aula 3 3 Eng Viviana Zurro MSc 9 9 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 1 10 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 1 11 𝑟𝑛𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 1 12 𝑟𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 1 13 𝑎𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 1 𝑎𝑁𝑧𝑁 1 𝑎𝑧1 𝑧 0 1 Problema 31 do livro texto Para as seguintes sequências calcular a transformada z com sua respectiva região de convergência RDC a 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 b 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑢𝑛 1 Resolução a Considerando o degrau unitário 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑋𝑧 1 2 𝑛 𝑢𝑛𝑧𝑛 𝑛 1 2 𝑛 𝑧𝑛 𝑛0 𝑋𝑧 1 2 𝑛 1 𝑧𝑛 𝑛0 1 2𝑧 𝑛 𝑛0 Aplicando a equação 1 sendo 𝑎 1 e 𝑞 1 2𝑧 𝑋𝑧 1 2 𝑛 1 𝑧𝑛 𝑛0 1 2𝑧 𝑛 𝑛0 𝑋𝑧 1 2𝑧 𝑛 𝑛0 1 1 1 2𝑧 1 1 1 2 𝑧1 Caderno Aula 3 4 Eng Viviana Zurro MSc 𝑿𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛𝟏 𝑹𝑫𝑪 𝒛 𝟎 𝟓 Sequência causal lateral direita portanto a RDC estendese a partir do polo mais externo até o infinito Figura 1 Região de convergência da função do sistema b Considerando o degrau unitário Figura 2 Função 𝑢𝑛 e função 𝑢𝑛 1 SCILAB ENTREPRISES 2017 Caderno Aula 3 5 Eng Viviana Zurro MSc Neste caso 𝑥𝑛 1 2 𝑛 𝑛 1 0 𝑛 1 𝑥𝑛 é uma sequência lateral esquerda Exemplo de sequência lateral esquerda 𝑔𝑛 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 𝐺𝑧 𝑎𝑛𝑢𝑛 1𝑧𝑛 𝑛 𝑎𝑛𝑧𝑛 1 𝑛 Mudança de variável 𝐺𝑧 𝑎𝑛𝑧𝑛 𝑛1 𝑎1𝑧𝑛 𝑛1 Aplicando a equação 2 𝐺𝑧 𝑎1𝑧𝑛 𝑛1 𝑎1𝑧1 𝑎1𝑧11 1 𝑎1𝑧 𝑧 𝑎 𝐺𝑧 𝑧𝑎 1 𝑧𝑎 Considerando 𝑎 1 2 𝑋𝑧 2𝑧 1 2𝑧 2𝑧 2𝑧 1 𝑋𝑧 2𝑧 1 2𝑧 1 2𝑧 2𝑧 1 2𝑧 1 1 1 2 𝑧1 𝑿𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛𝟏 𝑹𝑫𝑪 𝒛 𝟎 𝟓 Sequência anticausal lateral esquerda portanto a RDC estendese a partir do polo mais interno até o centro do círculo Caderno Aula 3 6 Eng Viviana Zurro MSc Figura 3 Região de convergência da função do sistema 2 Problema 38 do livro texto A função do sistema de um sistema LIT causal é 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 3 4 𝑧1 A entrada do sistema é 𝑥𝑛 1 3 𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛 1 Determine a A resposta ao impulso ℎ𝑛 b A saída 𝑦𝑛 c O sistema é estável Resolução a ℎ𝑛 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 3 4 𝑧1 1 1 3 4 𝑧1 𝑧1 1 3 4 𝑧1 Aplicando o par de transformadas 4 e 5 da Tabela 1 𝛿𝑛 𝑛0 𝑍 𝑧𝑛0 Caderno Aula 3 7 Eng Viviana Zurro MSc 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 𝑍 1 1 𝑎𝑧1 ℎ𝑛 3 4 𝑛 𝑢𝑛 𝛿𝑛 1 3 4 𝑛 𝑢𝑛 𝒉𝒏 𝟑 𝟒 𝒏 𝒖𝒏 𝟑 𝟒 𝒏𝟏 𝒖𝒏 𝟏 b 𝑦𝑛 Transformada 𝑧 de 𝑥𝑛 𝑋𝑧 1 1 1 3 𝑧1 1 1 𝑧1 1 3 𝑧 1 𝑋𝑧 1 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 𝑧1 Resolvendo o numerador 1 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 𝑧1 1 1 3 𝑧1 𝑧1 1 3 𝑧1 3𝑧1 𝑧1 3 2 3 𝑧1 𝑋𝑧 2 3 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 𝑧1 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 𝑌𝑧 2 3 𝑧1 1 1 3 𝑧11 𝑧1 1 𝑧1 1 3 4 𝑧1 𝑌𝑧 2 3 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 3 4 𝑧1 3 4 𝑧 Resolvendo por frações parciais 𝑌𝑧 𝐴 1 1 3 𝑧1 𝐵 1 3 4 𝑧1 𝐴 1 3 4 𝑧1 𝐵 1 1 3 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 3 4 𝑧1 2 3 𝑧1 1 1 3 𝑧1 1 3 4 𝑧1 Trabalhando com o numerador Caderno Aula 3 8 Eng Viviana Zurro MSc 𝐴 1 3 4 𝑧1 𝐵 1 1 3 𝑧1 2 3 𝑧1 𝐴 3 4 𝐴𝑧1 𝐵 1 3 𝐵𝑧1 0 2 3 𝑧1 𝐴 𝐵 0 5 3 4 𝐴𝑧1 1 3 𝐵𝑧1 2 3 𝑧1 3 4 𝐴 1 3 𝐵 2 3 6 Trabalhando com o sistema de equações definido pelas equações 5 e 6 𝐴 8 13 𝐵 8 13 𝑌𝑧 8 13 1 1 3 𝑧1 8 13 1 3 4 𝑧1 Aplicando o par de transformadas 5 da Tabela 1 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 𝑍 1 1 𝑎𝑧1 𝒚𝒏 𝟖 𝟏𝟑 𝟏 𝟑 𝒏 𝒖𝒏 𝟖 𝟏𝟑 𝟑 𝟒 𝒏 𝒖𝒏 c Para ℎ𝑛 causal a RDC de 𝐻𝑧 deve ser 3 4 𝑧 o qual inclui o círculo de raio unitário portanto ℎ𝑛 é estável Caderno Aula 3 9 Eng Viviana Zurro MSc Figura 4 Região de convergência da função do sistema 3 Problema 330 do livro texto A função de sistema de um sistema LIT é a seguinte 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 a Calcule a equação de diferenças b Determine a RDC e verifique se o sistema é estável c Se a entrada 𝑥𝑛 𝑢𝑛 determine a saída 𝑦𝑛 d Se a saída 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 determine a entrada 𝑥𝑛 e Se a entrada 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠05𝜋𝑛 para 𝑛 determine a saída 𝑦𝑛 Resolução 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 Fatorando o denominador 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 7 Onde 𝑎2 1 e 𝑏2 025 portanto 1 025𝑧2 1 05𝑧11 05𝑧1 Desta forma é possível ver que a função tem polos em 𝑧 05 a Equação de diferenças Caderno Aula 3 10 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧1 025𝑧2 𝑋𝑧1 𝑧1 𝑌𝑧 025𝑌𝑧𝑧2 𝑋𝑧 𝑋𝑧𝑧1 Aplicando transformada z inversa 𝑦𝑛 025𝑦𝑛 2 𝑥𝑛 𝑥𝑛 1 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝒙𝒏 𝟏 𝟎 𝟐𝟓𝒚𝒏 𝟐 b RDC e estabilidade Reescrevendo a função do sistema 𝐻𝑧 1 𝑧1 1 025𝑧2 1 𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 A função tem zeros em 𝑧 05 portanto a RDC será sistema causal Figura 5 Região de convergência da função do sistema O sistema é estável a RDC contém o círculo de raio unitário c Da Tabela 1 par de transformadas 2 𝑥𝑛 𝑢𝑛 𝑋𝑧 1 1 𝑧1 Caderno Aula 3 11 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝐻𝑧𝑋𝑧 𝑌𝑧 1 𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 1 1 𝑧1 𝑌𝑧 1 1 05𝑧11 05𝑧1 8 Aplicando frações parciais 𝑌𝑧 𝐴 1 05𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 9 Resolvendo a equação 9 𝑌𝑧 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 05𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 Trabalhando com o numerador da equação 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 05𝑧1 𝐴 𝐴 05𝑧1 𝐵 𝐵 05𝑧1 𝐴 𝐴 05𝑧1 𝐵 𝐵 05𝑧1 1 Portanto 𝐴 𝐵 1 10 𝐴 05𝑧1 𝐵 05𝑧1 0 𝐴 𝐵 11 Resolvendo o sistema de equações 10 e 11 𝐴 𝐵 05 então 𝑌𝑧 1 2 1 05𝑧1 1 2 1 05𝑧1 Aplicando transformada inversa par de transformadas 5 da Tabela 1 𝒚𝒏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 d Para 𝑦𝑛 𝛿𝑛 𝛿𝑛 1 considerando os pares 1 e 4 da Tabela 1 𝑌𝑧 1 𝑧1 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝐻𝑧 𝑋𝑧 1 𝑧1 1 𝑧1 1 025𝑧2 1 025𝑧2 Aplicando transformada inversa par de transformadas 1 e 4 da Tabela 1 Caderno Aula 3 12 Eng Viviana Zurro MSc 𝒙𝒏 𝜹𝒏 𝟎 𝟐𝟓𝜹𝒏 𝟐 e Se 𝑥𝑛 𝑐𝑜𝑠05𝜋𝑛 para 𝑛 𝜔 05𝜋 Considerando a DTFT 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗05𝜋 1 025𝑒𝑗205𝜋 1 𝑒𝑗𝜋 2 1 025𝑒𝑗𝜋 O numerador e o denominador de 𝐻𝑒𝑗𝜔 podem ser trabalhados como números complexos na forma exponencial Como a maioria está acostumada a trabalhar com ângulos em gruas e não em radianos passaremos os ângulos para graus 𝜋 2 90𝑜 𝜋 180𝑜 Numerador 1 𝑒𝑗𝜋 2 1 190𝑜 1414245𝑜 Denominador 1 025𝑒𝑗𝜋 1 025180𝑜 125 1424245𝑜 125 11345𝑜 𝜋 4 45𝑜 11345𝑜 113𝑒𝑗𝜋 4 𝐻𝑒𝑗05𝜋 113𝑒𝑗𝜋 4 Portanto 𝒚𝒏 𝟏 𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟎 𝟓𝝅𝒏 𝝅 𝟒 4 Problema 321 do livro texto Para o sistema LIT causal definido pela equação a seguir determinar 𝐻𝑧 4 025𝑧1 05𝑧2 1 025𝑧11 05𝑧1 a RDC b Verificar se o sistema é estável c Calcular a equação de diferenças d Calcular a resposta ao impulso ℎ𝑛 e Para 𝑥𝑛 𝑢𝑛 1 calcular 𝑌𝑧 e sua RDC f Para 𝑥𝑛 𝑢𝑛 1 calcular 𝑦𝑛 Caderno Aula 3 13 Eng Viviana Zurro MSc Resolução a A função tem polos em 𝑧 025 e em 𝑧 05 Como o sistema é causal a RDC estendese do polo mais externo até o infinito RDC z 05 Figura 6 Região de convergência da função do sistema b Todo sistema é estável quando o círculo de raio unitário está dentro da RDC portanto este sistema é estável c Trabalhando com o denominador 𝐷 1 025𝑧11 05𝑧1 1 05𝑧1 025𝑧1 025𝑧1 05𝑧1 𝐷 1 025𝑧1 0125𝑧2 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 4 025𝑧1 05𝑧2 1 025𝑧1 0125𝑧2 𝑌𝑧1 025𝑧1 0125𝑧2 𝑋𝑧4 025𝑧1 05𝑧2 Aplicando a transformada inversa aos dois lados da equação 𝑦𝑛 025𝑦𝑛 1 0125𝑦𝑛 2 4𝑥𝑛 025𝑥𝑛 1 05𝑥𝑛 2 𝒚𝒏 𝟒𝒙𝒏 𝟎 𝟐𝟓𝒙𝒏 𝟏 𝟎 𝟓𝒙𝒏 𝟐 𝟎 𝟐𝟓𝒚𝒏 𝟏 𝟎 𝟏𝟐𝟓𝒚𝒏 𝟐 d Como o numerador tem o mesmo grau do denominador usaremos o método de divisão longa Este método pode ser usado quando o grau do numerador é igual ou maior que o do denominador Caderno Aula 3 14 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 05𝑧2 025𝑧1 4 0125𝑧2 025𝑧1 1 Sendo 075𝑧1 o resto da divisão longa 𝐻𝑧 4 075𝑧1 1 025𝑧1 0125𝑧2 Como 1 025𝑧1 0125𝑧2 1 025𝑧11 05𝑧1 𝐻𝑧 4 075𝑧1 1 025𝑧11 05𝑧1 Definindo 𝑃𝑧 075𝑧1 1 025𝑧11 05𝑧1 Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador podemos resolver esta divisão usando frações parciais 𝑃𝑧 075𝑧1 1 025𝑧11 05𝑧1 𝐴 1 025𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 𝑃𝑧 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 025𝑧1 1 025𝑧11 05𝑧1 Portanto 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 025𝑧1 075𝑧1 Trabalhando com esta equação 𝐴 𝐴 05𝑧1 𝐵 𝐵 025𝑧1 𝐴 𝐵 𝑧105𝐴 025𝐵 075𝑧1 Da equação anterior 𝐴 𝐵 0 05𝐴 025𝐵 075 12 Resolvendo o sistema de equações temos que 𝐴 1 e 𝐵 1 portanto 𝑃𝑧 1 1 025𝑧1 1 1 05𝑧1 Então Caderno Aula 3 15 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑧 4 1 1 025𝑧1 1 1 05𝑧1 Aplicando transformada inversa e usando os pares de transformadas 1 e 5 da Tabela 1 𝒉𝒏 𝟒𝜹𝒏 𝟎 𝟐𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 e Como 𝑥𝑛 𝑢𝑛 1 é uma sequência lateral esquerda 𝑋𝑧 1 1 𝑧1 𝑅𝐷𝐶 𝑧 1 A região de convergência de 𝑌𝑧 será a interseção entre as regiões de convergência de 𝑋𝑧 e 𝐻𝑧 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 4 025𝑧1 05𝑧2 1 025𝑧11 05𝑧1 1 1 𝑧1 𝑅𝐷𝐶 𝑧 05 𝑧 1 𝒀𝒛 𝟒 𝟎 𝟐𝟓𝒛𝟏 𝟎 𝟓𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟐𝟓𝒛𝟏𝟏 𝟎 𝟓𝒛𝟏𝟏 𝒛𝟏 𝑹𝑫𝑪 𝟎 𝟓 𝒛 𝟏 Figura 7 Região de convergência da função do sistema Resolvendo por frações parciais grau do numerador menor que o denominador 𝑌𝑧 4 025𝑧1 05𝑧2 1 025𝑧11 05𝑧11 𝑧1 Caderno Aula 3 16 Eng Viviana Zurro MSc 𝐴 1 025𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 𝐶 1 𝑧1 𝑌𝑧 𝐴1 05𝑧11 𝑧1 𝐵1 025𝑧11 𝑧1 𝐶1 025𝑧11 05𝑧1 1 025𝑧11 05𝑧11 𝑧1 Resolvendo o numerador da equação 𝐴1 05𝑧11 𝑧1 𝐵1 025𝑧11 𝑧1 𝐶1 025𝑧11 05𝑧1 4 025𝑧1 05𝑧2 𝐴1 𝑧1 05𝑧1 05𝑧2 𝐵1 𝑧1 025𝑧1 025𝑧2 𝐶1 025𝑧1 0125𝑧2 4 025𝑧1 05𝑧2 𝐴1 05𝑧1 05𝑧2 𝐵1 125𝑧1 025𝑧2 𝐶1 025𝑧1 0125𝑧2 4 025𝑧1 05𝑧2 Da equação anterior 𝐴 𝐵 𝐶 4 05𝐴 125𝐵 025𝐶 025 05𝐴 025𝐵 0125𝐶 05 13 Resolvendo o sistema de equações 𝐴 1 3 𝐵 1 3 𝐵 10 3 𝑌𝑧 1 3 1 1 025𝑧1 1 3 1 1 05𝑧1 10 3 1 1 𝑧1 Aplicando transformada inversa e usando os pares de transformadas 1 3 e 5 da Tabela 1 𝒚𝒏 𝟏 𝟑 𝟎 𝟐𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟏 𝟑 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟏𝟎 𝟑 𝒖𝒏 𝟏 5 Problema 340 do livro texto A entrada de um sistema LIT é 𝑥𝑛 𝑢𝑛 Se a saída do sistema é 𝑦𝑛 1 2 𝑛1 𝑢𝑛 1 a Encontre 𝐻𝑧 do sistema e esboce seu diagrama de polos e zeros b Encontre a resposta ao impulso ℎ𝑛 c Determine a equação de diferenças d O sistema é estável e O sistema é causal Resolução Considerando o degrau unitário Caderno Aula 3 17 Eng Viviana Zurro MSc 𝑥𝑛 1 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑋𝑧 1 1 𝑧1 𝑧 1 𝑦𝑛 1 2 𝑛1 𝑢𝑛 1 14 1 2 𝑛1 1 2 𝑛1 2 2 2 4 1 2 𝑛1 1 2 2 4 1 2 𝑛12 4 1 2 𝑛1 Substituindo na equação 14 𝑦𝑛 4 1 2 𝑛1 𝑢𝑛 1 Que pode ser escrita como 𝑦𝑛 4 1 2 𝑛 𝑢𝑛𝛿𝑛 1 Aplicando transformada 𝑧 Tabela 1 linhas 4 e 5 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 𝑎𝑧1 𝛿𝑛 𝑚 𝑧𝑚 𝑌𝑧 4𝑧 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 a Portanto 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 4𝑧 1 1 2 𝑧1 1 1 1 𝑧1 𝑯𝒛 𝟒𝒛𝟏 𝒛𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝒛𝟏 𝒛 𝟏 𝟐 A função tem zeros em 𝑧 0 e 𝑧 1 e um polo em 𝑧 05 Caderno Aula 3 18 Eng Viviana Zurro MSc Figura 8 Região de convergência da função do sistema b Trabalhando com o numerador 𝐻𝑧 4𝑧1 𝑧1 1 1 2 𝑧1 4𝑧 4𝑧 𝑧1 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 𝐻𝑧 4𝑧 4 1 1 2 𝑧1 4𝑧 1 1 2 𝑧1 4 1 1 2 𝑧1 𝑧 1 2 Aplicando a transformada inversa à equação anterior 𝒉𝒏 𝟒 𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝒖𝒏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 𝒏 𝒖𝒏 c Para determinar a equação de diferenças 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 4𝑧 4 1 1 2 𝑧1 𝑌𝑧 1 1 2 𝑧1 𝑋𝑧4𝑧 4 𝑦𝑛 05𝑦𝑛 1 4𝑥𝑛 1 4𝑥𝑛 𝒚𝒏 𝟒𝒙𝒏 𝟏 𝟒𝒙𝒏 𝟎 𝟓𝒚𝒏 𝟏 d A RDC de 𝐻𝑧 inclui o círculo de raio unitário portanto o sistema é estável Caderno Aula 3 19 Eng Viviana Zurro MSc e Verificando a equação de diferenças podemos ver que o sistema é não causal 𝑦𝑛 depende de 𝑥𝑛 1 Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 SCILAB ENTREPRISES Scilab Scilab 2017 Disponivel em httpwwwscilaborg