Transformada-z-Processamento-Digital-de-Sinais-Aula-3

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 3 Profª Viviana Raquel Zurro 2 CONVERSA INICIAL Anteriormente estudamos a Transformada de Fourier em Tempo Discreto DTFT Esta transformada apresenta limitações de convergência e a notação é complexa Nesta abordagem estudaremos a Transformada z que pode ser considerada uma generalização da Transformada de Fourier A Transformada z é para tempo discreto a equivalente da Transformada de Laplace em tempo contínuo Em tempo contínuo é comum trabalhar com a variável complexa 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 para representar o domínio da frequência Em tempo discreto a Transformada z converte sinais em tempo discreto compostos por uma sequência de números reais ou complexos em uma representação complexa no domínio da frequência A transformada é fundamental em processamento digital de sinais análise de sistemas de controle discreto e processos de amostragem Os polos e os zeros do sistema podem ser facilmente verificados e a resposta em frequência estabilidade e causalidade do sistema podem ser determinados pela variável 𝑧 ⅇ𝑗𝜔 Com a Transformada Discreta de Fourier ela é usada para determinar o espectro de sinais discretos A Transformada z é uma ferramenta poderosa para analisar sistemas em tempo discreto TEMA 1 DEFINIÇÃO E REGIÃO DE CONVERGÊNCIA A DTFT foi definida na equação 13 de conteúdos anteriores como 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 1 em que 𝑥𝑛 é uma sequência infinita sinal com infinitas amostras A partir da equação 1 podemos definir a Transformada z como uma série de potências 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 2 Na equação 2 𝑋𝑧 é o operador transformada que pode ser definido como indica a equação 3 𝑍𝑥𝑛 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 𝑋𝑧 3 3 Como podemos ver existe uma semelhança entre as equações 1 e 2 Substituindo a exponencial ⅇ𝑗𝜔 pela variável complexa 𝑧 as transformadas de Fourier e z são semelhantes Definindo a variável complexa 𝑧 como 𝑧 𝑟ⅇ𝑗𝜔 4 sendo 𝑟 o módulo da variável e 𝜔 o ângulo de fase Substituindo 𝑧 na equação 2 𝑋𝑟ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑟ⅇ𝑗𝜔 𝑛 𝑛 5 Trabalhando com a equação 5 𝑋𝑟ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑟𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 6 Se 𝑟 1 a equação 6 é igual à equação 1 Assim como em tempo discreto a transformada de Laplace é representada no Plano s em tempo discreto a Transformada z é representada pelo plano z A Figura 1 mostra o plano z com o círculo de raio unitário Figura 1 Plano complexo z e círculo de raio unitário Fonte Viviana Raquel Zurro A transformada de Fourier pode ser definida como um caso particular da Transformada z O ângulo de fase entre o eixo real do plano e a posição do vetor 4 é 𝜔 A partir de 𝜔 0 𝑧 1 até 𝜔 𝜋 𝑧 1 podemos definir a transformada de Fourier de 𝑥𝑛 para 0 𝜔 𝜋 Continuando o giro em sentido antihorário chegaremos ao ponto inicial 𝑧 1 para 𝜔 2𝜋 Como a partir de 𝜔 2𝜋 o processo se repete podemos dizer que a transformada de Fourier é periódica com período igual a 2𝜋 Oppenheim Schafer 2012 11 Região de convergência Nem a transformada de Fourier nem a Transformada z são convergentes para todas as sequências ou valores de z isso significa que a soma infinita pode não ser finita Definimos Região de Convergência RDC como a região na qual a série de potências da Transformada z converge ou seja em que 𝑋𝑧 é finita 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 7 A RDC é muito importante e deve ser indicada junto à Transformada z Exemplo 1 Para as sequências finitas a seguir determine a Transformada z e a RDC destas O valor em vermelho indica o valor em n0 𝑥𝑛 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 a Sequência bilateral 𝑥𝑛 2 1 0 3 4 2 b Sequência lateral esquerda 𝑥𝑛 3 1 3 7 1 4 c Sequência lateral direita 𝑥𝑛 2𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 0 Resolução a 𝑥𝑛 2 1 0 3 4 2 forma vetorial Forma gráfica de 𝑥𝑛 Equação de 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 3 𝛿𝑛 2 0𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 4𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 2 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 3 𝛿𝑛 2 3𝛿𝑛 4𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 2 5 Para esta sequência 𝑋𝑧 2𝑧3 𝑧2 3 4𝑧1 2𝑧2 Em 𝑧 𝑋𝑧 os termos de 𝑋𝑧 do lado esquerdo da equação anterior tomando como referência o número marcado em vermelho correspondente à amostra em 𝑛 0 seriam multiplicados por portanto 𝑋𝑧 Em 𝑧 0 𝑋𝑧 os termos de 𝑋𝑧 do lado direito da equação anterior tomando como referência o número marcado em vermelho correspondente à amostra em 𝑛 0 seriam divididos por 0 portanto 𝑋𝑧 RDC então a RDC é todo o plano z exceto em 𝑧 0 e 𝑧 b 𝑥𝑛 3 1 3 7 1 4 forma vetorial Forma gráfica de 𝑥𝑛 Equação de 𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝛿𝑛 5 𝛿𝑛 4 3𝛿𝑛 3 7𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 4𝛿𝑛 Para esta sequência 𝑋𝑧 5𝑧5 𝑧4 3𝑧3 7𝑧2 𝑧 4 Em 𝑧 𝑋𝑧 os termos de 𝑋𝑧 do lado esquerdo da equação anterior tomando como referência o número marcado em vermelho correspondente à amostra em 𝑛 0 seriam multiplicados por portanto 𝑋𝑧 RDC então a RDC é todo o plano z exceto em 𝑧 c 𝑥𝑛 0 2 4 6 8 10 forma vetorial Forma gráfica de 𝑥𝑛 6 Equação de 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝑛 𝑛 0 0 𝑛 0 𝑥𝑛 2𝑛 𝑢𝑛 𝑥𝑛 0𝛿𝑛 2𝛿𝑛 1 4𝛿𝑛 2 6𝛿𝑛 3 𝑋𝑧 2𝑧1 4𝑧2 6𝑧3 8𝑧4 16𝑧5 Em 𝑧 0 𝑋𝑧 os termos de 𝑋𝑧 do lado direito da equação anterior tomando como referência o número marcado em vermelho correspondente à amostra em 𝑛 0 seriam divididos por 0 portanto 𝑋𝑧 RDC então a RDC é todo o plano z exceto em 𝑧 0 Verificando os exemplos anteriores podemos dizer que a RDC cobre todo o plano z exceto em 𝑧 0 e em 𝑧 O expoente de 𝑧 determina a posição temporal das amostras ou seja 𝑧𝑘 pode ser interpretado como um operador deslocamento em tempo com um deslocamento igual a 𝑘𝑇𝑎 em que 𝑇𝑎 é o período de amostragem Para 𝑘 positivo o deslocamento é um atraso e para 𝑘 negativo um adiantamento A equação 8 representa a região de convergência para uma sequência infinita 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑟𝑛 1 𝑛 𝑥𝑛𝑟𝑛 𝑛0 8 Trabalhando com mudança de variável 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑟𝑛 𝑛0 𝑥𝑛𝑟𝑛 𝑛0 9 Essas duas equações são iguais Na equação 8 o primeiro termo corresponde a uma sequência lateral esquerda cuja RDC vai de zero a um círculo com raio 𝑅𝐻 O segundo termo dessa equação corresponde a uma sequência lateral direita cuja RDC é a parte externa de um círculo com raio 𝑅𝐿 0 Então a RDC de uma sequência infinita será um anel que corresponde à 7 interseção das RDC de sequências laterais direitas e esquerdas As regiões de convergência são representadas na Figura 2 Figura 2 Regiões de convergência de sequências a lateral esquerda 𝑅𝐻 b lateral direita 𝑅𝐿 0 c infinita bilateral 𝑅𝐿 𝑧 𝑅𝐻 a b c Fonte Viviana Raquel Zurro Propriedades da RDC Para sequências infinitas é um anel centrado na origem 𝑅𝐿 𝑧 𝑅𝐻 Se a RDC contém o círculo de raio unitário a transformada de Fourier da sequência converge e o sistema é estável A RDC não tem polos Para sequências de duração finita a região de convergência se estende por todo o plano z com exceção de 𝑧 0 e 𝑧 Para sequências laterais esquerdas estendese desde zero até o polo mais próximo mais interno Para sequências laterais direitas estendese a partir do polo mais externo para fora incluindo provavelmente 𝑧 No caso das sequências bilaterais infinitas a RDC tem forma de anel e não contém polos A transformada de Fourier da sequência converge se e somente se a Transformada z da mesma contém o círculo unitário Albuquerque 2000 A Tabela 1 apresenta alguns pares de transformadas z básicas 8 Tabela 1 Pares de transformadas z básicas Sequência Transformada RDC 1 𝛿𝑛 1 Todo 𝑧 2 𝑢𝑛 1 1 𝑧1 𝑧 1 3 𝑢𝑛 1 1 1 𝑧1 𝑧 1 4 𝛿𝑛 𝑚 𝑧𝑚 Todo 𝑧 exceto 0 se 𝑚 0 ou se 𝑚 0 5 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 6 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 7 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 8 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 1 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 9 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 10 𝑠ⅇ𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑠ⅇ𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 11 𝑟𝑛𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 12 𝑟𝑛𝑠ⅇ𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑟𝑠ⅇ𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 13 𝑎𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 1 𝑎𝑁𝑧𝑁 1 𝑎𝑧1 𝑧 0 Fonte Oppenheim Schafer 2012 TEMA 2 TRANSFORMADA Z INVERSA O processamento de sinais geralmente é feito no domínio da frequência A Transformada z é usada para passar o sinal ou sistema do tempo discreto para o domínio da frequência Os sistemas são representados pela função do sistema função de transferência Mas uma vez feito esse processamento é necessário passar esses sinais ou sistemas para o domínio do tempo novamente Para isso é usada a transformada inversa 9 Os polos e zeros são parâmetros muito importantes na análise e na inversão das transformadas z Os zeros são determinados pelos valores que zeram a função zeros no numerador e os polos são determinados pelos valores que levam a amplitude da função a infinito zeros no denominador Na região de convergência de uma transformada não existem polos Existem vários métodos adequados para passar as sequências do domínio da frequência para o domínio do tempo 21 Integral de contorno Quem define a transformada inversa é a integral de contorno em que 𝐶 é a região de contorno que inclui a origem e está em sentido antihorário 𝑥𝑛 1 2𝜋𝑗 𝑋𝑧𝑧𝑛1𝑑𝑧 𝐶 10 Considerando a integral de Cauchy 1 2𝜋𝑗 𝑧𝑘𝑑𝑧 𝐶 1 𝑘 1 0 𝑘 1 11 Trabalhando com as equações 3 e 11 podemos deduzir a equação 10 mas esta equação não é muito usada porque é difícil de trabalhar Mas se a RDC incluir o círculo unitário a região de contorno estará limitada por 𝑧 1 e se nesse caso substituirmos z por ⅇ𝑗 teremos a transformada de Fourier cujo contorno está entre 𝜋 22 Método de inspeção Este é um método muito simples para calcular a transformada inversa Para resolver essa transformada inversa são usados pares conhecidos de transformadas como os mostrados na Tabela 1 Exemplo 2 O sinal da equação a seguir é a Transformada z que corresponde a uma sequência causal 𝒙𝒏 Aplicando pares de transformadas da Tabela 1 determine 𝒙𝒏 𝑋𝑧 1 1 05𝑧1 2 1 𝑧1 Resolução Como o sinal é causal por definição a RDC é lateral direita então 𝒛 𝟏 Observando a Tabela 1 substituindo o primeiro termo pelo par da linha 5 e o segundo termo pelo par da linha 2 temos que a sequência xn vai ser dada por 10 𝑥𝑛 05𝑛𝑢𝑛 2𝑢𝑛 23 Expansão por frações parciais Este processo é o mais adequado no caso da transformada ser dada pela razão entre dois polinômios 𝑋𝑧 𝑁𝑧 𝐷𝑧 𝑏𝑘𝑧𝑘 𝑀 𝑘0 𝑎𝑘𝑧𝑘 𝑁 𝑘0 12 Este polinômio deve ser subdividido em polinômios de ordem menor geralmente de primeira ordem A seguir identificase na Tabela 1 a sequência temporal correspondente A Transformada z é a soma das sequências Primeiramente é necessário identificar os polos e zeros da função expressando 𝑋𝑧 em função do produtório apresentado na equação 13em que 𝑐𝑘 são os zeros não nulos e 𝑑𝑘 são os polos não nulos de 𝑋𝑧 𝑋𝑧 𝑏0 𝑎0 1 𝑐𝑘𝑧1 𝑀 𝑘1 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑁 𝑘1 13 Primeiro caso 𝑀 𝑁 sendo todos os polos de primeira ordem 𝑋𝑧 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑁 𝑘1 14 Neste caso os parâmetros 𝐴𝑘 são calculados de acordo com a equação 15 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1𝑋𝑧𝑧𝑑𝑘 15 Segundo caso 𝑀 𝑁 sendo todos os polos de primeira ordem 𝑋𝑧 𝐵𝑘 𝑀𝑁 𝑘0 𝑧𝑘 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑁 𝑘1 16 Os parâmetros 𝐴𝑘 são calculados de acordo com a equação 15 e os 𝐵𝑘 pela divisão longa entre numerador e denominador Terceiro caso 𝑀 𝑁 sendo todos os polos de primeira ordem mais um polo 𝑑𝑗 de ordem múltipla 𝐿 1 𝑋𝑧 𝐵𝑘 𝑀𝑁 𝑘0 𝑧𝑘 𝐴𝑘 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑁 𝑘1 𝑘𝑗 𝐶𝑙 1 𝑑𝑗𝑧1 𝑙 𝐿 𝑙1 17 11 em que 𝐿 é a ordem do polo e os parâmetros 𝐴𝑘 e 𝐵𝑘 são calculados como explicado anteriormente Os parâmetros 𝐶𝑙 serão calculados com a seguinte fórmula 𝐶𝑙 1 𝐿 𝑙 𝑑𝑗 𝐿1 𝑑𝐿1 𝑑𝑧𝐿1 1 𝑑𝑗𝑧1 𝐿𝑋𝑧 𝑧𝑑𝑗 18 24 Divisão longa A divisão longa é aplicada quando a Transformada z é dada pela divisão entre dois polinômios e o grau do polinômio do numerador é maior ou igual ao do denominador No Exemplo 3 veremos a resolução por frações parciais no primeiro e segundo casos em que aplicaremos divisão longa para resolver Exemplo 3 As transformadas z de determinadas sequências são dadas pelas equações a seguir Aplicando o método adequado determine a sequência correspondente no domínio do tempo a 𝑋𝑧 12𝑧1 103𝑧101𝑧2 b 𝑌𝑧 1𝑧12𝑧2 103𝑧101𝑧2 Resolução a A equação pode ser escrita da seguinte forma 𝑋𝑧 𝑁𝑧 𝐷𝑧 1 2𝑧1 1 03𝑧1 01𝑧2 Podemos observar que o numerador da função 𝑁𝑧 é um polinômio de primeira ordem 𝑧1 ordem 1 e o polinômio do denominador 𝐷𝑧 é de segunda ordem 𝑧2 ordem 2 O grau do numerador é menor que o grau do denominador Será necessário trabalhar com o denominador para separar 𝐷𝑧 em dois polinômios de primeira ordem Para isso pode ser usada a fórmula de Bhaskara ou proceder da seguinte maneira 𝐷𝑧 1 03𝑧1 01𝑧2 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 𝑎 𝑏𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 𝑎 𝑏𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 03𝑧1 01𝑧2 Da última equação é possível deduzir que 𝑎 𝑏𝑧1 03𝑧1 𝑎 𝑏 03 𝑎𝑏𝑧2 01𝑧2 𝑎𝑏 01 12 Resolvendo o sistema de equações anterior teremos 𝑎 02 𝑏 05 Em que 𝑎 e 𝑏 definem os polos do sistema portanto o denominador será 𝐷𝑧 1 02𝑧11 05𝑧1 Reescrevendo 𝑋𝑧 𝑋𝑧 1 2𝑧1 1 03𝑧1 01𝑧2 1 2𝑧1 1 02𝑧11 05𝑧1 Usaremos frações parciais para resolver este sistema 𝑋𝑧 𝐴 1 02𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 Para calcular 𝐴 e 𝐵 procederemos da seguinte maneira tirando o denominador comum na equação anterior 𝑋𝑧 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 02𝑧1 1 02𝑧11 05𝑧1 em que 𝑁𝑧 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 02𝑧1 1 2𝑧1 𝐴 05𝐴𝑧1 𝐵 02𝐵𝑧1 𝐴 𝐵 𝑧105𝐴 02𝐵 1 2𝑧1 Da equação anterior podemos deduzir que 𝐴 𝐵 1 𝑧105𝐴 02𝐵 2𝑧1 05𝐴 02𝐵 2 Resolvendo o sistema de equações anterior teremos que 𝐴 257 𝐵 357 Então 𝑋𝑧 257 1 02𝑧1 357 1 05𝑧1 257 1 1 02𝑧1 357 1 1 05𝑧1 Analisando a Tabela 1 de pares básicos de transformadas podemos verificar que o par 5 corresponde à função 𝑋𝑧 portanto 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑍 1 1 𝑎𝑧1 𝑅𝐷𝐶 𝑧 𝑎 Aplicando os pares de transformadas 𝑥𝑛 25702𝑛𝑢𝑛 35705𝑛𝑢𝑛 𝒙𝒏 𝒖𝒏𝟐 𝟓𝟕𝟎 𝟐𝒏 𝟑 𝟓𝟕𝟎 𝟓𝒏 b A equação da transformada é uma divisão entre dois polinômios 𝑌𝑧 𝑁𝑧 𝐷𝑧 1 𝑧1 2𝑧2 1 03𝑧1 01𝑧2 13 Podemos observar que o numerador 𝑁𝑧 e o denominador 𝐷𝑧 são polinômios de segunda ordem 𝑧2 ordem 2 Neste caso será necessário utilizar a divisão longa da seguinte forma reorganizando os polinômios da potência maior para a potência menor O resultado da divisão anterior é 20 com um resto igual a 21 5𝑧1 então podemos reescrever a equação da seguinte maneira 𝑌𝑧 20 21 5𝑧1 1 03𝑧1 01𝑧2 O segundo termo dessa equação pode ser resolvido aplicando frações parciais o polinômio do denominador foi resolvido no Exemplo 3a 𝑌𝑧 20 21 5𝑧1 1 03𝑧1 01𝑧2 20 21 5𝑧1 1 02𝑧11 05𝑧1 𝑌𝑧 20 𝐴 1 02𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 Aplicando o método de frações parciais descrito no Exemplo 3a 𝐴 1314 𝐵 785 Portanto 𝑋𝑧 20 1314 1 02𝑧1 785 1 05𝑧1 Analisando a Tabela 1 de pares básicos de transformadas podemos verificar que os pares 1 e 5 correspondem à função 𝑌𝑧 portanto 𝛿𝑛 𝒵 1 𝑅𝐷𝐶 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝒵 1 1 𝑎𝑧1 𝑅𝐷𝐶 𝑧 𝑎 𝑦𝑛 20𝛿𝑛 131402𝑛𝑢𝑛 78505𝑛𝑢𝑛 𝒚𝒏 𝟐𝟎𝜹𝒏 𝒖𝒏𝟏𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝟐𝒏 𝟕 𝟖𝟓𝟎 𝟓𝒏 25 Expansão por série de potências Neste caso a transformada seria dada pela série de Laurent em que os valores da sequência são os coeficientes de 𝑧𝑛 𝑋𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛 𝑥1𝑧1 𝑥0 𝑥1𝑧1 19 14 Posteriormente 𝑥𝑛 será calculada por inspeção TEMA 3 PROPRIEDADES E TEOREMAS As propriedades da Transformada z são similares às da DTFT e auxiliam muito na resolução de transformadas inversas de funções complexas 31 Linearidade Os sistemas lineares obedecem ao princípio da superposição aditividade e homogeneidade Considerando os operadores definidos na equação 20 𝑇𝑥1𝑛 𝑦1𝑛 𝑇𝑥2𝑛 𝑦2𝑛 20 Aditividade 𝑇𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 21 Homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑇𝑏𝑥2𝑛 𝑏𝑦2𝑛 22 Superposição 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 23 Forma geral da linearidade 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝒵 𝑎𝑋1𝑧 𝑏𝑋2𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑅𝑋1 𝑅𝑋2 24 Exemplo 4 Considerando os sinais de entrada e parâmetros 𝑥1𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝑢𝑛 2 𝑥2𝑛 05𝑛𝑢𝑛 2𝛿𝑛 1 𝑎 3 𝑏 2 Para a sequência 𝑥𝑛 do calcular a Transformada z 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 a Considerando as entradas por separado b Considerando as entradas entrando juntas no sistema Resolução Usaremos os pares de transformadas 1 2 4 e 5 da Tabela 1 a Para os sinais de entrada 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 𝑥1𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝑢𝑛 2 𝑥1𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2𝑢𝑛 𝑋1𝑧 2𝑧2 1 𝑧2 1 1 𝑧1 15 𝑋1𝑧 2𝑧2 1 𝑧2 1 𝑧1 𝑥2𝑛 05𝑛𝑢𝑛 2𝛿𝑛 1 𝑋2𝑧 1 1 05𝑧1 2𝑧1 Como 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑋𝑧 3 2𝑧2 1 𝑧2 1 𝑧1 2 1 1 05𝑧1 2𝑧1 𝑋𝑧 6𝑧2 3 3𝑧2 1 𝑧1 2 1 05𝑧1 4𝑧1 𝑿𝒛 𝟔𝒛𝟐 𝟑𝒛𝟐 𝟏 𝒛𝟏 𝟒𝒛𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟓𝒛𝟏 𝟑 b Considerando as duas entradas juntas 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 32𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝑢𝑛 2 205𝑛𝑢𝑛 2𝛿𝑛 1 𝑥𝑛 6𝛿𝑛 2 3𝛿𝑛 3𝑢𝑛 2 2 05𝑛𝑢𝑛 4𝛿𝑛 1 𝑥𝑛 6𝛿𝑛 2 3𝛿𝑛 4𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 2𝑢𝑛 2 05𝑛𝑢𝑛 𝑿𝒛 𝟔𝒛𝟐 𝟑𝒛𝟐 𝟏 𝒛𝟏 𝟒𝒛𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟓𝒛𝟏 𝟑 Como podemos observar os resultados dos pontos a e b são iguais portanto podemos aplicar o teorema da linearidade no cálculo da Transformada z 32 Deslocamento no domínio do tempo Considerando 𝑛0 um número inteiro positivo a sequência será deslocada para a direita atraso se for negativo para a esquerda adiantamento A RDC poderá ser modificada se houver alteração na quantidade de polos em 𝑧 0 ou 𝑧 𝑥𝑛 𝑛0 𝒵 𝑧𝑛0𝑋𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 0 ⅇ𝑜𝑢 𝑧 25 Exemplo 5 Considerando a seguinte sequência 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝑢𝑛 2 Sendo 𝑛0 4 determine 𝑋𝑛0𝑧 para 𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 a Considerando o sinal deslocado no tempo 16 b Considerando o sinal sem deslocamento Resolução Usaremos os pares de transformadas 1 2 e 4 da Tabela 1 a Trabalhando com 𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 2𝛿𝑛 𝑛0 2 𝛿𝑛 𝑛0 𝑢𝑛 𝑛0 2 𝑥𝑛 4 2𝛿𝑛 4 2 𝛿𝑛 4 𝑢𝑛 4 2 𝑥𝑛 4 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 4 𝑢𝑛 6 𝑥𝑛 4 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 4 𝛿𝑛 6𝑢𝑛 Aplicando os pares de transformada 1 2 e 4 da Tabela 1 𝑋𝑛0𝑧 2𝑧2 𝑧4 𝑧6 1 1 𝑧1 𝑿𝒏𝟎𝒛 𝟐𝒛𝟐 𝒛𝟒 𝒛𝟔 𝟏 𝒛𝟏 b Considerando a equação 25 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝑢𝑛 2 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 𝛿𝑛 2𝑢𝑛 𝑋𝑧 2𝑧2 1 𝑧2 1 1 𝑧1 2𝑧2 1 𝑧2 1 𝑧1 𝑋𝑛0𝑧 𝑧𝑛0𝑋𝑧 𝑋𝑛0𝑧 𝑧4 2𝑧2 1 𝑧2 1 𝑧1 𝑋𝑛0𝑧 𝑧42𝑧2 𝑧4 𝑧4𝑧2 1 𝑧1 𝑿𝒏𝟎𝒛 𝟐𝒛𝟐 𝒛𝟒 𝒛𝟔 𝟏 𝒛𝟏 Como podemos observar os resultados dos pontos a e b são iguais portanto podemos aplicar a propriedade de deslocamento no tempo no cálculo da Transformada z 33 Outras propriedades Multiplicação por uma sequência exponencial 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝒵 𝑋𝑎1𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑎𝑅𝑋 26 Diferenciação de 𝑿𝒛 17 𝑛𝑥𝑛 𝒵 𝑧 𝑑𝑋𝑧 𝑑𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑅𝑋 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 ⅇ𝑚 𝑧 0 ⅇ𝑜𝑢 𝑧 27 Conjugação de uma sequência complexa 𝑥𝑛 𝒵 𝑋𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑅𝑋 28 Reflexão no tempo 𝑥𝑛 𝒵 𝑋𝑧1 𝑅𝐷𝐶 1 𝑅𝑋 29 34 Convolução de sequências A propriedade da convolução facilita muito o cálculo quando trabalhamos com sistemas discretos Enquanto no domínio do tempo discreto o procedimento é complexo correspondendo à equação 25 de conteúdos anteriores no domínio da frequência esse processo se reduz a um produto entre duas funções 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝒵 𝑋𝑧𝑌𝑧 𝑅𝐷𝐶 𝑅𝑋 𝑅𝑌 30 Exemplo 6 Considerando as seguintes sequências 𝑥𝑛 1 2 3 𝑦𝑛 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 𝑧𝑛 𝑥𝑛 𝑦𝑛 Determine 𝑍𝑧 a Calculando a convolução no tempo discreto b Aplicando a propriedade da convolução Resolução a Calculando a convolução de funções como explicado no Exemplo 5 de conteúdos anteriores teremos que 𝑥𝑛 1 2 3 𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 3𝛿𝑛 1 Aplicando a equação 25 de conteúdos anteriores em que 𝑧𝑛 𝑥𝑘 𝑘 𝑦𝑘𝑛 𝑥𝑘 𝑘 𝑦𝑛 𝑘 O resultado desse processo de convolução é mostrado na Figura 3 18 Figura 3 Convolução entre duas sequências finitas fonte própria software Scilab Fonte Dassault Systèmes 2023 Deste processo podemos concluir que 𝑧𝑛 1 3 2 5 3 𝛿𝑛 3 3𝛿𝑛 2 2𝛿𝑛 1 5𝛿𝑛 3𝛿𝑛 1 Este processo se feito manualmente é demorado e complexo principalmente porque as sequências poderão ter um elevado número de amostras Neste caso as duas sequências têm somente três amostras Aplicando os pares de transformada 1 e 4 da Tabela 1 𝒁𝒛 𝒛𝟑 𝟑𝒛𝟐 𝟐𝒛 𝟓 𝟑𝒛𝟏 b Considerando a propriedade da convolução dada na equação 30 𝑥𝑛 𝛿𝑛 1 2𝛿𝑛 3𝛿𝑛 1 𝑋𝑧 𝑧 2 3𝑧1 𝑦𝑛 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 𝑌𝑧 𝑧2 𝑧 1 𝑍𝑧 𝑋𝑧𝑌𝑧 𝑧 2 3𝑧1𝑧2 𝑧 1 𝑍𝑧 𝑧3 𝑧2 𝑧 2𝑧2 2𝑧 2 3𝑧 3 3𝑧1 𝒁𝒛 𝒛𝟑 𝟑𝒛𝟐 𝟐𝒛 𝟓 𝟑𝒛𝟏 19 Como podemos observar os resultados dos pontos a e b são iguais portanto podemos aplicar a propriedade da convolução no cálculo da Transformada z Tabela 2 Propriedades básicas da Transformada z Sequência Transformada RDC 𝑥𝑛 𝑋𝑧 𝑅𝑥 𝑥1𝑛 𝑋1𝑧 𝑅𝑥1 𝑥2𝑛 𝑋2𝑧 𝑅𝑥2 1 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑋1𝑧 𝑏𝑋2𝑧 Contém 𝑅𝑥1 𝑅𝑥2 2 𝑥𝑛 𝑛0 𝑧𝑛0𝑋𝑧 𝑅𝑥 exceto pela possível adição ou exclusão da origem e do infinito 3 𝑧0 𝑛𝑥𝑛 𝑋𝑧𝑧0 𝑧0𝑅𝑥 4 𝑛𝑥𝑛 𝑧 𝑑𝑋𝑧 𝑑𝑧 𝑅𝑥 5 𝑥𝑛 𝑋𝑧 𝑅𝑥 6 𝑅ⅇ𝑥𝑛 1 2 𝑋𝑧 𝑋𝑧 Contém 𝑅𝑥 7 𝐼𝑚𝑥𝑛 1 2𝑗 𝑋𝑧 𝑋𝑧 Contém 𝑅𝑥 8 𝑥𝑛 𝑋1𝑧 1𝑅𝑥 9 𝑥1𝑛 𝑥2𝑛 𝑋1𝑧 𝑋2𝑧 Contém 𝑅𝑥1 𝑅𝑥2 Fonte Oppenheim Schafer 2012 TEMA 4 SISTEMAS LINEARES A Transformada z facilita a análise de sistemas LIT Assim como a Transformada de Laplace em tempo contínuo ela permite verificar estabilidade resposta em frequência e causalidade de sistemas em tempo discreto Considerando que o sinal de saída 𝑦𝑛 de um sistema LIT é o resultado da convolução do sinal de entrada 𝑥𝑛 com a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 31 Considerando a propriedade da convolução mostrada na equação 30 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 32 20 em que 𝑋𝑧 e 𝐻𝑧 são as transformadas de 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 respectivamente 𝐻𝑧 é a Função de transferência ou Função do sistema Ela representa a relação entre entrada e saída de um sistema LIT cuja resposta ao impulso é ℎ𝑛 Para analisar o sistema no domínio da frequência Fourier basta fazer 𝑧 ⅇ𝑗𝜔 Exemplo 7 Considerando as seguintes sequências 𝑥𝑛 1 2 3 ℎ𝑛 𝑎𝑛𝑢𝑛 Determine a saída do sistema 𝑦𝑛 aplicando a Transformada z Resolução A saída é dada pela seguinte equação 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 em que 𝑥𝑛 𝛿𝑛 2𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 2 Calculando a Transformada z das duas sequências e considerando que as duas sequências são causais usando pares 1 4 e 5 da Tabela 1 𝐻𝑧 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 𝑋𝑧 1 2𝑧1 3𝑧2 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 ⅇ𝑥𝑐ⅇ𝑡𝑜 0 Se 𝑎 1 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 𝑧 𝑎 𝑌𝑧 1 2𝑧1 3𝑧2 1 1 𝑎𝑧1 𝑌𝑧 1 1 𝑎𝑧1 2𝑧1 1 𝑎𝑧1 3𝑧2 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 Aplicando o par de transformadas 5 e considerando a propriedade de deslocamento no tempo apresentada na equação 25 𝒚𝒏 𝒂𝒏𝒖𝒏 𝟐𝒂𝒏𝟏𝒖𝒏 𝟏 𝟑𝒂𝒏𝟐𝒖𝒏 𝟐 41 Função do sistema a partir de uma equação de diferenças Sistemas LIT podem ser representados por equações de diferenças lineares com coeficientes constantes como 𝑦𝑛 𝑎𝑘 𝑎0 𝑦𝑛 𝑘 𝑁 𝑘1 𝑏𝑘 𝑎0 𝑥𝑛 𝑘 𝑀 𝑘0 33 21 A Transformada z é uma ferramenta muito útil para trabalhar com equações de diferenças Na equação de diferença quando a entrada é nula para 𝑛 0 podemos dizer que estamos trabalhando com sistemas causais A equação 34 representa a Transformada z da equação 33 𝑌𝑧 𝑎𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑌𝑧 𝑁 𝑘1 𝑏𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑋𝑧 𝑀 𝑘0 34 Trabalhando com a equação 34 𝑌𝑧 𝑎𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑌𝑧 𝑁 𝑘1 𝑏𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑋𝑧 𝑀 𝑘0 𝑎𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑌𝑧 𝑁 𝑘0 𝑏𝑘 𝑎0 𝑧𝑘𝑋𝑧 𝑀 𝑘0 Considerando 𝑎0 1 𝑎𝑘𝑧𝑘𝑌𝑧 𝑁 𝑘0 𝑏𝑘𝑧𝑘𝑋𝑧 𝑀 𝑘0 𝑌𝑧 𝑏𝑘𝑧𝑘 𝑀 𝑘0 𝑎𝑘𝑧𝑘 𝑁 𝑘0 𝑋𝑧 Como 𝑌𝑧 𝑋𝑧𝐻𝑧 A função de transferência será 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑏𝑘𝑧𝑘 𝑀 𝑘0 𝑎𝑘𝑧𝑘 𝑁 𝑘0 35 Como o sistema é causal sequências laterais direitas a RDC será 𝑧 𝑟𝑅 A RDC não contém polos 𝑟𝑅 é o polo mais distante da origem Os zeros da função são determinados pelos zeros do numerador e os zeros do denominador determinam os polos do sistema Podemos escrever a equação 35 em função dos polos e zeros do sistema da seguinte forma 𝐻𝑧 𝑏0 𝑎0 1 𝑐1𝑧11 𝑐2𝑧1 1 𝑑1𝑧11 𝑑2𝑧1 𝑏0 𝑎0 1 𝑐𝑘𝑧1 𝑀 𝑘1 1 𝑑𝑘𝑧1 𝑁 𝑘1 36 em que os fatores 1 𝑐𝑘𝑧1 definem os zeros por exemplo 1 2𝑧1 significa que a função tem um zero em 𝑧 2 E os fatores 1 𝑑𝑘𝑧1 definem os polos por exemplo 1 05𝑧1 significa que a função tem um polo em 𝑧 05 22 Exemplo 8 Um sistema causal é representado pela seguinte equação de diferenças 𝑦𝑛 05𝑦𝑛 1 02𝑦𝑛 2 𝑥𝑛 Determine a função do sistema calcule os polos e zeros do sistema Resolução Aplicando a Transformada z à equação 𝑌𝑧 05z1𝑌𝑧 02z2𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 05z1𝑌𝑧 02z2𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧1 05z1 02z2 𝑋𝑧 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 1 05z1 02z2 Para achar os polos do sistema usaremos o mesmo método aplicado no Exemplo 3 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 1 076z11 026z1 𝑯𝒛 𝟏 𝟏 𝟎 𝟕𝟔𝒛𝟏𝟏 𝟎 𝟐𝟔𝒛𝟏 𝒛 𝟎 𝟕𝟔 𝐻𝑧 tem um polo em 𝑧 026 e um em 𝑧 076 e tem um zero duplo na origem Como o polo de módulo maior está localizado dentro do círculo unitário 𝐻𝑧 converge para 𝑧 ⅇ𝑗𝜔 42 Estabilidade e causalidade A condição de estabilidade de um sistema LIT é que a RDC da função do sistema 𝐻𝑧 contenha o círculo de raio unitário no plano z portanto a amplitude da resposta ao impulso ℎ𝑛 não deve tender a infinito deve ser absolutamente somável teorema da estabilidade no domínio da transformada z Oppenheim Schafer 1975 ℎ𝑛 𝑛 37 Para que a RDC inclua o círculo de raio unitário 𝐻𝑧 ℎ𝑛𝑧𝑛 𝑛 ℎ𝑛𝑧𝑛 𝑛 38 Então se 𝑧 1 23 𝐻𝑧 ℎ𝑛 𝑛 39 Em sistemas causais ℎ𝑛 é nula para 𝑛 0 ℎ𝑛 0 𝑛 0 40 Neste caso ℎ𝑛 é uma sequência lateral direita cuja RDC se estende do polo mais distante da origem para fora do círculo de raio unitário Então a estabilidade e causalidade de um sistema SLDI LIT é verificada através da obtenção dos polos de sua função de transferência e checando se todos eles têm módulo menor do que 1 Albuquerque 2000 Sistema estável a RDC inclui o círculo unitário não contém polos e tem forma de anel Sistema causal a RDC é externa ao polo de módulo maior e não inclui o mesmo Sistema causal e estável todos os polos se encontram dentro do círculo de raio unitário 43 Resposta em frequência a partir dos polos e zeros A função do sistema pode ser representada como uma função de polos e zeros como mostra a equação 36 Esta equação pode ser reescrita como 𝐻𝑧 𝑧 𝑐1𝑧 𝑐2 𝑧 𝑐𝑀 𝑧 𝑑1𝑧 𝑑2 𝑧 𝑑𝑁 41 em que os parâmetros 𝑐 indicam os zeros e os 𝑑 os polos Para calcular o módulo aplicase a equação 42 𝐻𝑧 𝑧 𝑐1𝑧 𝑐2 𝑧 𝑐𝑀 𝑧 𝑑1𝑧 𝑑2 𝑧 𝑑𝑁 42 Se substituirmos 𝑧 por ⅇ𝑗𝜔 e variando 𝜔 entre 𝜋 é possível calcular a resposta em amplitude do sistema o que corresponde a calcular 𝐻𝑧 no círculo de raio unitário Os polos e zeros do sistema no plano z determinam a resposta em amplitude Quando o polo está perto de 𝑧 0 terá pouca influência na resposta em frequência mas se estiver perto do círculo de raio unitária a resposta será bempronunciada No caso dos zeros se estiverem perto da origem não influenciarão muito mas se estiverem perto do círculo de raio unitário a característica terá um vale perto do zero 24 Exemplo 9 Um sistema causal é representado pela seguinte equação de diferenças 𝑦𝑛 1 2 𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 Determine a resposta em frequência do sistema e faça o gráfico de módulo e fase Resolução Reescrevendo 𝑦𝑛 05𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 Aplicando a Transformada z à equação 𝑌𝑧 05𝑧1𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 05𝑧1𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 1 05𝑧1 𝑧 05 Substituindo 𝑧 por ⅇ𝑗𝜔 teremos a resposta em frequência 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 1 05ⅇ𝑗𝜔 Calcularemos o módulo de 𝐻ⅇ𝑗𝜔 da seguinte maneira 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 1 05ⅇ𝑗𝜔 Resolvendo o denominador 𝐷 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05ⅇ𝑗𝜔 𝐷 1 05ⅇ𝑗𝜔 05ⅇ𝑗𝜔 0 52ⅇ𝑗𝜔ⅇ𝑗𝜔 𝐷 125 05ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 Considerando a fórmula de Euler para o cosseno 𝑐𝑜𝑠𝜔 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2 ⅇ𝑗𝜔 ⅇ𝑗𝜔 2 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝐷 125 052 𝑐𝑜𝑠𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 Dessa forma o módulo da resposta em frequência é 𝑯ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟏 𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒔𝝎 A Figura 4 mostra o módulo da resposta em frequência 25 Figura 4 Módulo da resposta em frequência do sistema Fonte Viviana Raquel Zurro Para calcular a resposta em fase usaremos a seguinte fórmula 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05ⅇ𝑗𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝑁 𝐷 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05ⅇ𝑗𝜔1 05ⅇ𝑗𝜔 O denominador foi calculado na primeira parte do problema 𝐷 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 Considerando a fórmula de Euler trabalharemos com o numerador 𝑁 ⅇ𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗 𝑠ⅇ𝑛𝜔 𝑁 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗 𝑠ⅇ𝑛𝜔 𝑁 1 05ⅇ𝑗𝜔 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝑁 𝐷 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 Separando a parte real da parte imaginária 𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗 05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 A fase é definida como o arco tangente da parte imaginária dividida pela parte real da função então 𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝑡𝑎𝑛1 𝐼𝑚𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝑅ⅇ𝐻ⅇ𝑗𝜔 26 𝐼𝑚𝐻ⅇ𝑗𝜔 05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑅ⅇ𝐻ⅇ𝑗𝜔 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝐼𝑚𝐻ⅇ𝑗𝜔 𝑅ⅇ𝐻ⅇ𝑗𝜔 05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 125 𝑐𝑜𝑠𝜔 05 𝑠ⅇ𝑛𝜔 1 05 𝑐𝑜𝑠𝜔 Portanto a fase pode ser definida como 𝑯ⅇ𝒋𝝎 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟎 𝟓 𝒔ⅇ𝒏𝝎 𝟏 𝟎 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝝎 A Figura 5 mostra a fase da resposta em frequência Figura 5 Resposta em frequência da fase da função ângulo em radianos Fonte Viviana Raquel Zurro TEMA 5 TRANSFORMADA Z UNILATERAL A Transformada z bilateral lados positivo e negativo do eixo n foi definida na equação 2 A diferença da transformada bilateral com a unilateral é que esta última só existe para valores de 𝑛 a partir de zero valores positivos independente dos valores de 𝑥𝑛 𝒳𝑧 𝑥𝑛𝑧𝑛 𝑛0 43 Se os valores de 𝑥𝑛 para 𝑛 0 são iguais a zero as transformadas bilateral e unilateral serão iguais 27 Exemplo 10 Calcule as transformadas unilateral e bilateral para a 𝑥1𝑛 𝛿𝑛 b 𝑥2𝑛 𝛿𝑛 1 Resolução a 𝑥1𝑛 𝛿𝑛 𝓧𝟏𝒛 𝟏 𝑿𝟏𝒛 𝟏 b 𝑥2𝑛 𝛿𝑛 1 𝓧𝟐𝒛 𝟎 𝑿𝟐𝒛 𝒛𝑿𝟏𝒛 𝒛 Comparando as transformadas unilaterais e bilaterais 𝒳𝑧 e 𝑋𝑧 podemos ver que para uma sequência causal 𝑥1𝑛 as duas transformadas são iguais Agora para uma sequência anticausal 𝑥2𝑛 as transformadas bilaterais e unilaterais são diferentes Oppenheim Schafer 2012 Considerando uma sequência lateral direita todas as propriedades da transformada bilateral podem ser aplicadas devido a que a transformada unilateral desconsidera as componentes laterais esquerdas 𝑛 0 Para todas as transformadas unilaterais a RDC será 𝑧 𝑟𝑅 e para as transformadas unilaterais racionais será definida pelo polo que está mais afastado de 𝑧 0 Quando consideramos as condições de repouso inicial geralmente usamos equações de diferença na forma da equação 32 mas em outros casos para a transformada unilateral são fundamentais as propriedades de linearidade e deslocamento no tempo A propriedade de linearidade é igual para transformadas unilaterais e bilaterais mas a propriedade de deslocamento no tempo não devido a que o limite inferior da Transformada z unilateral é zero 51 Propriedade de deslocamento no tempo para a Transformada z unilateral Considerando uma sequência 𝑥𝑛 cuja transformada unilateral é 𝒳𝑛 e 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 𝒴𝑧 𝑥𝑛 1𝑧𝑛 𝑛0 44 28 Substituindo o índice 𝑛 por 𝑛 𝑚 1 𝒴𝑧 𝑥𝑚𝑧𝑚1 𝑚1 𝑥1 𝑧1 𝑥𝑚𝑧𝑚 𝑚0 45 Trabalhando com a equação 45 𝒴𝑧 𝑥1 𝑧1 𝑋𝑧 46 Na forma geral 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑘 com 𝑘 0 Oppenheim Schafer 2012 𝒴𝑧 𝑥𝑚 𝑘 1𝑧𝑚1 𝑘 𝑚1 𝑧𝑘𝑋𝑧 47 FINALIZANDO Nesta abordagem vimos a Transformada z de uma sequência mostrando que ela é uma generalização da transformada de Fourier Verificamos que a Transformada z pode convergir onde a transformada de Fourier não converge O estudo concentrouse na própria Transformada z e na Transformada z inversa onde tivemos a oportunidade de trabalhar tanto no domínio do tempo discreto quanto na frequência Foram vistas as propriedades fundamentais da Transformada z assim como sua região de convergência estudando também as técnicas de transformação inversa Vimos a relação entre domínio do tempo e domínio da frequência para sequências estudando a função do sistema também chamada de função de transferência Uma parte importante desta abordagem foi o estudo de algumas propriedades que facilitam a análise de sequências sinais em tempo discreto 29 REFERÊNCIAS ALBUQUERQUE M P D Processamento de Sinais Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas 2000 Disponível em wwwcbpfbrcatpdsippsAulaDeMotivacaopps Acesso em 4 ago 2023 DASSAULT SYSTÈMES Scilab Scilab 2023 Disponível em httpswwwscilaborg Acesso em 4 ago 2023 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012