Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear e Vetorial: Independência Linear, Ângulos entre Vetores e Circunferências

Um conjunto de vetores é dito linearmente independente frequentemente indicado por LI quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros Em contrapartida naturalmente um conjunto de vetores é dito linearmente dependente LD se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros Baseado nisso assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI A 100010001 B 110220003 C 110101523 D 211001210 Quando trabalhamos em geometria analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa pois basta fazer uma simples visualização No entanto quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados com relação aos ângulos agudos analise as opções a seguir I u 232 e v 1 2 2 II u 423 e v 0 2 1 III u 212 e v 2 1 3 IV u 0 2 1 e v 3 2 4 V u 2 2 0 e v 11 3 Assinale a alternativa CORRETA A As opções I e IV estão corretas B As opções I III e IV estão corretas C As opções III e V estão corretas D Somente a opção II está correta Duas circunferências podem assumir as seguintes posições relativas secantes tangentes externas ou internas Qual a posição relativa entre as circunferências representadas pelas equações a seguir x² y² 4x 6y 3 0 x² y² 8x 4y 5 0 É necessário apresentar todos os cálculos para justificar a resposta Informe a resposta aqui Os determinantes possuem várias aplicações operatórias na disciplina de Álgebra Linear e Vetorial Para operar com eles as propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições Baseado nisso verifique os casos a seguir e calcule os determinantes utilizando propriedades a b Justifique qual foi a propriedade utilizada c Se 4 2 3 8 4 6 3 5 1 13 temos que 3 5 1 26 2 1 2 2 1 2 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado Fisicamente o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma ou módulo do vetor z 34 A 3 B Raiz de 5 C 5 D Raiz de 10 O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo mecânica de corpos rígidos e dos fluidos Na matemática o produto vetorial aplicase a vetores em R3 resolvendo problemas na geometria no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor simultaneamente ortogonal aos outros dois Baseado nisto quanto ao produto vetorial u x v entre os vetores u 112 e v 312 analise as opções a seguir I u x v 184 II u x v 084 III u x v 084 IV u x v 084 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção I está correta D Somente a opção IV está correta A noção comum de vetores como objetos com tamanho direção e sentido com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial Deste ponto de partida então para definirmos um espaço vetorial precisamos de um conjunto uma operação de adição de elementos deste conjunto e uma operação de multiplicação de escalares por exemplo números reais por elementos deste conjunto A respeito das propriedades dos espaços vetoriais classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio e contradomínio de operações lineares A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A FVVF B VFVV C VVFF D VVFV Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical ou de uma simples corda esticada No entanto anteriormente a isto devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação A É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação B É um número real que multiplica o vetor após a transformação C É um número real que anula a transformação D É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo Em geometria paralelismo é uma noção que indica se dois objetos retas ou planos estão na mesma direção Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial duas retas são paralelas se existe um plano que as contém e se essas retas não se tocam Assim elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos Para vetores o princípio é basicamente o mesmo Sobre o exposto analise as sentenças a seguir I Os vetores 214 e 6312 são paralelos II Os vetores 124 e 225 são paralelos III Os vetores 312 e 621 são paralelos IV Os vetores 112 e 224 são paralelos Assinale a alternativa CORRETA A As sentenças I e IV estão corretas B As sentenças II e III estão corretas C Somente a sentença I está correta D As sentenças I e III estão corretas Com relação às transformações lineares é importante determinar corretamente conceitos de núcleo imagem juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado Baseado nisto considere T um operador linear de R3 em R2 Txyz z x y z Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador A 001 B 011 C 101 D 110 Imagine que você queira empurrar um objeto A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentálo ou não chegará ao resultado desejado se desejar que o objeto vá para frente logicamente não adiantará empurrálo para baixo Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial Para descrevêla é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada Com relação ao vetor resultado R da operação u 2v sendo u 120 e v 123 analise as opções a seguir I R 306 II R 166 III R 166 IV R 306 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção IV está correta D Somente a opção II está correta médios do retângulo Como é de conhecimento também cada segmento de reta que é criado com todas estas interseções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor Sobre o exposto classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA EO OG AF CH DO HG IC OI IO BI IH OI IH DI A F V F V F B V F V V F C V V F F V D F V V F V