Calculo de Exercícios

Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz não nos vem à mente uma aplicação prática de seu uso No entanto isto é uma ideia apenas inicial pois os determinantes foram e são uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e discussão dos sistemas lineares estes cuja gama de aplicações é gigantesca Visto isto calcule o determinante dos coeficientes numéricos das incógnitas do sistema linear a seguir detA x 4y 2z 2 x 3y z 6 x y z 1 Quanto ao seu valor classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas det A 7 det A 12 det A 9 det A 9 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V F F B F F F V C V F F F D F F V F Para realizar a discussão de um sistema linear devemos verificar se o sistema é SPD possível e determinado SPI possível e indeterminado ou SI impossível Com base no sistema apresentado analise as opções a seguir e em seguida assinale a alternativa CORRETA I O Sistema é SPI II O Sistema é SPD III O Sistema é SI IV Não é possível discutir o sistema A Somente a opção I está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção III está correta LISTA DE EXERCÍCIOS ÁLGEBRA LINEAR Questão 1 Dado o sistema de equações lineares x 2y z 1 2x y 3z 4 3x 3y 2z 0 A matriz dos coeficientes associada a esse sistema é dado por 1 2 1 2 1 3 3 3 2 e a matriz aumentada é dada por 1 2 1 1 2 1 3 4 3 3 2 0 Pelo método de Gauss temos 1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 4 0 3 5 2 3 3 2 0 L2 2L1 1 2 1 1 0 3 5 2 0 3 5 3 L3 3L1 1 2 1 1 0 3 5 2 0 0 0 5 L3 L2 Temos que pC 2 e pA 3 Como pC pA então o sistema é impossível Portanto a alternativa correta é D Somente a opção III está correta Questão 5 Calculando o determinante temos 2 1 5 3 4 7 1 3 2 16 45 7 20 6 42 68 68 0 Logo o determinante é um número múltiplo de 7 Portanto a alternativa correta é D Somente a opção IV está correta Questão 3 Pelas propriedades dos determinantes temos que det𝑘 𝐴 𝑘𝑛 det𝐴 sendo 𝐴 uma matriz de ordem 𝑛 Dada uma matriz 𝐴 de ordem 2 e uma matriz 𝐵 de ordem 3 tais que det𝐴 det𝐵 1 então temos que det3𝐴 det2𝐵 32 det𝐴 23 det𝐵 32 23 det𝐴 det𝐵 32 23 1 9 8 1 72 Portanto a alternativa correta é D 72 Questão 2 Dado o sistema de equações lineares px y z 4 x py z 0 x y 2 A matriz dos coeficientes associada a esse sistema é dado por p 1 1 1 p 1 1 1 0 e a matriz aumentada é dada por p 1 1 4 1 p 1 0 1 1 0 2 Pelo método de Gauss temos p 1 1 4 1 p 1 0 1 1 0 2 1 p 1 0 p 1 1 4 1 1 0 2 1 p 1 0 0 p2 1 p 1 4 1 1 0 2 1 p 1 0 0 p2 1 p 1 4 1 1 0 2 1 p 1 0 0 p2 1 p 1 4 0 p 1 1 2 1 p 1 0 1 1p1 4p2 1 4 0 p 1 1 2 1 p 1 0 1 1p1 4p2 1 4 0 p 1 1 2 1 p 1 0 1 1p1 4p2 1 0 0 2p1 2p6p1 1 p 1 0 1 1p1 4p2 1 0 0 1 p3 1 p 1 0 1 1p1 4p2 1 0 0 1 p3 1 p 1 0 1 0 p3 0 0 1 p3 1 p 0 p3 0 1 0 p1 0 0 1 p3 1 p 0 p3 0 1 0 p1 0 0 1 p3 1 0 0 p3p1 0 1 0 p1p1 0 0 1 p3 Para que o sistema possua uma única solução devemos ter pC pA n onde n é o número de incógnitas Logo devemos ter p 1 Portanto a alternativa correta é A p diferente de 1 Questão 4 Dado o sistema de equações lineares 5x 3y 11z 13 4x 5y 4z 18 9x 2y 7z 25 A matriz dos coeficientes associada a esse sistema é dado por 5 3 11 4 5 4 9 2 7 e a matriz aumentada é dada por 5 3 11 13 4 5 4 18 9 2 7 25 Pelo método de Gauss temos 5 3 11 13 4 5 4 18 9 2 7 25 5 3 11 13 0 375 645 385 9 2 7 25 5 3 11 13 0 375 645 385 0 375 645 85 5 3 11 13 0 375 645 385 0 0 0 6 Temos que pC 2 e pA 3 Como pC pA então o sistema é impossível Portanto a alternativa correta é A VFFF Questão 6 Uma matriz 𝐴 é inversível caso seu determinante não seja nulo ou seja det𝐴 0 Portanto a alternativa correta é A O determinante formado por seus elemenentos é igual a zero Questão 7 Analisando as sentenças temos que I A sentença está correta Se uma matriz quadrada possuir uma linha ou coluna nula então seu determinante é igual a zero II A sentença está correta Se uma matriz quadrada possuir duas linhas ou colunas múltiplas entre si então seu determinante é igual a zero III A sentença está incorreta Somente matrizes quadradas possuem determinante IV A sentença está correta Se trocarmos duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada o determinante da matriz trocada é igual ao oposto do determinante da matriz original Portanto a alternativa correta é D As sentenças I II e IV estão corretas O esquema a seguir indica as diversas possibilidades de soluções de um sistema linear A p diferente de 1 B p igual a 2 C p igual a 1 D p diferente de 2 Questão 8 Dado o sistema de equações lineares 2x 4y 0 2m 4n 0 Logo temos que 2x 4y 0 2x 4y x 2y 2m 4n 0 2m 4n m 2n Logo temos que necessariamente x 2y e m 2n Portanto a alternativa correta é B Somente a sentença IV está correta Gabarito Questão 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Reposta D A D A D A D B A Questão 9 Dado o sistema de equações lineares x 4y 2z 2 x 3y z 6 x y z 1 A matriz dos coeficientes associada a esse sistema é dado por A 1 4 2 1 3 1 1 1 1 O determinante da matriz dos coeficientes é dado por detA 1 4 2 1 3 1 1 1 1 3 4 2 6 4 1 9 3 12 Logo temos que o determinante da matriz dos coeficientes é igual a 12 Portanto a alternativa correta é A FVFF As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos cálculos sem a necessidade de operacionalizálos Um exemplo disso é o fato em que se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5 se multiplicarmos uma linha da matriz por 2 o determinante da nova matriz passa a ser igual a 10 Visto isso seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3 tais que detA detB 1 o valor de det3A det2B é A 36 B 6 C 5 D 72 Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares com m equações e n incógnitas A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares como quiser chamálos Dessa forma o mais importante é conhecer suas principais características e propriedades Com base no sistema apresentado classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA 5x 3y 11z 13 4x 5y 4z 18 9x 2y 7z 25 é impossível é possível e determinado não tendo solução trivial é possível e indeterminado admite a solução 1 2 1 A V F F F B F V F F C F F F V D F F V F Determinante é um tipo de matriz com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas ou seja uma matriz quadrada Nele não aplicamos as quatro operações mas há outras propriedades como achar o valor numérico de um determinante Baseado nisso calcule o determinante da matriz 2 1 5 3 4 7 1 3 2 Analise as sentenças sobre o determinante I Número ímpar II Divisor de 7 III Potência de 7 IV Múltiplo de 7 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção I está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção IV está correta Em Álgebra Linear aprendese o conceito de matriz Inversa Dizendo que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras Isso quer dizer que existem casos em que a matriz não possuirá esta propriedade Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o caso em que a matriz não possuirá inversa A O determinante formado por seus elementos é igual a zero B Caso o determinante seja negativo C Quando a matriz for quadrada D Se a matriz tiver ordem superior a 3 Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas ou seja é do tipo nxn A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática temos a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou ainda o cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices Baseado nas propriedades dos determinantes analise as sentenças a seguir I Se os elementos de uma linha de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero seu determinante será zero II Se os elementos de duas linhas de uma matriz forem iguais seu determinante será nulo III Uma matriz que não é quadrada possui determinante igual ao da sua transposta IV Se trocarmos de posição entre si duas linhas de uma matriz quadrada o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado Assinale a alternativa CORRETA A Somente a sentença I está correta B As sentenças II e III estão corretas C As sentenças III e IV estão corretas D As sentenças I II e IV estão corretas Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes independente de todas as suas equações lineares são iguais a zero Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível pois podemos obter como resultado o terno 000 que chamamos de solução nula ou trivial O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogéneo Analise as sentenças a seguir I Neste sistema temos que necessariamente x y 0 II Neste sistema temos que necessariamente x y e m n III Neste sistema temos que necessariamente y 2x e n 2m IV Neste sistema temos que necessariamente x 2y e m 2nAssinale a alternativa CORRETA A Somente a sentença I está correta B Somente a sentença IV está correta C Somente a sentença III está correta D Somente a sentença I está correta Ao se falar dos determinantes associados a uma matriz não nos vem à mente uma aplicação prática de seu uso No entanto isto é uma ideia apenas inicial pois os determinantes foram e são uma ferramenta poderosíssima no processo de cálculo e discussão dos sistemas lineares estes cuja gama de aplicações é gigantesca Visto isto calcule o determinante dos coeficientes numéricos das incógnitas do sistema linear a seguir detA Quanto ao seu valor classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas det A 7 det A 12 det A 9 det A 9 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V F F B F F F V C V F F F D F F V F