Geometria Analítica

O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo mecânica de corpos rígidos e dos fluidos Na matemática o produto vetorial aplicase a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor simultaneamente ortogonal aos outros dois Baseado nisto quanto ao produto vetorial u x v entre os vetores u 022 e v 302 analise as opções a seguir I u x v 466 II u x v 064 III u x v 066 IV u x v 466 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção II está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta Os problemas ligados ao conceito de autovalores vistos em Álgebra Linear permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear mas sim o problema clássico de autovalores que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples tais como treliças vigas pórticos placas etc como também de sistemas estruturais mais complexos dentre os quais podem ser citados os seguintes pontes rodoviárias e ferroviárias torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia estádios de futebol passarelas de pedestres edificações residenciais edifícios altos plataformas offshore etc Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F F B F V F F C V V F V D F F V F A hipérbole é uma figura geométrica com algumas características no que se refere à simetria com relação ao ponto de excentricidade Neste contexto calcule o ponto de excentricidade da hipérbole de equação 25x² 16y² 400 0 É necessário apresentar todos os cálculos para justificar a resposta Em um sistema linear homogêneo seu conjunto solução conjunto verdade será sempre possível ou seja ao estudarmos um sistema homogêneo encontraremos sempre um sistema possível determinado ou possível indeterminado O sistema linear será considerado possível pois obterá pelo menos um conjunto solução o 0 0 0 0 esse conjunto é chamado de solução trivial nula ou imprópria do sistema Baseado nisso determine o valor de k para que o sistema homogêneo seguir tenha apenas solução trivial x y z 0 2x y 2z 0 x 2y kz 0 Em Matemática uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear A respeito das transformações lineares analise as opções a seguir I Txy x² y² II Txy 2x 1 x y III Txy 2x y x y IV T xy x x y Assinale a alternativa CORRETA A As opções II e III estão corretas B As opções I e II estão corretas C Somente a opção IV está correta D As opções III e IV estão corretas Os problemas ligados ao conceito de autovalores vistos em Álgebra Linear permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear mas sim o problema clássico de autovalores que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples tais como treliças vigas pórticos placas etc como também de sistemas estruturais mais complexos dentre os quais podem ser citados os seguintes pontes rodoviárias e ferroviárias torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia estádios de futebol passarelas de pedestres edificações residenciais edifícios altos plataformas offshore etc Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA 4 3 5 6 A V F F F B F V F F C V V F V D F F V F No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores Teoricamente um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação resulta um múltiplo de si próprio sendo que a este fator multiplicativo damos o nome de autovalor Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas principalmente na Engenharia Baseado nisso dada a transformação Txy 2xy analise as sentenças a seguir I v 01 é um autovetor de T com autovalor igual a 2 II v 10 é um autovetor de T com autovalor igual a 2 III T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1 IV T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1 Assinale a alternativa CORRETA A Somente as opções I e III estão corretas B Somente as opções I e IV estão corretas C Somente as opções II e III estão corretas D Somente as opções II e IV estão corretas A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado Fisicamente o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma ou módulo do vetor z 34 A 3 B 5 C Raiz de 5 D Raiz de 10 Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área Por exemplo temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores que é o módulo ou norma do produto vetorial entre os dois Já para o caso da área do triângulo bastaria dividir este resultado por dois pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo Determine a área do triângulo formado pelos vetores u 120 e v 012 I raiz 212 II4 IIIraiz 18 IV6 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção I está correta Em matemática o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor ao invés de um escalar Seu principal uso baseiase no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais Quanto ao resultado do produto escalar entre u 104 e v 110 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas u x v 1 u x v 1 u x v 4 u x v 4 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F F B F V F F C F F V F D F F F V A noção comum de vetores como objetos com tamanho direção e sentido com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial Deste ponto de partida então para definirmos um espaço vetorial precisamos de um conjunto uma operação de adição de elementos deste conjunto e uma operação de multiplicação de escalares por exemplo números reais por elementos deste conjunto A respeito das propriedades dos espaços vetoriais classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F V V B V V F F C F V V F D V V F V O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo mecânica de corpos rígidos e dos fluidos Na matemática o produto vetorial aplicase a vetores em R3 resolvendo problemas na geometria no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor simultaneamente ortogonal aos outros dois Baseado nisto quanto ao produto vetorial u x v entre os vetores u 022 e v 302 analise as opções a seguir I u x v 466 II u x v 064 III u x v 066 IV u x v 466 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção II está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores Teoricamente um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação resulta um múltiplo de si próprio sendo que a este fator multiplicativo damos o nome de autovalor Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas principalmente na Engenharia Baseado nisso dada a transformação Txy 2xy analise as sentenças a seguir I v 01 é um autovetor de T com autovalor igual a 2 II v 10 é um autovetor de T com autovalor igual a 2 III T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1 IV T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1 Assinale a alternativa CORRETA A Somente as opções I e III estão corretas B Somente as opções I e IV estão corretas C Somente as opções II e III estão corretas D Somente as opções II e IV estão corretas Com relação às transformações lineares é importante determinar corretamente conceitos de núcleo imagem juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado Baseado nisto considere T um operador linear de R³ em R³ Txyz z x y z Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador A 1 B 0 C 3 D 2 Um conjunto de vetores é dito linearmente independente frequentemente indicado por LI quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros Em contrapartida naturalmente um conjunto de vetores é dito linearmente dependente LD se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros Baseado nisso assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD A 211001523 B 110101523 C 100010001 D 110101003 Para ter apenas a solução trivial o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero logo 1 1 1 2 1 2 1 2 k 0 11k 121 122 111 12k 122 0 k 2 4 1 2k 4 0 k 1 0 k 1 Assim qualquer valor tal que k 1 25x² 16y² 400 0 25x² 16y² 400 25x²400 16y²400 1 x²16 y²25 1 x²4² y²5² 1 Logo a 4 b 5 c 16 25 41 A excentricidade é e 414 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado Fisicamente o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema Sendo assim assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma ou módulo do vetor z 34 O A 3 O B 5 O C Raiz de 5 O D Raiz de 10 Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área Por exemplo temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores que é o módulo ou norma do produto vetorial entre os dois Já para o caso da área do triângulo bastaria dividir este resultado por dois pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo Determine a área do triângulo formado pelos vetores u 120 e v 012 I raiz quadrada de 21 dividido por 2 II 4 III raiz quadrada de 18 IV 6 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção III está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção II está correta D Somente a opção I está correta Em matemática o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor ao invés de um escalar Seu principal uso baseiase no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais Quanto ao resultado do produto escalar entre u 104 e v 110 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas u x v 1 u x v 1 u x v 4 u x v 4 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F F F B F V F F C F F V F D F F F V A noção comum de vetores como objetos com tamanho direção e sentido com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial Deste ponto de partida então para definirmos um espaço vetorial precisamos de um conjunto uma operação de adição de elementos deste conjunto e uma operação de multiplicação de escalares por exemplo números reais por elementos deste conjunto A respeito das propriedades dos espaços vetoriais classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A V F V V B V V F F C F V V F D V V F V Com relação às transformações lineares é importante determinar corretamente conceitos de núcleo imagem juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado Baseado nisto considere T um operador linear de R³ em R³ Txyz z x y z Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador A 1 B 0 C 3 D 2 Em Matemática uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear A respeito das transformações lineares analise as opções a seguir I Txy x² y² II Txy 2x 1 x y III T xy 2x y x y IV T xy x x y Assinale a alternativa CORRETA A As opções II e III estão corretas B As opções I e II estão corretas C Somente a opção IV está correta D As opções III e IV estão corretas Um conjunto de vetores é dito linearmente independente frequentemente indicado por LI quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros Em contrapartida naturalmente um conjunto de vetores é dito linearmente dependente LD se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros Baseado nisso assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD A 211001523 B 110101523 C 100010001 D 110101003