Transformada de Laplace Inversa e Frações Parciais - Simulação de Sistemas de Controle

Aula do dia 30082023 ATC Transformada de Inversa de Laplace TIL Frações Parciais Simulação de Sistemas de Controle Transformada Inversa de Laplace A ideia é encontrar Fs ft Transformada Inversa de Laplace utilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrar ft Seja Fs Ps Qs sendo que Ps e Qs são polinômios e grau Qs grauPs Polinômio Qs é da forma Qs sⁿ a₁sⁿ¹ aₙ sendo aᵢ ℜ i1 2 n que pode ser expresso na forma Qs s s₁s s₂s sₙ₁s sₙ sendo sᵢ i1 2 n as raízes de Qs 1ºCaso Se o polinômio do denominador Qs s s₁s s₂s sₙ₁s sₙ possuir somente raízes distintas ou seja sᵢ sⱼ i j1 2 n i j Transformada Inversa de Laplace Exemplo Fs 5s 3 s 1s 2s 3 determine ft Sol Neste caso Ps 5s 3 e Qs s 1s 2s 3 temos Fs Ps Qs k₁ s 1 k₂ s 2 k₃ s 3 e kᵢ s sᵢFs ssᵢ logo k₁ s 1 5s 3 s 1s 2s 3 s1 22 1 k₂ s 2 5s 3 s 1s 2s 3 s2 7 k₃ s 3 5s 3 s 1s 2s 3 s3 6 Aplique a transformada inversa de Laplace em Fs e obtenha ft Solução A transformada inversa de Laplace é definida por 𝐿1 𝐹 𝑆 𝑓𝑡 EXERCÍCIO 2 Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 1ª expandir Fs em frações parciais 𝐹 𝑆 𝑃𝑆 𝑄𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆𝑆1 𝑆𝑆2 𝑆𝑆3 𝐾 3 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 1 𝐾 S7 8𝑠 1 Expressão para obter os valores de k 𝐾𝑖 𝑠 𝑆𝑖Fs para S𝑆𝑖 Obter o valor de k1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s7 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 1 𝐾 S7 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s7 1 𝐾 8𝑠1 𝑠8 𝑠9 para s7 1 𝐾 78 79 871 55 2 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 2 𝐾 S8 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s8 2 𝐾 8𝑠1 𝑠7 𝑠9 para s8 2 𝐾 881 87 89 63 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 3 𝐾 S9 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 para s9 3 𝐾 8𝑠1 𝑠7 𝑠8 para s9 3 𝐾 97 98 891 71 2 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 Expandindo em FP TEMOS 𝐹𝑆 𝐾1 𝐾2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐾 3 Substituindo os valores na expressão temos 𝐹𝑆 2 6 3 55 71 2 𝑆7 𝑆8 𝑆9 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 55 𝐹𝑆 2 6 3 2 71 𝑆7 𝑆8 𝑆9 𝐹 𝑆 55 12 𝑆7 63 1 𝑆8 71 2 𝑆9 1 𝑓 𝑡 𝐿1 1 𝑠 𝑎 𝑒𝑎 𝑡 ft 𝟓 𝟓 𝒆𝟕𝒕 𝟔𝟑 𝒆𝟖𝒕 𝟕𝟏 𝒆𝟗 𝒕 Solução Fs 8𝑠 1 𝑠7𝑠8 𝑠9 TDE Calcular a transformada inversa de Laplace para Fs dado abaixo 1 Fs 2𝑠 1 𝑠4𝑠5 𝑠6 Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 2ª Selecionar a opção PI Controller Create new document Blank Document First order linear system Second order linear system First order linear system with feedback PI controller CANCEL OK Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 3ª aparecerá o sistema de controle ilustrado abaixo Prática usando o simulador Control System Modeling Tool 4ª Variáveis do controlador e opções do simulador Entrada do sistema Saída do sistema Clicar nos 3 pontos para simular e alterar os parâmetros do controlador