Tópicos Integradores I - Unidade II: Leis da Física em Engenharia

UNIDADE II Tópicos Intregradores I Engenharias 2 Sumário Para início de converSa 2 TraBaLHo de uma ForÇa 3 equação do movimento e o Princípio do trabalho 3 conServaÇÃo da enerGia cinÉTica 7 cenTro de maSSa 11 centro de massa para um Sistema formado por duas partículas 11 centro de massa para um Sistema formado por n partículas 12 centro de massa de um sistema de partículas no espaço 12 centro de massa de corpos maciços 13 momenTo Linear e imPuLSo Linear 17 momento linear 17 Teorema do impulso Linear 18 impulso Linear 19 conservação do momento linear 19 1 Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito do Grupo Ser Educacional Edição revisão e diagramação Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD Junior Elias Arcanjo da Silva Tópicos Integradores I Engenharia Unidade 2 Recife Grupo Ser Educacional 2019 Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio 254 Santo Amaro CEP 50100160 Recife PE PABX 81 34134611 2 TóPicoS inTeGradoreS i unidade ii Para início de converSa Olá meu querido a aluno a Tudo bem com você Então estamos agora na segunda unidade da sua disciplina Tópi cos Integradores I Espero que esteja preparado a para darmos continuidade ao nosso estudo Conto com a sua dedicação em nossa jornada de estudos Seu comprometi mento é essencial para que você ao final das nossas unidades tenha total domínio da nossa disciplina orienTaÇõeS da diSciPLina Olá pessoal nesta unidade convido você caro a aluno a ao estudo de duas das prin cipais leis da física a lei da conservação da energia mecânica e a lei da conservação do momento linear Essas leis nos permitirão resolver de forma simples problemas de cinética que seriam trabalhosos demais ou até mesmo de impossível resolução a partir da equação Fr ma No decorrer desta unidade você saberá identificar quais classes de problemas poderão ser resolvidos a partir das leis de conservação Também vamos estudar o trabalho de uma força apresentar o princípio do trabalho e da energia cinética o centro de massa de um sistema de partículas o momento linear de um sistema de partículas o Impulso Linear e o Princípio do Impulso Linear Lembrese você tem à sua disposição a nossa Biblioteca virtual para fazer pesquisas e buscar novas informações Ao final da nossa II unidade acesse o ambiente e responda as atividades Em caso de dúvida pergunte ao seu tutor e assista às webconferências Vamos começar Bons estudos 3 TraBaLHo de uma ForÇa Caro a estudante neste momento vamos analisar o movimento de uma partícula utilizando os conceitos de trabalho e energia A equação resultante será útil para resolver problemas que envolvem força deslo camento e velocidade Vamos juntos equação do movimento e o Princípio do trabalho Se considerarmos uma partícula de massa m sob ação de uma força resultante FR que faz um ângulo Ɵ com a direção do movimento eixo x podemos escrever A componente horizontal da força resultante pode ser escrita como e da cinemática temos que assim podemos escrever Separando as variáveis e integrando os dois lados da equação temos A integral a esquerda é chamada de Trabalho da força e representado pela letra O termo da direita é chamado de energia cinética da partícula e representado pela letra Assim podemos escre ver que o trabalho realizado pela força resultante é igual a variação da energia cinética ou seja Ou simplesmente 4 PraTicando EXEMPLO 1 O bloco de 10 kg mostrado na figura repousa sobre o plano inclinado liso Se a mola está originalmente 05 m deformada determine o trabalho total realizado por todas as forças atuantes sobre o bloco quando uma força F 400 N empurra o bloco plano acima de s 2m considere o coeficiente de atrito cinético µc02 SOLUÇÃO Diagrama de corpo livre O agente físico responsável por realizar trabalho é a força pois isso devemos desenhar o diagrama de corpo livre para identificar todas as forças que atuam no bloco Como pode ser observado na Figura b sobre o bloco atuam as forças Peso P mg a força de atrito fat µCNC força elástica Fe ks força normal NC e a força F F 400 N Com a identificação das forças iremos usar a definição de trabalho para determinar o trabalho realizado por cada força e assim calcular o trabalho total Trabalho resultante Trabalho da força horizontal F Como a força F é constante podemos escrever a equação do trabalho sem o uso da integral da seguinte forma Trabalho de uma força constante 5 Assim o trabalho realizado pela força F será Trabalho da força normal NB A força Normal não realiza trabalho visto que a força é sempre perpendicular ao deslocamento ou seja Força de atrito A força de atrito também é uma força constante assim podemos escrever Como a força de atrito é oposta ao deslocamento o ângulo entre a força de atrito e o deslocamento é 180 E como NC 85 N podemos escrever Trabalho da força Peso Considerando que a força peso é constante e sempre na direção vertical para baixo podemos escrever que o trabalho da força peso é dado Na prática o trabalho da força peso é positivo quando o corpo está descendo negativo se o corpo está subindo e zero se o deslocamento vertical for nulo Assim o trabalho realizado pela força peso será Trabalho da força elástica Como a força elástica não é constante precisamos usar a definição de trabalho ou seja 6 O módulo da força elástica é dado por onde k é a constante elástica da mola e s é a deformação da mola Como a força elástica é contrária ao deslocamento da mola temos que É importante lembrar que s na equação da força elástica representa a deformação da mola Desta forma a equação do trabalho para a força elástica é Na posição inicial a mola está deformada e na posição final ela está deformada O trabalho da força elástica é portanto Trabalho resultante O trabalho resultante ou o trabalho total é obtido somando o trabalho de todas as forças ou seja EXEMPLO 2 Por um curto período de tempo o guindaste da figura a iça a viga de 2500 kg com força F 283s² kN onde s é dado em metros Determine a velocidade da viga quando ela for erguida s 3 m SOLUÇÃO Esse problema pode ser resolvido utilizando a segunda lei de Newton mas como é um problema que envolve força deslocamento e velocidade também podemos resolver utilizando o princípio do trabalho É importante observar que em s 0 posição inicial a força F é maior que a força peso possibilitando o deslocamento da viga 7 Diagrama de corpo livre Como mostrado no diagrama de corpo livre a força F de içamento realiza trabalho positivo o qual deve ser determinado por meio de integração visto que essa força é variável Já a força peso é constante e realizará um trabalho negativo visto que o deslocamento é para cima Princípio do trabalho e energia conServaÇÃo da enerGia cinÉTica Então meu caro a estudante em problemas em que apenas forças conservativas força peso e força elástica realizam trabalho nós podemos utilizar o princípio da conservação da energia mecânica para a sua resolução O princípio da conservação da energia mecânica pode ser escrito como Onde é a energia cinética da partícula é a energia potencial gravitacional da partícula é a energia potencial elástica da partícula 8 Assim podemos escrever a equação da conservação da energia mecânica da seguinte forma Fique aTenTo Quando usamos o princípio da conservação da energia mecânica precisamos determi nar um ponto de referência para energia potencial ou seja o local onde a altura h é zero e consequentemente a energia potencial gravitacional é nula A escolha do ponto de referência fica a seu critério mas lhe aconselho a sempre escolher o ponto mais baixo da trajetória essa escolha evita erros de sinais pois o h sempre será positivo Com relação a energia potencial elástica a referência será sempre o tamanho natural da mola Assim se a mola não está deformada a sua energia elástica será zero PraTicando EXEMPLO 3 A esfera do pêndulo de 2 kg é solta do repouso quando está em A determine a velocidade da esfera quando ele passa pela posição mais baixa em B SOLUÇÃO Como podemos observar na figura da direita duas forças atuam sobre a bola mas apenas a força peso realiza trabalho visto que a força de tração é perpendicular a trajetória da bola ao longo do movimento de queda Assim podemos utilizar o princípio da conservação da energia pois a força peso é uma força conservativa Conservação da energia mecânica 9 Nesse momento precisamos definir um referencial para a altura da bola Vamos considerar o ponto em B com altura zera ou seja h2 hB 0 e como consequência teremos h1 hA 15 m Como a partícula parte do repouso temos v1 vA 0 Como nesse problema não tem mola podemos desconsiderar a energia potencial elástica Assim podemos escrever EXEMPLO 4 Um anel liso de 2 kg encaixase folgadamente na barra vertical figura a Se a mola não está deformada quando o anel está no posição A determine a velocidade com a qual o anel está se deslocando quando y 1 m se a ele é solto do repouso em A e b se ele é solto em A com velocidade para baixo Solução Nesse problema apenas a força elástica e a força peso realizam trabalho desta forma podemos utilizar o princípio da conservação da energia para a determinação da velocidade Como vamos usar a energia potencial gravitacional precisamos definir um ponto de referência para determinar os valores de h1 e h2 Assim escolheremos h 0 no ponto C mas se você escolher um outro referencial a velocidade em C será a mesma Também é importante lembrar que s1 e s2 são as deformações da mola Parte a Conservação da energia mecânica 10 Nesse momento é importante que você identifique cada variável do problema Quando definimos h 0 no ponto C temos que h1 1 m e h2 0 Como a mola não está deformada em A temos s1 0 e a deforma ção da mola em C será s2 sCB 05 m nesse caso foi necessário determinar o tamanho da mola em C e determinar a deformação como sCB lCBl0 onde lCB é o tamanho da mola em C e l0 é o tamanho da mola sem deformação ver figura b Substituindo os valores temos Parte b Conservação da energia mecânica A única diferença na letra b é que a energia cinética inicial não é zero visto que o anel é arremessado com uma velocidade inicial de 2 ms Fica a dica Os princípios do trabalho e da conservação da energia mecânica não deveram ser uti lizados quando a força for uma função do tempo Quando a força for uma função do tempo você deverá utilizar a segunda lei de Newton para determinar a aceleração e na sequência utilizar uma das equações da cinemática para determinar a velocidade a posição etc Na próxima unidade apresentarei o princípio do impulso que irá lhe auxiliar na resolução de problemas de cinética relacionados com o tempo LeiTura comPLemenTar Caro a aluno a com intuito de facilitar o entendimento do Trabalho e o uso dos princípios do trabalho e da energia cinética e da conservação da energia mecânica sugerimos a leitura complementar do livrotexto do professor Hugh D Young Curso de Física Básica vol 01 ed Pearson Education do Brasil capítulos 6 e 7 Livro disponível da Biblioteca Virtual da Pearson Podemos continuar Se precisar de ajuda sinalize o seu tutor 11 cenTro de maSSa Aluno a nessa seção definiremos o centro de massa de um sistema de partículas para podemos deter minar com mais facilidade o movimento de um sistema Centro de massa de um sistema de partículas é definido como o ponto do espaço que conteria toda a massa de um corpo caso esse corpo fosse reduzido a uma única partícula Para facilitar nosso raciocínio primeiro analisaremos um sistema formado por duas partículas na sequên cia iremos estender o resultado para um sistema formado por n partículas e concluiremos analisando o centro de massa de um corpo maciço centro de massa para um Sistema formado por duas partículas A figura 1 mostra duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância d A partícula 1 está localizada na origem do sistema de coordenadas e a partícula dois a uma distância d da origem Definimos o centro de massa CM desse sistema de partícula como 1 Agora vamos supor por exemplo que m2 0 Nesse caso existe apenas uma partícula de massa m1 e o centro de massa deve estar na posição dessa partícula é o que realmente acontece já que a equação se reduz a xCM 0 Se m10 novamente temos uma única partícula de massa m2 e a posição do centro de massa será xCM d ou seja na posição da partícula 2 como deveria ser Se m1 m2 o centro de massa deve estar em um ponto equidistante das duas partícula a equação se reduz a xCM d2 como seria de se esperar Assim se as partículas possuem massas m1 e m2 segundo a equação 1 o centro de massa desse sistema de partícula deve estar entre 0 e d ou seja o centro de massa deve estar em algum lugar entre as duas partículas Outra análise que podemos fazer com relação a figura 1 é sobre a distância do centro de massa das partí culas Se m1 m2 isso significa que o centro de massa do sistema estar na primeira metade do segmento entre as partículas ou seja mais próximo de m1 do que de m2 e viceversa 12 A figura 2 mostra uma situação mais genérica onde a massa m1 está localizada na posição x1 e a massa m2 está localizada na posição x2 separa de m1 pela mesma distância d A posição do centro de massa é agora definida como Observe meu caro a que se fizemos x1 0 x2 ficará igual a d e a equação 2 se reduzirá a equação 1 como seria de se esperar Note também que apesar do deslocamento da origem do sistema de coordena das o centro de massa continua a mesma distância de cada partícula Podemos escrever a equação 2 na forma onde M é a massa total do sistema de partículas No exemplo que estamos estudando M m1 m2 centro de massa para um Sistema formado por n partículas Podemos estender a equação 2 a uma situação ainda mais geral na qual n partículas estão posicionadas ao longo do eixo x Nesse caso a massa total é M m1 m2 mn e a posição do centro de massa é dado por onde o índice i assume todos os valores de 1 a n centro de massa de um sistema de partículas no espaço Se as partículas estão localizadas em um ponto do espaço sistema com três dimensões a posição do centro de massa deve ser especificada por três coordenadas Por analogia da equação 4 as coordenas do centro de massa serão dadas por PaLavraS do ProFeSSor Podemos escrever o centro de massa de um sistema de partícula no espaço usando a notação de vetores Nesse caso a posição da partícula com coordenas xi yi e zi é dada pelo vetor posição Onde o índice identifica a partícula e são os vetores unitários que apontam respectivamente no sentido positivo dos eixos x y e z Analogamente a localização do centro de massa de um sistema de partículas é dada por um vetor posição 13 centro de massa de corpos maciços Um corpo maciço como um a bola de sinuca é formado por um número tão grande de partículas átomos que podemos aproximálo a uma distribuição contínua de massa Cada átomo se torna um elemento infinitesimal de massa e os somatórios da equação 5 se tornam integrais e as coordenas do centro de massa do corpo maciço são dadas através das equações onde M é a massa do objeto Determinar o centro de massa de um objeto real como um carro ou garrafa térmica não é uma tarefa fácil Nesse guia de estudo iremos calcular apenas o centro de massa de objetos homogêneos ou seja objeto que possui massa específica constante A massa específica é a massa por unidade de volume e será representada pela letra grega rô E para facilitar a resolução das integrais da equação 6 pode mos escrever para corpos homogêneos que onde é o volume ocupado por um elemento infinitesimal de massa e é o volume total do objeto Desta forma um elemento de massa pode ser escrito como Assim a equação 6 pode ser reescrita da forma Agora como o elemento de integração é o volume você será capaz de resolver essas integrais a partir da geometria forma do objeto Por exemplo para objetos com simetria cartesiana o elemento de volume e as integrais serão escritas como Guarde eSSa ideia Fique atento a quando o objetivo possui um ponto uma reta ou um plano de simetria o seu centro de massa está no ponto reta ou plano de simetria Por exemplo o centro de massa de uma esfera que possui um ponto de simetria está no centro da esfera que é o ponto de simetria O centro de massa de um cone cujo eixo é uma reta de simetria está sobre esse eixo O centro de massa de uma banana que tem plano de simetria que divide em duas partes iguais está em algum ponto desse plano O centro de massa de um objeto não precisa estar no interior do objeto Não existe massa no centro de uma bola de futebol assim como não existe alumínio no centro de uma rosca de parafuso 14 PraTicando EXEMPLO 5 Cinco pontos materiais de massas m1 2 kg m2 4 kg m3 2 kg m4 1 kg e m5 3 kg estão situadas nas posições indicadas na figura Determine as coordenadas do centro de massa do sis tema constituídos pelos cinco pontos materiais Solução Coordenadas do centro de massa A abscissa do centro de massa é dada por Para a ordenada do centro de massa temos X cm 15 PraTicando EXEMPLO 6 Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura cons tante cujas dimensões estão indicadas na figura SOLUÇÃO Simetria Se um corpo admite um elemento de simetria então o centro de massa do sistema pertence a esse ele mento A placa acima não possui nenhum elemento de simetria mas podemos dividir a placa em dois quadrados ou seja duas figuras com ponto de simetria O primeiro de lado 2a e cujo centro de massa é o ponto A de coordenas a a e o segundo de lado a e de centro de massa B cujas coordenadas são 25 a 05 a Coordenadas do centro de massa Agora que conhecemos as coordenadas do centro de massa de cada quadrado e pela definição de centro de massa podemos concluir que o centro de massa da placa é igual ao centro de massa dos pontos A e B Assim A abscissa do centro de massa da placa toda é dada por Como não conhecemos a massa das placas precisamos fazer uma mudança de variável Já que a placa é homogênea de espessura constante sua densidade superficial de massa é constante ou seja 16 Logo o centro de massa da placa possui as coordenadas 13 a 09 a Exemplo 7 Determine as coordenadas do centro de massa da placa homogênea de espessura constan te de formato triangular conferir figura Solução 17 momenTo Linear e imPuLSo Linear Quando você concluiu a disciplina de Física Geral e Experimental ficou com a impressão de que todos os problemas que envolvem forças podem ser resolvidos utilizando a Segunda Lei de Newton Mas há muitos problemas que não podem ser solucionados pela segunda lei de Newton mesmo envolvendo forças Isso acontece em situações em que você não conhece a função força que atua nos objetos Por exemplo na colisão de um caminhão com um carro ou melhor na colisão de um caminhão com um fusca como determinar a velocidade módulo direção e sentido dos destroços logo após a colisão Num jogo de sinuca o que determina o manejo do taco para que você possa acertar a bola da vez de modo que ela empurre a bola oito para dentro da caçapa Numa explosão como determinar a velocidade e o sentido de cada pedaço da bomba após a explosão você SaBia Você sabia que uma observação comum nas repostas a essas perguntas é que elas envolvem forças sobre as quais pouco se sabe as forças que atuam entre o caminhão e o fusca entre as bolas de sinuca ou sobre a bomba Como veremos nessa unidade é um fato notável que você não precise conhecer nada sobre essas forças para responder a essas perguntas Para resolução desses problemas usaremos dois conceitos novos momento linear e o impulso linear e uma nova lei de conservação a lei da conservação do momento linear Esses novos conceitos nos permitiram resolver muitos problemas de mecânica que se tornariam extremamente difíceis se tentássemos resolver diretamente pela segunda lei de Newton Os principais problemas que poderemos resolver a partir dessa nova lei de conservação são situações que envolvem colisões disparo de arma de fogo e explo sões Nesse material iremos destacar os problemas que envolvem colisões momento linear Ainda na disciplina de Física geral e Experimental reformulamos a segunda lei de Newton para obtermos o teorema do trabalho e energia cinética Esse teorema nos auxiliou na resolução de mui tos problemas de física e nos conduz ao princípio da conservação da energia Vamos retomar à expressão e mostrar uma nova reformulação dessa importante lei da física A segunda lei Newton em relação ao momento linear Se considerarmos uma partícula com uma massa constante a força resultante sobre ela é dada pela equação 18 Como vimos na cinemática a aceleração de um corpo é dada pela equação e assim a segunda lei de Newton pode ser reescrita da forma Como a massa m da partícula é constante podemos colocála dentro dos parênteses Nesse caso a força resultante é igual a derivada temporal do produto da massa pela velocidade vetorial da partícula Esse produto m é denominado momento linear Se usarmos para essa nova grandeza o símbolo teremos Assim podemos afirmar que a força resultante que atua sobre uma partícula é a derivada com relação ao tempo do momento linear da partícula Observe que o momento linear depende da massa quanto maior a massa maior o momento linear e da velocidade vetorial da partícula Assim o momento linear é uma grandeza vetorial possui módulo direção e sentido Frequentemente nos exercícios da cinética escrevemos o momento linear em termos de suas componentes Se a partícula possui componentes de velocidade vx vy e vz então os componentes de momento px py e pz são dados por px mvx py mvy pz mvz No SI as unidades do momento linear são Teorema do impulso Linear 19 Essa equação é denominada de teorema do impulso linear e a integral é denominada de impulso linear Teorema do Impulso Linear O momento linear inicial mais o impulso resultante sobre a partícula em um intervalo de tem po é igual ao momento linear final impulso Linear O impulso linear é uma grandeza vetorial ele possui a mesma direção e o mesmo sentido da força re sultante Seu módulo é igual ao módulo da força resultante multiplicado pelo intervalo de tempo o qual a força resultante atua No SI as unidades de impulso são dadas por ou ou seja o impulso possui as mesmas unidades de momento linear O impulso da força resultante será representado pelo símbolo e está definido da seguinte forma Se a força resultante que atua em uma partícula está sendo representada por meio de um gráfico Fr x t a área sob a curva no intervalo de atuação da força é igual ao módulo do impulso da força resultante ou seja conservação do momento linear O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos Quando temos um sistema de partícula formado por n partículas o momento linear do sistema será dado por 20 Atenção Quando o impulso resultante sobre o sistema de partícula for igual a zero teremos que o momento linear do sistema de partícula é conservado Assim podemos formular o seguinte enunciado Quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema é igual a zero o momento linear total do sistema permanece constante Esse é o enunciado mais simples da conservação do momento linear Matematicamente podemos escre ver Atenção O Impulso resultante das Forças Internas em um sistema de partículas é nulo pois as forças internas são forças de ação e reação Forças internas são forças que surgem devido a interação entre as partículas que formam o sis tema 21 PraTicando EXEMPLO 8 A caixa de 100 kg mostrada na figura está originalmente em repouso sobre a superfície horizontal lisa Se uma força de reboque de 200 N atuando em um ângulo de 45 for aplicada à caixa por 10 s determine a velocidade final e a força normal que a superfície exerce sobre a caixa durante esse intervalo de tempo SOLUÇÃO Esse problema pode ser resolvido a partir da segunda lei de Newton Mas iremos resolver utili zando o princípio do impulso linear visto que é um problema que envolve força velocidade e tempo DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Na figura b podemos observar as forças que atuam no bloco Como a componente y da força de reboque é menor que o peso da caixa não há movimento vertical PRINCÍPIO DO IMPULSO Como o movimento é unidimensional podemos escrever o princípio do impulso na formulação escalar 22 EXEMPLO 9 Por um curto período de tempo a força motriz de atrito que atua sobre os pneus do automóvel de 2500 kg é F 600t² N onde t é dado em segundos Se a van tem velocidade de 18 kmh quando t 0 determine sua velocidade quando t 5 s SOLUÇÃOI Como esse é um problema que envolve força tempo e velocidade então podemos utilizar o princípio do Impulso Linear DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Na figura da direita podemos observar as forças que atuam no carro Na direção vertical o sistema está em equilíbrio ou seja o módulo da força peso é igual ao módulo da força normal Na direção horizontal temos uma força resultante no sentido da esquerda para direita que resulta no movimento do carro PRINCÍPIO DO IMPULSO LINEAR SOLUÇÃO II Esse problema pode ser resolvido com o auxílio da segunda Lei de Newton SEGUNDA LEI DE NEWTON Aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal temos 23 EQUAÇÃO DA CINEMÁTICA SOLUÇÃO Esse é um outro problema que pode ser resolvido utilizando a Segunda Lei de Newton ou pelo princípio do Impulso Linear Mas em ambos os casos é preciso observar que a tração inicial no cabo é menor que a força de atrito estático máximo Isso significa que precisamos em primeiro lugar determinar o instante em que a caixa estará na iminência de entrar em movimento ou seja no instante em que a força de tração é igual a força de atrito estática máxima DIAGRAMA DE CORPO LIVRE Como podemos observar na figura da direita quatro forças atuam sobre a caixa Na vertical o sistema está em equilíbrio ou seja a força peso é igual a força normal Na horizontal precisaremos determinar o tempo a partir do qual a caixa entrará em movimento a partir da equação abaixo 24 PRINCÍPIO DO IMPULSO LINEAR PaLavraS do ProFeSSor Meu estimado a estudante chegamos a mais uma finalização de conteúdo Ainda temos mais dois encontros muito importantes no qual só fará crescer o seu leque de conhecimento Nos encontramos então na próxima unidade Sucesso e bons estudos