Guia de Estudo: Tópicos Integradores I - Unidade IV

UNIDADE IV Tópicos Intregradores I Engenharias 2 Sumário momENTo ANGuLAr 3 CoNSErVAÇÃo Do momENTo ANGuLAr 4 FLuiDoS5 mASSA ESPECÍFiCA E PrESSÃo 6 massa específica 6 Pressão 8 EmPuXo E o PriNCÍPio DE ArQuimEDES 12 Diagrama de corpo livre 14 Fluidodinâmica 14 A EQuAÇÃo DE BErNouLLi 16 1 Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito do Grupo Ser Educacional Edição revisão e diagramação Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD Junior Elias Arcanjo da Silva Tópicos Integradores I Engenharia Unidade 4 Recife Grupo Ser Educacional 2019 Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio 254 Santo Amaro CEP 50100160 Recife PE PABX 81 34134611 2 PArA iNÍCio DE CoNVErSA Olá aluno a Chegamos a quarta unidade da disciplina de tópicos integradores I e desta forma esta mos caminhando para o fim de nossa disciplina Espero que esteja tendo uma experiên cia gratificante com a busca de novos conhecimentos Preparado a para iniciar a última etapa dessa jornada Acredito que sim oriENTAÇõES DA DiSCiPLiNA Bemvindo a ao guia de estudo da quarta unidade da disciplina tópico integradores da sua graduação a distância EAD A finalidade deste guia de estudo é facilitar sua compreensão dos assuntos que compõem esta importante disciplina de seu curso de graduação Iniciaremos esta unidade com o estudo do momento ângulo e apresentaremos a con dição para a conservação do momento angular Se você julgar necessário antes de começar a leitura deste guia faça uma pequena revisão de torque no guia de estudo da unidade III Nesta unidade também iniciaremos o estudo da mecânica dos fluidos definiremos ini cialmente os conceitos de massa específica e pressão que são fundamentais para a análise dos fluidos Na hidrostática mostraremos como calcular a pressão exercida por líquidos em repouso e apresentaremos o princípio de pascal e o princípio do empuxo Por fim iniciaremos o estudo da hidrodinâmica para a apresentação das equações da continuidade e a equação de Bernoulli Lembrese Após o término de cada unidade realize as atividades avaliativas que estão disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Caso tenha alguma dúvida consulte o seu tutor Ele está à sua disposição para ajudálo a no que for necessário Vamos começar Bons estudos 3 momENTo ANGuLAr Meu caro a de acordo com o que foi estudado do movimento de rotação e dos corpos rígidos observa mos que para todas as grandezas que descrevem o movimento retilíneo sempre há uma grandeza angular análoga No caso do momento angular este raciocínio não é diferente Vamos partir da definição do torque realizado por uma força O termo entre parênteses na equação anterior é chamado de momento angular dado no Sistema Interna cional de Unidades SI em kg m²s e designado por 4 Assim podemos escrever que também é conhecida como a segunda lei de Newton para rotações O torque apresentado na equação da segunda lei de Newton representa o torque resultante Observe a similaridade desta equação com a segunda lei de Newton para o estudo do movimento de translação PALAVrAS Do ProFESSor FiQuE ATENTo A aplicação de um torque externo sobre o sistema altera tanto a aceleração angu lar quanto o momento angular Entretanto há situações em que não há aplicação de torques externos ou a soma é nula Nestes casos temos a conservação do momento angular conforme veremos na próxima seção CoNSErVAÇÃo Do momENTo ANGuLAr 5 Essa equação representa a conservação do momento angular cujo resultado é obtido apenas na ausência de torques externos A equação da conservação do momento angular pode ser escrita em termos do momento de inércia e da velocidade angular ou seja indicamos que a velocidade angular muda quando alteramos o momento de inércia de um sistema Ima gine o seguinte experimento um homem está sobre um banco giratório segurando dois halteres e inicia uma rotação com velocidade angular constante Faça este teste Se você não tem halteres disponíveis realize este experimento apenas abrindo e fechan do os braços Caso queira use pesos similares como garrafas com água FLuiDoS PALAVrAS Do ProFESSor Meu caro a nas unidades anteriores estudamos a cinética e a cinemática dos corpos rígidos que repre senta uma idealização de corpos sólidos Nessa quarta unidade vamos estudas a mecânica dos fluidos que compreendem tanto líquidos como gases Um corpo sólido tem geralmente volume constante e forma bem definida que sofre pequenas deforma ções quando estão sob ação de forças externas Um líquido tem volume constante mas a forma do líquido amoldase ao recipiente que o contém Já um gás não possui nem volume nem forma constante Quando em um recipiente o gás expandese ocupando todo o volume do recipiente ou seja o volume do gás não é constante é sempre igual ao volume do recipiente que o contém Os líquidos e os gases têm em comum devido sua facilidade de deformação a propriedade de poderem se escoar ou fluir facilmente conceden dolhes o nome de fluidos A diferença fundamental entre os sólidos e os fluidos está na forma de responder a forças tangenciais à sua superfície Um sólido sob ação de uma força tangencial a sua superfície deformase até que se jam produzidas tensões tangenciais internas que equilibrem as forças externas depois permanecem em equilíbrio ou seja em repouso Se a força externa não for suficientemente grande o sólido sofrerá uma deformação elástica ou seja quando a força for retirada o corpo voltará a forma inicial As deformações elásticas são geralmente muito pequenas em comparação com as dimensões do corpo sólido 6 O fluído por outro lado não consegue equilibrar as forças tangenciais as superfícies por menores que sejam Quando uma força tangencial é aplicada a um líquido ele se escoa permanecendo em movimento até que a força seja retirada mASSA ESPECÍFiCA E PrESSÃo Na análise da mecânica dos corpos rígidos nossa atenção estava na massa dos corpos e nas forças sobre eles Já no estudo da mecânica dos fluidos onde não temos uma forma definida é mais útil falar em massa específica e pressão do que em massa e força Caro a aluno a gostaria de deixar registrado que embora seja útil desenvolver uma formulação especial das Leis de Newton para os fluídos não é necessário introduzir nenhum novo princípio fundamental massa específica Definimos a massa específica ou densidade de um fluido como 7 VoCê SABiA Você sabia que os sólidos e os líquidos possuem baixo coeficiente de expansão com o aumento da tem peratura quando comparado com os gases Pois é além disso contraem muito pouco quando submetidos ao aumento da pressão externa Isso é válido para a grande maioria desses estados da matéria Como a variação do volume é desprezível mediante essas condições tratamos a massa específica dessas subs tâncias como independentes da temperatura e da pressão Por outro lado a massa específica de um gás depende fortemente desses parâmetros portanto a temperatura e a pressão devem ser sempre informa das quando tratarmos a massa específica de um gás Por convenção estabelecemos 0 C e a pressão atmosférica ao nível do mar como as medidas normais de temperatura e pressão configurando a Condição Normal de Temperatura e Pressão CNTP A substância com maior densidade encontrada na superfície terrestre é o ósmio Contudo substâncias que formam as estrelas de nêutrons e as estrelas nomeadas anãs brancas possuem densidade ainda maior EXEmPLo 1 Calcule a massa e o peso do Ar no interior de uma sala que tem altura de 30 m com a área do piso de 40 50 m Em seguida calcule também a massa e o peso de água para o mesmo volume e compare os valores obtidos 8 Solução Com esses dados podemos calcular o volume do ambiente utilizando a equação para o cálculo do volume de um paralelepípedo V abc onde a b e são as arestas desse paralelepípedo Considerando que a 30 m e b 40 m e c 50 m temos isso indica que o peso de uma quantidade de água que ocupa 60 m³ é aproximadamente 833 vezes maior que o peso de uma quantidade de Ar que ocupa o mesmo volume Pressão Meu caro a quando o fluido está contido em um recipiente ele exerce uma força nas paredes deste invólucro Caso haja algum corpo imerso no fluido este também sofrerá a ação desta força O fluido mes mo em repouso tem suas moléculas interagindo e se movimentando microscopicamente Imagine uma pequena placa imersa em um fluido Essa placa sofreria uma força originada pelas moléculas do fluido em toda a sua área Conforme descrito pela Figura 1 dividimos esta placa em pequenos elementos de área e definimos a pressão de um fluido sobre um corpo como o elemento de força exercida sobre o elemento de área do corpo em que p é dado em Nm² Essa unidade é definida como Pascal Pa 1 Pa 1 Nm2 9 Se a pressão exercida pelo fluido é constante ao longo de todo o corpo Além do Pascal utilizamos outras unidades de medida para pressão Uma delas é a atmosfera atm A atmosfera é uma unidade de referência aplicada para caracterizar a pressão atmosférica ao nível do mar que vale 1 atm Em Pascal uma atmosfera é igual a 1013 105 Pa GuArDE ESSA iDEiA É importante saber que em um fluido com distribuição uniforme de massa ou seja em um fluido em que sua densidade é constante a pressão variará de acordo com a profundidade em que se considere esse fluido Isso significa que em um recipiente contendo um fluido quanto mais próximo estiver do fundo deste recipiente maior será a pressão Para verificar esta situação vamos analisar a Figura 2 Nela observamos uma coluna de água na forma cilíndrica de área A e altura Para suportar o peso do líquido em condição de equilíbrio a pressão na base da coluna deve ser maior que a pressão no topo da coluna O peso da coluna é 10 que é diretamente proporcional à altura A equação 4 é válida apenas para constante O resultado de que a pressão de um fluido varia linearmente com a profundidade é válido para um líqui do em qualquer recipiente e a pressão é sempre a mesma em qualquer ponto de mesma profundidade Essas condições estabelecem as propriedades necessárias para enunciar a lei de Pascal uma variação de pressão aplicada em um fluido confinado é transmitida sem redução a todos os pontos e às paredes do recipiente EXEmPLo 2 Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato por meio de um tubo de ligação com um êmbolo maior de seção reta A figura abaixo a Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio b Se os diâmetros dos êmbolos são 40 cm e 320 cm qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 6400 N aplicada ao êmbolo maior 11 Solução a Nesse problema temos uma prensa hidráulica cujo princípio de funcionamento é explicado pelo princí pio de Pascal Quando uma força é aplicada ao embolo a uma pressão P é exercida uniformemente em todos os pontos do fluido Considerando a área da seção reta do embolo como A1 podemos escrever que Considerando o embolo A tem área A2 e está submetido a mesma pressão que no embola a podemos escrever Igualando as duas equações acima seremos capazes de determinar a força exercida em um dos êmbo los para equilibrar a força do outro embolo ou seja Assim a força F que deve ser aplicada ao êmbolo maior para equilibrar a força f aplicada ao êmbolo me nor é Sendo A2 A1 temos que a força sobre o êmbolo A será maior que a força sobre o embolo a E é assim que funciona os macacos hidráulicos b Vamos determinar o valor da força força essa aplicada ao menor êmbolo para equilibrar a força aplicada ao maior embolo de intensidade 6400 N Observe que a força aplicada no embolo menor para equilibrar a força sobre o embolo menor é 64 vezes menor 12 EXEmPLo 3 O tubo em forma de U da figura abaixo contém dois líquidos em equilíbrio estático no lado direito existe água de massa específica ρa 998 kgm³ e no lado esquerdo existe óleo de massa específica desconhecida ρx Os valores das distâncias indicadas na figura são Qual é a massa específica do óleo Solução A pressão no interior de um líquido é diretamente proporcional a profundidade logo dois pontos que estão a mesma profundidade em um mesmo líquido estão submetidos a mesma pressão Assim para determinar a densidade do óleo podemos escolher dois pontos a uma mesma profundidade e no mesmo líquido pois estarão sob a mesma pressão Para o nosso objetivo escolheremos o ponto na interface água óleo cuja pressão depende apenas da pressa atmosférica e da pressão devido a coluna de óleo e um ponto no lado direito com a mesma profundidade que está submetido a mesma pressão do lado esquerdo mas que sua pressão só depende da pressão atmosférica e da pressão da coluna de água Matematicamente podemos escrever Páguaóleo Págua Eliminando a pressão atmosférica e a gravidade que é comum nos dois lados da equação temos EmPuXo E o PriNCÍPio DE ArQuimEDES Pela experiência do cotidiano você já observou eou experimentou o fenômeno do empuxo Durante o banho em uma banheira ou uma piscina observamos que o volume de água aumenta quando entramos e diminui quando saímos Durante nossa permanência na banheira ou na piscina sentimos também uma sensação de leveza isto é temos a impressão de que nosso corpo está aparentemente mais leve Essa impressão é causada porque o líquido em que você está submerso oferece uma resistência para não deixar você afundar Essa resistência é chamada de empuxo Quando um corpo é imerso em um líquido o peso é parcialmente ou totalmente compensado por uma força de empuxo 13 Quando mergulhamos um material com massa específica menor que a massa específica do líquido ob servamos que ao liberarmos o corpo ele é acelerado em direção à superfície do fluido Esse resultado evidencia claramente a existência desta força A intensidade da força de empuxo é igual ao peso da quan tidade de fluido deslocado quando o corpo é imerso Essa afirmação enuncia o princípio de Arquimedes um corpo total ou parcialmente mergulhado sofre uma força de empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido por ele deslocado Podemos representar o princípio de Arquimedes por meio de uma equação matemática da forma O volume do fluido deslocado é igual ao volume imerso do corpo mergulhado no fluido Dessa forma po demos reescrever a força de empuxo como EXEmPLo 5 Na figura abaixo um cubo de aresta L 0600 m e 450 kg de massa é suspenso por uma corda em um tanque aberto que contém um líquido de massa específica 1030 kgm3 Determine a tração da corda Considere g 10 ms² Solução Exemplo 4 Como o bloco está em equilíbrio podemos afirmar que a força resultante sobre ele é zero Para facilitar a resolução do exercício vamos desenhar o diagrama de corpo livre do bloco Para isso devemos isolar o bloco e identificar todas as forças que estão atuando no bloco 14 Diagrama de corpo livre A força T é a força de tração orientada de cima para baixo a força P é a força peso P mg e a força E é a força de empuxo E µfVig Aplicando a condição de equilíbrio Fr 0 T P E 0 T P E T mg µfVig T 65010 103006³10 T 4275 2N Fluidodinâmica Até o momento estudamos os fluidos estáticos e suas propriedades Neste tópico utilizaremos esses conceitos para estudar a fluidodinâmica a física dos fluidos em movimento Podemos notar o escoamento de um fluido observando a fumaça de uma fogueira ou as correntezas de um rio Porém esses casos são tão complexos que vamos deixálos de lado e estudar modelos simplificados que consideram um fluido com distribuição uniforme de massa densidade constante e desconsideram a existência de forças não conservativas como o atrito Além disso a partir do momento em que assumi mos constante a densidade de um fluido estamos considerandoo um fluido incompressível Os líquidos em primeira aproximação são quase sempre tratados como fluidos incompressíveis Na fluidodinâmica as partículas de um fluido possuem a capacidade de sofrer um deslocamento no espa ço e o movimento coletivo dessas partículas é chamado de escoamento Assim antes de estudar a dinâ mica de um fluido precisamos estabelecer qual o tipo de escoamento que aquele fluido sofrerá Dentre os principais temos o escoamento laminar e o escoamento turbulento O escoamento laminar ocorre quando as partículas de um fluido estão escoando por uma trajetória bem definida por exemplo em um tubo No escoamento turbulento as partículas do fluido não se movem ao longo de trajetórias bem definidas Isso significa que as partículas descrevem trajetórias irregulares movimento aleatório como em uma correnteza de um rio ou na fumaça liberada por um cigarro aceso 15 Para investigar a dinâmica dos fluidos observe a Figura 3a que mostra um tubo cheio de fluido com um afunilamento As seções retas da esquerda e da direita possuem áreas A1 e A2 respectivamente em que A1 A2 Suponha que o fluido escoa sem turbulência da esquerda para direita em que a área sombreada representa uma porção do fluido com massa m1 que atravessou a área A1 no intervalo de tempo t Considerando que a massa específica do fluido é ρ1 e a velocidade com a qual m1 atravessou A1 é v1 podemos escrever que m1 da seguinte m1 ρ1V ρ1 A1 x em que x é o comprimento da coluna cilíndrica que pode ser expressa em função da velocidade v1 Le vandose em conta que a massa m1 escoa em velocidade constante x v1t Assim m1 ρ1 A1 v1 t O termo ρ1 A1 v1 é chamado de vazão mássica do fluido Im1 ρ1 A1 v1 que é dada em kgs e representa quantidade de fluido que atravessa a seção reta por unidade de tempo Similarmente podemos escrever que a quantidade de massa m2 que atravessa a área A2 é dada por m2 ρ2A2v2t em que a vazão mássica é dada por Im2 ρ2A2v2 A diferença entre as duas vazões mássicas é igual à taxa de variação de massa acumulada na região delimitada entre as áreas A1 e A2 que é chamada de equação da continuidade Quando as vazões mássicas são iguais temos um escoamen to estacionário Isso significa que em determinado instante de tempo t a quantidade de massa que entra pela área A1 é a mesma quantidade de massa que sai pela área A2 Assim 0 e Im1 Im2 Para um fluido incompressível temos ρ1 ρ2 e a equação acima fica escrita como A1v1 A2v2 em que os termos Av são chamados de vazão volumétrica dada em m3s e representam a quantidade de volume de massa que atravessa uma seção reta de área A por unidade de tempo 16 Pela equação A1v1 A2v2 podemos escrever a velocidade v2 como Como A1 A2 temos que Em consequência direta deste resultado observamos que a velocidade do fluido no lado direito região afunilada é maior que a velocidade do fluido na região da esquerda A EQuAÇÃo DE BErNouLLi A equação de Bernoulli meu caro a aluno a é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo e relaciona a pressão a altura e a velocidade com a qual um fluido escoa Para utilizar esta equação no estudo da fluidodinâmica precisamos considerar algumas simplificações no modelo Esta equação considera que o fluido tenha viscosidade nula e apresente um escoamento estacionário Durante o escoamento estacionário as partículas do fluido se movem por meio de linhas de corrente que são caminhos retilíneos ou levemente curvos Em todas as situações as linhas nunca se cruzam o que caracteriza um escoamento laminar Podemos deduzir a equação de Bernoulli aplicando a segunda lei de Newton para a situação ilustrada na Figura 4 Nesta figura temos uma pequena quantidade de massa m pertencente ao fluido e que se desloca ao longo de uma linha de corrente de uma região de maior pressão para uma região de menor pressão Isso ocorre porque na região de menor pressão a força aplicada sobre a seção reta do corpo é menor que a força aplicada na região de maior pressão Assim o corpo sofre um deslocamento da esquerda para direita Pela segunda lei de Newton em que m ρV ρAl e F é a força resultante aplicada sobre o corpo F PA P PA AP tal que o sinal negativo indica uma redução da pressão Assim A P 17 Para uma variação uniforme de pressão podemos dizer que uma variação P está para um comprimento l assim como uma variação dP está para um comprimento dx que usaremos para escrever a equação diferencial separável em que Integrando ambos os lados da equação com os limitantes apropriados e considerando a densidade do fluido constante obtemos a expressão geral para a equação de Bernoulli que descreve o escoamento de uma linha de corrente horizontal No caso de uma linha de corrente não horizontal a equação deve ser reescrita como em que a diferença representa a altura da linha de corrente considerada A equação de Bernoulli mostra que a pressão de um fluido em movimento possui três contribuições A pri meira contribuição P é uma pressão inicial exercida naturalmente pelo sistema ou causada por um agente externo O segundo termo referese à pressão exercida pela altura da coluna de fluido considerada conforme estudamos no princípio de Pascal e o terceiro termo é a pressão exercida pelo movimento do fluido EXEmPLo 6 Um cano horizontal de calibre variável ver figura cuja seção reta muda de A1 12 x 103 m² para A2 A12 condiz um fluxo de etanol de massa específica ρ 719 kgm³ A diferença de pressão entre a parte larga e a parte estreita do cano é 4120 Pa Qual é a vazão RV de etano 18 Solução Vazão Nosso problema é determinar a vazão do fluido A vazão é dada pelo produto da velocidade do fluido em uma dada seção transversal pela área dessa seção ou seja Como não conhecemos a velocidade do fluido usaremos a equação de Bernoulli para nos auxiliar na resolução do problema Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli representa a equação da conservação de energia na mecânica dos fluidos Mate maticamente é dada por Como podemos observar h1h2 assim a equação acima por ser escrita na forma E como o escoamento de Fluidos Ideais obedece à equação da continuidade podemos escrever Substituindo as equações acima na equação de Bernoulli temos Isolando a vazão temos PALAVrAS Do ProFESSor Então meu querido estudante chegamos ao final de sua disciplina de Tópicos Integra dores I Engenharia Espero que tenha aproveitado cada página de informações aqui apresentada para seu crescimento acadêmico Desejo sucesso e quem sabe nos encontraremos em outra oportunidade Caso precise de ajuda fale com seu tutor ainda dá tempo de tirar algumas dúvidas