Realizar as Duas Atividades

UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINOAMERICANA CURSO SAÚDE COLETIVA DISCIPLINA BIOESTATÍSTICA Prof Adilson Ricken Schuelter Estudante Data Observação Esta atividade tem Peso 2 um sendo que cada questão tem o mesmo valor As questões devem ser respondidas em ordem ou seja da primeira até a última questão A resposta das questões teóricas deve ser escrita a caneta A entrega deverá ocorrer no dia 2809 no horário de aula ATIVIDADE AVALIATIVA 2 1 Jogase uma vez um dado não viciado e pretende saber a probabilidade de obter a Um seis b Um número par c Um três e cinco d Um número menor que quatro 2 Um médico verificou que de 2964 nascidos vivos 73 tinham alguma deficiência ou doença séria Com base nessa amostra qual seria a estimativa da probabilidade de um recémnascido ter deficiência ou doença séria 3 Foi feito um estudo de casocontrole com pacientes hospitalizados 6028 casos e 13049 controles para determinar os fatores de risco de câncer do pulmão Os dados apresentados na tabela a seguir foram obtidos para saber se o risco de câncer do pulmão aumenta com o número de cigarros fumados por dia Qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso dessa amostra fumar um maço de cigarros 20 cigarros ou mais por dia Tabela 1 Distribuição de casos e controles segundo o número de cigarros fumados por dia 4 Há 50 bolas em uma urna distribuídas como segue Azul 20 vermelho 15 laranja 10 e verde 5 Pedese a Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes com a reposição das bolas na urna b Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes sem a reposição das bolas na urna c Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes considerando que após o sorteio da segunda bola não será feita a reposição da bola na urna 5 Numa amostra de 72 pacientes em um hospital 14 acusam pressão arterial elevada a Estime a probabilidade de outro paciente quando examinado também acusar pressão alta b Qual é a chance de ele não ter pressão alta 6 Considerando que a probabilidade fixação de um embrião na parede do útero seja de 475 Se forem implantados quatro embriões qual será a probabilidade de que todos os três tenham êxito considerando evento independentes 7 De uma classe com 60 alunos dos quais 14 são meninos um aluno é escolhido ao acaso para apresentar um trabalho Qual é a probabilidade de a O aluno escolhido ser um menino c O aluno escolhido ser uma menina 8 Um casal tem dois filhos Pedese Qual é a probabilidade de a O filho mais velho seja homem b Os dois filhos serem homens c Pelo menos um filho ser homem 9 Em uma família com quatro filho filhos qual é a probabilidade de três serem homens 10 Foi feito um estudo de casocontrole 280 casos e 295 controles para determinar os fatores de risco para infarto do miocárdio Os dados da tabela abaixo foram obtidos para saber se indivíduos diabéticos apresentam maior risco de infarto do miocárdio Tabela 2 Distribuição dos casos de infarto e controles segundo a presença ou não de diabetes Diabéticos Infartados Total Casos Controle Sim 50 25 75 Não 230 270 500 Total 280 295 575 Pedese Qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso dessa amostra ser ou diabética ou infartada 11 Suponha que uma gaiola contém 08 camundongos quatro de cada sexo Considere agora que é retirado ao acaso um camundongo de cada vez para ser submetido a um teste Finalizando o mesmo o animal é reintroduzido na gaiola Pedese a Qual é a probabilidade de retirar uma fêmea duas vezes b Qual é a probabilidade de selecionar duas vezes o mesmo camundongo seja ele macho ou fêmea 12 Considere os dados do quadro abaixo que mostra 12 indivíduos classificados quanto às variáveis obesidade A e sedentarismo B Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Obesidade S N S S S N S N S N N S Sedentarismo S S N S S S S N S S S S Pedese a Qual é a probabilidade do indivíduo ser obeso b Qual é a probabilidade do indivíduo ser obeso e sedentário 13 Para o diagnóstico de hipertensão arterial na população utilizase frequentemente o seguinte critério pressão arterial sistólica PAS maior que 140 mm Hg pressão arterial diastólica PAD maior que 90 mm Hg ou ambas Dessa forma considerando o evento A PAS 140 mm Hg e o evento B PAD 90 mm Hg com as seguintes probabilidades PA 012 PB 009 e PA Ω B 009 Pedese Qual é a probabilidade de diagnosticar um indivíduo hipertenso 14 O Distúrbio de Hiperatividade com Déficit de Atenção DHDA é uma desordem que afeta entre 3 e 10 das crianças em idade escolar Dessa forma assumindo que essa probabilidade seja 65 estime a A probabilidade de que entre duas crianças em idade escolar escolhidas ao acaso ambas apresentem DHDA b Uma criança escolhida ao acaso não apresente DHDA c Duas crianças escolhidas ao acaso não apresentem DHDA d Em duas crianças escolhidas ao acaso uma apresente DHDA e No caso anterior pelo menos uma apresente DHDA 15 Levando em consideração os dados da questão anterior questão 7 imagine que em um dia de consultas um neurologista tem na sua agenda 10 pacientes dos quais 2 possuem DHDA Calcular a probabilidade de a O primeiro paciente apresentar o distúrbio b O segundo paciente ter DHDA dado que o primeiro não tinha c O terceiro paciente não ter DHDA dado que os dois primeiros tinham 16 Em um hospital apresenta 352 pacientes internados dos quais a grande maioria apresenta sintomas relacionadas à doenças respiratórias tais como 100 tem tosse 130 tem dor de garganta 140 tem febre 25 tem tosse e dor de garganta 30 tem tosse e febre 60 tem dor de garganta e coriza 10 tem tosse dor de garganta e febre Pedese a Qual é a probabilidade de ter pacientes que não apresentam doença respiratória b Qual é a probabilidade de ter pacientes com COVID que apresentam como sintomas típicos a ocorrência de febre tosse e dor de garganta 17 Sabendo que o DHDA ocorre cerca de 8 vezes mais em crianças do sexo masculino e considerando que 65 das crianças em idade escolar apresentam este distúrbio Pedese a Qual a prevalência do DHDA no sexo feminino b Qual é a prevalência no sexo masculino c Qual a seria o número de crianças do sexo feminino e masculino de uma população de 1000 crianças 18 Em uma empresa que fabrica seringas 01 das seringas produzidas possuem algum defeito Qual é a probabilidade de ao selecionar 3 seringas no máximo uma seringa possuir algum defeito 19 Para detectar a presença do vírus Z no organismo é efetuado o teste X Sabese que o vírus Z está presente em 01 da população enquanto o teste X acusa em 98 dos casos de pessoas com o vírus e em 4 dos casos em pessoas sadias Considerando essas informações pedese Qual é a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vírus Z 20 Levando em consideração que duas empresas são responsáveis pela fabricação de pneus a serem utilizados no estado do Paraná A Empresa 1 que representa 60 do mercado de pneus dá garantia de que 95 dos casos terá uma durabilidade de 50 mil Já a empresa concorrente a garantia é de 90 dos casos considerando os mesmos 50 mil quilômetros Pedese Qual é a probabilidade de que o pneu comprado de uma dessas empresas irá funcionar mais de 50 mil quilômetros UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINOAMERICANA CURSO SAÚDE COLETIVA DISCIPLINA BIOESTATÍSTICA II Prof Adilson Ricken Schuelter Estudante Data Observação Esta atividade tem Peso 1 um sendo que cada questão tem o mesmo valor As questões devem ser respondidas em ordem ou seja da primeira até a última questão A resposta das questões teóricas deve ser escrita a caneta A entrega deverá ocorrer no dia 0310 no horário de aula ATIVIDADE AVALIATIVA 3 1 Considerando que uma moeda justa seja lançada 7 vezes qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras pela função de probabilidade da distribuição binomial 2 Considerando que um centro de atendimento receba em média 6 chamadas por hora qual é a probabilidade de receber exatamente 5 chamadas em uma hora pela função de probabilidade da distribuição de Poisson 3 A quantidade de colesterol em 100 ml de plasma sanguíneo humano tem distribuição normal com média 200 mg e desvio padrão de 20 mg Qual é a probabilidade de uma pessoa apresentar entre 180 e 220 mg de colesterol100 ml de plasma 4 A quantidade de colesterol em 100 ml de plasma sanguíneo humano tem distribuição aproximadamente normal com média 200 mg e desvio padrão de 20 mg Qual é a probabilidade de uma pessoa apresentar mais do que 230 mg de colesterol100 ml de plasma 5 Uma amostra de 5000 homens sadios com idade variando entre 50 e 60 anos não fumantes e que tinham atividade física regular forneceu em repouso dados de pressão diastólica A média foi de 820 mmHg e o desvio padrão de 80 mmHg Esses valores estimam a média μ e o desvio padrão σ parâmetros da população da qual essa amostra proveio Pedese a Quais são os valores que delimitam 68 dos dados em torno da média b Quais são os valores que delimitam 95 dos dados em torno da média c Quais são os valores que delimitam 99 dos dados em torno da média 6 Com o objetivo de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea um químico analista acrescentou certo ingrediente à fórmula original que acusava um tempo médio de 40 minutos e variância de 30 Pela avaliação de 49 observações com a nova fórmula obtevese um tempo médio de 25 minutos admitindose que a variável apresenta distribuição do tempo aproximadamente normal Dessa forma temse o interesse de testar a hipótese Ho e concluir para nível de significância de 5 7 Uma máquina está regulada para produzir peças com espessura média de 5 cm e desvio padrão 04 cm Uma amostra de 10 peças apresentou espessura média de 52 cm Admitindo que a espessura das peças tem distribuição aproximadamente normal testar a hipótese H0 que a máquina está trabalhando adequadamente adotando α 1 8 Uma amostra de 10 elementos extraída de uma população com distribuição normal forneceu os seguintes dados 34 32 34 28 31 29 30 32 35 37 Podese concluir ao nível de 1 de probabilidade α 1 que a média da população não difere de 3 9 Para verificar se o teor de gordura em duas marcas comerciais de leite pasteurizado semidesnatado tem a mesma variabilidade um nutricionista tomou uma amostra de 10 unidades de cada marca em diversos supermercados Podese concluir ao nível de 5 de probabilidade α 5 que ambas as marcas apresentam o mesmo teor de gordura Pedese a As variâncias para o teor de gordura do leite das marcas A e B são homocedásticas Formule o teste de hipóteses calcule as variâncias calcule o valor de F e compare o valor de F calculado com o F tabelado a 5 de probabilidade tirando as conclusões b Aplique o teste t para comparar as médias conforme os resultados obtidos no teste F variâncias homocedasticas ou heterocedásticas 10 Para comparar o tempo para aliviar a dor de duas terapias Métodos A e B usadas após tratamento ortodôntico um ortodontista separou ao acaso um conjunto de pacientes em dois grupos um grupo foi submetido ao método A enquanto o outro foi submetido ao método B O tempo para o alívio da dor em minutos para cada participante da pesquisa encontrase abaixo Marca A 11 15 16 17 18 14 16 14 13 16 Marca B 29 21 24 2 22 25 28 28 21 22 Método A 80 77 83 85 84 86 76 81 84 74 Método B 100 112 95 107 113 130 90 115 100 128 Podese concluir ao nível de 5 de probabilidade α 5 que ambos os métodos apresentam o mesmo tempo de alívio para a dor Pedese a As variâncias para o tempo de alívio da dor são homocedásticas Formule o teste de hipóteses calcule as variâncias calcule o valor de F e compare o valor de F calculado com o F tabelado tirando as conclusões b Aplique o teste t para comparar as médias conforme os resultados obtidos no teste F variâncias homocedasticas ou heterocedásticas 11 Para verificar se dois bloqueadores de tosse têm efeitos diferentes sobre o tempo de sono foi feito um ensaio com dez voluntários Na primeira noite eles tomaram um dos antitussígenos selecionado ao acaso para cada pessoa Na segunda noite tomaram o outro Foi registrado o tempo de sono de cada voluntário nas duas noites consecutivas Medicamento 1 6 5 7 8 6 5 6 7 5 6 Medicamento 2 7 8 5 6 8 5 6 8 6 6 Pedese Compare as médias de tempo de sono obtidas com cada antitussígeno considerando nível de significância de 5 12 Uma amostra de 50 homens sadios com idade variando entre 50 e 60 anos não fumantes e que tinham atividade física regular forneceu em repouso dados de pressão diastólica A média foi de 820 mmHg e o desvio padrão de 80 mmHg Pedese Calcule o intervalo de 95 de confiança para a média Calcular o coeficiente binomial Agora calculamos o coeficiente binomial 7 sobre 3 7 sobre 3 7 373 7 34 Calculando os fatoriais 7 7 x 6 x 5 x 4 5040 3 3 x 2 x 1 6 4 24 Substituindo 7 sobre 3 5040 6 x 24 5040 144 35 Calcular a probabilidade Agora podemos substituir os valores na fórmula da distribuição binomial PX3 7 sobre 3053 10573 PX3 35 x 053 x 054 Como 053 x 054 057 temos PX3 35 x 057 Sabendo que 057 1128 então PX3 35 x 1128 35128 Portanto a probabilidade de obter exatamente 3 caras em 7 lançamentos de uma moeda justa é PX3 35128 02734 A probabilidade é aproximadamente 2734 Uma amostra de 10 elementos extraída de uma população com distribuição normal forneceu os seguintes dados 34 32 34 28 31 29 30 32 35 37 Podese concluir ao nível de 1 de probabilidade alpha 1 que a média da população não difere de 3 Resolução Vamos realizar um teste de hipótese sobre a média As hipóteses são H0 mu 3 a média da população é 3 H1 mu 3 a média da população difere de 3 Temos os seguintes dados amostrais 34323428312930323537 Calculando a média e o desvio padrão da amostra A média amostral x barra é dada por x barra 3432342831293032353710 32210 322 Agora calculamos o desvio padrão amostral s s raiz quadrada de soma de xi x barra2 n1 Calculando os desvios ao quadrado para cada elemento da amostra 34 3222 00316 32 3222 00004 34 3222 00316 28 3222 01764 31 3222 00144 29 3222 01024 30 3222 00484 32 3222 00004 35 3222 00784 37 3222 02304 2 Considerando que um centro de atendimento receba em media 6 chamadas por hora qual e a probabilidade de receber exatamente 5 chamadas em uma hora pela funcao de probabilidade da distribuicao de Poisson Resolucao A formula para calcular a probabilidade na distribuicao de Poisson e dada por PX k λkeλ k Onde λ e a media de ocorrˆencias em um intervalo de tempo neste caso o numero medio de chamadas por hora k e o numero de ocorrˆencias que desejamos calcular neste caso o numero exato de chamadas Definir os valores Neste problema temos λ 6 o centro de atendimento recebe em media 6 chamadas por hora k 5 queremos saber a probabilidade de receber exatamente 5 chamadas em uma hora Aplicar os valores na formula Substituindo os valores de λ e k na formula de Poisson PX 5 65e6 5 Calculando os termos 65 7776 e6 0002478 5 5 4 3 2 1 120 Agora substituımos esses valores PX 5 7776 0002478 120 Multiplicando 3 PX 5 19255 120 01605 Portanto a probabilidade de o centro de atendimento receber exatamente 5 chamadas em uma hora e aproximadamente PX 5 01605 A probabilidade e aproximadamente 1605 4 3 A quantidade de colesterol em 100 ml de plasma sanguıneo humano tem dis tribuicao normal com media 200 mg e desvio padrao de 20 mg Qual e a prob abilidade de uma pessoa apresentar entre 180 e 220 mg de colesterol100 ml de plasma Resolucao Sabemos que a distribuicao do colesterol segue uma distribuicao normal e para resolver o problema podemos utilizar a padronizacao que transforma a variavel em uma distribuicao normal padrao Z A formula de padronizacao e Z X µ σ Onde X e o valor da variavel de interesse neste caso os valores 180 mg e 220 mg µ 200 mg e a media da distribuicao σ 20 mg e o desvio padrao da distribuicao Calculando os valores padronizados para 180 mg e 220 mg Primeiro padronizamos o valor 180 mg Z180 180 200 20 20 20 1 Agora padronizamos o valor 220 mg Z220 220 200 20 20 20 1 Calculando a probabilidade para a faixa entre Z 1 e Z 1 Agora precisamos encontrar a probabilidade de Z estar entre 1 e 1 na dis tribuicao normal padrao Pela tabela da distribuicao normal padrao sabemos que PZ 1 08413 PZ 1 01587 A probabilidade de Z estar entre 1 e 1 e P1 Z 1 PZ 1 PZ 1 5 Substituindo os valores P1 Z 1 08413 01587 06826 Portanto a probabilidade de uma pessoa apresentar entre 180 mg e 220 mg de colesterol em 100 ml de plasma e aproximadamente P180 X 220 06826 A probabilidade e aproximadamente 6826 6 4 A quantidade de colesterol em 100 ml de plasma sanguıneo humano tem dis tribuicao aproximadamente normal com media 200 mg e desvio padrao de 20 mg Qual e a probabilidade de uma pessoa apresentar mais do que 230 mg de colesterol100 ml de plasma Resolucao Novamente como a distribuicao do colesterol segue uma distribuicao normal utilizamos a formula de padronizacao para calcular a probabilidade de um valor ser maior que um determinado ponto A formula de padronizacao e Z X µ σ Onde X 230 mg e o valor de interesse o limite superior µ 200 mg e a media da distribuicao σ 20 mg e o desvio padrao da distribuicao Calcular o valor padronizado para 230 mg Aplicamos a formula de padronizacao Z230 230 200 20 30 20 15 Calcular a probabilidade de Z 15 Agora precisamos encontrar a probabilidade de Z ser maior que 15 Pela tabela da distribuicao normal padrao sabemos que PZ 15 09332 A probabilidade de Z ser maior que 15 e PZ 15 1 PZ 15 Substituindo os valores PZ 15 1 09332 00668 Portanto a probabilidade de uma pessoa apresentar mais do que 230 mg de colesterol em 100 ml de plasma e aproximadamente PX 230 00668 A probabilidade e aproximadamente 668 7 5 Uma amostra de 5000 homens sadios com idade variando entre 50 e 60 anos nao fumantes e que tinham atividade fısica regular forneceu em repouso dados de pressao diastolica A media foi de 820 mmHg e o desvio padrao de 80 mmHg Esses valores estimam a media µ e o desvio padrao σ parˆametros da populacao da qual essa amostra proveio Pedese a Quais sao os valores que delimitam 68 dos dados em torno da media b Quais sao os valores que delimitam 95 dos dados em torno da media c Quais sao os valores que delimitam 99 dos dados em torno da media Resolucao Para responder as perguntas utilizamos o conceito da regra empırica ou regra dos 6895997 que nos diz que em uma distribuicao normal Aproximadamente 68 dos dados estao dentro de 1 desvio padrao da media Aproximadamente 95 dos dados estao dentro de 2 desvios padroes da media Aproximadamente 99 dos dados estao dentro de 3 desvios padroes da media Sabemos que µ 820 mmHg e σ 80 mmHg a Valores que delimitam 68 dos dados Para 68 dos dados os limites sao definidos por µ 1σ Calculamos µ σ 820 80 740 mmHg µ σ 820 80 900 mmHg Portanto os valores que delimitam 68 dos dados estao entre 740 mmHg e 900 mmHg b Valores que delimitam 95 dos dados Para 95 dos dados os limites sao definidos por µ 2σ Calculamos µ 2σ 820 2 80 660 mmHg µ 2σ 820 2 80 980 mmHg Portanto os valores que delimitam 95 dos dados estao entre 660 mmHg e 980 mmHg 8 c Valores que delimitam 99 dos dados Para 99 dos dados os limites sao definidos por µ 3σ Calculamos µ 3σ 820 3 80 580 mmHg µ 3σ 820 3 80 1060 mmHg Portanto os valores que delimitam 99 dos dados estao entre 580 mmHg e 1060 mmHg 9 6 Com o objetivo de acelerar o tempo que um analgesico leva para penetrar na corrente sanguınea um quımico analista acrescentou certo ingrediente a formula original que acusava um tempo medio de 40 minutos e variˆancia de 30 Pela avaliacao de 49 observacoes com a nova formula obtevese um tempo medio de 25 minutos admitindose que a variavel apresenta distribuicao do tempo aproximadamente normal Dessa forma temse o interesse de testar a hipotese H0 e concluir para nıvel de significˆancia de 5 Resolucao Para resolvermos esta questao utilizaremos um teste de hipoteses sobre a media com variˆancia conhecida As hipoteses sao H0 µ 40 a media do tempo nao foi alterada H1 µ 40 a media do tempo foi reduzida com a nova formula Sabemos que a variˆancia e 30 logo o desvio padrao e σ 30 5477 A amostra tem tamanho n 49 e a media amostral foi x 25 Calcular o valor do teste Z Para realizar o teste utilizamos a seguinte formula para o valor do teste Z Z x µ0 σ n Substituindo os valores conhecidos Z 25 40 5477 49 15 5477 7 15 07824 1917 Comparar com o valor crıtico O valor crıtico para um teste unilateral a esquerda com nıvel de significˆancia de 5 α 005 na distribuicao normal padrao e Zα 1645 Como o valor do teste Z 1917 e muito menor que o valor crıtico Zα 1645 rejeitamos H0 Com base nos resultados rejeitamos a hipotese nula H0 ao nıvel de sig nificˆancia de 5 Isso indica que ha evidˆencias suficientes para concluir que a nova formula reduziu o tempo medio que o analgesico leva para penetrar na corrente sanguınea 10 7 Uma maquina esta regulada para produzir pecas com espessura media de 5 cm e desvio padrao 04 cm Uma amostra de 10 pecas apresentou espessura media de 52 cm Admitindo que a espessura das pecas tem distribuicao aproximadamente normal testar a hipotese H0 que a maquina esta trabalhando adequadamente adotando α 1 Resolucao Para resolver esta questao utilizaremos um teste de hipoteses sobre a media com variˆancia conhecida As hipoteses sao H0 µ 5 a maquina esta trabalhando adequadamente H1 µ 5 a maquina nao esta trabalhando adequadamente Sabemos que o desvio padrao populacional e σ 04 a amostra tem tamanho n 10 e a media amostral foi x 52 PCalcular o valor do teste Z Para realizar o teste utilizamos a seguinte formula para o valor do teste Z Z x µ0 σ n Substituindo os valores conhecidos Z 52 5 04 10 02 04 3162 02 01265 1581 Comparar com o valor crıtico O valor crıtico para um teste bilateral com nıvel de significˆancia de 1 α 001 na distribuicao normal padrao e Zα2 2576 Como o valor do teste Z 1581 esta dentro do intervalo crıtico 2576 2576 nao rejeitamos H0 Com base nos resultados nao rejeitamos a hipotese nula H0 ao nıvel de significˆancia de 1 Isso indica que nao ha evidˆencias suficientes para concluir que a maquina esta trabalhando inadequadamente 11 Exercícios estatística 1 Considerando que uma moeda justa seja lançada 7 vezes qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras pela função de probabilidade da distribuição binomial Resolução A fórmula para calcular a probabilidade em uma distribuição binomial é dada por PX k n sobre k pk 1pnk Onde n é o número de ensaios no caso o número de lançamentos da moeda k é o número de sucessos desejados no caso o número de caras p é a probabilidade de sucesso em um único ensaio no caso a probabilidade de obter cara n sobre k é o coeficiente binomial que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios calculado por n sobre k n k nk Definir os valores Neste problema temos n 7 a moeda é lançada 7 vezes k 3 queremos exatamente 3 caras p 05 a probabilidade de obter cara em um lançamento de uma moeda justa é 05 9 Para verificar se o teor de gordura em duas marcas comerciais de leite pasteurizado semidesnatado tem a mesma variabilidade um nutricionista tomou uma amostra de 10 unidades de cada marca em diversos supermercados Podese concluir ao nível de 5 de probabilidade α 5 que ambas as marcas apresentam o mesmo teor de gordura Marca A 11 15 16 17 18 14 16 14 13 16 Marca B 29 21 24 20 22 25 28 28 21 22 Pedese a As variâncias para o teor de gordura do leite das marcas A e B são homocedásticas Formule o teste de hipóteses calcule as variâncias calcule o valor de F e compare o valor de F calculado com o F tabelado a 5 de probabilidade tirando as conclusões b Aplique o teste t para comparar as médias conforme os resultados obtidos no teste F variâncias homocedásticas ou heterocedásticas Resolução a Teste F Verificar homocedasticidade Primeiro precisamos calcular as variâncias das duas amostras As hipóteses são H0 A2 B2 as variâncias são iguais homocedásticas H1 A2 B2 as variâncias não são iguais heterocedásticas Passo 1 Calcular a variância das duas amostras A fórmula da variância amostral é s2 xi x2 n1 Calculando a média de cada amostra xA 11 15 16 17 18 14 16 14 13 16 10 1510 15 xB 29 21 24 20 22 25 28 28 21 22 10 2410 24 Somando os desvios quadrados xi x2 00316000040031601764001440102400484000040078402304 07144 Agora podemos calcular o desvio padrão amostral s 071449 007938 02817 Calculando o valor do teste t Como temos uma amostra pequena n 10 utilizamos o teste t A fórmula para o valor do teste é t x 0sn Substituindo os valores t 322 30281710 022028173162 02200891 247 Comparando com o valor crítico Para um nível de significância de 1 α 001 e n1 9 graus de liberdade o valor crítico da distribuição t é tα29 32498 Como o valor do teste t 247 está dentro do intervalo crítico 3249832498 não rejeitamos H0 Com base nos resultados não rejeitamos a hipótese nula H0 ao nível de significância de 1 Isso indica que não há evidências suficientes para concluir que a média da população difere de 3 Agora calculamos as variâncias de cada amostra Para a Marca A sA2 11 152 15 152 16 152 9 0289 00311 Para a Marca B sB2 29 242 21 242 22 242 9 1019 01122 Calculando o valor de F O valor de F é dado por F sB2 sA2 01122 00311 361 Agora com nA 1 9 e nB 1 9 graus de liberdade e α 005 o valor crítico de F da tabela F é Fα99 318 Como F 361 Fα 318 rejeitamos H0 Portanto as variâncias não são homocedásticas b Aplicando o teste t para comparar as médias Agora aplicamos o teste t para comparar as médias das duas marcas considerando variâncias heterocedásticas A fórmula do teste t para duas amostras com variâncias diferentes é t xA xB sA2 nA sB2 nB Substituindo os valores t 15 24 0031110 0112210 09 000311 001122 09 001433 09 01197 752 Com nA nB 2 18 graus de liberdade e α 005 o valor crítico tα2 da tabela t é aproximadamente 2101 Como t 752 2101 rejeitamos H0 Portanto as médias das marcas A e B são significativamente diferentes Rejeitamos tanto a hipótese de homocedasticidade quanto a hipótese de igualdade das médias ao nível de 5 Para comparar o tempo para aliviar a dor de duas terapias Métodos A e B usadas após tratamento ortodôntico um ortodontista separou ao acaso um conjunto de pacientes em dois grupos um grupo foi submetido ao método A enquanto o outro foi submetido ao método B O tempo para o alívio da dor em minutos para cada participante da pesquisa encontrase abaixo Método A 80 77 83 85 84 86 76 81 84 74 Método B 100 112 95 107 113 130 90 115 100 128 Podese concluir ao nível de 5 de probabilidade α 5 que ambos os métodos apresentam o mesmo tempo de alívio para a dor Pedese a As variâncias para o tempo de alívio da dor são homocedásticas Formule o teste de hipóteses calcule as variâncias calcule o valor de F e compare o valor de F calculado com o F tabelado tirando as conclusões b Aplique o teste t para comparar as médias conforme os resultados obtidos no teste F variâncias homocedásticas ou heterocedásticas Resolução a Teste F Verificar homocedasticidade Primeiro precisamos calcular as variâncias das duas amostras As hipóteses são H0 σA2 σB2 as variâncias são iguais homocedásticas H1 σA2 σB2 as variâncias não são iguais heterocedásticas Passo 1 Calcular a variância das duas amostras A fórmula da variância amostral é s2 Σ xi x2 n 1 Calculando a média de cada amostra xA 80 77 83 85 84 86 76 81 84 74 10 81010 81 xB 100 112 95 107 113 130 90 115 100 128 10 109010 109 Agora calculamos as variâncias de cada amostra Para o Método A sA2 80 812 77 812 74 812 9 569 622 Para o Método B sB2 100 1092 112 1092 128 1092 9 9469 10511 Passo 2 Calcular o valor de F O valor de F é dado por F sB2 sA2 10511 622 169 Agora com nA 1 9 e nB 1 9 graus de liberdade e α 005 o valor crítico de F da tabela F é Fα99 318 Como F 169 Fα 318 rejeitamos H0 Portanto as variâncias não são homocedásticas b Aplicar o teste t para comparar as médias Agora aplicamos o teste t para comparar as médias dos dois métodos considerando variâncias heterocedásticas A fórmula do teste t para duas amostras com variâncias diferentes é t xA xB sA2nA sB2nB Substituindo os valores t 81 109 62210 1051110 28 0622 10511 28 11133 28 3337 839 Com nA nB 2 18 graus de liberdade e α 005 o valor crítico tα2 da tabela t é aproximadamente 2101 Como t 839 2101 rejeitamos H0 Portanto as médias dos métodos A e B são significativamente diferentes Rejeitamos tanto a hipótese de homocedasticidade quanto a hipótese de igualdade das médias ao nível de 5 Para verificar se dois bloqueadores de tosse têm efeitos diferentes sobre o tempo de sono foi feito um ensaio com dez voluntários Na primeira noite eles tomaram um dos antitussígenos selecionado ao acaso para cada pessoa Na segunda noite tomaram o outro Foi registrado o tempo de sono de cada voluntário nas duas noites consecutivas Medicamento 1 6 5 7 8 8 6 5 6 7 6 Medicamento 2 7 8 5 6 8 5 6 8 6 6 Pedese Compare as médias de tempo de sono obtidas com cada antitussígeno considerando nível de significância de 5 Resolução Aqui temos um teste de hipótese para amostras dependentes já que os mesmos voluntários tomaram ambos os medicamentos em noites consecutivas Para resolver isso podemos usar o teste t para amostras pareadas Calculando as diferenças entre os tempos de sono Calculamos a diferença entre os tempos de sono com os dois medicamentos para cada voluntário d Medicamento 1 Medicamento 2 d 6 7 5 8 7 5 8 6 8 8 6 5 5 6 6 8 7 6 6 6 d 1 3 2 2 0 1 1 2 1 0 Agora a média das diferenças d é d 1 3 2 2 0 1 1 2 1 0 10 110 01 Calculando o desvio padrão das diferenças Agora calculamos o desvio padrão das diferenças sd Primeiro calculamos a soma dos quadrados das diferenças Σ di d2 1012 3012 2012 2012 0012 1012 1012 2012 1012 0012 121 841 441 441 001 121 081 361 121 001 253 Agora o desvio padrão amostral das diferenças é sd di d2 n 1 2539 281 1676 Calculando o valor do teste t O valor do teste t para amostras pareadas é dado por t d sd n Substituindo os valores t 01 1676 10 01 1676 3162 01 0530 0189 Comparando com o valor crítico Com n 1 9 graus de liberdade e α 005 o valor crítico tα2 da tabela t é aproximadamente 2262 Como t 0189 é menor que tα2 2262 não rejeitamos H0 Com base nos resultados não rejeitamos a hipótese nula H0 ao nível de significância de 5 Isso indica que não há evidências suficientes para concluir que existe uma diferença significativa entre o tempo de sono obtido com os dois antitussígenos 12 Uma amostra de 50 homens sadios com idade variando entre 50 e 60 anos nao fumantes e que tinham atividade fısica regular forneceu em repouso dados de pressao diastolica A media foi de 820 mmHg e o desvio padrao de 80 mmHg Pedese Calcule o intervalo de 95 de confianca para a media Resolucao Para calcular o intervalo de confianca para a media com 95 de confianca utilizamos a formula IC x zα2 σ n Onde x 820 mmHg e a media da amostra σ 80 mmHg e o desvio padrao populacional n 50 e o tamanho da amostra zα2 e o valor crıtico da distribuicao normal padrao para um nıvel de confianca de 95 Para 95 de confianca temos zα2 196 Calculo do o erro padrao da media O erro padrao da media e dado por σ n 80 50 80 7071 1131 Palculo do intervalo de confianca Agora aplicamos a formula do intervalo de confianca IC 820 196 1131 Calculando IC 820 2217 Portanto o intervalo de confianca de 95 para a media e IC 820 2217 820 2217 IC 7978 8422 20 O intervalo de confianca de 95 para a media da pressao diastolica na pop ulacao e de aproximadamente 7978 8422 mmHg 21 1 Jogase uma vez um dado nao viciado e pretendese saber a probabilidade de obter a Um seis O numero de resultados possıveis ao jogar o dado e 6 ou seja S 1 2 3 4 5 6 O numero de resultados favoraveis e apenas 1 pois apenas uma face do dado tem o numero seis A formula da probabilidade e PA Numero de resultados favoraveis Numero total de resultados possıveis 1 6 b Um numero par Os numeros pares no dado sao 2 4 6 Isso nos da 3 resultados favoraveis O numero total de resultados possıveis ainda e 6 A formula da probabil idade e Ppar 3 6 1 2 c Um trˆes ou cinco Os numeros favoraveis sao 1 3 5 Isso nos da 3 resultados favoraveis O numero total de resultados possıveis e 6 A formula da probabilidade e P1 3 5 3 6 1 2 d Um numero menor que quatro Os numeros menores que quatro no dado sao 1 2 3 Isso nos da 3 resul tados favoraveis O numero total de resultados possıveis e 6 A formula da probabilidade e Pmenor que 4 3 6 1 2 1 2 Um medico verificou que de 2964 nascidos vivos 73 tinham alguma deficiˆencia ou doenca seria Com base nessa amostra qual seria a estimativa da probabilidade de um recemnascido ter deficiˆencia ou doenca seria Identificacao do espaco amostral O numero total de recemnascidos e 2964 Identificacao dos resultados favoraveis O numero de recemnascidos com deficiˆencia ou doenca seria e 73 Formula da probabilidade A probabilidade de um recemnascido ter deficiˆencia ou doenca seria e dada por Pdeficiˆencia ou doenca seria Numero de resultados favoraveis Numero total de resultados possıveis Substituicao dos valores Pdeficiˆencia ou doenca seria 73 2964 Calculo da probabilidade Pdeficiˆencia ou doenca seria 73 2964 0 0246 Portanto a probabilidade estimada de um recemnascido ter deficiˆencia ou doenca seria e aproximadamente 0 0246 ou seja 2 46 2 3 Foi feito um estudo de casocontrole com pacientes hospitalizados 6028 casos e 13049 controles para determinar os fatores de risco de cˆancer do pulmao Os dados apresentados na tabela a seguir foram obtidos para saber se o risco de cˆancer do pulmao aumenta com o numero de cigarros fumados por dia Qual e a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso dessa amostra fumar um maco de cigarros 20 cigarros ou mais por dia Identificacao do numero total de pessoas na amostra O numero total de pessoas na amostra e a soma dos casos e controles Total 6028 13049 19077 Identificacao dos resultados favoraveis As pessoas que fumam 20 cigarros ou mais por dia sao aquelas nos grupos 20 a 29 e 30 ou mais O total de pessoas nesses grupos e Para o intervalo 20 a 29 2127 3108 5235 Para o intervalo 30 ou mais 1369 1746 3115 O total de pessoas que fumam 20 cigarros ou mais por dia e 5235 3115 8350 Formula da probabilidade A probabilidade de uma pessoa fumar um maco de cigarros ou mais por dia e dada por Pfumar 20 cigarros ou mais Numero de resultados favoraveis Numero total de resultados possıveis Substituicao dos valores Pfumar 20 cigarros ou mais 8350 19077 Calculo da probabilidade Pfumar 20 cigarros ou mais 8350 19077 0 4376 Portanto a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso dessa amostra fumar um maco de cigarros ou mais por dia e aproximadamente 0 4376 ou seja 43 76 3 4 Há 50 bolas em uma urna distribuídas como segue Azul 20 Vermelho 15 Laranja 10 Verde 5 Pedese a Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes com a reposição das bolas na urna Como há reposição cada evento de tirar uma bola verde é independente A probabilidade de tirar uma bola verde é Pverde 550 110 Como queremos tirar 3 bolas verdes consecutivas com reposição multiplicamos as probabilidades P3 bolas verdes 110 110 110 1103 11000 Portanto a probabilidade de tirar três bolas verdes com reposição é 11000 b Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes sem a reposição das bolas na urna Aqui como não há reposição a probabilidade de tirar uma bola verde muda após cada sorteio A probabilidade de tirar a primeira bola verde é P1verde 550 110 A probabilidade de tirar a segunda bola verde após a primeira é P2verde 449 A probabilidade de tirar a terceira bola verde após a segunda é P3verde 348 Portanto a probabilidade total é o produto das três probabilidades P3 bolas verdes 550 449 348 110 449 116 47840 11960 Logo a probabilidade de tirar três bolas verdes sem reposição é 11960 c Qual é a probabilidade para tirar três bolas verdes considerando que após o sorteio da segunda bola não será feita a reposição da bola na urna Neste caso ha reposicao apos a primeira bola mas nao ha reposicao apos a segunda Entao as probabilidades sao A probabilidade de tirar a primeira bola verde com reposicao e P1verde 5 50 1 10 A probabilidade de tirar a segunda bola verde com reposicao e a mesma da primeira P2verde 5 50 1 10 A probabilidade de tirar a terceira bola verde sem reposicao apos a segunda e P3verde 4 49 Portanto a probabilidade total e P3 bolas verdes 1 10 1 10 4 49 4 4900 Logo a probabilidade de tirar trˆes bolas verdes com reposicao apos a primeira mas nao apos a segunda e 4 4900 5 5 Numa amostra de 72 pacientes em um hospital 14 acusam pressao arterial elevada a Estime a probabilidade de outro paciente quando examinado tambem acusar pressao alta A formula da probabilidade e PA Numero de resultados favoraveis a A Numero total de resultados possıveis Neste caso o evento A e ter pressao alta O numero total de pacientes e 72 O numero de pacientes com pressao alta e 14 Entao a probabilidade de outro paciente tambem acusar pressao alta e Ppressao alta 14 72 Simplificando a fracao Ppressao alta 7 36 0 1944 Portanto a probabilidade de outro paciente tambem acusar pressao alta e aproximadamente 0 1944 ou 1944 b Qual e a chance de ele nao ter pressao alta A probabilidade de um paciente nao ter pressao alta e o complemento da probabilidade de ter pressao alta Ou seja Pnao ter pressao alta 1 Ppressao alta Substituımos o valor da probabilidade de pressao alta Pnao ter pressao alta 1 0 1944 0 8056 Portanto a probabilidade de um paciente nao ter pressao alta e aproxi madamente 0 8056 ou 8056 6 6 Considerando que a probabilidade de fixacao de um embriao na parede do utero seja de 475 Se forem implantados quatro embrioes qual sera a probabilidade de que todos os trˆes tenham ˆexito considerando eventos indepen dentes Entendimento da questao Sabemos que a probabilidade de sucesso na fixacao de um embriao e de 475 ou 00475 Como sao eventos independentes a probabilidade de sucesso de todos os embrioes pode ser calculada multiplicando a probabil idade de ˆexito para cada embriao Probabilidade de todos os trˆes embrioes terem ˆexito A probabilidade de todos os trˆes embrioes terem ˆexito e dada por Pˆexito de 3 embrioes Pˆexito3 Substituımos o valor da probabilidade de ˆexito 00475 Pˆexito de 3 embrioes 0 04753 Agora vamos calcular Pˆexito de 3 embrioes 0 04753 0 000107 Portanto a probabilidade de todos os trˆes embrioes terem ˆexito e aproxi madamente 0000107 ou 00107 Probabilidade de todos os quatro embrioes terem ˆexito Da mesma forma para quatro embrioes temos Pˆexito de 4 embrioes Pˆexito4 0 04754 Agora calculamos Pˆexito de 4 embrioes 0 04754 0 0000051 Portanto a probabilidade de todos os quatro embrioes terem ˆexito e aprox imadamente 00000051 ou 000051 7 7 De uma classe com 60 alunos dos quais 14 sao meninos um aluno e escolhido ao acaso para apresentar um trabalho Qual e a probabilidade de a O aluno escolhido ser um menino A probabilidade de um evento A e dada por PA Numero de resultados favoraveis a A Numero total de resultados possıveis Neste caso o evento A e o aluno escolhido ser um menino O numero total de alunos e 60 O numero de meninos resultados favoraveis e 14 Portanto a probabilidade de o aluno escolhido ser um menino e Pmenino 14 60 Simplificando a fracao Pmenino 7 30 0 2333 Logo a probabilidade de o aluno escolhido ser um menino e 0 2333 ou 2333 c O aluno escolhido ser uma menina O evento complementar e o aluno escolhido ser uma menina Podemos calcular isso de duas formas subtraindo a probabilidade de ser menino de 1 ou diretamente calculando a probabilidade A probabilidade complementar e Pmenina 1 Pmenino 1 0 2333 0 7667 Ou podemos calcular diretamente O numero de meninas e 60 14 46 Portanto a probabilidade de o aluno escolhido ser uma menina e Pmenina 46 60 23 30 0 7667 Logo a probabilidade de o aluno escolhido ser uma menina e 0 7667 ou 7667 8 8 Um casal tem dois filhos Pedese Qual e a probabilidade de a O filho mais velho seja homem Sabemos que a probabilidade de um filho ser homem ou mulher e de 50 ou seja Phomem 1 2 Como o sexo dos filhos e independente a probabilidade do filho mais velho ser homem e simplesmente a probabilidade de um filho ser homem ou seja Pfilho mais velho homem 1 2 Portanto a probabilidade de o filho mais velho ser homem e 1 2 ou 50 b Os dois filhos serem homens Neste caso precisamos calcular a probabilidade de ambos os filhos serem homens Como os eventos sao independentes multiplicamos a probabili dade de cada filho ser homem P2 homens Phomem Phomem 1 2 1 2 1 4 Portanto a probabilidade de ambos os filhos serem homens e 1 4 ou 25 c Pelo menos um filho ser homem Para calcular a probabilidade de pelo menos um filho ser homem podemos usar o complemento da probabilidade de nenhum filho ser homem ou seja ambos serem mulheres A probabilidade de ambos os filhos serem mulheres e P2 mulheres 1 2 1 2 1 4 Agora a probabilidade complementar de pelo menos um filho ser homem e Ppelo menos 1 homem 1 P2 mulheres 1 1 4 3 4 Portanto a probabilidade de pelo menos um filho ser homem e 3 4 ou 75 9 9 Em uma família com quatro filhos qual é a probabilidade de três serem homens Identificação do problema A probabilidade de um filho ser homem é 12 e como os eventos são independentes o problema pede para calcular a probabilidade de exatamente três dos quatro filhos serem homens Este é um caso típico de probabilidade binomial onde queremos encontrar a probabilidade de ocorrer k 3 sucessos homens em n 4 tentativas filhos com a probabilidade de sucesso p 12 para cada tentativa A fórmula da distribuição binomial é PX k n choose k pk 1 pnk Onde n choose k é o número de combinações de n elementos escolhidos k a cada vez dado por n choose k n k n k n 4 o número de filhos k 3 o número de homens p 12 a probabilidade de sucesso em cada tentativa Cálculo das combinações Primeiro calculamos 4 choose 3 4 choose 3 4 3 4 3 41 4 Aplicando a fórmula da probabilidade binomial Agora aplicamos a fórmula da distribuição binomial PX 3 4 123 121 Simplificando PX 3 4 18 12 4 116 416 14 Portanto a probabilidade de que três dos quatro filhos sejam homens é 14 ou 25 10 Foi feito um estudo de casocontrole 280 casos e 295 controles para determinar os fatores de risco para infarto do miocardio Os dados da tabela abaixo foram obtidos para saber se indivıduos diabeticos apresentam maior risco de infarto do miocardio Tabela 2 Distribuicao dos casos de infarto e controles segundo a presenca ou nao de diabetes Diabeticos Casos Controle Total Sim 50 25 75 Nao 230 270 500 Total 280 295 575 Pedese Qual e a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso dessa amostra ser ou diabetica ou infartada Entendimento do problema O problema pede para calcular a probabilidade de uma pessoa ser diabetica ou infartada Isso e um caso de uniao de dois eventos ser diabetico A ou ser infartado B A formula da probabilidade da uniao de dois eventos A e B e dada por PA B PA PB PA B Onde PA e a probabilidade de uma pessoa ser diabetica PB e a probabilidade de uma pessoa ser infartada PA B e a probabilidade de uma pessoa ser tanto diabetica quanto infartada Calculo das probabilidades O numero total de pessoas na amostra e 575 O numero de diabeticos A e 75 O numero de infartados B e 280 O numero de pessoas que sao tanto diabeticas quanto infartadas A B e 50 Agora vamos calcular cada probabilidade PA a probabilidade de uma pessoa ser diabetica PA 75 575 PB a probabilidade de uma pessoa ser infartada PB 280 575 PA B a probabilidade de uma pessoa ser tanto diabetica quanto infartada PA B 50 575 11 Aplicando a formula Agora aplicamos a formula da uniao de probabilidades PA B 75 575 280 575 50 575 Somando e simplificando PA B 75 280 50 575 305 575 0 5304 Portanto a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso ser ou diabetica ou infartada e aproximadamente 0 5304 ou 5304 12 11 Suponha que uma gaiola contem 08 camundongos quatro de cada sexo Considere agora que e retirado ao acaso um camundongo de cada vez para ser submetido a um teste Finalizando o mesmo o animal e reintroduzido na gaiola Pedese a Qual e a probabilidade de retirar uma fˆemea duas vezes Sabemos que a gaiola contem 8 camundongos dos quais 4 sao fˆemeas e 4 sao machos Como o animal e reintroduzido na gaiola apos cada retirada o evento de retirar uma fˆemea e independente ou seja a probabilidade nao muda apos cada retirada A probabilidade de retirar uma fˆemea em uma retirada e Pfˆemea 4 8 1 2 Como o evento e independente a probabilidade de retirar uma fˆemea duas vezes seguidas e o produto das probabilidades de cada evento Pfˆemea duas vezes 1 2 1 2 1 4 Portanto a probabilidade de retirar uma fˆemea duas vezes e 1 4 ou 25 b Qual e a probabilidade de selecionar duas vezes o mesmo camundongo seja ele macho ou fˆemea Aqui estamos interessados em selecionar o mesmo camundongo em ambas as retiradas Como o animal e reintroduzido apos cada teste a probabili dade de retirar o mesmo camundongo e a mesma nas duas retiradas A probabilidade de selecionar qualquer camundongo em uma retirada e 1 8 Como o evento e independente a probabilidade de selecionar o mesmo camundongo duas vezes seguidas e Pmesmo camundongo duas vezes 1 8 1 8 1 64 Portanto a probabilidade de selecionar duas vezes o mesmo camundongo e 1 64 ou aproximadamente 156 13 12 Considere os dados do quadro abaixo que mostra 12 indivıduos classifi cados quanto as variaveis obesidade A e sedentarismo B Indivıduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Obesidade S N S S S N S N S N N S Sedentarismo S S N S S S S N S S S S Table 1 Classificacao dos indivıduos quanto a obesidade e sedentarismo Pedese a Qual e a probabilidade do indivıduo ser obeso Sabemos que o total de indivıduos e 12 Para calcular a probabilidade de um indivıduo ser obeso contamos quantos indivıduos sao obesos S na linha de obesidade Indivıduos obesos 1 3 5 6 9 10 12 Portanto ha 7 indivıduos obesos A probabilidade de um indivıduo ser obeso e dada por Pobeso 7 12 Portanto a probabilidade de o indivıduo ser obeso e 7 12 ou aproximada mente 5833 b Qual e a probabilidade do indivıduo ser obeso e sedentario Agora vamos contar quantos indivıduos sao obesos e sedentarios ao mesmo tempo S nas duas variaveis obesidade e sedentarismo Indivıduos obesos e sedentarios 1 4 5 7 9 12 Portanto ha 6 indivıduos obesos e sedentarios A probabilidade de um indivıduo ser obeso e sedentario e Pobeso e sedentario 6 12 1 2 Portanto a probabilidade de o indivıduo ser obeso e sedentario e 1 2 ou aproximadamente 5000 14 13Para o diagnostico de hipertensao arterial na populacao utilizase fre quentemente o seguinte criterio pressao arterial sistolica PAS maior que 140 mm Hg pressao arterial diastolica PAD maior que 90 mm Hg ou ambas Dessa forma considerando o evento A PAS 140 mm Hg e o evento B PAD 90 mm Hg com as seguintes probabilidades PA 012 PB 009 PA B 009 determine a probabilidade de diagnosticar um indivıduo hipertenso Solucao Queremos encontrar a probabilidade de diagnosticar um indivıduo hipertenso ou seja a probabilidade de que o indivıduo tenha PAS 140 mm Hg ou PAD 90 mm Hg ou ambos o que corresponde a uniao dos eventos A e B PA B Utilizamos a formula da probabilidade da uniao de dois eventos PA B PA PB PA B Substituımos os valores fornecidos no problema PA B 012 009 009 Resolvendo PA B 012 Portanto a probabilidade de diagnosticar um indivıduo hipertenso e 012 ou 12 15 14O Disturbio de Hiperatividade com Deficit de Atencao DHDA e uma desordem que afeta entre 3 e 10 das criancas em idade escolar Dessa forma assumindo que essa probabilidade seja 65 estime a A probabilidade de que entre duas criancas em idade escolar escolhi das ao acaso ambas apresentem DHDA b A probabilidade de que uma crianca escolhida ao acaso nao apresente DHDA c A probabilidade de que duas criancas escolhidas ao acaso nao apresentem DHDA d A prob abilidade de que entre duas criancas escolhidas ao acaso uma apresente DHDA e A probabilidade de que no caso anterior pelo menos uma crianca apresente DHDA Solucao Seja PD 0065 a probabilidade de uma crianca ter DHDA e P D 1 PD 0935 a probabilidade de nao ter DHDA a A probabilidade de ambas as criancas terem DHDA Se as duas criancas forem escolhidas ao acaso e as probabilidades forem independentes a probabilidade de ambas terem DHDA e o produto das probabilidades Pambas tˆem DHDA PD PD 0065 0065 0004225 Portanto a probabilidade de ambas as criancas terem DHDA e 04225 b A probabilidade de uma crianca nao apresentar DHDA A probabilidade de uma crianca nao ter DHDA e simplesmente Pnao ter DHDA P D 1 0 4225 0 935 Portanto a probabilidade de uma crianca nao apresentar DHDA e 935 c A probabilidade de que duas criancas nao apresentem DHDA A probabilidade de ambas as criancas nao terem DHDA e o produto das probabilidades Pambas nao tˆem DHDA P D P D 0935 0935 0874225 Portanto a probabilidade de que duas criancas nao apresentem DHDA e 874225 d A probabilidade de que uma das duas criancas apresente DHDA A probabilidade de que uma das duas criancas tenha DHDA e a outra nao e dada por 16 Puma tem DHDA PD P D P D PD Simplificando Puma tem DHDA 2 PD P D 2 0065 0935 012155 Portanto a probabilidade de que uma das duas criancas apresente DHDA e 12155 e A probabilidade de que no caso anterior pelo menos uma crianca apresente DHDA Essa e a complementacao da probabilidade de que nenhuma das criancas tenha DHDA Ppelo menos uma tem DHDA 1Pnenhuma tem DHDA 1P DP D 10874225 0125775 Portanto a probabilidade de que pelo menos uma crianca tenha DHDA e 125775 17 15 Levando em consideracao os dados da questao anterior imagine que em um dia de consultas um neurologista tem na sua agenda 10 pacientes dos quais 2 possuem DHDA Calcule a probabilidade de a O primeiro paciente apresentar o disturbio b O segundo paciente ter DHDA dado que o primeiro nao tinha c O terceiro paciente nao ter DHDA dado que os dois primeiros tinham Solucao Neste problema estamos lidando com um grupo fixo de 10 pacientes onde 2 possuem DHDA As probabilidades variam conforme a escolha de pacientes ja que estamos removendo pacientes da populacao total sem reposicao a A probabilidade de que o primeiro paciente apresente o disturbio Inicialmente existem 2 pacientes com DHDA e 10 pacientes no total A probabilidade de que o primeiro paciente tenha DHDA e a razao entre o numero de pacientes com DHDA e o numero total de pacientes Pprimeiro tem DHDA 2 10 02 Portanto a probabilidade de que o primeiro paciente tenha DHDA e 02 ou 20 b A probabilidade de que o segundo paciente tenha DHDA dado que o primeiro nao tinha Se o primeiro paciente nao tinha DHDA restam 9 pacientes dos quais 2 possuem DHDA Portanto a probabilidade de que o segundo paciente tenha DHDA dado que o primeiro nao tinha e Psegundo tem DHDA primeiro nao tinha 2 9 Portanto a probabilidade de que o segundo paciente tenha DHDA dado que o primeiro nao tinha e aproximadamente 02222 ou 2222 c A probabilidade de que o terceiro paciente nao tenha DHDA dado que os dois primeiros tinham Se os dois primeiros pacientes tinham DHDA isso significa que restam 8 pacientes e nenhum deles possui DHDA Assim a probabilidade de que o terceiro paciente nao tenha DHDA dado que os dois primeiros tinham e Pterceiro nao tem DHDA dois primeiros tinham 8 8 1 Portanto a probabilidade de que o terceiro paciente nao tenha DHDA dado que os dois primeiros tinham e 1 ou 100 18 16 Em um hospital ha 352 pacientes internados dos quais a grande maio ria apresenta sintomas relacionados a doencas respiratorias tais como 100 tˆem tosse 130 tˆem dor de garganta 140 tˆem febre 25 tˆem tosse e dor de garganta 30 tˆem tosse e febre 60 tˆem dor de garganta e coriza 10 tˆem tosse dor de garganta e febre Pedese a Qual e a probabilidade de ter pacientes que nao apresen tam doenca respiratoria b Qual e a probabilidade de ter pacientes com COVID que apresentam como sintomas tıpicos a ocorrˆencia de febre tosse e dor de garganta Solucao Para resolvermos esse problema devemos utilizar o princıpio da inclusao exclusao para encontrar a quantidade total de pacientes que apresentam algum dos sintomas tosse dor de garganta ou febre e assim encontrar o numero de pacientes que nao apresentam nenhum desses sintomas Denotemos os eventos como T Pacientes com tosse G Pacientes com dor de garganta F Pacientes com febre a Probabilidade de pacientes que nao apresentam doenca res piratoria Primeiro calculamos a quantidade total de pacientes que tˆem pelo menos um dos sintomas tosse dor de garganta ou febre utilizando a formula de inclusaoexclusao para trˆes conjuntos T G F T G F T G T F G F T G F Substituindo os valores fornecidos T G F 100 130 140 25 30 60 10 365 115 10 260 Agora a quantidade de pacientes que nao apresentam doenca respiratoria ou seja que nao tˆem tosse dor de garganta nem febre e Pacientes sem sintomas 352 260 92 Portanto a probabilidade de que um paciente nao apresente doenca res piratoria e Psem sintomas 92 352 02614 A probabilidade e aproximadamente 2614 b Probabilidade de ter pacientes com COVID febre tosse e dor de garganta Pelo enunciado os pacientes que apresentam febre tosse e dor de garganta simultaneamente correspondem a intersecao dos trˆes conjuntos T GF e sabemos que PCOVID T G F 352 10 352 00284 19 Portanto a probabilidade de que um paciente apresente os sintomas tıpicos de COVID febre tosse e dor de garganta e aproximadamente 284 20 17 Sabendo que o DHDA ocorre cerca de 8 vezes mais em criancas do sexo masculino e considerando que 65 das criancas em idade escolar apresentam este disturbio Pedese a Qual a prevalˆencia do DHDA no sexo feminino b Qual e a prevalˆencia no sexo masculino c Qual seria o numero de criancas do sexo feminino e masculino de uma populacao de 1000 criancas Solucao Vamos denotar as seguintes variaveis PD 0065 prevalˆencia do DHDA na populacao total de criancas 65 x prevalˆencia de DHDA em criancas do sexo feminino 8x prevalˆencia de DHDA em criancas do sexo masculino ja que o disturbio e 8 vezes mais comum em meninos Sabemos que a prevalˆencia total na populacao e uma media ponderada das prevalˆencias nos dois sexos Se assumirmos que metade das criancas sao do sexo feminino e metade do sexo masculino temos PD 1 2 x 1 2 8x 0065 a Prevalˆencia do DHDA no sexo feminino Vamos resolver a equacao acima para encontrar x 0065 x 8x 2 9x 2 Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador 013 9x Dividindo ambos os lados por 9 x 013 9 00144 Portanto a prevalˆencia de DHDA no sexo feminino e aproximadamente 144 b Prevalˆencia do DHDA no sexo masculino Sabemos que a prevalˆencia no sexo masculino e 8 vezes maior que no feminino 8x 8 00144 01152 Portanto a prevalˆencia de DHDA no sexo masculino e aproximadamente 1152 c Numero de criancas do sexo feminino e masculino com DHDA em uma populacao de 1000 criancas 21 Se a populacao total e de 1000 criancas assumindo uma distribuicao igual entre os sexos temos 500 meninas e 500 meninos Numero de meninas com DHDA Meninas com DHDA 500 00144 72 7 meninas Numero de meninos com DHDA Meninos com DHDA 500 01152 576 58 meninos Portanto em uma populacao de 1000 criancas esperamos que cerca de 7 meninas e 58 meninos apresentem DHDA 22 18 Em uma empresa que fabrica seringas 01 das seringas produzidas possuem algum defeito Qual é a probabilidade de ao selecionar 3 seringas no máximo uma seringa possuir algum defeito Solução Esse problema pode ser resolvido usando a distribuição binomial uma vez que temos dois resultados possíveis para cada seringa defeituosa ou não com uma probabilidade fixa de defeito para cada seleção A fórmula da distribuição binomial é dada por PXk n k pk 1pnk onde n é o número total de seringas selecionadas neste caso n3 k é o número de seringas defeituosas p é a probabilidade de uma seringa ser defeituosa p0001 1p é a probabilidade de uma seringa não ser defeituosa 1p0999 Queremos calcular a probabilidade de que ao selecionar 3 seringas no máximo uma seja defeituosa ou seja devemos calcular PX0 e PX1 e somálas Passo 1 Cálculo de PX0 A probabilidade de que nenhuma seringa seja defeituosa k0 é PX0 3 00001009993 1 x 1 x 09993 0997002999 Passo 2 Cálculo de PX1 A probabilidade de que exatamente uma seringa seja defeituosa k1 é PX1 3 10001109992 3 x 0001 x 09992 Primeiro calculamos 09992 09992 0998001 Agora substituímos na equação PX1 3 x 0001 x 0998001 0002994003 Passo 3 Soma das probabilidades A probabilidade de que no máximo uma seringa seja defeituosa é a soma das probabilidades de X0 e X1 PX 1 PX0PX1 09970029990002994003 0999997002 Portanto a probabilidade de que no máximo uma das três seringas selecionadas seja defeituosa é aproximadamente 999997 19 Para detectar a presenca do vırus Z no organismo e efetuado o teste X Sabese que o vırus Z esta presente em 01 da populacao enquanto o teste X acusa em 98 dos casos de pessoas com o vırus e em 4 dos casos em pessoas sadias Considerando essas informacoes pedese Qual e a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vırus Z Solucao Este problema envolve o uso do Teorema de Bayes que nos permite cal cular a probabilidade condicional de um evento dado que outro evento ocorreu Seja PZ 0001 a probabilidade de uma pessoa ter o vırus Z prevalˆencia P Z 0999 a probabilidade de uma pessoa nao ter o vırus Z PT Z 098 a probabilidade de o teste dar positivo dado que a pessoa tem o vırus sensibilidade PT Z 004 a probabilidade de o teste dar positivo dado que a pessoa nao tem o vırus taxa de falsos positivos Queremos calcular a probabilidade de uma pessoa ter o vırus Z dado que o teste foi positivo ou seja PZT Pelo Teorema de Bayes temos PZT PT Z PZ PT onde PT e a probabilidade de o teste ser positivo que pode ser calcu lada usando a formula da probabilidade total PT PT Z PZ PT Z P Z Substituımos os valores PT 098 0001 004 0999 000098 003996 004094 Agora substituımos na formula do Teorema de Bayes PZT 098 0001 004094 000098 004094 00239 Portanto a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo ter de fato o vırus Z e aproximadamente 239 24 20 Levando em consideracao que duas empresas sao responsaveis pela fabricacao de pneus a serem utilizados no estado do Parana A Empresa 1 que representa 60 do mercado de pneus da garantia de que 95 dos casos tera uma durabilidade de 50 mil Ja a empresa concorrente a garantia e de 90 dos casos considerando os mesmos 50 mil quilˆometros Pedese Qual e a probabilidade de que o pneu comprado de uma dessas empresas ira funcionar mais de 50 mil quilˆometros Solucao Esse problema pode ser resolvido utilizando a formula da probabilidade total Queremos calcular a probabilidade de que o pneu funcione mais de 50 mil quilˆometros considerando que ele pode ter sido comprado de uma das duas empresas Seja PE1 060 a probabilidade de que o pneu tenha sido com prado da Empresa 1 representa 60 do mercado PE2 040 a probabilidade de que o pneu tenha sido comprado da empresa concorrente representa 40 do mercado PFE1 095 a probabilidade de que o pneu dure mais de 50 mil km dado que foi comprado da Empresa 1 PFE2 090 a probabilidade de que o pneu dure mais de 50 mil km dado que foi comprado da empresa concorrente A probabilidade total de que o pneu funcione mais de 50 mil quilˆometros e dada por PF PFE1 PE1 PFE2 PE2 Substituindo os valores PF 095 060 090 040 057 036 093 Portanto a probabilidade de que o pneu comprado de uma dessas empresas dure mais de 50 mil quilˆometros e 93 25