Realização de Análise de um Sistema Vibracional com Relatorio

Vibrações Mecânicas Atividade avaliativa de dependência 20241 Prof Antônio Salvador Neto 1 Introdução O presente documento visa orientar a atividade de avaliativa processual da disciplina de dependência em Vibrações Mecânicas oferecida no 1 período de 2024 pela Multivix Vila Velha A atividade consiste na realização de análise de um sistema vibracional As análises devem ser registradas em um relatório de atividade como orientado a seguir e entregue por meio eletrônico no portal até o dia 1506 O trabalho é individual Para cada aluno um conjunto de parâmetros de entrada foi gerado de modo que cada trabalho será único O anexo I traz uma tabela com os valores individuais a serem usados por cada aluno Para facilitar o andamento do trabalho o capítulo seguinte sugere uma divisão em etapas para sua realização 2 Sistema vibracional Considere os problemas de vibrações mecânicas que podem ocorrer em uma motocicleta sendo conduzida em condições normais A imagem a seguir ilustra a situação real Figura 21 Ilustração do sistema vibracional real O modelo matemático que descreve as vibrações mecânicas pode ser feito de várias maneiras diferentes Dependendo das simplificações admitidas o modelo pode apresentar mais ou menos graus de liberdade A seguir algumas imagens de modelos de vibração discretos são apresentadas Figura 22 Dois modelos discretos possíveis de vibração mecânica para o problema da motocicleta De maneira mais simplificada a motocicleta pode ser modelada como um único grau de liberdade Quando a motocicleta é posta para andar irregularidades no asfalto podem ser modeladas como uma função yt da posição da roda da motocicleta o que promove um forçamento devido o movimento da base Figura 23 Modelo de 1GL com forçamento por movimento da base 3 Etapas do trabalho Em cada etapa registre o que está sendo feito para ajudar na redação do relatório Etapa 1 Análise descritiva do modelo Redija um texto explicando as diferentes formas de se modelar o problema da motocicleta Proponha modelos mais de um de mais de um grau de liberdade detalhando a forma como se deveria obter as constantes elásticas de amortecimento e massas em cada Pelo menos um destes modelos deve ter um elemento rígido não pontual de modo a modelar a vibração de rotação do elemento Nessa etapa não é necessário realizar qualquer cálculo apenas descrever e explicar as possíveis formas de se modelar o problema Etapa 2 Dados do sistema de um GL Modelado o problema como um grau de liberdade você deve obter os dados para resolver numericamente o sistema vibracional Como primeiro passo você deve consultar o anexo 1 e determinar os valores dos elementos para o seu caso em particular Cada aluno tem seu próprio conjunto de valores para realizar o trabalho Etapa 3 Solução homogênea De posse dos dados do modelo de 1GL resolva o problema homogêneo para determinar a frequência natural não amortecida Etapa 4 Solução do forçamento não amortecido Resolva o sistema para o forçamento devido ao movimento da base no caso não amortecido Gere o gráfico da posição em função do tempo Etapa 5 Solução do forçamento amortecido subcrítico Determine o fator de amortecimento para que a razão de amortecimento fique entre 0208 e resolva o sistema forçado com esse fator de amortecimento Gere o gráfico da posição ao longo do tempo Se quiser use mais de um valor para o fator de atrito para avaliar a mudança no comportamento Etapa 6 Solução do forçamento criticamente amortecido Determine o fator de amortecimento para que a razão de amortecimento seja exatamente 1 e resolva o sistema forçado com esse fator de amortecimento Gere o gráfico da posição ao longo do tempo Se quiser use valores maiores para o fator de atrito para avaliar o movimento no amortecimento supercrítico Etapa 7 Relatório de atividade Realizado as análises e cálculos é hora de formatar tudo em um documento de texto como um relatório científico O relatório deve conter os seguintes capítulos Introdução Introduza o tema do problema de vibração mecânica em motocicletas dê exemplos ressalte sua importância faça um breve apanhado histórico etc A introdução não precisa ter mais de uma página Referencial teórico Escreva os fundamentos usados nos seus estudos por exemplo se você utilizou o teorema de constante elástica equivalente na análise aqui você precisa explicar como que o teorema funciona Cite suas fontes de pesquisa Análise descritiva Neste capítulo você registra as discussões feitas na etapa 1 Dados do problema Nesse capítulo você apenas evidencia os valores numéricos individuais foram usados nos cálculos do sistema de um GL Solução homogênea Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 3 Solução do forçamento não amortecido Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 4 Solução do forçamento amortecido subcrítico Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 5 Solução do forçamento criticamente amortecido Neste capítulo você escreve o que foi feito na etapa 6 Conclusões Baseado nos seus estudos e resultados escreva suas conclusões gerais sobre o problema por exemplo o que o aumento do fator de atrito faz com o movimento vibracional Um motorista com mais massa demanda mais ou menos fator de amortecimento dos amortecedores Qual a implicação da frequência de forçamento no movimento Referências Seu trabalho deve citar as fontes que foram utilizadas no decorrer do estudo 4 Avaliação O trabalho terá valor máximo de 100 pontos e mínimo de zero pontos e será avaliado baseado em critérios Cada critério representa uma parcela dos pontos do trabalho A avaliação de cada critério pode conferir um valor igual ou inferior ao valor da parcela que ele representa Os critérios de avaliação serão os seguintes Critério Pontos 1 A formatação do relatório está adequada com capa contendo nome e título 10 2 Introdução clara e objetiva que cumpre o propósito de introduzir um texto científico 10 3 Referencial teórico claro e suficiente para as decisões tomadas nas análises e simulações 20 4 Realizou satisfatoriamente a etapa 1 10 5 Realizou satisfatoriamente a etapa 3 10 6 Realizou satisfatoriamente a etapa 4 10 7 Realizou satisfatoriamente a etapa 5 10 8 Realizou satisfatoriamente a etapa 6 10 9 Conclusão e referencial teórico estão adequados 10 Anexo 1 Dados individuais Os dados se referem a um sistema vibracional de um grau de liberdade com a massa m em quilogramas a constante elástica k em Newtons por metro e uma função de forçamento pelo movimento da base na forma 𝑦𝑡 𝑌 𝑠𝑒𝑛𝛚𝑡 com Y em metros e 𝛚 em radianos por segundo Aluno m kg k Nm Y w Adriesley Oliveira Prates 607 24099 0069 74 Bruno Askisasch Gomes 482 18595 0076 70 Fabrizio Dias Lopes 492 4970 0049 42 Gabriel Azevedo Moral 217 3642 0071 44 Giulya Rita Emidio Domingos 415 1698 0043 23 Igor Vieira Laignier 321 23433 0038 94 Izaque Nascimento Pereira da Silva 361 24156 0083 87 Nicholas Matheo De Almeida Pereira 540 9585 0036 52 Rafael Pianca de Castro 295 16535 0011 77 Ricardo Proescholdt Thom 590 18023 008 65 Robert Vieira de Sousa Oliveira 507 22002 006 67 Tayson da Silva Teodoro 327 27178 0036 100 Capa Objetivo Este trabalho tem por objetivo modelar matematicamente um sistema mecânico vibratório que represente vibrações transversais de uma motocicleta e seu condutor Por se tratar de um trabalho introdutório a abordagem será muito simplificada será adotado um modelo massa molaamortecedor com 1 grau de liberdade sujeito a movimento harmônico da base Durante o desenvolvimento veremos que a grau de amortecimento diferencia o movimento em alguns poucos casos possíveis Introdução O estudo de vibrações tem uma história rica e multifacetada que remonta aos primórdios da civilização humana Desde a antiguidade a humanidade tem observado e investigado fenômenos vibratórios Os filósofos gregos como Pitágoras já estudavam as vibrações em cordas de instrumentos musicais reconhecendo as relações matemáticas entre comprimento tensão e frequência Na Idade Média avanços significativos foram feitos pelos estudiosos islâmicos que refinaram as teorias de ressonância e propagação de ondas O verdadeiro avanço na compreensão científica das vibrações ocorreu durante a Revolução Científica com figuras como Galileo Galilei e Isaac Newton Galileu estudou o movimento pendular e a relação entre comprimento do pêndulo e o período de oscilação enquanto Newton desenvolveu as leis do movimento que formam a base para a análise moderna de sistemas vibratórios No século XIX o estudo das vibrações deu um salto com a formulação das equações diferenciais por JeanBaptiste Fourier e Joseph Fourier que permitiram a análise detalhada de diferentes tipos de ondas e suas decomposições Também durante esse período Lord Rayleigh fez contribuições fundamentais para a teoria acústica e a análise de vibrações em corpos sólidos Com o advento da era industrial e a crescente complexidade das máquinas o estudo das vibrações tornouse ainda mais crucial No século XX a análise de vibrações passou a incorporar avanços tecnológicos e computacionais permitindo modelos mais precisos e a aplicação de métodos numéricos para resolver problemas complexos Atualmente a análise de vibrações é essencial em diversas áreas desde a engenharia civil e mecânica até a aeronáutica e a medicina refletindo sua importância contínua e evolução ao longo dos séculos A modelagem de sistemas mecânicos vibratórios é uma área fundamental da engenharia mecânica e estrutural dedicada à análise e predição do comportamento de sistemas sujeitos a vibrações Esses sistemas podem variar desde estruturas simples como uma viga ou um pêndulo até complexas máquinas industriais e veículos A modelagem precisa desses sistemas é crucial para garantir sua eficiência segurança e durabilidade Um dos conceitos centrais na modelagem de sistemas vibratórios é o grau de liberdade O grau de liberdade referese ao número de coordenadas independentes necessárias para descrever completamente a posição de um sistema Um sistema com um grau de liberdade pode ser um pêndulo simples enquanto um sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser um edifício em resposta a um terremoto ou um automóvel em movimento Outro aspecto importante na modelagem de sistemas vibratórios é o amortecimento O amortecimento referese à dissipação de energia dentro do sistema e pode ser classificado em diferentes tipos Amortecimento viscoso proporcional à velocidade do movimento é o tipo mais comum em análises teóricas representado por uma força de resistência que é proporcional e oposta à velocidade Amortecimento estrutural relacionado à dissipação de energia interna nos materiais devido à deformação cíclica Amortecimento coulombiano também conhecido como amortecimento por fricção seca é independente da velocidade e depende da força de atrito constante entre as superfícies em contato Além do amortecimento a modelagem deve considerar as forças externas que podem atuar sobre o sistema Essas forças podem ser periódicas como as forças geradas por um motor em funcionamento transitórias como as forças de impacto ou aleatórias como as forças devidas a turbulências de vento ou terreno irregular Com a combinação desses elementos graus de liberdade tipos de amortecimento e forças externas a modelagem de sistemas mecânicos vibratórios permite a análise detalhada e a predição do comportamento dinâmico de sistemas reais Isso possibilita a otimização de projetos a prevenção de falhas e a melhoria do desempenho e da segurança dos sistemas mecânicos Análise Descritiva O número de graus de liberdade de um sistema é diretamente proporcional à precisão e à dificuldade da análise Apresentamos a seguir um modelamento com 5 graus de liberdade translacionais do condutor e da motocicleta Podemos introduzir graus de liberdade rotacionais da motocicleta e do condutor Esses são exemplos de modelamento onde temos as massas das rodas motocicleta corpo e cabeça do condutor Há elasticidades e amortecimentos em todas as ligações As rotações da moto e do condutor permitem modelar desbalanceamento de forças entre a frente e a traseira Abaixo temos o modelo mais simples com 1 grau de liberdade para a análise inicial deste trabalho Referencial teórico As mecânicas de Newton ou de Lagrange fornecem as ferramentas necessárias para modelar sistemas mecânicos Pela segunda lei de Newton a um sistema com 1 grau de liberdade a soma das forças é igual ao produto da massa pela aceleração m x F As forças são de amortecimento elástica e externa m xc xk x Ft m xc xk xFt Para os propósitos deste trabalho trataremos o sistema composto por motocicleta e condutor como tendo 1 grau de liberdade com massa concentrada A força externa é dada pelo perfil da via F t c yk y Substituindo m xc xk xc yk y Modelando o perfil da via como harmônico yY sinwt ywY cos wt Substituindo m xc xk xc wY cos wtk Y sinwt Um dos objetivos do trabalho é avaliar os tipos de movimento possíveis em função do grau de amortecimento Isso pode ser feito substituindo o coeficiente de amortecimento pelo fator de amortecimento c2ξ k m Substituindo m x2ξk m xk x2ξk m wY cos wtk Y sin wt x2ξ k m xk x2ξ k m wY coswt k m Y sin wt Outro parâmetro importante é a frequência natural wn k m Substituindo x2ξwn xk x2ξwnwY cos wtwn 2Y sinwt Os tipos de movimento transientes possíveis são sem amortecimento subamortecido criticamente amortecido e superamortecido Parametrizados em função do fator de amortecimento Sem amortecimento ξ0 Subamortecido ξ1 Criticamente amortecido ξ1 Super amortecido ξ1 Dados do Problema Calculo da frequência natural wn k m 24099 607 wn63rad s Substituindo os dados na equação diferencial do problema x2ξwn xwn 2 x2ξwnwY coswtwn 2Y sin wt x2ξ63 x63 2x2ξ637 40069cos 74t 63 20069sin74t xξ126 x3969 xξ64336cos7 4t27386sin74 t Obtendo a resposta não amortecida Considerando ζ 0 x0126 x3969x064336cos7 4t27386sin74 t x3969x27386sin74t Solução homogênea λ 239690 λ39696 3 xhAsin63t Bcos 63t Solução particular x pC sin74t D cos7 4t x p74Ccos7 4t7 4D sin74t x p54 76Csin74t5476D cos7 4t Substituindo 5476Csin74t5476D cos74t3969 Csin74tD cos74t 27386sin7 4t 54 76C3969Csin74t54 76 D3969D cos74t27386sin74t 5476C3969C27386 5476 D3969D0 C01817 D0 Solução geral x t Asin63tBcos63t01817sin74t x t 63 Acos63t63Bsin6 3t13446cos74t Condições iniciais x 00Asin0Bcos 001817sin0 x 0063 Acos 063Bsin013446cos 0 A02134 B0 Logo x t 02134sin63t01817sin74t Gráfico Obtendo a resposta sub amortecida Considerando ζ 01 x01126 x3969 x0164336cos7 4t27386sin74 t x126 x3969x0 64336cos7 4t27386sin74 t Solução homogênea λ 2126 λ39690 λ06305126 243969063627i xhe 0 63t A sin6 27tBcos6 27t Solução particular x pC sin74t D cos7 4t x p74Ccos7 4t7 4D sin74t x p54 76Csin74t5476D cos7 4t Substituindo 5476C sin7 4t54 76 D cos74t 126 7 4C cos7 4t7 4D sin74t 3969 C sin7 4t D cos 74t 064336cos7 4t27386sin74 t 5476C12674 D3969C sin74t 5476D12674C3969 Dcos7 4t064336cos7 4t27386sin74 t C01123 D01122 Solução geral x t e 063t Asin627t Bcos6 27t 01123sin74t01122cos7 4t x t 063e 0 63t A sin6 27tBcos627t627e 063t Acos6 24tBsin627t08310cos7 4t08303sin74t Condições iniciais x 000B01122 x t 063 0B6 27 A 08310 A01213B01122 Logo x t e 063t 01213sin627t 01122cos6 27t 01123sin74t01122cos7 4t Gráfico Obtendo a resposta criticamente amortecida Considerando ζ 1 x1126 x3969 x164336 cos 74t27386sin7 4t x126 x3969x6 4336cos74t 27386sin7 4t Solução homogênea λ 2126 λ39690 λ6305126 24396963 xhAe 63 tBt e 6 3t Solução particular x pC sin74t D cos7 4t x p74Ccos7 4t7 4D sin74t x p54 76Csin74t5476D cos7 4t Substituindo 5476C sin7 4t54 76 D cos74t 126 7 4C cos7 4t7 4D sin74t 3969 C sin7 4t D cos 74t 64336 cos 74t27386sin7 4t 5476C12674 D3969C sin74t 5476D12674C3969D cos74t64336cos7 4t27386sin74 t C00623 D00398 Solução geral x t Ae 6 3tBt e 63t00623sin74t00398cos7 4t x t 63 Ae 63t63Bt e 63 tBe 6 3t0 4610cos7 4t 02945sin74t Condições iniciais x 00A00398 x 0063 AB04610 A00398B02103 Logo x t 00398e 6 3t02103t e 63t00623sin7 4t00398cos7 4t Gráfico Obtendo a resposta Super amortecida Considerando ζ 10 x10126 x3969 x1064336 cos7 4t27386sin7 4t x126 x3969 x64336cos74t 27386sin74t Solução homogênea λ 2126 λ39690 λ6305126 2439696362684 xhAe 125684 tBe 0316t Solução particular x pC sin74t D cos7 4t x p74Ccos7 4t7 4D sin74t x p54 76Csin74t5476D cos7 4t Substituindo 5476C sin7 4t54 76 D cos74t 126 74Ccos74t74 D sin7 4t 3969 Csin74tD cos74t 64336cos74 t27386sin74t 5476C9324 D3969C sin74t54 76 D9324C3969 D cos 74t64336cos74t 27386sin74t C00689 D00041 Solução geral x t Ae 125684 tBe 0316t00689sin7 4t00041cos7 4t x t 125684 Ae 125684t0316 Be 0316t05099cos7 4t 00303sin7 4t Condições iniciais x 00AB00041 x 00125684 A0316 B05099 A00041B000004 Logo x t 00041e 125684 t000004e 0316t00689sin7 4t00041cos7 4t Gráfico Conclusão Constatamos que as abordagens das Leis de Newton da Dinâmica são extremamente valiosas para derivar equações diferenciais e modelar sistemas mecânicos vibracionais A complexidade do modelo influencia diretamente as respostas obtidas Os resultados simplificados indicam que um modelo com apenas um grau de liberdade é limitado pois resulta em uma única frequência natural e poucas condições de amortecimento As respostas obtidas foram bastante semelhantes com o movimento do sistema acompanhando o movimento da base mas com amplitude e defasagem diferentes Os efeitos intrínsecos do sistema são transitórios de curta duração e difíceis de observar na prática Embora o modelo com um grau de liberdade seja adequado para uma análise preliminar permitindo a determinação dos parâmetros equivalentes e da principal frequência natural do sistema análises subsequentes com múltiplos graus de liberdade são igualmente necessárias para uma compreensão mais detalhada Referências Vibrações Mecânicas Balachandran Balakumar Magrab Edward Vibrações Mecânicas Singiresu Rao Capa Objetivo Este trabalho tem por objetivo modelar matematicamente um sistema mecânico vibratório que represente vibrações transversais de uma motocicleta e seu condutor Por se tratar de um trabalho introdutório a abordagem será muito simplificada será adotado um modelo massa molaamortecedor com 1 grau de liberdade sujeito a movimento harmônico da base Durante o desenvolvimento veremos que a grau de amortecimento diferencia o movimento em alguns poucos casos possíveis Introdução O estudo de vibrações tem uma história rica e multifacetada que remonta aos primórdios da civilização humana Desde a antiguidade a humanidade tem observado e investigado fenômenos vibratórios Os filósofos gregos como Pitágoras já estudavam as vibrações em cordas de instrumentos musicais reconhecendo as relações matemáticas entre comprimento tensão e frequência Na Idade Média avanços significativos foram feitos pelos estudiosos islâmicos que refinaram as teorias de ressonância e propagação de ondas O verdadeiro avanço na compreensão científica das vibrações ocorreu durante a Revolução Científica com figuras como Galileo Galilei e Isaac Newton Galileu estudou o movimento pendular e a relação entre comprimento do pêndulo e o período de oscilação enquanto Newton desenvolveu as leis do movimento que formam a base para a análise moderna de sistemas vibratórios No século XIX o estudo das vibrações deu um salto com a formulação das equações diferenciais por JeanBaptiste Fourier e Joseph Fourier que permitiram a análise detalhada de diferentes tipos de ondas e suas decomposições Também durante esse período Lord Rayleigh fez contribuições fundamentais para a teoria acústica e a análise de vibrações em corpos sólidos Com o advento da era industrial e a crescente complexidade das máquinas o estudo das vibrações tornouse ainda mais crucial No século XX a análise de vibrações passou a incorporar avanços tecnológicos e computacionais permitindo modelos mais precisos e a aplicação de métodos numéricos para resolver problemas complexos Atualmente a análise de vibrações é essencial em diversas áreas desde a engenharia civil e mecânica até a aeronáutica e a medicina refletindo sua importância contínua e evolução ao longo dos séculos A modelagem de sistemas mecânicos vibratórios é uma área fundamental da engenharia mecânica e estrutural dedicada à análise e predição do comportamento de sistemas sujeitos a vibrações Esses sistemas podem variar desde estruturas simples como uma viga ou um pêndulo até complexas máquinas industriais e veículos A modelagem precisa desses sistemas é crucial para garantir sua eficiência segurança e durabilidade Um dos conceitos centrais na modelagem de sistemas vibratórios é o grau de liberdade O grau de liberdade referese ao número de coordenadas independentes necessárias para descrever completamente a posição de um sistema Um sistema com um grau de liberdade pode ser um pêndulo simples enquanto um sistema com múltiplos graus de liberdade pode ser um edifício em resposta a um terremoto ou um automóvel em movimento Outro aspecto importante na modelagem de sistemas vibratórios é o amortecimento O amortecimento referese à dissipação de energia dentro do sistema e pode ser classificado em diferentes tipos Amortecimento viscoso proporcional à velocidade do movimento é o tipo mais comum em análises teóricas representado por uma força de resistência que é proporcional e oposta à velocidade Amortecimento estrutural relacionado à dissipação de energia interna nos materiais devido à deformação cíclica Amortecimento coulombiano também conhecido como amortecimento por fricção seca é independente da velocidade e depende da força de atrito constante entre as superfícies em contato Além do amortecimento a modelagem deve considerar as forças externas que podem atuar sobre o sistema Essas forças podem ser periódicas como as forças geradas por um motor em funcionamento transitórias como as forças de impacto ou aleatórias como as forças devidas a turbulências de vento ou terreno irregular Com a combinação desses elementos graus de liberdade tipos de amortecimento e forças externas a modelagem de sistemas mecânicos vibratórios permite a análise detalhada e a predição do comportamento dinâmico de sistemas reais Isso possibilita a otimização de projetos a prevenção de falhas e a melhoria do desempenho e da segurança dos sistemas mecânicos Análise Descritiva O número de graus de liberdade de um sistema é diretamente proporcional à precisão e à dificuldade da análise Apresentamos a seguir um modelamento com 5 graus de liberdade translacionais do condutor e da motocicleta Podemos introduzir graus de liberdade rotacionais da motocicleta e do condutor Esses são exemplos de modelamento onde temos as massas das rodas motocicleta corpo e cabeça do condutor Há elasticidades e amortecimentos em todas as ligações As rotações da moto e do condutor permitem modelar desbalanceamento de forças entre a frente e a traseira Abaixo temos o modelo mais simples com 1 grau de liberdade para a análise inicial deste trabalho Referencial teórico As mecânicas de Newton ou de Lagrange fornecem as ferramentas necessárias para modelar sistemas mecânicos Pela segunda lei de Newton a um sistema com 1 grau de liberdade a soma das forças é igual ao produto da massa pela aceleração 𝑚 𝑥 𝐹 As forças são de amortecimento elástica e externa 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹𝑡 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝐹𝑡 Para os propósitos deste trabalho trataremos o sistema composto por motocicleta e condutor como tendo 1 grau de liberdade com massa concentrada A força externa é dada pelo perfil da via 𝐹𝑡 𝑐 𝑦 𝑘 𝑦 Substituindo 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝑐 𝑦 𝑘 𝑦 Modelando o perfil da via como harmônico 𝑦 𝑌 sin𝑤𝑡 𝑦 𝑤 𝑌 cos 𝑤𝑡 Substituindo 𝑚 𝑥 𝑐 𝑥 𝑘 𝑥 𝑐 𝑤 𝑌 cos𝑤𝑡 𝑘 𝑌 sin𝑤𝑡 Um dos objetivos do trabalho é avaliar os tipos de movimento possíveis em função do grau de amortecimento Isso pode ser feito substituindo o coeficiente de amortecimento pelo fator de amortecimento 𝑐 2 𝜉 𝑘 𝑚 Substituindo 𝑚 𝑥 2 𝜉 𝑘 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 2 𝜉 𝑘 𝑚 𝑤 𝑌 cos 𝑤𝑡 𝑘 𝑌 sin𝑤𝑡 𝑥 2 𝜉 𝑘 𝑚 𝑥 𝑘 𝑥 2 𝜉 𝑘 𝑚 𝑤 𝑌 cos 𝑤𝑡 𝑘 𝑚 𝑌 sin 𝑤𝑡 Outro parâmetro importante é a frequência natural 𝑤𝑛 𝑘 𝑚 Substituindo 𝑥 2 𝜉 𝑤𝑛 𝑥 𝑘 𝑥 2 𝜉 𝑤𝑛 𝑤 𝑌 cos𝑤𝑡 𝑤𝑛2 𝑌 sin𝑤𝑡 Os tipos de movimento transientes possíveis são sem amortecimento subamortecido criticamente amortecido e superamortecido Parametrizados em função do fator de amortecimento Sem amortecimento 𝜉 0 Subamortecido 𝜉 1 Criticamente amortecido 𝜉 1 Super amortecido 𝜉 1 Dados do Problema Calculo da frequência natural 𝑤𝑛 𝑘 𝑚 24099 607 𝒘𝒏 𝟔 𝟑 𝒓𝒂𝒅𝒔 Substituindo os dados na equação diferencial do problema 𝑥 2 𝜉 𝑤𝑛 𝑥 𝑤𝑛2 𝑥 2 𝜉 𝑤𝑛 𝑤 𝑌 cos 𝑤𝑡 𝑤𝑛2 𝑌 sin 𝑤𝑡 𝑥 2 𝜉 63 𝑥 632 𝑥 2 𝜉 63740069 cos 74𝑡 632 0069 sin 74𝑡 𝑥 𝜉 126 𝑥 3969 𝑥 𝜉 64336 cos 74𝑡 27386 sin 74𝑡 Obtendo a resposta não amortecida Considerando 𝜁 0 𝑥 0126 𝑥 3969 𝑥 064336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 𝑥 3969 𝑥 27386 sin 74𝑡 Solução homogênea 𝜆2 3969 0 𝜆 3969 63 𝑥ℎ 𝐴 sin 63 𝑡 𝐵 cos 63 𝑡 Solução particular 𝑥𝑝 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 𝑥𝑝 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 𝑥𝑝 5476 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 cos 74 𝑡 Substituindo 5476 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 cos74 𝑡 3969 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos74 𝑡 27386 sin 74𝑡 5476 𝐶 3969 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 3969 𝐷 cos 74 𝑡 27386 sin74𝑡 5476 𝐶 3969 𝐶 27386 5476 𝐷 3969 𝐷 0 𝐶 01817 𝐷 0 Solução geral 𝑥𝑡 𝐴 sin 63 𝑡 𝐵 cos 63 𝑡 01817 sin74 𝑡 𝑥𝑡 63 𝐴 cos 63 𝑡 63 𝐵 sin63 𝑡 13446 cos74 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 0 𝐴 sin0 𝐵 cos 0 01817 sin 0 𝑥0 0 63 𝐴 cos 0 63 𝐵 sin0 13446 cos 0 𝐴 02134 𝐵 0 Logo 𝑥𝑡 02134 sin63 𝑡 01817 sin74 𝑡 Gráfico Obtendo a resposta sub amortecida Considerando 𝜁 01 𝑥 01126 𝑥 3969 𝑥 0164336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 𝑥 126 𝑥 3969 𝑥 064336 cos 74𝑡 27386 sin 74𝑡 Solução homogênea 𝜆2 126 𝜆 3969 0 𝜆 063 05 1262 43969 063 627 𝑖 𝑥ℎ 𝑒063𝑡𝐴 sin 627 𝑡 𝐵 cos 627 𝑡 Solução particular 𝑥𝑝 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 𝑥𝑝 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 𝑥𝑝 5476 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 cos 74 𝑡 Substituindo 5476 𝐶 sin 74 𝑡 5476 𝐷 cos74 𝑡 126 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 3969 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 064336 cos74𝑡 27386 sin74𝑡 5476 𝐶 12674 𝐷 3969 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 12674 𝐶 3969 𝐷 cos 74 𝑡 064336 cos 74𝑡 27386 sin 74𝑡 𝐶 01123 𝐷 01122 Solução geral 𝑥𝑡 𝑒063𝑡𝐴 sin 627 𝑡 𝐵 cos 627 𝑡 01123 sin 74 𝑡 01122 cos 74 𝑡 𝑥𝑡 063 𝑒063𝑡𝐴 sin627 𝑡 𝐵 cos 627 𝑡 627 𝑒063𝑡𝐴 cos 624 𝑡 𝐵 sin627 𝑡 08310 cos 74 𝑡 08303 sin 74 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 0 0 𝐵 01122 𝑥𝑡 063 0 𝐵 627 𝐴 08310 𝐴 01213 𝐵 01122 Logo 𝑥𝑡 𝑒063𝑡01213 sin 627 𝑡 01122 cos 627 𝑡 01123 sin 74 𝑡 01122 cos74 𝑡 Gráfico Obtendo a resposta criticamente amortecida Considerando 𝜁 1 𝑥 1126 𝑥 3969 𝑥 164336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 𝑥 126 𝑥 3969 𝑥 64336 cos 74𝑡 27386 sin 74𝑡 Solução homogênea 𝜆2 126 𝜆 3969 0 𝜆 63 05 1262 43969 63 𝑥ℎ 𝐴 𝑒63𝑡 𝐵 𝑡 𝑒63𝑡 Solução particular 𝑥𝑝 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 𝑥𝑝 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 𝑥𝑝 5476 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 cos 74 𝑡 Substituindo 5476 𝐶 sin 74 𝑡 5476 𝐷 cos74 𝑡 126 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 3969 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 64336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 5476 𝐶 12674 𝐷 3969 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 12674 𝐶 3969 𝐷 cos 74 𝑡 64336 cos74𝑡 27386 sin74𝑡 𝐶 00623 𝐷 00398 Solução geral 𝑥𝑡 𝐴 𝑒63𝑡 𝐵 𝑡 𝑒63𝑡 00623 sin 74 𝑡 00398 cos 74 𝑡 𝑥𝑡 63 𝐴 𝑒63𝑡 63 𝐵 𝑡 𝑒63𝑡 𝐵 𝑒63𝑡 04610 cos 74 𝑡 02945 sin 74 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 0 𝐴 00398 𝑥0 0 63 𝐴 𝐵 04610 𝐴 00398 𝐵 02103 Logo 𝑥𝑡 00398 𝑒63𝑡 02103 𝑡 𝑒63𝑡 00623 sin74 𝑡 00398 cos 74 𝑡 Gráfico Obtendo a resposta Super amortecida Considerando 𝜁 10 𝑥 10126 𝑥 3969 𝑥 1064336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 𝑥 126 𝑥 3969 𝑥 64336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 Solução homogênea 𝜆2 126 𝜆 3969 0 𝜆 63 05 1262 43969 63 62684 𝑥ℎ 𝐴 𝑒125684𝑡 𝐵 𝑒0316𝑡 Solução particular 𝑥𝑝 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 𝑥𝑝 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 𝑥𝑝 5476 𝐶 sin74 𝑡 5476 𝐷 cos 74 𝑡 Substituindo 5476 𝐶 sin 74 𝑡 5476 𝐷 cos74 𝑡 126 74 𝐶 cos 74 𝑡 74 𝐷 sin 74 𝑡 3969 𝐶 sin74 𝑡 𝐷 cos 74 𝑡 64336 cos 74𝑡 27386 sin74𝑡 5476 𝐶 9324 𝐷 3969 𝐶 sin 74 𝑡 5476 𝐷 9324 𝐶 3969 𝐷 cos74 𝑡 64336 cos74𝑡 27386 sin74𝑡 𝐶 00689 𝐷 00041 Solução geral 𝑥𝑡 𝐴 𝑒125684𝑡 𝐵 𝑒0316𝑡 00689 sin 74 𝑡 00041 cos 74 𝑡 𝑥𝑡 125684 𝐴 𝑒125684𝑡 0316 𝐵 𝑒0316𝑡 05099 cos 74 𝑡 00303 sin 74 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 0 𝐴 𝐵 00041 𝑥0 0 125684 𝐴 0316 𝐵 05099 𝐴 00041 𝐵 000004 Logo 𝑥𝑡 00041 𝑒125684𝑡 000004 𝑒0316𝑡 00689 sin74 𝑡 00041 cos 74 𝑡 Gráfico Conclusão Constatamos que as abordagens das Leis de Newton da Dinâmica são extremamente valiosas para derivar equações diferenciais e modelar sistemas mecânicos vibracionais A complexidade do modelo influencia diretamente as respostas obtidas Os resultados simplificados indicam que um modelo com apenas um grau de liberdade é limitado pois resulta em uma única frequência natural e poucas condições de amortecimento As respostas obtidas foram bastante semelhantes com o movimento do sistema acompanhando o movimento da base mas com amplitude e defasagem diferentes Os efeitos intrínsecos do sistema são transitórios de curta duração e difíceis de observar na prática Embora o modelo com um grau de liberdade seja adequado para uma análise preliminar permitindo a determinação dos parâmetros equivalentes e da principal frequência natural do sistema análises subsequentes com múltiplos graus de liberdade são igualmente necessárias para uma compreensão mais detalhada Referências Vibrações Mecânicas Balachandran Balakumar Magrab Edward Vibrações Mecânicas Singiresu Rao